高考数学大二轮总复习-增分策略-专题四-数列-推理与证明-第1讲-等差数列与等比数列

第第1讲等差数列与等比数列等差数列与等比数列专题四数列、推理与四数列、推理与证明明高考真高考真题体体验热点分点分类突破突破高考押高考押题精精练栏目索引目索引高考真高考真题体体验1 12 23 34 41.(2015课标全国)已知an是公差为1的等差数列，Sn为an的前n项和，若S84S4，则a10等于()解析解析公差为1，B1 12 23 34 42.(2015安徽)已知数列an是递增的等比数列，a1a49，a2a38，则数列an的前n项和等于_.解解析析由等比数列性质知a2a3a1a4，又a2a38，a1a49，又数列an为递增数列，a11，a48，从而a1q38，q2.2n11 12 23 34 43.(2014广东)若等比数列an的各项均为正数，且a10a11a9a122e5，则ln a1ln a2ln a20_.解析解析因为a10a11a9a122a10a112e5，所以a10a11e5.所以ln a1ln a2ln a20ln(a1a2a20)ln(a1a20)(a2a19)(a10a11)ln(a10a11)1010ln(a10a11)10ln e550ln e50.501 12 23 34 44.(2013江西)某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(nN*)等于_.解析解析每天植树棵数构成等比数列an，即2n1102.n6，最少天数n6.6考情考向分析考情考向分析1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力.热点一等差数列、等比数列的运算点一等差数列、等比数列的运算热点分点分类突破突破(1)通项公式等差数列：ana1(n1)d；等比数列：ana1qn1.(2)求和公式(3)性质若mnpq，在等差数列中amanapaq；在等比数列中amanapaq.例例1(1)设等差数列an的前n项和为Sn.若a111，a4a66，则当Sn取最小值时，n_.解析解析设该数列的公差为d，则a4a62a18d2(11)8d6，解得d2，所以当Sn取最小值时，n6.6(2)已知等比数列an公比为q，其前n项和为Sn，若S3，S9，S6成等差数列，则q3等于()解析解析若q1，则3a16a129a1，得a10，矛盾，故q1.A思思维升升华在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量.跟跟踪踪演演练1(1)(2015浙江)已知an是等差数列，公差d不为零.若a2，a3，a7成等比数列，且2a1a21，则a1_，d_.2a1a21，2a1a1d1，即3a1d1，1解析解析在等比数列中，(a1a2)q2a3a4，即q22，所以a2 011a2 012a2 013a2 014(a1a2a3a4)q2 010321 005，1 005热点二等差数列、等比数列的判定与点二等差数列、等比数列的判定与证明明数列an是等差数列或等比数列的证明方法(1)证明数列an是等差数列的两种基本方法：利用定义，证明an1an(nN*)为一常数；利用中项性质，即证明2anan1an1(n2).(2)证明an是等比数列的两种基本方法：例例2(2014大纲全国)数列an满足a11，a22，an22an1an2.(1)设bnan1an，证明：bn是等差数列；证明明由an22an1an2得an2an1an1an2，即bn1bn2.又b1a2a11，所以bn是首项为1，公差为2的等差数列.(2)求an的通项公式.解解由(1)得bn12(n1)2n1，即an1an2n1.anan12n3，an1an22n5，a2a11，累加得an1a1n2，即an1n2a1.又a11，所以an的通项公式为ann22n2.思思维升升华(1)判断一个数列是等差(比)数列，也可以利用通项公式及前n项和公式，但不能作为证明方法.(2)已 知 数 列 an中，a1 1，an 1 2an 3，则 an_.解析解析由已知可得an132(an3)，又a134，故an3是以4为首项，2为公比的等比数列.an342n1，an2n13.2n13热点三等差数列、等比数列的点三等差数列、等比数列的综合合问题解决等差数列、等比数列的综合问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系；数列与不等式、函数、方程的交汇问题，可以结合数列的单调性、最值求解.例例3已知等差数列an的公差为1，且a2a7a126.(1)求数列an的通项公式an与前n项和Sn；解解由a2a7a126得a72，a14，(2)将数列an的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列bn的前3项，记bn的前n项和为Tn，若存在mN*，使对任意nN*，总有SnTm恒成立，求实数的取值范围.解解由题意知b14，b22，b31，Tm为递增数列，得4Tm8.故(Sn)maxS4S510，若存在mN*，使对任意nN*总有SnTm，则106.即实数的取值范围为(6，).思思维升升华(1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便.(2)数列的项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列问题.(3)数列中的恒成立问题可以通过分离参数，通过求数列的值域求解.(1)求数列an的通项公式；解解设等比数列an的公比为q，因为S3a3，S5a5，S4a4成等差数列，所以S5a5S3a3S4a4S5a5，即4a5a3，故等比数列an的通项公式为当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，当n为偶数时，Sn随n的增大而增大，高考押高考押题精精练1 12 23 34 41.设等差数列an的前n项和为Sn，且a10，a3a100，a6a70的最大自然数n的值为()A.6 B.7C.12 D.13押押题依依据据等差数列的性质和前n项和是数列最基本的知识点，也是高考的热点，可以考查学生灵活变换的能力.1 12 23 34 4解析解析a10，a6a70，a70，a1a132a70，S130的最大自然数n的值为12.答案答案C1 12 23 34 4A.1 B.2C.4 D.8押押题依依据据等差数列、等比数列的综合问题可反映知识运用的综合性和灵活性，是高考出题的重点.1 12 23 34 4解析解析设等差数列an的公差为d，解得a70(舍去)或a72，所以b7a72.答案答案C1 12 23 34 4押押题依依据据本题在数列、方程、不等式的交汇处命题，综合考查学生应用数学的能力，是高考命题的方向.1 12 23 34 4解析解析由a7a62a5，得a1q6a1q52a1q4，整理有q2q20，解得q2或q1(与条件中等比数列的各项都为正数矛盾，舍去)，1 12 23 34 4答案答案A1 12 23 34 44.已知等比数列an中，a4a610，则a1a72a3a7a3a9_.押押题依依据据等比数列基本量的计算和等比数列的性质是近几年高考的热点，反映了解题中的整体化思想.所以a1a72a3a7a3a9(a4a6)2102100.100