高考数学二轮复习 专题十三 选考部分 第2讲 坐标系与参数方程考题溯源变式 理-人教版高三数学试题

（通用版）2016年高考数学二轮复习 专题十三 选考部分 第2讲 坐标系与参数方程考题溯源教材变式 理真题示例对应教材题材评说(2014高考课标全国卷，10分)已知曲线C：1，直线l：(t为参数).(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值.(选修44 P28例1) 在椭圆1上求一点M，使点M到直线x2y100的距离最小，并求出最小距离.教材例题是本考题原型，对应的方程虽然以不同的表现形式展示，但普通方程和参数方程互化是缩小两题差异的通性通法，考题中求|PA|的最值与例题中求最小距离，有异曲同工之妙.教材变式训练变式1(选修44 P15T5改编)以直角坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l：sin2，曲线C的参数方程为(为参数)(1)求l与C的直角坐标方程；(2)A、B是曲线C上距离最远的两点，在l上是否存在点P，使PAPB，若存在，求出P点坐标，若不存在，说明理由解：(1)直线l的极坐标方程为sin2，sin cos 2，xy40为直线l的直角坐标方程曲线C的参数方程为(为参数)，曲线C的直角坐标方程为y21.(2)由A、B是曲线C上距离最远的两点，则A、B为椭圆C长轴上的两个端点，由(1)知，A(2，0)，B(2，0)，假设直线l上存在一点P(x，4x)，使得PAPB，即(2x，x4)，(2x，x4)，则0，即(2x)(2x)(x4)20，x24x60，162480，故方程x24x60无解，即直线l上不存在点P，使得PAPB.变式2(选修44 P15T6改编)已知曲线C：(为参数)，A、B是曲线C上两点，O为坐标原点，0.(1)求证：为定值；(2)求|的最小值，并以直角坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，在此极坐标系中，求AB所在直线的极坐标方程解：(1)证明：将曲线C：(为参数)化为普通方程为1，在此极坐标系下，C的方程变为1，即2，0，(1cos 1，1sin 1)，(2cos 2，2sin 2)，又21，故为定值(2)如图，AOB为直角三角形，|2|2|2，设|m，|n，|2m2n2，则(m2n2)24(当且仅当mn时等号成立)又.m2n2，|AB|min.由椭圆的对称性可知，当|取最小值时，AB所在的直线平行于x轴，则该直线的极坐标方程为sin .变式3(选修44 P36例1改编)以直角坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的极坐标方程为，(1)求曲线C的直角坐标方程和一个参数方程；(2)直线l与曲线C有两个交点A、B，当t时，点P为直线上的点，求的值解：(1)由得cos tan .将xcos ，tan 代入得x，故曲线C的直线坐标方程为x2y(x0)取xt1，则yt，可得曲线C的一个参数方程为(t1为参数t10)(2)法一：将t代入直线l的参数方程得即P(1，0)由消去参数t得直角坐标方程为xy10，由消去y得x2x10，解得或.即A，B.|PA|，|PB|，.法二：将t代入直线l的参数方程得P(1，0)，设直线l上动点M(x，y)，令|PM|m，得直线l的参数方程为，代入x2y整理得m23m20，设|PA|m1，|PB|m2，则m1m23，m1m22，且m1与m2同号，.变式4(选修44 P37例2改编)以直角坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系点M的极坐标为(，)，且tan ，椭圆C：1.(1)求点M的直角坐标与曲线C的参数方程；(2)过点M的直线l与椭圆C交于A、B两点，且M为线段AB的中点，P是C上的一个动点，求PAB面积的最大值解：(1)由tan ，得cos ，sin ，又，xcos 2，ysin 1，点M的直角坐标为(2，1)将a4，b2代入可得椭圆C的参数方程为(为参数)(2)法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，相减得0.M(2，1)为AB中点，x1x24，y1y22，代入上式可得，即直线l的斜率k.直线l的直角坐标方程为yx2.由，解得A(0，2)，B(4，0)，|AB|2，过椭圆C上的动点P作直线l1l，则当l1与椭圆C相切时可求点P到直线l的最大值设l1的方程为：yxm，代入1整理得2x24mx4m2160，由16m28(4m216)0，解得m2.显然当m2，P(2，)时，点P到直线l距离最大为d，从而SPAB最大|AB|d24(1)法二：设直线l的参数方程为(t为参数，为直线l的倾斜角)，代入1整理得(3sin21)t24(cos 2sin )t80.M是AB中点，t1t20，即cos 2sin 0，tan .sin ，cos .t1t25，|AB|t1t2|2.又直线l的直角坐标方程为x2y40，设P(4cos ，2sin )，则P到直线l的距离d，当sin1，即2k(kZ)，P(2，)时，dmax.SPAB最大|AB|dmax24(1)变式5(2015高考全国卷T23改编)已知曲线C1的参数方程是(为参数)，以坐标原点为极点、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是2.正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为.(1)求点A，B，C，D的直角坐标；(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2的取值范围解：(1)点A，B，C，D的极坐标为，点A，B，C，D的直角坐标为(1，)，(，1)，(1，)，(，1)(2)设P(x0，y0)，则(为参数)t|PA|2|PB|2|PC|2|PD|216cos236sin2163220sin2.t32，52 变式6(选修44 P36例1改编)已知直线l的参数方程为(t为参数，为倾斜角，且)，它与曲线1交于A，B两点(1)写出直线l的一般方程及直线l通过的定点P的坐标；(2)求|PA|PB|的最大值解：(1)，tan ，直线l的一般方程为xtan y2tan 0.直线l通过定点P的坐标为(2，0)(2)l的参数方程为椭圆方程为1，右焦点坐标为(2，0)又3(2tcos )24(tsin )2480，即(3sin2)t212cos t360.直线l过椭圆的右焦点，直线l恒与椭圆有两个交点|PA|PB|.0，且，0sin21，|PA|PB|的最大值为12.