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第二节平面向量基本定理及坐标表示总纲目录教材研读1.平面向量的基本定理考点突破2.平面向量的坐标运算3.平面向量共线的坐标表示考点二平面向量的坐标运算考点二平面向量的坐标运算考点一平面向量基本定理及其应用考点三平面向量共线的坐标表示考点三平面向量共线的坐标表示1.平面向量的基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数1、2,使a=1e1+2e2.其中,不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.教材研读教材研读2.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),a=(x1,y1),|a|=.(2)向量坐标的求法(i)若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.(ii)设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1),|=.3.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b0,则abx1y2-x2y1=0.1.如果e1,e2是平面内一组不共线的向量,那么下列四组向量中,不能作为平面内所有向量的一组基底的是()A.e1与e1+e2B.e1-2e2与e1+2e2C.e1+e2与e1-e2D.e1+3e2与6e2+2e1答案D选项A中,设e1+e2=e1,则无解;D选项B中,设e1-2e2=(e1+2e2),则无解;选项C中,设e1+e2=(e1-e2),则无解;选项D中,e1+3e2=(6e2+2e1),所以两向量是共线向量.2.若向量a=(2,1),b=(-1,2),c=,则c可用向量a,b表示为()A.a+bB.-a-bC.a+bD.a-b答案A设c=xa+yb,则=(2x-y,x+2y),所以解得则c=a+b.A3.已知点M(5,-6)和向量a=(1,-2),若=-3a,则点N的坐标为()A.(2,0)B.(-3,6)C.(6,2)D.(-2,0)答案A=-3a=-3(1,-2)=(-3,6),设N(x,y),则=(x-5,y+6)=(-3,6),所以即故点N的坐标为(2,0).A4.(2016北京海淀一模)已知向量a=(1,t),b=(3,9),若ab,则t=()A.1B.2C.3D.4答案答案Ca=(1,t),b=(3,9),ab,19=3t,t=3.故选C.C5.(2018北京朝阳高三期中)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,1),将线段OA绕原点O按逆时针方向旋转60,得到线段OB,则向量的坐标为.答案解析解析设点B(x0,y0),由三角函数的定义知x0=1cos150=-,y0=1sin150=,所以B,=.6.在平面直角坐标系中,已知=(-1,3),=(2,-1),则|=.答案5解析=-=(2,-1)-(-1,3)=(3,-4),|=5.5典例1(1)ABC中,点D在边AB上,CD平分ACB.若=a,=b,|a|=1,|b|=2,则=()A.a+bB.a+bC.a+bD.a+b(2)在平行四边形ABCD中,E和F分别是边CD和BC的中点,有=+,其中,R,则+=.考点一平面向量基本定理及其应用考点一平面向量基本定理及其应用考点突破考点突破答案(1)B(2)解析(1)由题意得|=2|,即有=(-)=(a-b).从而=+=b+(a-b)=a+b.故选B.(2)如图.四边形ABCD为平行四边形,且E、F分别为CD、BC的中点,=+=(-)+(-)=(+)-(+)=(+)-,=(+),=,+=.方法指导用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底,并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该组基底的线性组合,再进行向量的运算.(2)在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便,另外,要熟练运用线段中点的向量表达式.注意:零向量和共线向量不能作基底.1-1(2015北京石景山一模)如图,在66的方格纸中,若起点和终点均在格点的向量a,b,c满足c=xa+yb(x,yR),则x+y=()A.0B.1C.5D.D答案D以方格的边长为长度单位建立如图所示的平面直角坐标系,则a=(1,2),b=(2,-1),c=(3,4),因为c=xa+yb,所以解得所以x+y=,故选D.1-2(2016北京东城一模)如图,在矩形OABC中,点E,F分别在线段AB,BC上,且满足AB=3AE,BC=3CF,若=+(,R),则+=.答案解析=+=(+)+(+)=+=+,-=+.+=+.=+.=+.=,=,+=.典例2已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),设=a,=b,=c,且=3c,=-2b.求:(1)3a+b-3c;(2)满足a=mb+nc的实数m,n;(3)M,N的坐标及向量的坐标.考点二平面向量的坐标运算考点二平面向量的坐标运算(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).(2)mb+nc=(-6m+n,-3m+8n)=(5,-5),解得(3)设O为坐标原点,=-=3c,=3c+=(3,24)+(-3,-4)=(0,20),M(0,20).又=-=-2b,=-2b+=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),N(9,2),=(9,-18).解析由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8).方法指导平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标.(2)解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一原则,通过列方程(组)进行求解.2-1已知点A(-1,5)和向量a=(2,3),若=3a,则点B的坐标为()A.(7,4)B.(7,14)C.(5,4)D.(5,14)2-1已知点A(-1,5)和向量a=(2,3),若=3a,则点B的坐标为()A.(7,4)B.(7,14)C.(5,4)D.(5,14)答案D设点B的坐标为(x,y),则=(x+1,y-5).由=3a,得解得故点B的坐标为(5,14).D2-2在ABC中,点P在BC上,且=2,点Q是AC的中点,若=(4,3),=(1,5),则=()A.(-2,7)B.(-6,21)C.(2,-7)D.(6,-21)答案B=2,=3=3(+).Q是AC的中点,=2,又=+,=3+2(+)=(-6,21).B考点三平面向量共线的坐标表示考点三平面向量共线的坐标表示典例3平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).(1)求满足a=mb+nc的实数m,n;(2)若(a+kc)(2b-a),求实数k.解析解析(1)由题意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1),解得(2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),由题意得2(3+4k)-(-5)(2+k)=0.k=-.1.向量共线的两种表示形式若ab(b0),则a=b;x1y2-x2y1=0(a=(x1,y1),b=(x2,y2).至于使用哪种形式,应视题目的具体条件而定,一般涉及坐标时应用.规律总结2.与向量共线有关的题型(1)证三点共线.解决这种问题时,可先证明相关两向量共线,再说明两向量有公共点.(2)已知两向量共线,求相关参数.解决这种问题时,可先利用向量共线的充要条件列方程(组),再求解.3-1(2015北京西城二模)已知平面向量a,b,c满足a=(-1,1),b=(2,3),c=(-2,k),若(a+b)c,则实数k=()A.4B.-4C.8D.-8答案答案D由已知得,a+b=(1,4),因为(a+b)c,所以(-2)4-k=0,所以k=-8.故选D.D3-2(2016北京海淀期中)已知向量a=(1,1),点A(3,0),点B是直线y=2x上的一个动点,若a,则点B的坐标为.答案(-3,-6)解析解析设点B的坐标为(x,2x),则=(x-3,2x),a,(x-3)1-2x1=0,x=-3,故点B的坐标为(-3,-6).(-3,-6)3-3(2017北京通州期末)如图,在正方形ABCD中,P为DC边上的动点,设向量=+,则+的取值范围是.答案1,31,3解析以A为原点,以直线AB、AD分别为x,y轴建立平面直角坐标系(图略),令正方形的边长为2,则A(0,0),C(2,2),B(2,0),D(0,2),P为DC边上的动点,可设P(x,2),x0,2,=(2,2),=(2,-2),=(x,2),=+,+=,令f(x)=(0 x2),f(x)在0,2上单调递减,f(x)max=f(0)=3,f(x)min=f(2)=1.故+的取值范围是1,3.Good bye!2024/6/17
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