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专题跟踪检测（十三） 圆锥曲线的方程与性质一、全练保分考法保大分1直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为()A.BC. D解析：选B不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l的方程为1，即bxcybc0.由题意知2b，解得，即e.故选B2(2019届高三湖南长郡中学模拟)已知F为双曲线C：1(a0，b0)的一个焦点，其关于双曲线C的一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线C的离心率为()A. BC2 D解析：选C依题意，设双曲线的渐近线yx的倾斜角为，则有3，tan ，双曲线C的离心率e 2.3(2019届高三南宁、柳州名校联考)已知双曲线1(b0)的一个焦点与抛物线y28x的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为()Ayx ByxCy3x Dyx解析：选B由题意知，抛物线的焦点是(2,0)，即双曲线1的一个焦点坐标是(2,0)，则c2，且双曲线的焦点在x轴上，所以3b22，即b1，于是双曲线的渐近线方程为yx.4(2018昆明调研)过抛物线C：y22px(p0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M，若|MN|AB|，则l的倾斜角为()A15 B30C45 D60解析：选B分别过A，B，N作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A，B，Q，由抛物线的定义知|AF|AA|，|BF|BB|，|NQ|(|AA|BB|)|AB|，因为|MN|AB|，所以|NQ|MN|，所以MNQ60，即直线MN的倾斜角为120，又直线MN与直线l垂直且直线l的倾斜角为锐角，所以直线l的倾斜角为30.5(2018南昌模拟)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且F1PF2，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为()A. BC1 D解析：选B如图，设F1，F2分别是椭圆和双曲线的左、右焦点，P是第一象限的点，椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义得|PF1|PF2|2a1，|PF1|PF2|2a2，|PF1|a1a2，|PF2|a1a2.设|F1F2|2c，又F1PF2，则在PF1F2中，由余弦定理得，4c2(a1a2)2(a1a2)22(a1a2)(a1a2)cos ，化简得(2)a(2)a4c2，设椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，4，又2，4，即e1e2，椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为.6(2018长春质检)已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2y21的左、右焦点，P为双曲线上任意一点，过点F1作F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|()A1 B2C4 D解析：选A不妨设P在双曲线的左支，如图，延长F1H交PF2于点M，由于PH既是F1PF2的平分线又垂直于F1M，故PF1M为等腰三角形，|PF1|PM|且H为F1M的中点，所以OH为MF1F2的中位线，所以|OH|MF2|(|PF2|PM|)(|PF2|PF1|)1.7已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y28x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|_.解析：抛物线C：y28x的焦点坐标为(2,0)，准线方程为x2.从而椭圆E的半焦距c2.可设椭圆E的方程为1(ab0)，因为离心率e，所以a4，所以b2a2c212.由题意知|AB|26.答案：68(2018南宁模拟)已知椭圆1(ab0)的一条弦所在的直线方程是xy50，弦的中点坐标是M(4，1)，则椭圆的离心率是_解析：设直线xy50与椭圆1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，因为AB的中点M(4,1)，所以x1x28，y1y22.易知直线AB的斜率k1.由两式相减得，0，所以，所以，于是椭圆的离心率e.答案：9(2019届高三惠州调研)已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是_解析：如图，不妨设F1(0，c)，F2(0，c)，则过点F1与渐近线yx平行的直线为yxc，联立解得即M.因为点M在以线段F1F2为直径的圆x2y2c2内，故22c2，化简得b23a2，即c2a23a2，解得b0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，若BF1F2的周长为6，且点F1到直线BF2的距离为B(1)求椭圆C的方程；(2)设A1，A2是椭圆C长轴的两个端点，P是椭圆C上不同于A1，A2的任意一点，直线A1P交直线xm于点M，若以MP为直径的圆过点A2，求实数m的值解：(1)由题意得F1(c,0)，F2(c,0)，B(0，b)，则2a2c6.直线BF2的方程为bxcybc0，所以b，即2ca.又a2b2c2，所以由可得a2，b，所以椭圆C的方程为1.(2)不妨设A1(2,0)，A2(2,0)，P(x0，y0)，则直线A1P的方程为y(x2)，所以M.又点P在椭圆C上，所以y3.若以MP为直径的圆过点A2，则A2MA2P，即0，所以(x02，y0)(m2)(x02)(m2)(m2)(x02)(m2)(x02)0.又点P不同于点A1，A2，所以x02，所以m0，解得m14.11(2018唐山模拟)在直角坐标系xOy中，长为1的线段的两端点C，D分别在x轴、y轴上滑动， .记点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)经过点(0,1)作直线与曲线E相交于A，B两点，当点M在曲线E上时，求四边形AOBM的面积解：(1)设C(m,0)，D(0，n)，P(x，y)由 ，得(xm，y)(x，ny)，所以得由| |1，得m2n2(1)2，所以(1)2x2y2(1)2，整理，得曲线E的方程为x21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，知点M坐标为(x1x2，y1y2)由题意知，直线AB的斜率存在设直线AB的方程为ykx1，代入曲线E的方程，得(k22)x22kx10，则x1x2，x1x2.y1y2k(x1x2)2.由点M在曲线E上，知(x1x2)21，即1，解得k22.所以|AB|x1x2|，又原点到直线AB的距离d，所以平行四边形OAMB的面积S|AB|d.12(2019届高三洛阳第一次统考)已知短轴长为2的椭圆E：1(ab0)，直线n的横、纵截距分别为a，1，且原点O到直线n的距离为.(1)求椭圆E的方程；(2)直线l经过椭圆E的右焦点F且与椭圆E交于A，B两点，若椭圆E上存在一点C满足 2 0，求直线l的方程解：(1)椭圆E的短轴长为2，b1.依题意设直线n的方程为y1，由，解得a，故椭圆E的方程为y21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，当直线l的斜率为0时，显然不符合题意当直线l的斜率不为0或直线l的斜率不存在时，F(，0)，设直线l的方程为xty，由消去x，得(t23)y22ty10，y1y2，y1y2， 20，x3x1x2，y3y1y2，又点C在椭圆E上，y221，又y1，y1，x1x2y1y20，将x1ty1，x2ty2及代入得t21，即t1或t1.故直线l的方程为xy0或xy0.二、强化压轴考法拉开分1(2018全国卷)设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，O是坐标原点过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|OP|，则C的离心率为()A. B2C. D解析：选C法一：不妨设一条渐近线的方程为yx，则F2到yx的距离db.在RtF2PO中，|F2O|c，所以|PO|a，所以|PF1|a，又|F1O|c，所以在F1PO与RtF2PO中，根据余弦定理得cosPOF1cosPOF2，即3a2c2(a)20，得3a2c2，所以e.法二：如图，过点F1向OP的反向延长线作垂线，垂足为P，连接PF2，由题意可知，四边形PF1PF2为平行四边形，且PPF2是直角三角形因为|F2P|b，|F2O|c，所以|OP|a.又|PF1|a|F2P|，|PP|2a，所以|F2P|ab，所以ca，所以e.2(2018合肥质检)已知椭圆M：y21，圆C：x2y26a2在第一象限有公共点P，设圆C在点P处的切线斜率为k1，椭圆M在点P处的切线斜率为k2，则的取值范围为()A(1,6) B(1,5)C(3,6) D(3,5)解析：选D由于椭圆M：y21，圆C：x2y26a2在第一象限有公共点P，所以解得3a20，b0)，则c2.由a2b2c2，得b24a2，当x1时，y2a25.要使双曲线与线段CD(包括端点C，D)有两个交点，则a253，解得a242或0a242，由a242得a12，舍去，a242，即0a1.双曲线的离心率e1.即该双曲线的离心率的取值范围是1，)答案：1，)6(2018洛阳统考)已知F1，F2分别为双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点，P(x0，y0)是双曲线C右支上的一点，连接PF1并过F1作垂直于PF1的直线交双曲线左支于R，Q，其中R(x0，y0)，QF1P为等腰三角形，则双曲线C的离心率为_解析：设O为坐标原点，连接OP，OR，F2P，F2R，因为P，R关于原点对称，所以|OP|OR|，又|OF1|OF2|，PF1RQ，故四边形F1RF2P为矩形设|PF1|m，由双曲线的定义，得|PF2|m2a.法一：因为QF1P为等腰直角三角形，所以|QF1|PF1|m，|PQ|m，连接QF2，则|QF2|m2a.在QPF2中，QPF24590135，由余弦定理得(m2a)2(m2a)2(m)22(m2a)mcos 135，化简得m3a.在RtF1PF2中，|PF1|3a，|PF2|a，|F1F2|2c，所以(3a)2a2(2c)2，即5a22c2，即双曲线的离心率为.法二：因为QF1P为等腰直角三角形，所以|QF1|PF1|m，连接QF2，则在RtQRF2中，|RQ|2m2a，|RF2|m，|QF2|m2a，由勾股定理得(2m2a)2m2(m2a)2，化简得m3a.在RtF1PF2中，|PF1|3a，|PF2|a，|F1F2|2c，所以(3a)2a2(2c)2，即5a22c2，即双曲线的离心率为.答案：
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