数学建模微分积分和微分方程课件

微微分分、积积分分和和微微分分方方程程实验四实验四 微分、积分和微分方程实验四1定积分定积分-连续求和连续求和定积分-连续求和2定积分定积分-连续求和连续求和定积分-连续求和3三种方法计算数值积分三种方法计算数值积分（1）定义法，取近似和的极限）定义法，取近似和的极限。n高等数学中不是重点内容高等数学中不是重点内容n但数值积分的各种算法却是基于定义建立的但数值积分的各种算法却是基于定义建立的（2）用不定积分计算定积分）用不定积分计算定积分。n不定积分是求导的逆运算，不定积分是求导的逆运算，n而定积分是连续变量的求和（曲边梯形的面积）而定积分是连续变量的求和（曲边梯形的面积）n表面上看是两个完全不同的概念，表面上看是两个完全不同的概念，n通过牛顿莱布尼兹公式联系在一起，通过牛顿莱布尼兹公式联系在一起，（3）解微分方程计算定积分）解微分方程计算定积分三种方法计算数值积分（1）定义法，取近似和的极限。4 微积分学基本定理微积分学基本定理特别，特别，F(b)-F(a)就是所需的定积分就是所需的定积分.在高等数学中总是期望求出不定积分的封闭解在高等数学中总是期望求出不定积分的封闭解.但数值积分是更有用的工具。但数值积分是更有用的工具。牛顿莱布尼兹公式不愧为微积分的牛顿莱布尼兹公式不愧为微积分的“基本定理基本定理”。微积分学基本定理特别，F(b)-F(a)就是所需的定积分5基本定理的推广基本定理的推广（解微分方程计算定积分）（解微分方程计算定积分）（解微分方程计算定积分）（解微分方程计算定积分）基本定理的推广（解微分方程计算定积分）6基本定理的推广基本定理的推广（解微分方程计算定积分）（解微分方程计算定积分）（解微分方程计算定积分）（解微分方程计算定积分）基本定理的推广（解微分方程计算定积分）7解微分方程的解微分方程的 Eular折线法折线法解微分方程的 Eular折线法8解微分方程的解微分方程的 Eular折线法折线法将将区区间间n=4等等分分（共共有有5个个分分点点)；计计算算分分点点和相应的函数值和相应的函数值n （x(1),x(2),x(3)x(4)x(5)n （f(1),f(2),f(3),f(4),f(5)在在第第一一个个子子区区间间x(1),x(2)上上，画画出出折折线线段段 y(2)=y(1)+f(1)*(x-x(1)代替解曲线段代替解曲线段y(x)，n这里这里y(1)=y0=0n折线段的起点为折线段的起点为x(1),y(1)，终点为，终点为x(2),y(2).运运行行exp4_1.m，观观察察第第二二、三三、四四子子区区间间的的情况。情况。解微分方程的 Eular折线法将区间n=4等分（共有5个9符号微积分符号微积分符号微积分符号微积分用用Matlab符号工具箱符号工具箱（Symbolic Toolbox）可以进行符号）可以进行符号演算演算符号微积分用Matlab符号工具箱（Symbolic Too10符号微积分符号微积分(创建符号变量）创建符号变量）sym var n 创建单个符号变量；创建单个符号变量；syms var1 var2 n 创建多个符号变量；创建多个符号变量；f=sym(符号表达式符号表达式)n创建符号表达式，赋予创建符号表达式，赋予f；equ=sym(equation)n创建符号方程创建符号方程 。符号微积分(创建符号变量）sym var 11符号微积分符号微积分(极限极限）limit(表表达达式式,var,a)：求求当当var a，表达式的极限表达式的极限例：求极限：例：求极限：syms x a I1=limit(sin(x)-sin(3*x)/sin(x),x,0)运行结果运行结果符号微积分(极限）limit(表达式,var,a)：求当12符号微积分符号微积分符号微积分符号微积分(求导求导求导求导）diff(f,var,n)求求 f 对变量对变量var 的的n阶导数阶导数缺省缺省n时为求一阶导数时为求一阶导数缺省变量缺省变量var 时，默认变量为时，默认变量为x可用来求单变量函数导数可用来求单变量函数导数多变量函数的偏导数多变量函数的偏导数还可以求抽象函数的导数还可以求抽象函数的导数符号微积分(求导）diff(f,var,n)13符号微积分符号微积分(求导求导）例：求例：求syms x y f=sym(exp(-2*x)*cos(3*x(1/2)diff(f,x)运行运行符号微积分(求导）例：求syms x y 14符号微积分符号微积分(求导求导）syms x y ng=sym(g(x,y)nf=sym(f(x,y,g(x,y)ndiff(f,x)ndiff(f,x,2)运行运行例：求例：求符号微积分(求导）syms x y 例：求15符号微积分符号微积分(积分积分）int(f,var)：求函数：求函数f的不定积分；的不定积分；int(f,var,积分下限，积分上限积分下限，积分上限)：n求函数求函数f的定积分或广义积分的定积分或广义积分例：求不定积分例：求不定积分syms x y z I1=int(sin(x*y+z),z)符号微积分(积分）int(f,var)：求函数f的不定积分；16符号微积分符号微积分(积分积分）syms x y z I2=int(1/(3+2*x+x2),x,0,1)I3=int(1/(3+2*x+x2),x,-inf,inf)符号微积分(积分）syms x y z17符号微积分符号微积分(化简、提取和代入化简、提取和代入)符符号号运运算算的的结结果果比比较较繁繁琐琐，使使用用化化简简指指令令可可对对其进行化简。其进行化简。但但是是不不能能指指望望机机器器可可以以完完成成一一切切，人人的的推推理理往往往必须的。往必须的。常用的化简指令如下常用的化简指令如下 展开指令：展开指令：expand(表达式表达式)；因式分解：因式分解：factor(表达式表达式)降幂排列：降幂排列：collect（表达式，（表达式，var）；一般化简：一般化简：simplify(A)；符号微积分(化简、提取和代入)符号运算的结果比较繁琐，使用化18符号微积分符号微积分(化简、提取和代入化简、提取和代入)观察：观察：将展开将展开(a+x)6-(a-x)6，然后，然后作因式分解。作因式分解。t_expand=expand(t)t_factor=factor(t_expand)t_simplify=simplify(t)观察结果观察结果符号微积分(化简、提取和代入)观察：将展开(a+x)619数值微积分数值微积分（梯形公式和辛普森公式梯形公式和辛普森公式）trapz(x,y)，按梯形公式计算近似积分；，按梯形公式计算近似积分；其中步长其中步长x=x0 x1 xn和函数值和函数值y=f0 f1 fn为同维向量，为同维向量，q=quad(fun,a,b,tol,trace,P1,P2,.)（低阶方法，辛普森自适应递归法求积）（低阶方法，辛普森自适应递归法求积）q=quad8(fun,a,b,tol,trace,P1,P2,.)（高高阶方法，自适应法阶方法，自适应法Cotes求积）求积）在在同同样样的的精精度度下下高高阶阶方方法法quad8要要求求的的节节点点较较少。少。数值微积分（梯形公式和辛普森公式）trapz(x,y)，按梯20 x,y=ode23(fun,tspan,y0,option)（低阶龙格库塔函数）低阶龙格库塔函数）x,y=ode45(fun,tspan,y0,option)（高阶龙格库塔函数）（高阶龙格库塔函数）x,y=ode23(fun,tspan,y0,opt21应用、思考和练习应用、思考和练习(追击问题追击问题)我缉私雷达发现，距离我缉私雷达发现，距离d处有一走处有一走私船正以匀速私船正以匀速a沿直线行驶，缉私沿直线行驶，缉私舰立即以最大速度（匀速舰立即以最大速度（匀速v）追赶。）追赶。若用雷达进行跟踪，保持船的瞬时若用雷达进行跟踪，保持船的瞬时速度方向始终指向走私船，速度方向始终指向走私船，缉私舰的运动轨迹是怎样的？是否缉私舰的运动轨迹是怎样的？是否能够追上走私船？能够追上走私船？如果能追上，需要用多长时间？如果能追上，需要用多长时间？应用、思考和练习(追击问题)我缉私雷达发现，距离d处有一走私22应用、思考和练习应用、思考和练习(追击问题追击问题)应用、思考和练习(追击问题)23应用、思考和练习应用、思考和练习(追击问题追击问题)r=dsolve(eq1,eq2,cond1,cond2,v)方程的符号解方程的符号解syms y d rxs1=dsolve(D2x=-r*sqrt(1+Dx2)/y,x(20)=0,Dx(20)=0,y)xs=simplify(xs1)运行结果，画彗星图运行结果，画彗星图应用、思考和练习(追击问题)r=dsolve(eq1,24应用、思考和练习应用、思考和练习(追击问题追击问题)r=dsolve(eq1,eq2,cond1,cond2,v)方程的符号解方程的符号解syms y d rxs1=dsolve(D2x=-r*sqrt(1+Dx2)/y,x(20)=0,Dx(20)=0,y)xs=simplify(xs1)运行结果，画彗星图运行结果，画彗星图应用、思考和练习(追击问题)r=dsolve(eq1,25应用、思考和练习应用、思考和练习(追击问题，追击问题，如果雷达失效如果雷达失效)当当缉缉私私舰舰雷雷达达发发现现d处处有有一一走走私私船船后后，雷雷达突然损坏达突然损坏若若假假定定走走私私船船作作匀匀速速直直线线运运动动（但但不不知知方方向向），且且缉缉私私舰舰艇艇速速度度v大大于于走走私私船船速速度度a，则则缉缉私私舰舰应应采采用用什什么么样样的的航航行行路路线线，不不管管走走私私船船从从哪哪个个方方向向逃逃跑跑，都都能能追追捕捕上上它？它？应用、思考和练习(追击问题，如果雷达失效)当缉私舰雷达发现d26实时动画制作实时动画制作实时动画制作实时动画制作（见实验（见实验（见实验（见实验10101010）观察：模拟弹簧振动观察：模拟弹簧振动讨论最简单的情形，一弹簧系统作横向讨论最简单的情形，一弹簧系统作横向运动，其位移由运动，其位移由u=2+cos(t)u=2+cos(t)所决定，所决定，仿真弹簧的振动仿真弹簧的振动实时动画制作（见实验10）观察：模拟弹簧振动27实时动画制作实时动画制作(初始化、见实验初始化、见实验1010）程序讲解程序讲解animinit(onecart1 Animation)axis(-2 6-10 10);hold on;u=2;xy=0 0 0 0 u u u+1 u+1 u u;-1.2 0 1.2 0 0 1.2 1.2-1.2-1.2 0;x=xy(1,:);y=xy(2,:);plot(-10 20,-1.4-1.4,k-,LineWidth,2);hndl=plot(x,y,k-,EraseMode,XOR,LineWidth,2)实时动画制作(初始化、见实验10）程序讲解28实时动画制作实时动画制作(初始化、见实验初始化、见实验1010）zxy10-2zxy10-2set(gca,UserData,hndl);for t=1:0.025:1000;u=2+exp(-0.00*t)*cos(t);x=0 0 0 0 u u u+1 u+1 u u;hndl=get(gca,UserData);set(hndl,XData,x,YData,y);drawnowend实时动画制作(初始化、见实验10）zxy10-2set(gc29电影动画制作（电影动画制作（zxy7_3)moviein、getframe、movie指令指令x=-8:0.5:8;XX,YY=meshgrid(x);r=sqrt(XX.2+YY.2)+eps;Z=sin(r)./r;surf(Z);%画出祯画出祯theAxes=axis;%保保存存坐坐标标值值，使使得得所所有有帧帧都都在在同同一坐标系中一坐标系中电影动画制作（zxy7_3)moviein、getfram30电影动画制作电影动画制作fmat=moviein(20);%创建动画矩阵，保存创建动画矩阵，保存20祯祯for j=1:20;%循环创建动画数据循环创建动画数据surf(sin(2*pi*j/20)*Z,Z)%画出每一画出每一 步的曲面步的曲面 axis(theAxes)%使用相同的坐标系使用相同的坐标系fmat(:,j)=getframe;%拷贝祯到矩阵拷贝祯到矩阵fmat中中end movie(fmat,10)%演示动画演示动画10次次电影动画制作fmat=moviein(20);%创建动画矩31应用、思考和练习应用、思考和练习(枪支的设计枪支的设计)n枪枪支支发发火火后后，气气体体压压强强随随子子弹弹在在膛膛内内的的运运动动而而变变化化。枪枪管管长长度度x的的单单位位为为m。压压强强p是是距离距离x的函数，通过实测得到了的一批数据，的函数，通过实测得到了的一批数据，w子子弹弹射射出出枪枪管管时时的的出出口口速速度度是是设设计计者者关关心心的的问问题题，如如 果果 一一 只只 枪枪 管管 长长 0.6096m，其其 膛膛 孔孔 面面 积积4.5610-5m2，子子弹弹重重量量0.956N，试试决决定定这这种型号枪支的出口速度；种型号枪支的出口速度；w更更一一般般的的，确确定定出出口口速速度度和和枪枪管管长长度度的的关关系系曲曲线线，绘绘制制这这一一曲曲线线，并并作作出出适适当当的的标标记记。这这样样的的问问题题和你在高等数学中处理的积分有什么区别吗？和你在高等数学中处理的积分有什么区别吗？应用、思考和练习(枪支的设计)枪支发火后，气体压强随子弹在膛32应用、思考和练习应用、思考和练习(天然气井的开采量天然气井的开采量)东方天然气公司钻了一口新的气井，他东方天然气公司钻了一口新的气井，他们希望研究一下将这口井于供气管路联们希望研究一下将这口井于供气管路联接的经济性接的经济性计算此井的压强随时间的变化曲线，由计算此井的压强随时间的变化曲线，由此得到流量此得到流量Q与时间与时间t的关系，以此估计的关系，以此估计此井的总开采量。此井的总开采量。应用、思考和练习(天然气井的开采量)东方天然气公司钻了一口新33