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24.1.2 垂直于弦的直径1问题问题 ：你知道赵州桥吗：你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形它的主桥是圆弧形,它的它的跨度跨度(弧所对的弦的长弧所对的弦的长)为为37.4m,37.4m,拱高拱高(弧的中点到弧的中点到弦的距离弦的距离)为为7.2m7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？赵州桥主桥拱的半径是多少赵州桥主桥拱的半径是多少？问题：你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对2 由此你能得到圆的什么特性？由此你能得到圆的什么特性？可以发现：可以发现：圆是轴对称图形。任何一圆是轴对称图形。任何一条直径所在直线都是它的对称轴条直径所在直线都是它的对称轴 不借助任何工具，你能找到不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗圆形纸片的圆心吗?由此你能得到圆的什么特性？可以发现：圆是轴对称图形。3ABCD思考：思考：1 1、图中有哪些相等的量？、图中有哪些相等的量？O2.AB2.AB作怎样的变换时，作怎样的变换时，AC=BC,AD=BD？ABCD思考：4思考：思考：1 1、图中有哪些相等的量？、图中有哪些相等的量？CDABO2.AB2.AB作怎样的变换时，作怎样的变换时，AC=BC,AD=BD？思考：5ABC思考：思考：1 1、图中有哪些相等的量？、图中有哪些相等的量？DO2.AB2.AB作怎样的变换时，作怎样的变换时，AC=BC,AD=BD？ABC思考：6OABCD思考：思考：1 1、图中有哪些相等的量？、图中有哪些相等的量？2.AB2.AB作怎样的变换时，作怎样的变换时，AC=BC,AD=BD？OABCD思考：7OABCD思考：思考：1 1、图中有哪些相等的量？、图中有哪些相等的量？2.AB2.AB作怎样的变换时，作怎样的变换时，AC=BC,AD=BD？OABCD思考：8OABCD思考：思考：1 1、图中有哪些相等的量？、图中有哪些相等的量？2.AB2.AB作怎样的变换时，作怎样的变换时，AC=BC,AD=BD？OABCD思考：9CDAB思考：思考：1 1、图中有哪些相等的量？、图中有哪些相等的量？O3 3、将弦、将弦ABAB进行进行平移时，以上结平移时，以上结论是否仍成立？论是否仍成立？2.AB2.AB作怎样的变换时，作怎样的变换时，AC=BC,AD=BD？CDAB思考：10CD1.1.图中有哪些相等的量？图中有哪些相等的量？O3.3.将弦将弦ABAB进行平移时，进行平移时，以上结论是否仍成立？以上结论是否仍成立？ABAB4.4.当弦当弦ABAB与直径与直径CDCD不垂直时不垂直时,以以上结论是否仍成上结论是否仍成立？立？思思考考演演 示示?2.AB2.AB作怎样的变换时，作怎样的变换时，AC=BC,AD=BDECD1.图中有哪些相等的量？O3.将弦AB进行平移时，11已知：在已知：在O中中，CD是直径是直径，AB是弦是弦，CD AB，垂足为垂足为E。求证：求证：AEBE，ACBC，AD BD。叠合法叠合法OABCDE探索发现已知：在O中，CD是直径，AB是弦，CDAB，12垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条分弦，并且平分弦所对的两条弧。弧。即：即：如果如果CD过圆心，且垂直过圆心，且垂直于于AB，则，则AE=BE，弧，弧AD=弧弧BD，弧，弧AC=弧弧BC 注意注意:过圆心过圆心和和垂直于弦垂直于弦两个两个条件缺一不可。条件缺一不可。OEDCBAThe exploration discovered 探索发现垂径定理:垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条13下列图形是否具备垂径定理的条件？下列图形是否具备垂径定理的条件？是是不是不是是是不是不是OEDCAB下列图形是否具备垂径定理的条件？是不是是火眼金睛不是OEDC14垂径定理的几个基本图形。垂径定理的几个基本图形。CDCD过圆心过圆心CDABCDAB于于E EAE=BEAC=BCAD=BD借你慧眼垂径定理的几个基本图形。CD过圆心CDAB于EAE151 1如图，在如图，在O O中，弦中，弦ABAB的长为的长为8cm8cm，圆心，圆心O O到到ABAB的距离为的距离为3cm3cm，求，求O O的半径。的半径。OABE2.2.若若OO的半径为的半径为10cm,10cm,OE=6cm,OE=6cm,则则AB=AB=cmcm。1如图，在O中，弦OABE2.若O的半径为10cm,16我思考，我快乐我思考，我快乐例例 如图，已知在如图，已知在 O中，弦中，弦AB的长为的长为8厘米，圆心厘米，圆心O到到AB的距离为的距离为3厘米，求厘米，求 O的半径。的半径。若若OA=10cm,OE=6cm,求弦求弦AB的长。的长。若若圆心到弦的距离圆心到弦的距离用用d表示，半径用表示，半径用r表示，弦表示，弦长用长用a表示，这三者之间表示，这三者之间有怎样的关系？有怎样的关系？若下面的弓形高为若下面的弓形高为h h，则则r r、d d、h h之间有怎样之间有怎样的关系的关系?r=d+hr=d+h即右图中的OE叫弦心距.Ramming foundation 夯实基础我思考，我快乐例 如图，已知在O中，弦AB的长17我成功，我快乐我成功，我快乐变式变式1 1：AC、BD有什么关系？有什么关系？OABCD变式变式2 2：ACBD依然成依然成立吗立吗？变式变式3 3：EA_,EC=_。变式变式4 4：_ AC=BD.变式变式5 5：_ AC=BD.Ramming foundation 夯实基础我成功，我快乐变式1：AC、BD有什么关系？OABC18学会作辅助线学会作辅助线如图，如图，P为为 O的弦的弦BA延长线上一点，延长线上一点，PAAB2，PO5，求，求 O的半径。的半径。关于弦的问题，常常需要关于弦的问题，常常需要过过圆心作弦的垂线段圆心作弦的垂线段，这是一条，这是一条非常重要的非常重要的辅助线辅助线。圆心到弦的距离、半径、弦圆心到弦的距离、半径、弦长长构成构成直角三角形直角三角形，便将问题，便将问题转化为直角三角形的问题。转化为直角三角形的问题。Ramming foundation 夯实基础学会作辅助线如图，P为O的弦BA延长线上一点，PA19 你能利用垂径定理你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗解决求赵州桥拱半径的问题吗?你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗2037.4m7.2mABOCE37.4m7.2mABOCE212、在直径为、在直径为650650毫米的圆柱形油毫米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所槽内装入一些油后，截面如图所示。若油面宽示。若油面宽AB600毫米毫米，求求油的最大深度。油的最大深度。2、在直径为650毫米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所22垂径定理垂径定理定理定理 垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条并且平分弦所对的两条弧弧.OABCDMCDAB,如图如图 CD是直径是直径,AM=BM,AC=BC,AD=BD.活动一：复习导入 推论推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦 所对的两条弧所对的两条弧.垂径定理定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧23如图，已知如图，已知AB是是 O 的弦，的弦，P是是AB上一点上一点AB=10cm,PB=4cm,PO=5 cm则则 O的半径等于的半径等于 cm活动二：名题引路C7解：连AO，过O点作OCAB于C AC=BC=1/2AB=5cm BP=4cm CP=1 cm 在RtOPC中，PO=5 cm，CP=1 cm OC2=52-12=24 在RtOAC中，AO2=AC2+OC2 =25+24=49 AO=7 cm515如图，已知AB是O 活动二：名题引路C7解：连AO，过O242、如图，点、如图，点P是半径为是半径为5 cm的的 O内一点，内一点，且且OP=3cm,则过则过P点的弦中，点的弦中，（1）最长的弦）最长的弦=cm（2）最短的弦）最短的弦=cm活动四：顺利闯二关 ABCD1085432、如图，点P是半径为5 cm的O内一点，活动四：顺利闯二25如图，如图，O的直径的直径AB=16cm，M是是OB 的中点，弦的中点，弦CD经过点经过点M，CMA=30，则则CD=cm活动三：轻松过一关E248 4如图，O的直径AB=16cm，M是OB活动三：轻松过一关E261、（、（1）O的半径为的半径为5 cm，弦，弦ABCD,AB=6 cm,CD=8 cm,请画出图形请画出图形 根据图形根据图形，求出，求出AB与与CD之间的距离之间的距离 是是 。(2)你能直接写出此题的答案么：你能直接写出此题的答案么：O的半径为的半径为5 cm，弦，弦ABCD,AB=6 cm,CD=8 cm,则以则以A、B、C、D为顶点的四为顶点的四边形的面积等于边形的面积等于 cm活动四：顺利闯二关 49cm或7cm7cm或1cm1、（1）O的半径为5 cm，弦ABCD,AB=6 271、如图，、如图，O的直径为的直径为10，弦，弦AB=8,P为为AB上的一个动点，那么上的一个动点，那么OP长的长的取值范取值范围围是是 。活动五：快乐冲三关活动五：快乐冲三关 c3cmOP 5cm4531、如图，O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点282、如图，点、如图，点A、B是是 O上两点，上两点，AB=8,点点P是是 O上的动点（上的动点（P与与A、B不重合）不重合）,连接连接AP、BP,过点过点O分别作分别作OEAP于于E,OFBP于于F,EF=。活动五：快乐冲三关活动五：快乐冲三关 42、如图，点A、B是O上两点，AB=8,点P是O上的动点29两条辅助线：两条辅助线：半径半径 弦心距弦心距活动六：畅谈体会活动六：畅谈体会 一个一个Rt：半径半径 半弦半弦 弦心距弦心距两条辅助线：活动六：畅谈体会 一个Rt：半径 301、在半径为、在半径为6 cm的圆中，已知两条互相垂直的弦，的圆中，已知两条互相垂直的弦，其中一条被另一条分成其中一条被另一条分成3 cm和和7 cm的两条线段，求的两条线段，求圆心到两弦的距离。圆心到两弦的距离。2、如图，已知、如图，已知AB是的直径，是的直径，CD是弦，若是弦，若AB=10 cm，CD=8 cm，求，求A、B两点到直线两点到直线CD的距离之和。的距离之和。活动七：布置作业活动七：布置作业 1、在半径为6 cm的圆中，已知两条互相垂直的弦，其中一条被31
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