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专题跟踪检测（十一） 立体几何中的向量方法1(2018全国卷)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点(1)证明：平面AMD平面BMC；(2)当三棱锥MABC体积最大时，求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值解：(1)证明：由题设知，平面CMD平面ABCD，交线为CD.因为BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，所以BCDM.因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DMCM.又BCCMC，所以DM平面BMC.因为DM平面AMD，所以平面AMD平面BMC.(2)以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.当三棱锥MABC的体积最大时，M为的中点由题设得D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，M(0,1,1)，(2，1,1)，(0,2,0)，(2,0,0)，设n(x，y，z)是平面MAB的法向量，则即可取n(1,0,2)，又是平面MCD的一个法向量，所以cosn，sinn，.所以平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值是.2.(2018唐山模拟)如图，在四棱锥PABCD中，PC底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，ABAD，ABCD，AB2AD2CD，E是PB的中点(1)求证：平面EAC平面PBC；(2)若二面角PACE的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值解：(1)证明：因为PC平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACPC.因为AB2AD2CD，所以ACBCADCD，所以AC2BC2AB2，故ACBC.又BCPCC，所以AC平面PBC.因为AC平面EAC，所以平面EAC平面PBC.(2)如图，以C为坐标原点， ， 的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，并设CB2，CP2a(a0)则C(0,0,0)，A(0,2,0)，B(2,0,0)，P(0,0，2a)，则E(1,0，a)，(0,2,0)，(0,0,2a)， (1,0，a)，易知m(1,0,0)为平面PAC的一个法向量设n(x，y，z)为平面EAC的法向量，则即取xa，则z1，n(a,0，1)依题意，|cosm，n|，解得a.于是n(，0，1)，(0,2，2)设直线PA与平面EAC所成角为，则sin |cos，n|.即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为.3(2018西安质检)如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，ACBDO，A1O底面ABCD，AB2，AA13.(1)证明：平面A1CO平面BB1D1D；(2)若BAD60，求二面角BOB1C的余弦值解：(1)证明：A1O平面ABCD，BD平面ABCD.A1OBD.四边形ABCD是菱形，COBD.A1OCOO，BD平面A1CO.BD平面BB1D1D，平面A1CO平面BB1D1D.(2)A1O平面ABCD，COBD，OB，OC，OA1两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系AB2，AA13，BAD60，OBOD1，OAOC，OA1.则O(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0，0)，A(0，0)，A1(0,0，)，(1,0,0)，(0，)，(1，)，(0，0)设平面OBB1的法向量为n(x1，y1，z1)，则即令y1，得n(0，1)是平面OBB1的一个法向量设平面OCB1的法向量m(x2，y2，z2)，则即令z21，得m(，0，1)为平面OCB1的一个法向量，cosn，m，由图可知二面角BOB1C是锐二面角，二面角BOB1C的余弦值为.4(2018长春质检)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，E为PD的中点(1)证明：PB平面ACE；(2)设PA1，ABC60，三棱锥EACD的体积为，求二面角DAEC的余弦值解：(1)证明：连接BD交AC于点O，连接OE.在PBD中，PEDE，BODO，所以PBOE.又PB平面ACE，OE平面ACE，所以PB平面ACE.(2)由题易知VPABCD2VPACD4VEACD，设菱形ABCD的边长为a，则VPABCDSABCDPA1，解得a.取BC的中点为M，连接AM，则AMAD.以点A为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，E，C，设n1(x，y，z)为平面AEC的法向量，则即取x1，则n1(1，3)为平面AEC的一个法向量又易知平面AED的一个法向量为n2(1,0,0)，所以cosn1，n2，由图易知二面角DAEC为锐二面角，所以二面角DAEC的余弦值为.5.(2018郑州质检)如图，在三棱锥PABC中，平面PAB平面ABC，AB6，BC2，AC2，D，E分别为线段AB，BC上的点，且AD2DB，CE2EB，PDAC.(1)求证：PD平面ABC；(2)若直线PA与平面ABC所成的角为45，求平面PAC与平面PDE所成锐二面角的大小解：(1)证明：AC2，BC2，AB6，AC2BC2AB2，ACB90，cosABC.易知BD2，CD222(2)2222cosABC8，CD2，易知AD4，CD2AD2AC2，CDAB.平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABCAB，CD平面PAB，CDPD，PDAC，ACCDC，PD平面ABC.(2)由(1)知PD，CD，AB两两互相垂直，可建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，直线PA与平面ABC所成的角为45，即PAD45，PDAD4，则A(0，4,0)，C(2，0,0)，B(0,2,0)，P(0,0,4)，(2，2,0)，(2，4,0)，(0，4，4)AD2DB，CE2EB，DEAC.由(1)知ACBC，DEBC，又PD平面ABC，PDBC，PDDED，CB平面PDE，(2，2,0)为平面PDE的一个法向量设平面PAC的法向量为n(x，y，z)，则令z1，得x，y1，n(，1,1)为平面PAC的一个法向量cosn，平面PAC与平面PDE所成的锐二面角的余弦值为，故平面PAC与平面PDE所成的锐二面角为30.6(2019届高三洛阳联考)如图1，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，BDDC，点E是BC边的中点，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，连接AE，AC，DE，得到如图2所示的几何体(1)求证：AB平面ADC；(2)若AD1，二面角CABD的平面角的正切值为，求二面角BADE的余弦值解：(1)证明：因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BDDC，所以DC平面ABD.因为AB平面ABD，所以DCAB.又因为ADAB，DCADD，所以AB平面ADC.(2)由(1)知AB平面ADC，所以二面角CABD的平面角为CAD.又DC平面ABD，AD平面ABD，所以DCAD.依题意tanCAD.因为AD1，所以CD.设ABx(x0)，则BD.依题意ABDDCB，所以，即.解得x，故AB，BD，BC3.法一：以D为坐标原点，DB，DC所在直线为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0，0)，B(，0,0)，C(0，0)，E，A，所以，.由(1)知平面BAD的一个法向量n(0,1,0)设平面ADE的法向量为m(x，y，z)，则即令x，得y1，z1，所以m(，1，1)为平面ADE的一个法向量所以cosn，m.由图可知二面角BADE的平面角为锐角，所以二面角BADE的余弦值为.法二：因为DC平面ABD，所以过点E作EFDC交BD于F，则EF平面ABD.因为AD平面ABD，所以EFAD.过点F作FGAD于G，连接GE，所以AD平面EFG，因此ADGE，所以二面角BADE的平面角为EGF.由平面几何的知识求得EFCD，FGAB，所以EG，所以cosEGF.所以二面角BADE的余弦值为.7.如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，ABC45，ADAP2，ABDP2，E为CD的中点，点F在线段PB上(1)求证：ADPC；(2)试确定点F的位置，使得直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等解：(1)证明：连接AC，因为AB2，BC2，ABC45，由余弦定理得，AC2AB2BC22ABBCcos 454，得AC2，所以AC2BC2AB2，所以ACB90，即BCAC.又ADBC，所以ADAC，因为ADAP2，DP2，所以AD2AP2DP2，所以PAD90，即PAAD，又APACA，所以AD平面PAC.又PC平面PAC，所以ADPC.(2)因为侧面PAD底面ABCD，侧面PAD底面ABCDAD，PAAD，所以PA底面ABCD，所以直线AC，AD，AP两两互相垂直，以A为坐标原点，直线AD，AC，AP分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，D(2,0,0)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，E(1,1,0)，P(0,0,2)，所以(0,2，2)，(2,0，2)，(2,2，2)设(0,1)，则(2，2，2)，F(2，2，22)，所以(21,21，22)，易得平面ABCD的一个法向量为m(0,0,1)设平面PDC的法向量为n(x，y，z)，则即令x1，得n(1，1，1)因为直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等，所以|cos，m|cos，n|，即，所以|22|，即|1|(0,1)，解得，所以.即当时，直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等8. 如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC平面ABC，PAPCAC2，BC4，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l.(1)证明：直线l平面PAC；(2)在直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF，直线EF所成的角互余？若存在，求出AQ的长；若不存在，请说明理由解：(1)证明：E，F分别是PC，PB的中点，BCEF，又EF平面EFA，BC平面EFA，BC平面EFA，又BC平面ABC，平面EFA平面ABCl，BCl，又BCAC，平面PAC平面ABCAC，平面PAC平面ABC，BC平面PAC，l平面PAC.(2)以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，过C垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0，0)，A(2，0,0)，B(0,4,0)，P(1,0，)，E，F.，(0,2,0)，设Q(2，y,0)，平面AEF的一个法向量为m(x，y，z)，则即取z，得m(1,0，)又(1，y，)，|cos，|，|cos，m|，依题意，得|cos，|cos，m，y1.直线l上存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF，直线EF所成的角互余，AQ的长为1.
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