数值积分课件

数值积分数值积分21 引言引言 1.数值求积的基本思想数值求积的基本思想 依据微积分基本定理，对于积分只要找到被积函数 的原函数 ，便有下列牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式：但对于下列情形：21 引言 1.数值求积的基本思想3 （1）被积函数，诸如 等等，找不到用初等函数表示的原函数；（2）当 是由测量或数值计算给出的一张数据表.这时，牛顿-莱布尼茨公式也不能直接运用.因此有必要研究积分的数值计算问题.由积分中值定理知，在积分区间 内存在一点，成立 3 （1）被积函数，诸如 等等，4就是说，底为 而高为 的矩形面积恰等于所求 曲边梯形的面积 (图4-1).图4-14就是说，底为 而高为 的矩形面积恰等于所5 问题在于点的具体位置一般是不知道的，因而难以 准确算出 的值.将 称为区间 上的平均高度.这样，只要对平均高度 提供一种算法，相应地便获得一种数值求积方法.用两端点“高度“与 的算术平均作为平均高度的近似值，这样导出的求积公式是梯形公式(几何意义参看图4-2).5 问题在于点的具体位置一般是不知道的，因而难以 准6图4-2 用区间中点 的“高度”近似地取代平均高度 ，则又可导出所谓中矩形公式(简称矩形公式)6图4-2 用区间中点 的“高度”7 一般地，可以在区间 上适当选取某些节点 ，然后用 加权平均得到平均高度 的近似值，这样式中 称为求积节点求积节点；称为求积系数求积系数,亦称伴随节点 的权权.权 仅仅与节点 的选取有关，构造出的求积公式具有下列形式：的具体形式.而不依赖于被积函数kA7 一般地，可以在区间 上适当选取某些节点 8 这类数值积分方法通常称为机械求积，其特点是将积分求值问题归结为函数值的计算，这就避开了牛顿-莱布尼茨公式需要寻求原函数的困难.8 这类数值积分方法通常称为机械求积，其特点是将积9 2.代数精度的概念代数精度的概念 定义定义1 1如果某个求积公式对于次数不超过 的多项式均能准确地成立，但对于 次多项式就不准确成立，则称该求积公式具有 次代数精度次代数精度.梯形公式和矩形公式均具有一次代数精度.数值求积是近似方法，为保证精度，自然希望求积公式对尽可能多的函数准确成立.9 2.代数精度的概念 定义1如果某个10 欲使求积公式 具有 次代数精度，则只要令它对 都准确成立，就得到10 欲使求积公式 具有 次代数精度，则只要11 如果事先选定求积节点 ，譬如，以区间 的等距分点作为节点，这时取 ，求解方程组即可确定求积系数 ，而使求积公式 至少具有 次代数精度.构造求积公式，原则上是一个确定参数 和 的代数问题.11 如果事先选定求积节点 ，譬如，以区间 12例 求a,b,c的值使下列求积公式的代数精度达到最高。12例 求a,b,c的值使下列求积公式的代数精度13 3.插值型的求积公式插值型的求积公式 设给定一组节点 且已知函数 在这些节点上的值，作插值函数 .取 作为积分 的近似值，这样构造出的求积公式13 3.插值型的求积公式 设给定一组节14称为是插值型插值型的，式中求积系数 通过插值基函数 积分得出 由插值余项定理(第2章的定理2)即知，对于插值型的求积公式，其余项 式中与变量 有关，14称为是插值型的，式中求积系数 通过插值基函数 15 当 是次数不超过 的多项式时，插值多项式就是函数本身，余项 为零，反之，如果求积公式 至少具有 次代数精度，则它必定是插值型的.事实上，这时公式 对于插值基函数 应准确成立，即有至少具有 次代数精度.所以这时插值型求积公式15 当 是次数不超过 的多项式16 定理定理1 1注意到上式右端实际上等于因而成立.这样，有下面定理.求积公式至少有 次代数精度的充分必要条件是，它是插值型的.16 定理1注意到上式右端实际上等于因而成立.这17 4.求积公式的收敛性与稳定性求积公式的收敛性与稳定性 定义定义2 2其中 在求积公式中，由于计算 可能产生误差 ，实际得的将是 ，即在求积公式中，若则称求积公式(1.3)是收敛的.记17 4.求积公式的收敛性与稳定性 定义18如果对任给小正数只要误差 充分小就有 则表明求积公式计算是稳定的，由此给出下面定义.定义定义3 3就有成立，则称求积公式是稳定的.对任给若只要18如果对任给小正数只要误差 充分小就有 则表明求积公19 定理定理2 2 证明证明取若求积公式中系数 则此求积公式是稳定的.对任给都有若对则当 时有19 定理2 证明取若求积公式中系数 20由定义3知，求积公式是稳定的.20由定义3知，求积公式是稳定的.212 牛顿牛顿-柯特斯公式柯特斯公式 1.柯特斯系数柯特斯系数 设将积分区间 划分为 等分，选取等距节点 构造出的插值型求积公式称为牛顿牛顿-柯特斯公式柯特斯公式，式中 称为柯特斯系数柯特斯系数.引进变换步长则利用等距节点的插值公式，有212 牛顿-柯特斯公式 1.柯特斯22 当 时，这时的求积公式就是梯形公式22 当 时，这时的求积公式就是梯形公式23 当 时，相应的求积公式是辛普森辛普森(Simpson)公式公式 柯特斯系数为 23 当 时，相应的求积公式是辛普森(Sim24 的牛顿-柯特斯公式称为柯特斯公式，这里 可构造柯特斯系数表.其形式是 24 的牛顿-柯特斯公式称为柯特斯公式，这里 252526 从柯特斯系数表看到 时，柯特斯系数 出现负值，特别地，假定于是有且则有 26 从柯特斯系数表看到 时，柯特斯系数 27它表明初始数据误差将会引起计算结果误差增大，即计算不稳定，故 的牛顿-柯特斯公式是不用的.27它表明初始数据误差将会引起计算结果误差增大，即计算28 2.偶阶求积公式的代数精度偶阶求积公式的代数精度 由定理1，阶的牛顿-柯特斯公式至少具有 次的代数精度.先看辛普森公式，它是二阶牛顿-柯特斯公式，因此至少具有二次代数精度.用 进行检验，本节讨论代数精度的进一步提高问题.按辛普森公式计算得 28 2.偶阶求积公式的代数精度 由定理29另一方面，直接求积得 这时有 ，而它对 通常是不准确的，辛普森公式实际上具有三次代数精度.均准确成立,即辛普森公式对次数不超过三次的多项式因此，定理定理3 3当阶 为偶数时，牛顿-柯特斯公式至少有 次代数精度.29另一方面，直接求积得 这时有 ，而它对 30 证明证明我们只要验证，当 为偶数时，牛顿-柯特斯公式对 的余项为零.由于这里引进变换 并注意到 有 按余项公式有 30 证明我们只要验证，当 为偶数时，牛顿-柯特斯公31因为被积函数若 为偶数，则 为整数，为奇函数，所以再令进一步有31因为被积函数若 为偶数，则 为整数，为奇函数，所以32 3.几种低阶求积公式的余项几种低阶求积公式的余项 按余项公式，梯形公式的余项 这里积分的核函数 在区间 上保号(非正)，应用积分中值定理，在 内存在一点 使，32 3.几种低阶求积公式的余项 按余33 33 343 复化求积公式复化求积公式 复化求积的基本思想是把积分区间分成若干子区间(通常是等分)，再在每个子区间上用低阶求积公式，目的是提高精度.1.复化梯形公式复化梯形公式 分点在每个子区间xk,xk+1(k=0,n)上采用梯形公式，则得 将区间 划分为 等分，343 复化求积公式 复化求积的基本思想是把积分35记 称为复化梯形公式复化梯形公式.35记 称为复化梯形公式.36 其余项由于 ,且 所以 使 于是复化梯形公式余项为 36 其余项由于 ,且 所以37误差是 阶，且当 时有 即复化梯形公式是收敛的.37误差是 阶，且当 时有 即38 此外，的求积系数为正，由定理2知复化梯形公式是稳定的.只要 则当 时，上式均收敛到积分 所以复化梯形公式收敛.将Tn 改写为 38 此外，的求积系数为正，由定理2知复化梯形公式39 对复化梯形公式，还有如果f(x)在a,b上有2r+2阶连续导数，余项39 对复化梯形公式，还有40定义 设40定义 设41 2.复化辛普森求积公式复化辛普森求积公式 记 将区间 分为 n 等分，n=2m,xk=a+kh,k=0,2m在每个子区间 x2k-2,x2k 上用Simpson公式41 2.复化辛普森求积公式 记 将42称为复化辛普森求积公式复化辛普森求积公式.于是当 时，与复化梯形公式相似有 误差阶为 4，显然是收敛的.42称为复化辛普森求积公式.于是当 43 实际上，只要则可得到收敛性，即 此外，由于 Sn 中求积系数均为正数，故知复化辛普森公式计算稳定43 实际上，只要则可得到收敛性，即 此外，44 例例2 2对于函数 ，给出 的函数表并估计误差.解解(见表4-2)，计算积分 应用复化梯形法求得T8=0.9456909 试用复化梯形公式(及复化辛普森公式将积分区间0,1划分为8等分，44 例2对于函数 ，给出 45而如果将0,1 分为4等分，应用复化辛普森法有 S4=0.9460832 同积分的准确值 I=0.9460831比较，接下来看误差估计，由于所以有 只有两位有效数字,复化辛普森法有6位有效数字.复化梯形法的结果 以上得到的两个结果 T8 与S4 ，都需要提供9个点上的函值，计算量基本相同，然而精度却差别很大.45而如果将0,1 分为4等分，应用复化辛普森法有 46于是 得复化梯形公式误差 46于是 得复化梯形公式误差 47对复化辛普森公式，47对复化辛普森公式，4848494 Richardson Richardson外推法外推法 也就是说用 近似J的误差价为 ，现在考虑利用 构造一个新的计算公式，使误差的价比 高.)()()()(.)()(.1);()()(22112121202010100002010002010000001+=+=+=pppppnpppnpphqBAhqBAJBAqhBqhBhqBJBhAhAhAJAqqhUBhUAhUnnaaaaaaaaaa令494 Richardson外推法 也就是说5050515152 5 龙贝格求积公式龙贝格求积公式 梯形法计算简单但收敛慢，本节讨论如何提高收敛速度以节省计算量.根据复化梯形公式的余项表达式 52 5 龙贝格求积公式 梯形法计算简单5353545455 若 (预先给定的精度)，则终止计算，并取55 若 (预先给定的精56 可以证明，如果 充分光滑，那么T表每一列的元素及对角线元素均收敛到所求的积分值 ，即 对于 不充分光滑的函数也可用龙贝格算法计算，只是收敛慢一些，这时也可以直接使用复化辛普森公式计算.56 可以证明，如果 充分光滑，那么T表每一列57 例例4 4 解解在 上仅是一次连续可微，用龙贝格算法计算积分 用龙贝格算法计算结果见表4-6.57 例4 解在 上仅是一次连续可微，用