数列的综合应用课件

第五节 数列的综合应用数列的实际应用数列的实际应用(1)(1)解答数列应用题的步骤解答数列应用题的步骤.审题审题仔细阅读材料，认真理解题意；仔细阅读材料，认真理解题意；建模建模将已知条件翻译成数学将已知条件翻译成数学(数列数列)语言，将实际问题语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征；转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征；求解求解求出该问题的数学解；求出该问题的数学解；还原还原将所求结果还原到原实际问题中将所求结果还原到原实际问题中.具体解题步骤用框图表示如下：具体解题步骤用框图表示如下：(2)(2)数列应用题常见模型数列应用题常见模型.等差模型：如果增加等差模型：如果增加(或减少或减少)的量是一个固定量，该模型是的量是一个固定量，该模型是等差模型，增加等差模型，增加(或减少或减少)的量就是公差的量就是公差.等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，应考虑是定，随项的变化而变化，应考虑是a an n与与a an+1n+1的递推关系，还是前的递推关系，还是前n n项和项和S Sn n与前与前n+1n+1项和项和S Sn+1n+1之间的递推关系之间的递推关系.判断下面结论是否正确判断下面结论是否正确(请在括号中打请在括号中打“”或或“”).).(1)(1)在等差数列在等差数列aan n 中，首项中，首项a a1 1、公差、公差d d、前、前n n项和项和S Sn n、通项、通项a an n、项数项数n n，这五个元素中只要已知其中的三个，就一定能够求出，这五个元素中只要已知其中的三个，就一定能够求出另外两个另外两个.().()(2)(2)在等比数列在等比数列aan n 中，首项中，首项a a1 1、公比、公比q q、前、前n n项和项和S Sn n、通项、通项a an n、项数项数n n，这五个元素中只要已知其中的三个，就一定能够求出，这五个元素中只要已知其中的三个，就一定能够求出另外两个另外两个.().()(3)(3)数列与不等式问题中经常使用放缩的方法，则对数列与不等式问题中经常使用放缩的方法，则对nNnN*有有 ()()(4)(4)数列与函数问题中有时会使用导数的方法，证明不等式数列与函数问题中有时会使用导数的方法，证明不等式2 2n nnn时，可以构造函数时，可以构造函数f(nf(n)=2)=2n n-n(nN-n(nN*)，然后对这个函数，然后对这个函数求导，研究函数的性质得出所证不等式求导，研究函数的性质得出所证不等式.().()【解析解析】(1)(1)正确正确.根据等差数列各个元素之间的关系知正确根据等差数列各个元素之间的关系知正确.(2)(2)正确正确.根据等比数列各个元素之间的关系知正确根据等比数列各个元素之间的关系知正确.(3)(3)错误错误.对对n2n2才有意义才有意义.(4)(4)错误错误.函数在自变量离散的地方不存在导数，必须先把函数函数在自变量离散的地方不存在导数，必须先把函数的定义域拓展到连续的实数区间上才能求导的定义域拓展到连续的实数区间上才能求导.答案答案:(1)(2)(3)(1)(2)(3)(4)(4)1.1.设设aan n 是公差不为是公差不为0 0的等差数列，的等差数列，a a1 1=2=2且且a a1 1,a,a3 3,a,a6 6成等比数成等比数列，则列，则aan n 的前的前n n项和项和S Sn n=()=()(A)(B)(C)(D)n(A)(B)(C)(D)n2 2+n+n【解析解析】选选A.A.设数列设数列aan n 的公差为的公差为d d，则根据题意得，则根据题意得(2+2d)(2+2d)2 2=2=2(2+5d)(2+5d)，解得，解得 或或d=0(d=0(舍去舍去)，所以，所以数列数列aan n 的前的前n n项和项和2.2.设等差数列设等差数列aan n 的公差的公差d d不为不为0,a0,a1 1=9d.=9d.若若a ak k是是a a1 1与与a a2k2k的等的等比中项，则比中项，则k=()k=()(A)2 (B)4 (C)6 (D)8(A)2 (B)4 (C)6 (D)8【解析解析】选选B.B.由等差数列由等差数列aan n 且且a a1 1=9d=9d，得，得a ak k=a=a1 1+(k-1)d=(k+8)d+(k-1)d=(k+8)d，a a2k2k=a=a1 1+(2k-1)d=(2k+8)d.+(2k-1)d=(2k+8)d.又又a ak k是是a a1 1与与a a2k2k的等比中项，则有的等比中项，则有a ak k2 2=a=a1 1a a2k2k,即即(k+8)d(k+8)d2 2=9d=9d(2k+8)d(2k+8)d得得k k2 2-2k-8=0-2k-8=0，解得解得k k1 1=4,k=4,k2 2=-2(=-2(舍去舍去).).3.3.已知已知x0 x0，y0y0，x,a,b,yx,a,b,y成等差数列，成等差数列，x,c,d,yx,c,d,y成等比数列，成等比数列，则则 的最小值是的最小值是()()(A)0 (B)1 (C)2 (D)4(A)0 (B)1 (C)2 (D)4【解析解析】选选D.a+bD.a+b=x+y,cdx+y,cd=xyxy,4.4.等比数列等比数列aan n 的前的前n n项和为项和为S Sn n，已知，已知S S1 1，2S2S2 2，3S3S3 3成等差数成等差数列，则列，则aan n 的公比为的公比为_._.【解析解析】设公比为设公比为q,q,则则a an n=a=a1 1q qn-1n-1，又，又4S4S2 2=S=S1 1+3S+3S3 3，即即4(a4(a1 1+a+a1 1q)=aq)=a1 1+3(a+3(a1 1+a+a1 1q+aq+a1 1q q2 2)，解得，解得答案答案:考向考向 1 1 等差数列与等比数列的综合问题等差数列与等比数列的综合问题【典例典例1 1】(1)(1)已知已知S Sn n是公差不为是公差不为0 0的等差数列的等差数列aan n 的前的前n n项和，项和，且且S S1 1,S,S2 2,S,S4 4成等比数列成等比数列,则则 =()=()(A)4 (B)6 (C)8 (D)10(A)4 (B)6 (C)8 (D)10(2)(2012(2)(2012湖北高考湖北高考)已知等差数列已知等差数列aan n 前三项的和为前三项的和为-3-3，前，前三项的积为三项的积为8.8.求等差数列求等差数列aan n 的通项公式；的通项公式；若若a a2 2，a a3 3，a a1 1成等比数列，求数列成等比数列，求数列|a|an n|的前的前n n项和项和.【思路点拨思路点拨】(1)(1)由等比中项的性质列出由等比中项的性质列出S S2 22 2=S=S1 1S S4 4,再代入等差数再代入等差数列的通项公式和前列的通项公式和前n n项和公式，用项和公式，用a a1 1和公差和公差d d表示出来，求出表示出来，求出a a1 1和和d d的关系，进而求出式子的比值的关系，进而求出式子的比值.(2)(2)根据已知条件，列出方程求出首项和公差，根据等差数根据已知条件，列出方程求出首项和公差，根据等差数列通项公式可得结果列通项公式可得结果.根据根据a a2 2，a a3 3，a a1 1成等比数列确定等差数列的公差，按照项的成等比数列确定等差数列的公差，按照项的符号分段求解数列符号分段求解数列|a|an n|的前的前n n项和项和.【规范解答规范解答】(1)(1)选选C.C.设等差数列设等差数列aan n 的公差为的公差为d d，且，且d0d0，S S1 1,S,S2 2,S,S4 4成等比数列，成等比数列，S S2 22 2=S=S1 1S S4 4,dd2 2=2a=2a1 1d,d,解得解得d=2ad=2a1 1或或d=0(d=0(舍去舍去),),故选故选C.C.(2)(2)设等差数列的公差为设等差数列的公差为d d，根据，根据a a1 1+a+a2 2+a+a3 3=-3=-3可得可得a a2 2=-1=-1，进而得进而得a a1 1a a3 3=-8=-8，即即(a(a2 2-d)(a-d)(a2 2+d)=-8+d)=-8，所以，所以1-d1-d2 2=-8=-8，解得，解得d=d=3.3.当当d=3d=3时，时，a a1 1+3=-1+3=-1，得，得a a1 1=-4=-4，此时此时a an n=-4+(n-1)=-4+(n-1)3=3n-73=3n-7；当当d=-3d=-3时，时，a a1 1-3=-1-3=-1，得，得a a1 1=2=2，此时此时a an n=2+(n-1)=2+(n-1)(-3)=-3n+5.(-3)=-3n+5.aan n 的通项公式为的通项公式为a an n=3n-7=3n-7或或a an n=-3n+5.=-3n+5.d=3d=3时，时，a a2 2=-1=-1，a a3 3=2,a=2,a1 1=-4,=-4,此时此时a a2 2,a,a3 3,a,a1 1成等比数列；成等比数列；当当d=-3d=-3时，时，a a2 2=-1,a=-1,a3 3=-4,a=-4,a1 1=2=2，此时此时a a2 2,a,a3 3,a,a1 1不是等比数列，故不是等比数列，故a an n=3n-7=3n-7，这个数列的第一、二两项为负值，从第三项开始为正值这个数列的第一、二两项为负值，从第三项开始为正值.方法一：当方法一：当n2n2时，时，|a|an n|=7-3n|=7-3n，这是一个首项为，这是一个首项为4 4的公差的公差为为-3-3的等差数列，的等差数列，故故当当n2n2时，时，|a|an n|=a|=an n=3n-7=3n-7，此时这个数列从第三项起是一个公，此时这个数列从第三项起是一个公差为差为3 3的等差数列，故的等差数列，故S Sn n=|a=|a1 1|+|a|+|a2 2|+a|+a3 3+a+a4 4+a+an n=(4+1)+2+5+=(4+1)+2+5+(3n-7)+(3n-7)所以所以 这个式子中这个式子中n=2n=2时两段函数时两段函数值相等，故可以写为值相等，故可以写为方法二：设数列方法二：设数列aan n 的前的前n n项和为项和为T Tn n，则则由于由于n2n2时，时，|a|an n|=-a|=-an n，所以此时所以此时当当n n2 2时，时，S Sn n=(-a=(-a1 1-a-a2 2)+(a)+(a3 3+a+a4 4+a+an n)=-T=-T2 2+(T+(Tn n-T-T2 2)=T)=Tn n-2T-2T2 2=所以所以 这个式子中这个式子中n=2n=2时两段函数值时两段函数值相等，故可以写为相等，故可以写为【互动探究互动探究】本例题本例题(1)(1)中将条件中将条件“S S1 1,S,S2 2,S,S4 4成等比数列成等比数列”改为改为“a a1 1,a,a2 2,a,a4 4成等比数列成等比数列”,结论结论“”改为改为“”，则结果如何？，则结果如何？【解析解析】设等差数列设等差数列aan n 的公差为的公差为d d，且，且d0,d0,aa1 1,a,a2 2,a,a4 4成等比数列成等比数列,a,a2 22 2=a=a1 1a a4 4,(a(a1 1+d)+d)2 2=a=a1 1(a(a1 1+3d)+3d)a a1 1=d,ad,an n=ndnd.故故【拓展提升拓展提升】等差数列、等比数列综合问题的解题策略等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)(1)分析已知条件和求解目标，确定为最终解决问题需要首先分析已知条件和求解目标，确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题，如为求和需要先求出通项、为求出通项需要求解的中间问题，如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差先求出首项和公差(公比公比)等，确定解题的逻辑次序等，确定解题的逻辑次序.(2)(2)注意细节注意细节.在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于列的公比不能确定，则要看其是否有等于1 1的可能，在数列的的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的细节对解题的影响也是巨大的.【提醒提醒】在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论，分类解决问题后还要注意结论的整合论，分类解决问题后还要注意结论的整合.【变式备选变式备选】已知已知aan n 是首项为是首项为1919，公差为，公差为-2-2的等差数列，的等差数列，S Sn n为为aan n 的前的前n n项和项和.(1)(1)求通项求通项a an n及及S Sn n.(2)(2)设设 b bn n-a-an n 是首项为是首项为1 1，公比为，公比为3 3的等比数列，求数列的等比数列，求数列 b bn n 的通项公式及其前的通项公式及其前n n项和项和T Tn n.【解析解析】(1)(1)因为因为aan n 是首项为是首项为a a1 1=19=19，公差，公差d=-2d=-2的等差数列，的等差数列，所以所以a an n=19-2(n-1)=-2n+21,=19-2(n-1)=-2n+21,S Sn n=-n=-n2 2+20n.+20n.(2)(2)由题意知由题意知b bn n-a-an n=3=3n-1n-1,所以所以b bn n=a=an n+3+3n-1n-1,即即b bn n=-2n+21+3=-2n+21+3n-1n-1.T Tn n=S=Sn n+(1+3+(1+3+3+3n-1n-1)考向考向 2 2 数列的实际应用数列的实际应用【典例典例2 2】(2012(2012湖南高考湖南高考)某公司一下属企业从事某种高科某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产技产品的生产.该企业第一年年初有资金该企业第一年年初有资金2 0002 000万元，将其投入万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了生产，到当年年底资金增长了5050.预计以后每年资金年增长预计以后每年资金年增长率与第一年的相同率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金缴资金d d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第设第n n年年年年底企业上缴资金后的剩余资金为底企业上缴资金后的剩余资金为a an n万元万元.(1)(1)用用d d表示表示a a1 1，a a2 2，并写出，并写出a an+1n+1与与a an n的关系式的关系式.(2)(2)若公司希望经过若公司希望经过m(m3)m(m3)年使企业的剩余资金为年使企业的剩余资金为4 0004 000万元，万元，试确定企业每年上缴资金试确定企业每年上缴资金d d的值的值(用用m m表示表示).).【思路点拨思路点拨】(1)(1)只要根据增长率求出当年年底的资金总只要根据增长率求出当年年底的资金总额，再减去上缴的资金，就是下年度年初的资金，即可求额，再减去上缴的资金，就是下年度年初的资金，即可求出出a a1 1,a,a2 2，以及建立，以及建立a an+1n+1与与a an n间的递推关系式间的递推关系式.(2)(2)使用逐次迭代的方法或者构造等比数列的方法均可求使用逐次迭代的方法或者构造等比数列的方法均可求出数列出数列aan n 的通项公式的通项公式a an n，令，令a am m=4 000=4 000即可求出即可求出d.d.【规范解答规范解答】(1)(1)由题意得由题意得a a1 1=2 000(1+50%)-d=3 000-d=2 000(1+50%)-d=3 000-d，a a2 2=a=a1 1(1+50%)-d=(1+50%)-d=(2)(2)方法一：由方法一：由(1)(1)得，当得，当n2n2时，时，整理得整理得由题意，由题意，a am m=4 000,=4 000,解得解得故该企业每年上缴资金故该企业每年上缴资金d d的值为的值为 时，时，经过经过m(m3)m(m3)年企业的剩余资金为年企业的剩余资金为4 0004 000万元万元.方法二：由于方法二：由于设设 化为化为 与与比较可得比较可得=-2d=-2d，故故 这说明数列这说明数列aan n-2d-2d是以是以a a1 1-2d=3 000-3d-2d=3 000-3d为首项为首项,为公比的等比数列，为公比的等比数列，所以所以即即(下同方法一下同方法一).).【拓展提升拓展提升】解答数列实际应用问题的步骤解答数列实际应用问题的步骤(1)(1)确定模型类型：理解题意，看是哪类数列模型，一般有等确定模型类型：理解题意，看是哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单的递推数列模型差数列模型、等比数列模型、简单的递推数列模型.基本特征基本特征见下表：见下表：数列模型数列模型基基 本本 特特 征征等差数列等差数列均匀增加或者减少均匀增加或者减少等比数列等比数列指数增长，常见的是增产率问题、存款复利问题指数增长，常见的是增产率问题、存款复利问题简单递推简单递推数列数列指数增长的同时又均匀减少指数增长的同时又均匀减少.如年收入增长率为如年收入增长率为20%20%，每年年底要拿出，每年年底要拿出a(a(常数常数)作为下年度的开销作为下年度的开销，即数列，即数列aan n 满足满足a an+1n+1=1.2a=1.2an n-a-a (2)(2)准确解决模型：解模就是根据数列的知识，求数列的通项、准确解决模型：解模就是根据数列的知识，求数列的通项、数列的和、解方程数列的和、解方程(组组)或者不等式或者不等式(组组)等，在解模时要注意运等，在解模时要注意运算准确算准确.(3)(3)给出问题的回答：实际应用问题最后要把求解的数学结果给出问题的回答：实际应用问题最后要把求解的数学结果化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这点化为对实际问题的答案，在解题中不要忽视了这点.【变式训练变式训练】某企业去年的纯利润为某企业去年的纯利润为500500万元，因设备老化等万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少测从今年起每年比上一年纯利润减少2020万元，今年年初该企业万元，今年年初该企业一次性投入资金一次性投入资金600600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第造资金的情况下，第n n年年(今年为第一年今年为第一年)的利润为的利润为万元万元(n(n为正整数为正整数).).(1)(1)设从今年起的前设从今年起的前n n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为润为A An n万元，进行技术改造后的累计纯利润为万元，进行技术改造后的累计纯利润为B Bn n万元万元(需要扣除需要扣除技术改造资金技术改造资金)，求，求A An n,B,Bn n的表达式的表达式.(2)(2)依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？【解析解析】(1)(1)依题意知，数列依题意知，数列AAn n 是一个以是一个以480480为首项，为首项，-20-20为公为公差的等差数列，差的等差数列，所以所以(2)(2)依题意得，依题意得，B Bn nAAn n，即即可化简得可化简得设设又又nNnN*，f(nf(n)是减函数，是减函数，g(ng(n)是增函数，是增函数，又又n n4,n4,nN N*，所以至少经过，所以至少经过4 4年，进行技术改造后的累计纯利年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润润超过不进行技术改造的累计纯利润.考向考向 3 3 数列与函数、不等式的综合应用数列与函数、不等式的综合应用【典例典例3 3】已知函数已知函数f(xf(x)=)=lnln x-xx-x,数列数列aan n 满足满足(1)(1)求证：求证：f(x)-1.f(x)-1.(2)(2)证明数列证明数列 为等差数列，并求数列为等差数列，并求数列aan n 的通项公式的通项公式.(3)(3)求证不等式求证不等式a a1 1+a+a2 2+a+an nn+lnn+ln 2-ln(n+2).2-ln(n+2).【思路点拨思路点拨】(1)(1)构造函数后，利用导数研究函数性质构造函数后，利用导数研究函数性质.(2)(2)利用变换法将递推关系式转化得利用变换法将递推关系式转化得 为等差数列，为等差数列，进而求进而求aan n 的通项公式的通项公式.(3).(3)根据根据(1)(2)(1)(2)的结果分析探究的结果分析探究.【规范解答规范解答】(1)(1)令令g(xg(x)=f(x)+1=)=f(x)+1=lnln x-x+1,g(x)=x-x+1,g(x)=当当0 0 x x1 1时，时，g(xg(x)0,0,当当x x1 1时时g(xg(x)0,0,故故g(xg(x)在在x=1x=1处取得极大值，也是最大值，所以处取得极大值，也是最大值，所以g(x)g(1)=0,g(x)g(1)=0,故故f(x)-1.f(x)-1.(2)(2)因为因为 即数列即数列 是首项为是首项为 公差公差d=-1d=-1的等差数列，的等差数列，由由(1)(1)知当知当x x1 1时，时，f(x)+1f(x)+10,0,即即lnln x xx-1,x-1,令令得：得：a a1 1+a+a2 2+a+an nn+lnn+ln 2-ln(n+2).2-ln(n+2).【拓展提升拓展提升】数列中不等式的处理方法数列中不等式的处理方法(1)(1)函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式出数列中的不等式.(2)(2)放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到结果放缩得到.(3)(3)比较方法：作差或者作商比较比较方法：作差或者作商比较.【变式训练变式训练】(1)(2013(1)(2013滁州模拟滁州模拟)已知已知aan n 为等差数列，为等差数列，b bn n 为等比数列，其公比为等比数列，其公比q1,q1,且且b bi i0(i=10(i=1，2 2，n)n)，若若a a1 1=b=b1 1，a a1111=b=b1111，则，则()()(A)aA)a6 6b b6 6 (B)aB)a6 6=b=b6 6(C)aC)a6 6b b6 6 (D)aD)a6 6b b6 6或或a a6 6b b6 6【解析解析】选选A.A.数列数列aan n 是等差数列，数列是等差数列，数列 b bn n 是等比数列，是等比数列，a a1 1=b=b1 1，a a1111=b=b1111，a a1 1+a+a1111=b b1 1+b+b1111，2a2a6 6=b b1 1+b+b1111=2b=2b6 6，又，又q1,bq1,b1 1bb1111,a,a6 6b b6 6，故选，故选A.A.(2)(2)已知已知a an n=2n-1=2n-1，求使不等式，求使不等式 对一切对一切nNnN*均成立的最大实数均成立的最大实数p.p.【解析解析】由题意得由题意得 对对nNnN*恒成立，恒成立，记记则则=F(nF(n)0,F(n+10,F(n+1)F(nF(n),),即即F(nF(n)随随n n的增大而增大的增大而增大,F(nF(n)的最小值为的最小值为F(1)=F(1)=p p 即即p pmaxmax=【创新体验创新体验】数列与函数的珠联璧合数列与函数的珠联璧合【典例典例】(2012(2012四川高考四川高考)设函数设函数f(xf(x)=2x-cos x)=2x-cos x，aan n 是是公差为公差为 的等差数列，的等差数列，f(af(a1 1)+f(a)+f(a2 2)+)+f(a+f(a5 5)=5)=5，则，则f(af(a3 3)2 2-a-a1 1a a5 5=()=()(A)0 (B)(C)(D)(A)0 (B)(C)(D)【思路点拨思路点拨】找准创新点找准创新点给出以等差数列前给出以等差数列前5 5项为自变量的函数值之和项为自变量的函数值之和寻找突破口寻找突破口(1)(1)根据等差数列性质和三角函数性质把根据等差数列性质和三角函数性质把f(af(a1 1)+f)+f(a(a2 2)+f(a)+f(a3 3)+f(a)+f(a4 4)+f(a)+f(a5 5)的结构使用的结构使用a a3 3表达表达(2)(2)构造函数，通过函数的单调性确定构造函数，通过函数的单调性确定a a3 3的值的值(3)(3)将求解结果用将求解结果用a a3 3表示、化简表示、化简【规范解答规范解答】选选D.f(aD.f(a1 1)+f(a)+f(a2 2)+f(a)+f(a3 3)+f(a)+f(a4 4)+f(a)+f(a5 5)=2(a=2(a1 1+a+a2 2+a+a3 3+a+a4 4+a+a5 5)-(cos a)-(cos a1 1+cos a+cos a2 2+cos a+cos a3 3+cos a+cos a4 4+cos a+cos a5 5)构造函数构造函数函数函数g(xg(x)在在(-,+)(-,+)内单调递增，由内单调递增，由g()=0g()=0，所以方程所以方程 有唯一解有唯一解 所以所以所以所以【思考点评思考点评】1.1.方法感悟：本题充分体现了函数思想在解题中的应用，根方法感悟：本题充分体现了函数思想在解题中的应用，根据等差数列性质和三角函数性质化简据等差数列性质和三角函数性质化简f(af(a1 1)+f(a)+f(a2 2)+f(a)+f(a3 3)+f(a)+f(a4 4)+f(a+f(a5 5)为关于为关于a a3 3的表达式，通过构造函数，研究其单调性，求的表达式，通过构造函数，研究其单调性，求出出a a3 3的值的值.这种这种“构造函数构造函数”的思想，是解决数学问题的重要的思想，是解决数学问题的重要思想思想.2.2.技巧提升：在数列与函数的综合问题中，通过观察分析，找技巧提升：在数列与函数的综合问题中，通过观察分析，找出问题的特征，通过构造函数，研究函数的性质解决问题，是出问题的特征，通过构造函数，研究函数的性质解决问题，是处理数列与函数综合问题的基本手段之一处理数列与函数综合问题的基本手段之一.1.(20131.(2013厦门模拟厦门模拟)在等差数列在等差数列aan n 中中a an n0 0，且，且a a1 1a a2 2a a10103030，则，则a a5 5a a6 6的最大值等于的最大值等于()()(A)3 (B)6 (C)9 (D)36(A)3 (B)6 (C)9 (D)36【解析解析】选选C.C.等差数列的性质：项数和相等，则项的和也相等差数列的性质：项数和相等，则项的和也相等，所以由等，所以由a a1 1a a2 2a a101030,30,得得a a5 5+a+a6 6=6=6，由基本不，由基本不等式得等式得a a5 5a a6 699，选，选C.C.2.(20132.(2013太原模拟太原模拟)已知数列已知数列 a an n,b,bn n 满足满足a a1 1=b=b1 1=1,a=1,an+1n+1-a an n=2,nN=2,nN*，则数列，则数列 的前的前1010项和为项和为()()(A)(B)(A)(B)(C)(D)(C)(D)【解析解析】选选A.A.根据已知根据已知a an n=2n-1=2n-1，b bn n=2=2n-1n-1，所以所以 所以数列所以数列 的前的前1010项和等于项和等于3.(20123.(2012湖北高考湖北高考)定义在定义在(-(-，0)(00)(0，+)+)上的函数上的函数f(xf(x)，如果对于任意给定的等比数列，如果对于任意给定的等比数列aan n，f(af(an n)仍是等仍是等比数列，则称比数列，则称f(xf(x)为为“保等比数列函数保等比数列函数”.现有定义在现有定义在(-(-，0)(00)(0，+)+)上的如下函数：上的如下函数：f(xf(x)=x)=x3 3；f(xf(x)=2)=2x x；f(xf(x)=)=f(xf(x)=)=ln|xln|x|.|.则其中是则其中是“保等比数列函数保等比数列函数”的序号为的序号为()()(A)(B)(C)(D)(A)(B)(C)(D)【解析解析】选选C.C.则对于则对于:可知可知符合题意符合题意;对于对于:结果不能保证是定值结果不能保证是定值;对于对于:可可知也符合题意知也符合题意.对于对于，由于，由于在在|q|1|q|1时，不能保证时，不能保证 为常数，故不能保证为常数，故不能保证中的函中的函数是数是“保等比数列函数保等比数列函数”.4.(20134.(2013泰安模拟泰安模拟)已知函数已知函数f(xf(x)=x)=x2 2+2bx+2bx过过(1,2)(1,2)点，若数列点，若数列 的前的前n n项和为项和为S Sn n,则则S S2 0122 012的值为的值为()()(A)(B)(C)(D)(A)(B)(C)(D)【解析解析】选选D.D.由函数由函数f(xf(x)=x)=x2 2+2bx+2bx过过(1,2)(1,2)点，得点，得5.(20135.(2013重庆模拟重庆模拟)某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付酬方案：第一种，每天支付该商场向他提供了三种付酬方案：第一种，每天支付3838元；第元；第二种，第一天付二种，第一天付4 4元，第二天付元，第二天付8 8元，第三天付元，第三天付1212元，依此类推；元，依此类推；第三种，第一天付第三种，第一天付0.40.4元，以后每天支付的薪酬是前一天薪酬的元，以后每天支付的薪酬是前一天薪酬的2 2倍，工作时间为倍，工作时间为n n天天.(1)(1)工作工作n n天，记三种付酬方式薪酬总金额依次为天，记三种付酬方式薪酬总金额依次为A An n，B Bn n，C Cn n，写，写出出A An n，B Bn n，C Cn n关于关于n n的表达式的表达式.(2)(2)如果如果n=10n=10，你会选择哪种方式领取报酬？，你会选择哪种方式领取报酬？【解析解析】(1)(1)设三种付酬方式每天金额依次为数列设三种付酬方式每天金额依次为数列aan n，b bn n，c cn n，它们的前，它们的前n n项和依次分别为项和依次分别为A An n,B,Bn n,C,Cn n.依题意，第一种付依题意，第一种付酬方式每天金额组成数列酬方式每天金额组成数列aan n 为常数数列，则为常数数列，则A An n=38n.=38n.第二种付酬方式每天金额组成数列第二种付酬方式每天金额组成数列 b bn n 为首项为为首项为4 4，公差为，公差为4 4的的等差数列，则等差数列，则第三种付酬方式每天金额组成数列第三种付酬方式每天金额组成数列 c cn n 为首项是为首项是0.40.4，公比为，公比为2 2的等比数列，则的等比数列，则(2)(2)由由(1)(1)得，当得，当n=10n=10时，时，A A1010=38=3810=380,10=380,B B1010=2=210102 2+2+210=220,C10=220,C1010=0.4(2=0.4(21010-1)=409.2.-1)=409.2.所以所以B B1010AA1010C0,0,且且a an na an+1n+1=n+1=n+1，则，则称数列称数列aan n 为为“积增数列积增数列”.已知已知“积增数列积增数列”aan n 中，中，a a1 1=1,=1,数列数列aan n2 2+a+an+1n+12 2 的前的前n n项和为项和为S Sn n，则对于任意的正整数，则对于任意的正整数n n，有，有()()(A)S(A)Sn n2n2n2 2+3 (B)S+3 (B)Sn nnn2 2+4n+4n(C)S(C)Sn nnn2 2+4n (D)S+4n (D)Sn nnn2 2+3n+3n【解析解析】选选D.aD.an n0,a0,an n2 2+a+an+1n+12 22a2an na an+1n+1.aan na an+1n+1=n+1,a=n+1,an na an+1n+1 的前的前n n项和为项和为2+3+4+2+3+4+(n+1)=+(n+1)=数列数列aan n2 2+a+an+1n+12 2 的前的前n n项和项和S Sn n故选故选D.D.2.2.已知函数已知函数f(xf(x)满足：满足：f(x+yf(x+y)=f(x)f(y),f(1)=3,)=f(x)f(y),f(1)=3,数列数列aan n 满足满足a an n=f(nf(n),),则则【解析解析】令令y=1y=1得得f(x+1)=3f(x)f(x+1)=3f(x)，故，故a a1 1=3,a=3,an+1n+1=3a=3an n，即数列，即数列aan n 是首项为是首项为3 3，公比为，公比为3 3的等比数列，所以的等比数列，所以a an n=3=3n n，所以，所以 所以所求结果为所以所求结果为6n.6n.答案答案:6n6n