GCT数学数和代数式已整理已讲课件

GCT-数学基础能力测试 模块精讲班 第2章 数和代数式主讲：张乃岳GCT-数学基础能力测试 模块精讲班 第2章 数和代数式一、实数第2章 数和代数式二、复数三、代数式（整式、分式、根式）一、实数第2章 数和代数式二、复数三、代数式（整式、分式一、实数结论：1、实数的分类实数有理数无理数（无限不循环小数）整数分数实数充满了整个数轴。实数数轴上的点一、实数结论：1、实数的分类实数有理数无理数（无限不循环小数 2、实数的运算（、乘方、开方、绝对值）实数 的 次乘方（简称 次方）设 实数，的平方根：若实数 满足：则称 为 的平方根。2、实数的运算 实数 的 次乘方（简称 的算术平方根：的立方根：开方开平方：开立方：求平方根的运算。求立方根的运算。的算术平方根：的立方根：开方开平方：开立方：求平方根的运算。补已知 是4的平方根，是 的算术平方根，则代数式 的值为（）.CA.B.C.D.补已知 是4的平方根，是 的则代数式解由题意知（只需把 代入即可）解由题意知（只需把 设 实数，由定义知，设 实数，由定义知，例 实数 在数轴上的位置如图所示。图中 为原点，则代数式（）.（04年）AA.B.C.D.例 实数 在数轴上的位置如图所示。（解且有：解且有：例 设 为坐标轴的原点，的 大小关系如图所示，则 的值是（）.（2011年）BA.B.C.D.例 设 为坐标轴的原点，的则 解且有：解且有：二、复数1.复数的概念及表示形如：的数。（为实数，）的实部，记作：的虚部，记作：称为 的共轭复数。由定义知，任一复数均由其实部和虚部决定。二、复数1.复数的概念及表示形如：在坐标平面上，复数 可用点或向量 表示。.（一一对应）的模在坐标平面上，复数 可用或的模（绝对值）.设则例 设 求 。解的模（绝对值）.设则例 设 模的性质：复平面：用坐标面上的点表示复数。实轴轴虚轴轴除去原点的部分。模的性质：复平面：用坐标面上的点表示复数。实轴轴虚 复数的分类 复数实数虚数（）（）纯虚数：如：复数的分类 复数实数虚数（）（结论 复数复平面上的点.结论 复数复平面上的点.例 复平面上一等腰直角三角形 的3个顶点按逆时针方向依次为（原点）、和 ，若 对应复数 ，则 对应复数 （）A.B.C.D.D例 复平面上一等腰直角三角形（原点）、和 ，解由图中两三角形全等知法二法一（画图 观察点 的特点）不用计算！解由图中两三角形全等知法二法一（画图 观察点 的特点）满足的运算律 例 复数（07年）（P16 例3）求 满足的运算律 例 复数（07年）（P16 例3）解以上讲的是复数的第一种形式 代数形式。解以上讲的是复数的第一种形式 代数形式。复数的指数形式 .形如：的模（绝对值），的辐角。（以 轴的正半轴为始边，向量 所在的射线为终边的角）复数的指数形式 .形如：的模（绝对值），的辐角。（以 它满足它满足：（但满足此式的 不一定均为 的辐角）的辐角主值：它满足：（但满足此式的 不一定均为 的辐角）的辐 复数的三角形式 形如：欧拉公式：复数的三种形式（总结）1、代数形式2、指数形式3、三角形式 复数的三种形式之间可以互相转换。复数的三角形式 形如：欧拉公式：复数的三种形例 把复数 表示成指数形式和三角形式。解又对应的点在第一象限，故或例 把复数 表示成指数形式和三角形式。例 把复数 表示成指数形式和三角形式。解又对应的点在第四象限，故或例 把复数 表示成指数形式和三角形式。解又对例 把复数 表示成指数形式。解由 和 的定义得或或例 把复数 表示成指数形式。解由 和 2.复数的运算（、乘方、开方、绝对值）绝对值设则实数且有：2.复数的运算（、乘方、开方、绝对值）绝结论：两复数经过加、减、乘、除、乘方后仍为一个复数。（其中，加、减、乘、乘方与多项式类似）例 计算 解结论：两复数经过加、减、乘、除、乘方后仍为一个复数。（其中，例 计算 解另解 例 计算 互为共轭的两复数的积是一实数，它等于每个复数模的平方。即例 计算 解另解 例 计算 互例 计算 解例 复数 的共轭复数 是（）.（P16 例2）（06年）A.B.C.D.解A例 计算 解例 复数 例 若复数 （09年）B.C.D.则C（）.解故A.例 若复数 （09年例 若复数 （2010年）A.B.C.D.则A（）.解例 若复数 （201例 若复数 （2011年）A.B.C.D.则（）.C解例 若复数 （201补已知复数 满足：则 （）.A.B.C.D.解由 得故C补已知复数 满足：则 乘方以上讲的都是用复数的代数形式运算的。那么复数的其它两种形式有什么用呢？当复数 用指数形式（或三角形式）表示后，复数的乘、除、乘方、开方运算，有时较为方便！乘方以上讲的都是用复数的代数形式运算的。那么复数的其它两设则有：乘除由此得由此得 设则有：乘除由此得 补设复数 A.B.C.D.解A则 （）.由复数模的性质，得注意：此题千万不要先计算出 ，再求模！补设复数 设则有：乘方由此得 模的性质（总结）设则有：乘方由此得 模的性质（总结）例 复数 的模 （）.（P21 第3题）（05年）A.B.C.D.C解由复数模的性质，得例 复数 的模 例 是虚数单位，的模等于（）.（P21 第4题）（08年）A.B.C.D.C解由复数模的性质，得例 是虚数单位，的模等 开方设复数，的 次方根：若则的 次方根。上方程在复数范围内有 个根。要求出这 个根，必须把 写成指数形式：的 次方根是：（）共 个开方设复数，的 次方根：若则的 次方根。上方程例 设（P21 第2题）A.B.C.D.B则1的三次方根是（）。例 设（P21 第2题）A.B.C.D.B解又可排除C,D是1的一个三次方根，又不是1的一个三次方根或故选 B解又可排除C,D是1的一个三次方根，又不是1的一个三次方根三、代数式（整式、分式、根式）1.整式 整式的加法、减法、乘法的结果仍为整式。单项式：多项式：若干个字母与数相乘所得的式子。若干个单项式之和的式子。三、代数式（整式、分式、根式）1.整式 整式的加法、整式的除法（类似于整数的除法）结论：任意两个实系数的多项式 可相除，得商式 ，余式即（其中：的次数 的次数 或 ）若 除以 所得余式为0，即则称 整除 。此时，就是 的一个因式。（此时，）整式的除法（类似于整数的除法）结论：任意两个实系数的多项例 如果 整除（P21 第9题）D则实数 （）A.B.C.D.或解令 ，得或由题意得例 如果 整除（P21 第9题）D则实数 （P18 例2）例 试求 除以所得的商式和余式。解故所求的商式为：余式为：缺项的一定要留空位。（P18 例2）例 试求 因式分解把一个整式化为若干个其它整式之积的运算。结论：一元 次多项式在实数范围内，总可以分解为若干个一次因式和二次因式的乘积。在复数范围内，总可以分解为 个一次因式的乘积。例（实数范围内）因式分解把一个整式化为若干个其它整式之积的运算。结论：因式分解的方法公式法（）（倒过来）P17如对于二次多项式，可十字相乘法。对于高次多项式，用试根法。（后面举例）利用结论（P17 ）：设 是方程 的两个根，则有：因式分解的方法公式法（）（倒过来）P例将 因式分解。解试 是否是方程 的根？是方程 的根是 的一个因式，例将 GCT数学数和代数式已整理已讲课件或 或（P21 第10题）（05年）A.B.C.D.解例设 为正数，则（）.（验证）C（P21 第10题）（05年）A.B.C.D2.分式形如：的式子。（其中，为整式）且 ）2.分式形如：的式子。（其中，3.根式（P21 第11题）（05年）解例已知 且 （）.由已知得则对两边平方并相加，得BA.B.C.D.3.根式（P21 第11题）（05年）解例已知 （2011年）例若 ，则代数式 的值为（）.AA.B.C.D.解（2011年）例若 ，则代