数学(全本)中等职业技术学校课件

MATHS 全国中等职业技术学校通用教材 数学 1.第1章 方程与不等式 1.1 数（式）的运算数（式）的运算 1.2 解方程（解方程（组组）2.1.1 数（式）的运算教学目的：教学目的：理解有理数、无理数、实数、数轴、倒数、相反数绝对值的概念，能够进行相关运算。教学重点教学重点:理解整式、分式、数的乘方和开方的概念；掌握它们的性质和运算法则。教学教学难难点点:因式分解、分式与数的乘方开方运算3.有理数有理数 整数和分数统称为有理数。无理数无理数 无限不循环小数叫做无理数。实实数数 有理数和无理数统称为实数。数数轴轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。倒数倒数 乘积是1的两个数叫做互为倒数。相反数相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数。绝对值绝对值几何定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示a的点与原点的距离，数a的绝对值记作|a|。代数定义：4.例例题题解析解析例例1 求下列数的绝对值：（1）3.4 解解 （1）因为3.40，所以|3.4|3.4。5.课堂练习：1在2、这些数中，整数有_，分数有_，有理数有_，无理数有_。2.的相反数为_，倒数为_；0的相反数_，0有倒数吗？3求下列各式中x的值：（1）x0，|x|0.1 （3）|x|4已知a0，求x。6.整式的运算整式的运算幂幂的运算法的运算法则则（a、b0，m、n是整数）是整数）常用乘法公式常用乘法公式7.因式分解因式分解 多项式的因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积，多项式的因式分解和整式的乘法是相反方向的变换 8.例例题题解析解析例例1 计算：（1）（2）解解（1）原式=（2）原式=9.例例2 把下列各式分解因式 （1）（2）（3）解解 原式=原式=原式=10.课课堂堂练习练习：1计算 2.计算 3分解因式：（1）（2）（3）（4）=11.分式的运算分式分式 ：A、B表示两个整式，AB就可以表示成 的形式，如果B中含有字母，式子就叫做分式，其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。分式的基本性分式的基本性质质 ：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，即，（M为不等于零的整式）分式的运算分式的运算 ：分式的加减运算是使用通分进行的；分式的乘除运算是使用约分进行的。12.例例题题解析解析 例例 计算：(1)（2）（3）分分析析：分式的加、减法关键是求最小公分母，基本方法：先将各分母分解因式；将所有因式全部取出，公因式应取次数最高的；将取出的因式相乘，积为最小公分母。在分式的乘除运算中，先要将各分式的分子、分母都因式分解，相乘时约去分子分母的公因式，再化简。解解 原式 原式 原式13.课课堂堂练习练习：1当x_时，分式 没有意义。2当x_时，分式 的值为0。3计算：（1）（2）14.数的乘方和开方运算正整数指数正整数指数幂幂 （n是正整数）是正整数）零指数零指数幂幂 负负整数指数整数指数幂幂 平方根平方根 若x2a(a0)，则称x为a的平方根（二次方根）立方根立方根 若x3a(a0)，则称x为a的立方根（三次方根）15.n次方根次方根 若 a（a是一个实数，n是大于1的正整数），则称数x为a的一个n次方根。当n为偶数时，对于每一个正实数a，它在实数集里有两个n次方根，互为相反数，分别表示为 和 ；而对于每一个负数a，它的n次方根没有意义。当n为奇数时，对于每一个实数a，它在实数集里只有一个n次方根，表示为 。当a 0时，0；当a0时，0。的n次方根是。n次根式次根式 我们把形如 （有意义时）的式子称为n次根式，其中n称为根指数，a称为被开方数，正的n次方根 称为a的n次算术根，并且 （n1，n是正整数）16.例例题题解析解析 例例1 计算：、解解 17.例例2 求8的立方根，16的四次方根。解解 8的立方根为 16的四次方根为?18.课课堂堂练习练习 1计计算下列各式的算下列各式的值值：、2 的平方根为_；0的平方根为_；27的立方根为_；的立方根为_；的四次方根为_。19.小小结结：1、理解并牢记幂的运算法则，乘法公式，会用适当的方法进行因式分解。掌握分式的概念及分式的基本性质，2、能熟练地进行分式的有关运算理解指数的意义和n次方根的概念，3、能熟练地进行有关的运算。20.1.2 解方程（组）教学目的：教学目的：掌握一元二次方程的解法，能解简单的二元一次方程组，二元二次方程组；能灵活地运用一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系解决相关问题。教学重点：教学重点：掌握一元二次方程和二元一次方程组的解法。教学教学难难点：点：运用一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系解决相 21.一元二次方程的解法：一元二次方程的解法：（1）直接开平方法。（2）配方法。（3）公式法。（4）因式分解法。根和系数的关系：根和系数的关系：如果 的两根是 、，那么，。22.例例题题解析解析 例例 解方程 解法一（配方法）解法一（配方法）原方程配方，得 整理得 所以 解得解法二（因式分解法）解法二（因式分解法）原方程可化为 所以 解法三（公式法）解法三（公式法）解得 23.课课堂堂练习练习：1解方程：（1）（2）2若方程 有两个相等的实数根，那么m_。3若方程 的一个根是0，则k=_，另一个根是_。24.解解简单简单的二元二次方程的二元二次方程组组 二元一次方程二元一次方程组组 几个二元一次方程组成的方程组，叫做二元一次方程组。二元二次方程二元二次方程 含有两个未知数，并且含有未知数的项中，最高次数是2 的整式方程，叫做二元二次方程，它的一般形式为：二元二次方程二元二次方程组组 由两个二元方程组成并且其中至少有一个是二元二次方程的方程组叫做二元二次方程组。二元二次方程二元二次方程组组的解法的解法 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组，一般可用代入消元法来解。其目的是把二元方程化为一元方程。25.例例题题解析解析 例例 解方程组：解解 由（由（2）得）得 （3）把（3）代入（1），得 整理得整理得 解得解得 或 将将 、分分别别代入（代入（3），求得），求得 或 所以，原方程所以，原方程组组的解的解为为 或 26.课课堂堂练习练习：1解方程：（解方程：（1）（2）2解方程解方程组组：（：（1）（2）3解方程解方程组组：（：（1）（2）27.小小结结：掌握一元二次方程的定义、形式，会用不同的方法去解方程（主要用公式法）以及方程组的解法。28.第2章 集合 2.1 集合及其表示 2.2 集合间的基本关系29.2.1 集合及其表示教学目的：教学目的：1、了解集合与元素的概念，掌握集合与元素之间的关系，掌握常用数集的记法，了解集合的表示方法 2、了解子集、集合相等的概念，了解区间的概念，能够利用区间的形式表示简单的数集。教学重点：教学重点：掌握集合与元素之间的关系，掌握常用数集的记法。教学教学难难点：点：能够利用区间的形式表示简单的数集。30.集合的概念集合的概念 在数学里，我们用集合集合（简称集集）这个概念来表示由一些指定的事物组成的整体。集合中的每个事物称为该集合的元素元素。通常，事物a是集合M的一个元素记作aM，读作a属于M；事物a不是集合M的一个元素记作，读作a不属于M。在数学中，由数字组成的集合称为数集数集、由方程或不等式的解组成的集合称为解集解集。31.一些常用的数集都有特定的记法，如下表所示：集集 合合 表表 述述 集集 合合 名名 称称 集集 合合 符符 号号 自然数（即非负整数）的全体 自然数集自然数集（非非负负整整数集数集）正整数的全体 正整数集正整数集 整数的全体 整数集整数集 有理数的全体 有理数集有理数集 实数的全体 实实数集数集 正实数的全体 正正实实数集数集 负实数的全体 负实负实数集数集 32.课题练习课题练习：将符号或 填入空格中。7，7.2 ，11.4 ，3.7 。33.集合的表示方法集合的表示方法 1.列举法 通过列举集合的每个元素来表示集合的方法叫做列列举举法法。李明、张静、李俊、李虹 2、4、6、8 2.描述法 用特定条件指定集合的元素，从而表示集合的方法叫做描述法描述法。xx是本节“导入”所举例中花束内的花 xx5 34.例例题题解析解析 例例 用描述法表示下列集合：（1）方程的解集。（2）大于或等于3的整数的全体解解 （1）要指定）要指定这这个集合的元素，条件就是。因此，个集合的元素，条件就是。因此，这这个集合可以个集合可以表示表示为为 xx21=0 （2）“大于或等于3”可以写成x3。另外，这个集合的元素必须是整数，即xZ。因此，这个集合可以表示为 xx3，xZ 课课堂堂练习练习：1用列举法表示下列集合：（1）大于3小于10的整数的全体。（2）方程的解集。2用描述法表示下列集合：（1）不等式x2的解集。（2）大于0小于1的实数的全体。35.2.2 集合间的基本关系集合与集合的关系集合与集合的关系 通常，对于集合A和集合B，如果A的任何一个元素都是B的元素，那么两者的关系就是集合A包含于包含于集合B（或集合B包含包含集合A），记作 集合A包含于集合B也可说成集合A是集合B的子集子集。集合与集合之间还存在相等相等的关系。如 x =-1，1 2、4、6、84、2、6、836.例例题题解析解析 例例 分别写出下列各题中两个集合之间的关系：（1）A2、4、6，B2、0、2、4、6、8 （2）A2、5，Bx|(x)(x)解解（1）因为集合A的每一个元素都是集合B的元素，而集合B的元素并不都是集合A的元素（比如0），所以两者的关系是 （2）集合B的元素是方程(x5)(x2)=0的解，应该是5，2。可见，集合B的每个元素都属于集合A；反之，集合A的每一个元素都属于集合B。所以这两个集合的关系是 A=B课课堂堂练习练习：用适当的符号填入空格。Q R，Z，a b、c、d 22 x|3、337.区区间间的概念的概念 四家饭店（A、B、C、D）招聘女服务员对身高的要求：设服务员身高为x米，根据上表，这四家饭店提出的要求可表示为：饭店A：1.65x1.75；饭店C：1.65x1.75；饭店B：1.65x1.75；饭店D：1.65x1.75。饭饭店店 1.65米米 1.75米米 A包括 包括 B不包括 不包括 C包括 不包括 D不包括 包括 38.将这四家饭店的要求推广到一般的情况。设身高的下限为a米，身高的上限为b米（ab），则这四种要求可表示为 axb axb axb axb 除上面提到的四种集合外，符合不等式xa，xb，xa，xb的实数x的集合也可用区间表示，其表示方法与上面四种区间类似。需注意的是，这些区间只有一个端点，另一端对应数轴的无穷远处。为此，我们规定：符号“”表示无穷大，“+”表示正无穷大，“”表示负无穷大。课课堂堂练习练习：用区间的形式表示下列各集合：（1）x5x2 （2）x|3x8 （3）xx1 （4）xx539.小小结结：会用适当的方法表示集合。理解集合与集合之间的关系，以及相互间连接的符号；理解区间的概念，会用区间表示不等式。40.第3章 函数 3.1 函数的概念及其表示 3.2 函数的基本性 3.3 指数函数 3.4 对数函数41.3.1 函数的概念及其表示教学目的：教学目的：1、理解函数的概念，理解定义域、值域的概念，了解函数的表示方法；会求简单函数的定义域 2、了解增函数、减函数的概念，能根据函数的图像判断函数的单调性。教学重点：教学重点：理解函数的概念，理解定义域、值域的概念，会求简单函数的定义域。教学教学难难点：点：能根据函数的图像判断函数的单调性。42.函数的概念函数的概念 一般地，设x、y是两个变量，当x在某个数集D（即x的取值范围）内取任意一个确定的值，按照某个确定的对应关系f，y都有唯一的值与x对应，那么我们就说x是是自自变变量量，y是是变变量量x的函数的函数，数集D是这个函数的定定义义域。域。通常将y是x的函数记作 yf（x），xD 当自变量x在定义域中取确定的值a时，它所对应的函数值记作 f(a)所有函数值组成的集合叫做函数的值值域。域。如果一个函数的定义域没有被特别指出，那么我们就认为这个函数的定义域是使函数表达式有意义的所有实数构成的集合。43.例例题题解析解析例例1 设f(x)x22x3，求f(0)、f(3)、f(3)、f(a)。解解 f(0)022033 f(3)322336 f(3)(3)22(3)318 f(a)a22 a3 例例2 求函数f(x)的定义域。解解 要使函数f(x)有意义，则 x20 即 x2 因此，f(x)的定义域是 2，）44.课课堂堂练习练习：设f(x)，求：f(1)、f(1)，f(0)、f(b)。2求函数f(x)的定义域。45.函数的表示方法函数的表示方法 表示一个函数的方法有：解析法解析法、列表法列表法和图图像法像法。1.解析法 用代数式来表示两个变量间的关系表示的方法叫做解析法解析法。如，yx2，y2x，y2x。2.列表法:所谓列表法是指用表格来表示两个变量之间函数关系的方法。例如，上表中，学期序号和成绩是两个变量。表中列出了不同学期序号对应的成绩。3.图像法 所谓图像法是指用图像来表示两个变量之间函数关系的方法。学期学期序号序号 12345678910 11 12成成绩绩 95 90 8892 87 83 94 85 93 89 94 9646.例例题题解析解析 例例 画出函数y6x（x(0，10）的图像。解解 y6x是一次函数，而定义域是（0，10，由此可知图像是一条直线段。所以只要描出函数y6x图像上的两个端点，然后用直尺将这两个端点连接起来即可。列表列表：描点：描出以（描点：描出以（0，0）为为坐坐标标的点的点，再描出以（，再描出以（10，60）为为坐坐标标的点的点。课课堂堂练习练习:1试举出一个用列表法表示函数的例子。2画函数yx3（x(，)）的图像。Y 0 10 X 0 6047.3.2 函数的基本性质反函数教学目的：教学目的：了解反函数的概念，能够求解简单函数的反函数，了解互为反函数的两个函数图像间的关系。教学重点：教学重点：能够求解简单函数的反函数。教学教学难难点：点：互为反函数的两个函数图像间的关系。48.函数关系式函数关系式 自自变变量量 定定义义域域 值值域域 V15h H V 0，10 0，150 0，150 0，10 Sr2 R S 4，7 1649 169 4，7通常，在函数yf(x)（x）中，设它的值域为，根据该函数中x、y的关系，用 y 把 x 表示出来，得到xg(y)。如果xg(y)（y）也是一个函数，那么就把函数xg(y)（y）叫做函数yf(x)（x）的反函数反函数，记作 xf1(y)一般情况下，将函数xf1(y)改写成 yf1(x)函数yf(x)与函数yf1(x)互为反函数。函数yf(x)的定义域是它的反函数yf1(x)的值域；函数yf(x)的值域是它的反函数yf1(x)的定义域。49.例例题题解析解析 例例 求下列函数的反函数，并画出题（1）中函数和反函数的图像，观察它们的对称性。（1）y2x1（xR）解解 （1）由y2x1，解得 ，所以，函y2x1的反函数是课课堂堂练习练习：1求函数求函数y2x4（x R）的反函数，并且在同一个）的反函数，并且在同一个平面直角坐平面直角坐标标系中画出函数系中画出函数y2x4（x R）和它的反）和它的反函数的函数的图图像。像。2求下列函数的反函数：求下列函数的反函数：（1）（x R）（2）50.函数的函数的单调单调性性 一般地，在函数f（x）定义域内某个给定区间 I上，任选两个自变量的取值x1、x2，如果当x2x1时，总有f（x2）f（x1），我们就说函数f（x）在区间 I上是增函数增函数；如果当x2x1时，总有f（x2）f（x1），我们就说函数f（x）在区间I上是减函数减函数。如果函数yf（x）在区间I上是增函数或减函数，那么我们就说函数yf（x）在区间I上具有单调单调性性，区间I叫做函数yf（x）的单调单调区区间间。单调区间上，增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的。51.类类 型型（区间I上的）增函数（区间I上的）减函数 条条 件件 当x2x1时，有f（x2）f（x1）当x2x1时，有f（x2）f（x1）图图像特征像特征 沿x轴正方向图像上升 沿x轴正方向图像下降 课课堂堂练习练习：1画出下列函数的草图，指出下列函数的单调区间，并判别它们在各单调区间的增减性。52.小小结结：理解函数的三种表示方法，会用适当的方法表示函数。理解函数在某个区间上的增减性的定义和特点，会由定义判定函数在某个区间上的增、减性和单调性。理解反函数的定义，会求简单函数的反函数，并能由它们的图像的特点，画出互为反函数的图像。53.3.3 指数函数教学目的：教学目的：了解指数函数、对数函数的概念、图像和性质。牢记指数函数的形式、定义域、值域，会用描点法作出函数的图像，由图像能写出性质，由性质能解决有关问题。教学重点：教学重点：指数函数、对数函数的概念、图像和性质。牢记指数函数的形式、定义域、值域，会用描点法作出函数的图像，教学教学难难点：点：由图像能写出性质，由性质能解决有关问题。54.导导入：入：细胞分裂的个数 某种细胞的分裂规律为：一个细胞一次分裂成两个细胞。一个这样的细胞经过 x 次分裂后，得到 y 个与它本身相同的细胞，那么细胞个数 y与分裂次数x的关系是怎样的呢？关于细胞分裂问题，分析如下：初始细胞个数是1，此时经过的分裂次数是0，即201个；经过第1次分裂后细胞的总数是个；经过第2次分裂后细胞的总数是个；经过第3次分裂后细胞的总数是个；经过第4次分裂后细胞的总数是个；经过第x次分裂后细胞的总数是个 。设细胞总数为y，有y 。55.一般地，我一般地，我们们把形如把形如 （a0，a1）的函数叫做）的函数叫做指数函数。指数函数。由实数指数幂的运算性质可知：当a0时，对于每一个实数x的值，都有唯一确定的实数值 与它对应。因此，指数函数 的定义域是实数集。两函数相同的性两函数相同的性质质有：有：1两个图像都在x轴上方，即值域都是。2 两个图像都经过点（0，1），可见当x0时，对这两个函数都有y1。两函数不同的性两函数不同的性质质：函数y2x的图像沿x增大的方向是上升的，所以它在（，）上是增函数；函数 的图像沿x增大的方向是下降的，所以它在（，）上是减函数。56.例例题题解析解析 例1 利用指数函数的性质比较下列各题中两个实数的大小：（1）与与 （2）与与 解解 （1）指数函数y3x是增函数。因为3.62.8，所以 （2）指数函数 是减函数。因为2.53，所以 57.例例2 假设银行中一年定期的存款利率是2.25，利息的税率是20。若把你的压岁钱1000元存入银行，存取方式为一年期整存整取，而且办理了到期自动转存业务，那么x 年后到期取出，连本带息共有多少元？由此推算5年后应取出多少钱？（精确到0.01）解解 一年后到期取出，连本带息共有 100010002.25(120)1000(12.2580)10001.018 元 如果到期自动转存，两年后到期本息共有 (10001.018)(10001.018)2.25(120)10001.018(12.2580)10001.0182 元 依此类推，x年后到期取出，本息的和（单位：元）用y表示，y与x的关系是 y1000 将x=5代入上式，可得5年后取出，连本带息共有 1000 1093.30 元58.课课堂堂练习练习：1指出下列指数函数在(，)内是增函数还是减函数：（1）y （2）（3）y （4）y 2比较下列各题中两个实数的大小 （1）与（2）与 （3）与 （4）与 3某市现有人口500万，人口的年自然增长率为1.2%，10年后这个城市的人口预计有多少万？x年后这个城市的人口预计是多少万？（精确到0.01）59.小小 结结：牢记指数函数的形式、定义域、值域，会用描点法作出函数的图像，由图像能写出性质，由性质能解决有关问题。60.3.4 对数函数教学目的：教学目的：理解对数函数的意义，会由互为反函数间的图像的关系作出指数函数和对数函数的图像。由图掌握有关性质，并由性质解决有关问题。教学重点：教学重点：理解对数函数的意义，会由互为反函数间的图像的关系作出指数函数和对数函数的图像。教学教学难难点：点：由图掌握有关性质，并由性质解决有关问题。61.导导入：入：细细胞分裂的次数胞分裂的次数某种细胞的分裂规律为：一个细胞一次分裂成2个。1个细胞经第1次分裂成为2个；经过第2次分裂成为4个那么，第几次分裂后恰好出现16个细胞？第几次分裂后恰好出现128个细胞？设这样的细胞经过x次分裂后，得到的细胞个数是y。以分裂次数x为自变量就可以得到指数函数 显然，只要求出这个函数的反函数，上面的问题就可以解决了。根据对数的定义，指数函数式y2x可以写成对数的形式 x 显然，给定一个y值，由上式可以得到唯一的x值，因此，x 表示的是指数函数y 的反函数。按照习惯，我们用x表示自变量，用y表示函数，这个函数就应写成 y 一般地，函数y （a0，a1）与指数函数y=互为反函数。因为y=的值域是（0，），所以函数y 的定义域是（0，）；y=的定义域是R，所以函数 y 的值域是R。我们把函数y （a0，a1）叫做对对数函数数函数。62.例例题题解析解析 例例1 指出下列对数函数在区间（0，+）内是增函数还是减函数？（1）y=（2）（3）y （4）解解 （1）因为a31，所以y在区间（0，+）内是增函数。（2）因为a 1，所以y在区间（0，+）内是减函数。（3）因为a101，所以y在区间（0，+）内是增函数。（4）因为a 1，所以y在区间（0，+）内是减函数。63.例例2 在下列各小题中，比较两个实数的大小：（1）与 （2）与1 解解 （1）对数函数y 是增函数。因为45，所以 。（2）对数函数 是减函数。因为1 ，3 ，所以 1。64.例例3 假设银行中现行一年定期的存款利率是2.25，利息的税率是20。若把你的压岁钱1000元人民币存入银行，存取方式为一年期整存整取，而且办理了到期自动转存业务，当这笔钱连本带息超过1200元时，至少经过了多少年？解解 由上一节的例题可知，存款年数x与本息的和y成指数函数关系，即 y1000 若我们以本息的和为自变量x，以存款年数为y，则两者的关系为 y （x/1000）将x=1200代入上式，可得y10.22。因为在整存整取的方式下，只有到期才能付当年利息，所以至少11年后取出，连本带息才能超过1200元。65.课课堂堂练习练习：1某市现有人口500万，人口的年自然增长率为1.2%。以此预计，经过多少年这个城市的人口将突破700万？这个城市的人口突破x万需要多少年？（结果保留整数）2指出下列对数函数在区间（0，+）内是增函数还是减函数。（1）y （2）y （3）y （4）y66.小小结结：理解对数函数的意义，会由互为反函数间的图像的关系作出指数函数和对数函数的图像。由图掌握有关性质，并由性质解决有关问题。67.第4章 三角函数 4.1角的概念推广角的概念推广 4.2任意角的三角函数任意角的三角函数 4.3三角函数的三角函数的图图像和性像和性质质68.4.1 角的概念推广教学目的：教学目的：理解任意角和弧度制的概念；能正确进行度与弧度的换算；教学重点教学重点：理解任意角和弧度制的概念；教学教学难难点：点：能正确进行度与弧度的换算；69.角的概念推广角的概念推广 在平面内一条射线绕它的端点O从位置OA旋转到任意位置OB形成的图形称为角角。射线的端点O称为角的顶顶点点。射线在旋转的初始位置OA称为角的始始边边，射线在旋转的终止位置OB称为角的终边终边。角常用小写希腊字母、示。按逆时针方向旋转形成的角称为正角正角；按顺时针方向旋转形成的角称为负负角角；当一条射线不旋转时，我们也认为它形成了一个角，称为零角零角。一个角的大小可以超过360。为了表达准确，我们在画一个角的时候，不仅要表示出旋转方向，而且要把形成这个角的旋转过程表示出来。70.课课堂堂练习练习：1时钟从3点走到3点15分，分针旋转了多少度？2当把手表倒拨（逆时针）1小时20分钟，分针旋转了多少度？3分别画出以下各角：150、420、750、120、390。71.象限角与象限角与终边终边相同的角相同的角 在平面直角坐标系xOy中，把角的顶点放在原点O的位置上，让角的始边与x轴的正半轴重合，这时角的终边落在坐标系中的第几象限，就说这个角是第几象限角第几象限角。比如，45角是第一象限角；240角是第二象限角；585角是第三象限角；300角是第四象限角 如果一个角的终边落在坐标轴上，就说这个角是轴线轴线角角。例如，90、180角都是轴线角72.在0360范围内，各象限角的范围如下：(0,90)(90,180)(180,270)(270,360)象限 一 二 三 四在0360范围内，各轴线角的大小如下：角度 0 90 180 270 位置 x正半轴 y正半轴 x负半轴 y负半轴 73.思考思考在同一坐标系中观察下面角的共同点？30、390、750、330、69074.通过观察可以发现，这些角的终边位置是相同的。我们把它们称为是与30终边终边相同的角相同的角。很显然，与30终边相同的角有无限多个。30300360 390301360 750302360 33030（1）360 39030（2）360 这样我们可以得到与30角终边相同的角（含30在内）的一般表达式为 30k360，kZ 由此推广，与由此推广，与角角终边终边相同的角（含相同的角（含角在内）的一角在内）的一般表达式是：般表达式是：k360，k Z75.由此推广，轴线角的一般表达式如下：终边终边位置位置 一般表达式一般表达式 x轴的正半轴 k360(kZ)x轴的负半轴180k360(kZ)x轴k180(kZ)y轴的正半轴90k360(kZ)y轴的负半轴 270k360(kZ)y轴90k180(kZ)76.例例题题解析解析 例例 下列各角中哪些角与40的角终边相同?390、400、320、320 解 因为 39030360 40040360 32040360 32040360 所以400、320角与40角终边相 同（400、320与40的差值正好是 360的整数倍）；而390、320角与40角终边不相同（390、320与40的差值不是360的整数倍）。77.课课堂堂练习练习：1下列各角是第几象限角？（如果是轴线角也请说明）30、120、180、260、300、360、390、450、30、90、120、180、230、330。2下列各角中哪些角与80的角终边相同？440、280、280、400。78.弧度弧度 我我们规们规定，定，长长度等于半径的度等于半径的圆圆弧弧对应对应的的圆圆心心角角为为1弧度。弧度的弧度。弧度的单单位符号是位符号是rad。根据以上规定，在半径为r的圆中，长度为l的圆弧对应的圆心角的大小是 ，即 例如，圆周的长度是2r，它对应的圆心角的大小是 因为圆周角用角度表示为360，所以可得出360=2 rad 79.例例题题解析解析 例例1 用弧度表示下列各角的大小：60、120、60、270 解解 80.例例2 用角度表示下列各角的大小：2.5、解解 81.下表列出了一些特殊角的度数与弧度数的下表列出了一些特殊角的度数与弧度数的对应对应关系关系：度度数数0 30 45 60 90 弧弧度度0 采用弧度制后，与采用弧度制后，与角角终边终边相同的角（含相同的角（含角在内）的一般表达式是：角在内）的一般表达式是：=2k，k Z120 135 度度数数150 180 270 360 弧弧度度82.课课堂堂练习练习：1用弧度表示下列各角的大小：245、420、300、120、330 2用角度表示下列各角的大小：3、。83.小小 结结：理解角的概念，并会在直角坐标系中表示角，会判断角所在的象限，会表示与终边相同的角。84.4.2 任意角的三角函数教学目的：教学目的：理解任意角的三角函数的定义。掌握正、余弦在单位圆上的表示法；掌握三角函数的定义域及在各个象限内的符号教学重点：教学重点：理解任意角的三角函数的定义教学教学难难点：点：掌握三角函数的定义域及在各个象限内的符号85.任意角三角函数的定任意角三角函数的定义义 以任意角以任意角的的顶顶点点为为原点原点O，角的始，角的始边为边为x轴轴的的正半正半轴轴，建立平面直角坐，建立平面直角坐标标系系xOy，在，在的的终边终边上任意取一点上任意取一点P（x，y），），设设点点P到原点的距离到原点的距离是是r，则则有有86.我我们规们规定：定：1比比值值叫做叫做的正弦，的正弦，记记作作sin，即，即 。2比比值值叫做叫做的余弦，的余弦，记记作作cos，即，即 。3比比值值叫做叫做的正切，的正切，记记作作tan，即，即 。这这些比些比值值都是角都是角的函数，分的函数，分别别叫做叫做的正弦函数，余的正弦函数，余弦函数，正切函数，它弦函数，正切函数，它们们都是三角函数。都是三角函数。由于2k（kZ）表示的所有角的终边相同，根据三角函数的定义，它们的同名三角函数值相等，即sin(2k)sin，k Zcos(2k)cos，k Ztan(2k)tan，k Z87.单单位位圆圆 以原点以原点为圆为圆心，半径心，半径长为长为1个个单单位的位的圆圆。设角的终边与单位圆的交点为P。根据三角函数的定义，由点P的坐标(x，y)可得以下公式：在正切函数在正切函数 中，由于分母中，由于分母x不能不能为为零，零，所以角所以角的的终边终边不能在不能在y轴轴上。上。88.在弧度制下，正弦、余弦、正切函数的定在弧度制下，正弦、余弦、正切函数的定义义域如下表域如下表:三角三角函数函数 三角三角函数函数 sin、cos R tan 89.例例题题解析解析 例例1 已知角已知角的的终边经过终边经过点点P（3，4），求），求的正弦、余弦及正切函数的正弦、余弦及正切函数值值。解解 由点由点P（3，4）可知）可知 x3，y4，90.例例2 求角390和 的正弦、余弦和正切值。解91.课课堂堂练习练习：1已知角的终边上一点P（3，4），求的正弦、余弦和正切函数值。2求角420和的三角函数值。3求下列特殊角的三角函数值：（度）（度）0 30 45 60 90 180 270 (弧弧度度)sin cos tan 不存在不存在92.三角函数三角函数值值的符号的符号总结总结如下：如下：三角三角函数函数 第一第一象象限的限的角角 第二第二象象限的限的角角 第三第三象象限的限的角角 第四第四象象限的限的角角 sin cos tan 93.课课堂堂练习练习：1用或填空。用或填空。94.小小 结结：理解任意角的三角函数的定义，会求任意角的三角函数，由单位圆了解三角函数的定义域。95.4.3 三角函数的图像和性质教学目的：教学目的：掌握正弦函数的图像和性质，能用“五点法”作出图像，了解余弦函数、正切函数的图像和性质。教学重点：教学重点：掌握正弦函数的图像和性质，能用“五点法”作出图像。教学教学难难点：点：余弦函数、正切函数的图像和性质。96.用描点法完成正弦函数y=sinx，x0，2的图像。列表：列表：x0 2 y描点：描点：以表中对应的x、y的值为坐标在坐标系中描点。连线连线：将所描各点顺次连接起来，即完成所画的图像。97.正弦函数正弦函数ysinx的的图图像和性像和性质质 正弦函数正弦函数ysinx的的图图像像 把函数ysin x在区间0，2上的图像向左平移2就能得到正弦函数y=sinx在区间2，0上的图像。把正弦函数ysinx在区间0，2上的图像向左、右分别平移2、4、6个单位，就能得到正弦函数ysinx，xR的图像。我们把正弦函数ysinx(xR)的图像叫做正弦曲线。由ysinx，x0，2的图像可以看出，下面 五个点在确定图像形状时起着关键的作用：(0，0)、(，1)、(，0)、(，1)、(2，0)这五个点描出后，正弦函数ysinx，x0，2的图像的形状就基本上确定了。今后，我今后，我们们只要找出只要找出这这五个点五个点就可以描点画就可以描点画简图简图了。了。这这种作种作图图法称法称为为五点法。五点法。98.例例题题解析解析 例例 用五点法画出函数用五点法画出函数ysinx1在在0，2上的上的简图简图。分析分析 比比较较函数函数ysinx1和函数和函数ysinx可以看出，可以看出，对对同一个同一个x值值，函数，函数ysinx1的的值值比函数比函数ysinx的的值值大大1。所以。所以，函数，函数ysinx1的的图图像与函数像与函数ysinx的的图图像形状一像形状一样样，但在坐，但在坐标标系中的位置不同。系中的位置不同。列表列表 x 0 2 sinx 010-10sinx1 1210199.正弦函数正弦函数ysinx的性的性质质 （1）定）定义义域：域：R。（2）值值域：域：1，1。（3）周期性：）周期性：由于终边相同的角的正弦函数值相等，即 sin（x2k）sinx，kZ。所以 sinx在变化过程中，x每增大或减小2k（kZ 且k0），函数值重复出现，我们称y=sinx 为周期函数；而2k（kZ 且k0）为它的周期（周期常用T表示），其中T=2称为它的最小正周期。今后我今后我们们所所说说的周期都是指最小正周期。的周期都是指最小正周期。（4）对对称性：称性：正弦函数ysinx的图像关于原点对称，即 sin(x)=sinx 100.课课堂堂练习练习：用五点法作出下列函数在区间0，2上的简图。（1）ysinx1 （2）y2sinx101.余弦函数余弦函数ycosx的的图图像和性像和性质质 余弦函数余弦函数ycosx的的图图像像 把余弦函数ycosx在区间0，2上的图像向左、右分别平移2、4 个单位，就能得到余弦函数ycosx，xR的图像。余弦函数余弦函数ycosx（x）的）的图图像叫做余弦曲像叫做余弦曲线线。余弦函数余弦函数ycosx的性的性质质 （1）定）定义义域：（域：（，）（2）值值域：域：1，1 （3）周期性：）周期性：余弦函数ycos x是周期函数，它的周期是2。（4）对对称性：称性：余弦函数ycosx（x）的图像关于y轴对称，即cos(x)=cosx （5）单调单调性：性：在区间0，上是减函数，在区间，2上是增函数。102.课课堂堂练习练习：1将比较cos 与cos 值的大小。2用五点法画出y2cosx在区间 上的简图。103.正切函数正切函数ytanx的的图图像和性像和性质质 正切函数正切函数ytanx的的图图像像 把正切函数ytan x在x 上的图像向左或向右分 别别平移平移、2、3个个单单位，就能得到正切函数的位，就能得到正切函数的图图像，即正切曲像，即正切曲线线。教。教 案案 纸纸 正切函数正切函数ytanx的性的性质质 （1）定）定义义域：域：（2）值值域：域：（，+），没有最大值和最小值 （3）周期性：）周期性：函数ytan x是周期函数，周期是 （4）对对称性：称性：图像关于原点轴对称 （5）单调单调性：性：函数ytanx在开区间 （kZ）内都是增函数。104.例例题题解析解析 例例 比较tan 与tan 值的大小。解解 因为 而ytanx在区间 上是增函数，所以 105.课课堂堂练习练习:1观察正切曲线，当tanx0时，求x。2利用正切函数的周期性和单调性比较tan 与tan 值的大小。106.小小 结结：理解并牢记三角函数在各个象限内的符号，记住同角间三角函数的平方关系、商数关系，能利用这些关系解决有关问题。107.第5章 直线和圆的方程 5.1直线的方程 5.2圆的方程108.5.1 直线的方程教学目的：教学目的：了解直线方程的概念，以及它的倾斜角和斜率的求法，掌握直线方程的三种形式，掌握两条直线平行和垂直的条件及点到直线的距离公式。教学重点：教学重点：直线方程的概念，以及它的倾斜角和斜率的求法，掌握直线方程的三种形式。教学教学难难点：点：两条直线平行和垂直的条件及点到直线的距离公式。109.直直线线的的倾倾斜角和斜率斜角和斜率 直线l向上的方向和x轴的正方向所成的最小正角叫做直线l的倾倾斜角。斜角。规定，当直线l和x轴平行或重合时，0。倾斜角的取值范围是0，180)。当倾斜角90时，我们一般使用倾斜角的正切表示直线的方向，以便建立直线方程。我们把倾斜角的正切tan叫做直直线线l的斜率的斜率。直线l的斜率常用k表示即ktan 当倾斜角90时，直线l没有斜率，而是与y轴平行或重合。此时，直线l上的横坐标都相同。在平面直角坐标系中，如果已知两点M1(x1，y1)、M2(x2，y2)，那么，M1、M2就确定了一条直线M1M2，当直线M1M2的倾斜角不等于90时，可以求出经过已知两点M1(x1，y1)、M2(x2，y2)的直线M1M2的斜率，即k （x1x2）上式叫做斜率公式，用于已知直上式叫做斜率公式，用于已知直线线上两点，求直上两点，求直线线的斜率。的斜率。110.例例题题解析解析 例 已知直线l经过两点M1(2，9)、M2(5，2)，求直线l的斜率k和倾斜角。解 由直线l过点M1(2，9)、M2(5，2)可 知 x12，y19，x25，y22 代入斜率公式，得 即即tan1 所以所以45 111.课课堂堂练习练习：已知直线l经过两点M1、M2，求直线l的斜率。（1）M1（10，8）、M2（4，4）（2）N1（4，3）、N2（1，2）112.直直线线的方程的方程点斜式直点斜式直线线方程方程yy0k(xx0)（1）该方程是由l上一点P0(x0，y0)和l的斜率k所确定的，所以方程（1）叫做直线方程的点斜式。113.例例题题解析解析 例例 已知一条直线l经过点P0(2，2)，倾斜角45，求这条直线l的方程。解 由于直线l经过点P0(2，2)，所以 x02，y02 又由于直线l的倾斜角45，所以 ktan451 代入点斜式方程，得 y21（x2）即 xy40 为所求直线l的方程。当一条直线经过点P0（x0，y0）且倾斜角为0时，斜率k0，代入点斜式方程，得 yy0 这是一条与x轴平行的直线。当一条直线经过P0（x0，y0）且倾斜角90时，这条直线的斜率不存在，它与y轴平行或重合，也就是说这条直线的方程不能用点斜式表示。由于这条直线上每个点的横坐标都等于x0，所以它的方程是xx0114.斜截式直斜截式直线线方程方程 当直线l有斜率且不为0时，直线l在坐标系中同时与x轴、y轴相交。当直线l与y轴相交于B(0，b)时，则称b为直线l在y轴上的纵截距。已知直线l经过B(0，b)，斜率为k，则其点斜式方程为 ybk(x0)即即 ykxb （2）方程（2）是由直线l的斜率k和在y轴上的纵截距b所确定的，所以，把方程（2）叫做直线l的斜截斜截式。式。115.例例题题解析解析 例例 直线l经过P(0，2)，且斜率k为3，求直 线 l 的 方 程。解 由已知条件得 b2，k3 代入斜截式方程，得 y3x2 即 3xy20 为所求直线l的方程。116.一般式直一般式直线线方程方程 形如AxByC0（A、B不全为零）的二元一次方程的图形是否为一条直线呢？综上所述，方程AxByC0（A、B不全为零）在平面直角坐标系中表示的是一条直线。我们把形如AxByC0（A、B不全为零）的二元一次方程叫做直线方程的一般式。117.例例题题解析解析 例例1 已知直线l经过点A(4，2)，斜率为2，求直线l的点斜式方程、斜截式方程和一般式方程。解 直线l经过点A(4，2)且斜率为2，则点斜式方程为 y22（x4）将方程y22（x4）变形后，得斜截式方程 y2x6 将方程y2x6移项后，得一般式方程 2xy60118.例例2 已知直线l的方程为x3y60，求直线l的斜率k，纵截距b。解 将直线l的一般式方程x3y60移项后得 3yx6 两边同时除以3，得直线l的斜截式方程 yx2 从而得到直线l的斜率kX，纵截距b2119.例例3 判断直线2x3y10与4x6y10的位置关系。解 2x3y10 4x6y10 显然，这两条直线的斜率一样，但直线方程并不相同，所以这两条直线相互平行。120.例例4 判断点（1，2）和（2，3）是否在直线4x3y100上。解 将x=1，y2代入直线方程的左半边4x3y10，得 4132100 所以x=1，y2是方程4x3y100的解，即点（1，2）在这条直线上。将x=2，y3代入直线方程的左半边4x3y10，得到 4233107 所以x=2，y3不是方程4x3y100的解，即点（2，3）不在这条直线上。121.课课堂堂练习练习：1判断点（，4）和是否在直线6xy20上。2已知直线l经过点A(3，2)，斜率为 ，求直线l的点斜式方程、截距式方程和一般式方程。3已知直线l的方程为2x5y40，求直线l的斜率k，纵截距b。122.两条直两条直线线平行的判定平行的判定 设直线l1和l2的倾斜角分别为1和2，斜率分别为k1和k2。如果l1l2，则直线l1与l2的倾斜角相等，即 12。所以 tan1tan2，即 k1k2 因此，若l1l2，则k1k2。反之，如果k1k2，且直线l1与l2不重合，则1 2，从而l1l2。因此，若k1k2，则l1l2。当直线l1或l2的斜率不存在（即1=2=90）且两直线不重合时，这两条直线都平行于y轴或与y轴重合，所以l1l2。123.例例题题解析解析例例 已知平行四边形ABCD的四个顶点分别为A（1，2），B（0，2），C（3，1）D（2，5），判断四边形ABCD是否平行四边形。教教 案案 纸纸解解 由斜率公式可得 AB所在直线的斜率kAB4 CD所在直线的斜率kCD4 BC所在直线的斜率kBC1 AD所在直线的斜率kAD1 因为kABkCD，kBCkAD，所以ABCD，BCAD，因此，四边形ABCD是平行四边形。124.垂直关系的判定垂直关系的判定 设M1(x1，y1)、M2(x2，y2)是直线l上不 同的两个点，把向量 以及与它平行的向量 都称为直线l的方向向量，记作(x2x1，y2 y1)。若l1l2，则k1k21；若k1k21，则l1l2。125.例例题题解析解析例例 已知三角形ABC的三个顶点分别为A(1，1)，B(4，0)，C(5，5)，判断三角形ABC是否为直角三角形。解 AB所在直线的斜率 BC所在直线的斜率5 由 1，得ABBC，即ABC90，所以三角形ABC是直角三角形。126.课课堂堂练习练习：判断下列各对直线是相互平行还是相互垂直：（1）直线l1经过点A（3，2），B（2，2）；直线l2经过点C（0，3），D（1，1）。（2）直线l1经过点A（0，1），B（2，3）；直线l2经过点C（1，3），D（2，0）。127.点到直点到直线线的距离的距离 某人（点）要以最短的距离走到前方公路上，应该怎样走？在平面直角坐标系中，已知点P（x0，y0）和直线l：AxByC0，过点P作直线l的垂线 段，相交直线l于Q，则点P到点Q的距离PQ 叫做点P到直线l的距离，记作d。点P（x0，y0）到直线l：AxByC0的 距离d可用下面的计算公式计算 公式中A、B、C分别是直线l的方程中的系数，x0、y0是点P的坐标。128.例例题题解析解析例例 求下列点到直线的距离：（1）P（3，2），3x4y240 （2）P（3，4），2xy40解 （1）依题意：x03，y02，A3，B4，C24，代入点到直线的距离公式，得 （2）依题意：x03，y04，A2，B1，C4，代入点到直线的距离公式，得 129.课课堂堂练习练习：求下列点到直线的距离：（1）P(4，2），4x3y30 （2）P(5，4），3x4y40 130.小小 结结：掌握直线的倾斜角和斜率的概念，会由公式求直线的斜率，掌握直线的斜率与位置的关系，由条件会判断两直线的位置关系。掌握直线方程的三种表达形式，会由已知条件求直线方程。131.5.2 圆的方程教学目的：教学目的：掌握圆的定义，标准方程，能由它们的标准方程讨论其几何性质，并画图形，能由已知条件确定圆的方程。教学重点：教学重点：掌握圆的定义，标准方程，能由它们的标准方程讨论其几何性质。教学教学难难点：点：由已知条件确定圆的方程。132.圆圆的定的定义义：在平面上到某定点距离等于定在平面上到某定点距离等于定长长的所有点构成的的所有点构成的图图形。形。133.圆圆的的标标准方程准方程 设P（x，y）是圆上任意一点，根据圆的定义，点P（x，y）到圆心C（a，b）的距离等于半径r，由两点间的距离公式，得 将上式两将上式两边边平方，得平方，得 该该方程就是以方程就是以C（a，b）为圆为圆心，心，r为为半径的半径的圆圆的方程，称的方程，称这这个方程是个方程是圆圆的的标标准方程。准方程。如果圆心在坐标系原点，这时a0，b0，那么圆的标准方程就是 134.例例题题解析解析例1 写出圆心为C(2，3），半径为 的圆的标准方程。解 a=3，b2，r ，代入圆的标准方程中，得 例2 已知圆的标准方程为(x4)2(y5)216，写出圆心坐标和半径。解 因为a4，b5，r216，所以圆心坐标为（4，5），半径为4。135.知知识识巩固：巩固：1写出下列各圆的标准方程：（1）圆心为C(4，2），半径为4。（2）圆心在原点，半径为5。2根据下列各圆的标准方程，写出圆心坐标和半径：（1）（2）136.圆圆的一般方程的一般方程 通常，如果形如通常，如果形如 （3）的方程能的方程能够够表示一个表示一个圆圆，我，我们们就把它叫做就把它叫做圆圆的一般的一般方程。方程。需注意的是，与方程（3）类似的方程并不都能表示一个圆。例如方程 ，经配方得 由于这个方程无解，也就是说不存在点的坐标（x，y）满足这个方程，所以这个方程不表示任何图形。137.例例题题解析解析 例例 判断下列各方程表示的图形：（1）（2）（3）解解（1）将方程配方，得所以，原方程表示的图形是圆心为(1，2)，半径为3的圆。（2）将方程 配方，得 显然，原方程只有唯一一组解：x1，y2。所以，原方程表示的图形是一个点，这个点的坐标是(1，2)。（3）将方程 配方，得这个方程没有实数解，即原方程不表示任何图形。138.课课堂堂练习练习：1将下列圆的标准方程化为圆的一般方程：（1）（2）2判断下列方程是否有图形。若有，其图形是圆还是点？（1）（2）（3）3求出圆的圆心到直线3x4y40的距离 4将下列各方程化为圆的标准方程，并写出圆心坐标和圆的半径：（1）（2）（3）139.小小 结结：掌握圆的定义，标准方程和一般方程的形式，会由题意求方程，会由方程写出圆心坐标和半径。140.141.此课件下载可自行编辑修改，此课件供参考！此课件下载可自行编辑修改，此课件供参考！部分内容来源于网络，如有侵权请与我联系删除！部分内容来源于网络，如有侵权请与我联系删除！