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第二节命题及其关系、充分条件与必要条件【知识梳理】1.命题的定义用语言、符号或式子表达的,可以_的陈述句叫做命题.其中_的语句叫做真命题,_的语句叫做假命题.判断真假判断为真判断为假2.四种命题(1)四种命题及其相互关系:(2)互为逆否命题的真假判断:互为逆否的两个命题同_或同_.真假3.充分条件与必要条件的判断若若p pq,q,则则p p是是q q的的_条件条件,q,q是是p p的的_条件条件p p是是q q的的_条件条件p pq q且且q q p pp p是是q q的的_条件条件p p q q且且q qp pp p是是q q的的_条件条件p pq qp p是是q q的的_条件条件p p q q且且q q p p充分必要充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要【特别提醒】1.充分条件、必要条件与集合的关系p p成立的成立的对对象构成的集合象构成的集合为为A,A,q q成立的成立的对对象构成的集合象构成的集合为为B Bp p是是q q的充分条件的充分条件A AB Bp p是是q q的必要条件的必要条件B BA Ap p是是q q的充分不必要条件的充分不必要条件A A B Bp p是是q q的必要不充分条件的必要不充分条件B B A Ap p是是q q的充要条件的充要条件A=BA=B2.互为逆否命题关系的运用p是q的充分不必要条件,等价于q是p的充分不必要条件.【小题快练】链接教材 练一练1.(选修2-1P10练习T3(2)改编)“(x-1)(x+2)=0”是“x=1”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选B.若x=1,则(x-1)(x+2)=0显然成立,但反之不成立,即若(x-1)(x+2)=0,则x的值也可能为-2.2.(选修2-1P8习题1.1A组T2(1)改编)命题“若a,b都是奇数,则a+b是偶数”的逆否命题为 .【解析】“a,b都是奇数”的否定为“a,b不都是奇数”,“a+b是偶数”的否定为“a+b不是偶数”,故其逆否命题为“若a+b不是偶数,则a,b不都是奇数”.答案:若a+b不是偶数,则a,b不都是奇数感悟考题 试一试3.(2015湖南高考)设A,B是两个集合,则“AB=A”是“AB”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选C.由题意得,AB=AAB,反之,AB AB=A,故为充要条件.4.(2015浙江高考)设a,b是实数,则“a+b0”是“ab0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选D.当a=3,b=-1时,a+b0,但ab0,但a+b0”是“ab0”的既不充分也不必要条件.5.(2016德州模拟)“=”是“曲线y=sin(2x+)过坐标原点”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选A.当=时,y=sin(2x+)=-sin2x,过坐标原点.当y=sin(2x+)过坐标原点时,sin=0,=k,kZ.考向一四种命题及其关系【典例1】(1)(2015山东高考)设mR,命题“若m0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是()A.若方程x2+x-m=0有实根,则m0B.若方程x2+x-m=0有实根,则m0C.若方程x2+x-m=0没有实根,则m0D.若方程x2+x-m=0没有实根,则m0(2)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是()A.真,假,真 B.假,假,真C.真,真,假 D.假,假,假【解题导引】(1)原命题的逆否命题书写格式是否定结论当条件,否定条件当结论.(2)写出逆命题,利用原命题与逆否命题,逆命题与否命题等价来判断.【规范解答】(1)选D.“方程x2+x-m=0有实根”的否定是“方程x2+x-m=0没有实根”;“m0”的否定是“m0”,故命题“若m0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是“若方程x2+x-m=0没有实根,则m0”.(2)选B.由已知条件可以判断原命题为真,所以它的逆否命题也是真;而它的逆命题为假,如:z1=1+2i,z2=2+i,显然|z1|=|z2|,但z1与z2显然不共轭,所以它的否命题亦为假.【母题变式】1.写出本例题(1)的否命题.【解析】原命题的否命题是“若m0,则方程x2+x-m=0没有实根”.2.若本例题(1)的条件变为:“若m0”,其他条件不变,试判断其逆命题的真假.【解析】条件改变后,其逆命题为:“若方程x2+x-m=0有实根,则m0”.因为若方程x2+x-m=0有实根,则=1+4m0,所以m即当方程有实根时,m也可能大于0,故其逆命题为假.【规律方法】1.一些常见词语及其否定词语词语是是都是都是都不是都不是等于等于大于大于否定否定 不是不是 不都是不都是至少一个至少一个是是不等于不等于 不大于不大于2.命题真假的判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断.(2)利用原命题与逆否命题,逆命题与否命题的等价关系进行判断.【变式训练】(2016淄博模拟)已知a,b,cR,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c23”的否命题是()A.若a+b+c3,则a2+b2+c23B.若a+b+c=3,则a2+b2+c23C.若a+b+c3,则a2+b2+c23D.若a2+b2+c23,则a+b+c=3【解析】选A.原命题的否命题是“若a+b+c3,则a2+b2+c20的等差数列an的四个命题:p1:数列an是递增数列;p2:数列nan是递增数列;p3:数列 是递增数列;p4:数列an+3nd是递增数列.其中的真命题为()A.p1,p2 B.p3,p4C.p2,p3 D.p1,p4【解析】选D.由题意知p1显然正确;p2是假命题,例如,当an=n-4时,数列nan中第一、二、三项分别为-3,-4,-3,显然它不是递增数列;p3是假命题,例如,当an=n时,=1,即是常数列;对于p4:因为an+1+3(n+1)d-(an+3nd)=d+3d=4d0,所以p4是真命题.考向二充分条件、必要条件的判断【典例2】(1)(2015陕西高考)“sin=cos”是“cos 2=0”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件(2)(2015安徽高考)设p:1x1,则p是q成立的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【解题导引】(1)结合二倍角的余弦公式进行判断或先表示出角,再判断.(2)利用集合法结合充分、必要条件的定义及指数不等式的求解进行判断.【规范解答】(1)选A.方法一:由cos2=0得cos2-sin2=(cos+sin)(cos-sin)=0,得sin=cos或sin=-cos.所以sin=coscos 2=0,即“sin=cos”是“cos2=0”的充分不必要条件.方法二:由sin=cos,得即-=k,kZ,=k+,kZ.而由cos 2=0,得2=k+,kZ,=kZ.所以sin=coscos2=0,即“sin=cos”是“cos2=0”的充分不必要条件.(2)选A.由2x20 x0,且x|1x0可知:由p能推出q,但由q不能得出p,所以p是q成立的充分不必要条件.【规律方法】充要条件的三种判断方法(1)定义法:根据pq,qp进行判断.(2)集合法:根据p,q成立对应的集合之间的包含关系进行判断.(3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题,如“xy1”是“x1或y1”的何种条件,即可转化为判断“x=1且y=1”是“xy=1”的何种条件.【变式训练】(2016滨州模拟)给定两个命题p,q.若p是q的必要而不充分条件,则p是q的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解题提示】利用原命题与逆否命题等价进行判断.【规范解答】选A.因为p是q的必要不充分条件,则qp但p q,其逆否命题为pq但q p,所以p是q的充分不必要条件.【加固训练】1.(2016临沂模拟)设条件p:a0;条件q:a2+a0,那么p是q的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【解析】选A.因为a2+a0,所以a0,a-1,可判断:若p:a0;则条件q:a2+a0成立.可判断:p是q的充分不必要条件.2.(2015湖北高考)l1,l2表示空间中的两条直线,若p:l1,l2是异面直线,q:l1,l2不相交,则()A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件【解析】选A.若p:l1,l2是异面直线,由异面直线的定义知,l1,l2不相交,所以命题q:l1,l2不相交成立,即p是q的充分条件,反过来,若q:l1,l2不相交,则l1,l2可能平行,也可能异面,所以不能推出l1,l2是异面直线,即p不是q的必要条件.3.(2014全国卷)函数f(x)在x=x0处导数存在,若p:f(x0)=0;q:x=x0是f(x)的极值点,则()A.p是q的充分必要条件B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件【解析】选C.因为若f(x0)=0,则x=x0不一定是极值点,所以命题p不是q的充分条件;因为若x=x0是极值点,则f(x0)=0,所以命题p是q的必要条件.4.(2014湖北高考)设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得AC,B C”是“AB=”的()A.充分而不必要的条件B.必要而不充分的条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件【解析】选C.依题意,若AC,则C A,当B C时,可得AB=;若AB=,不妨令C=A,显然满足AC,B C,故满足条件的集合C是存在的.考向三充分条件、必要条件的应用【典例3】(1)不等式(a+x)(1+x)0成立的一个充分而不必要条件是-2x0),且p是q的必要而不充分条件,则实数m的取值范围是.【解题导引】(1)先求出不等式(a+x)(1+x)0的解集,再根据条件关系判断解集之间的包含关系,求解.(2)先求出p,q对应不等式的解集,再利用p,q间的关系列出关于m的不等式或不等式组求解.【规范解答】(1)不等式变形为(x+1)(x+a)0,因为当-2x-1时,不等式成立,所以不等式的解为-ax-a,即a2.答案:a2(2)因为p是q的必要而不充分条件,所以p是q的充分而不必要条件.由q:x2-2x+1-m20,m0,得1-mx1+m,则q:Q=x|1-mx1+m,m0.由p:|4-x|6,解得-2x10,则p:P=x|-2x10.因为p是q的充分而不必要条件,则P Q,所以即m9或m9.故m9.答案:m9【一题多解】解答本题,还有以下解法:由q:x2-2x+1-m20,m0,得1-mx1+m,则q:A=x|x1+m或x0.由p:|4-x|6,得-2x10,则p:B=x|x10或x9.故m9.答案:m9【规律方法】1.与充分条件、必要条件有关的参数问题的求解方法根据条件把问题转化为集合之间的关系,并由此列出关于参数的不等式(组)求解,要注意区间端点值的检验.2.充要条件的证明方法在解答题中证明一个论断是另一个论断的充要条件时,其基本方法是分“充分性”和“必要性”两个方面进行证明.这类试题一般有两种设置格式.(1)证明:A成立是B成立的充要条件,其中充分性是AB,必要性是BA.(2)证明:A成立的充要条件是B,此时的条件是B,故充分性是BA,必要性是AB.易错提醒:在对充分性与必要性分别进行证明的题中,需要分清命题的条件和结论.【变式训练】已知a+b0,证明a2+b2-a-b+2ab=0成立的充要条件是a+b=1.【证明】先证充分性:若a+b=1,则b=1-a,所以a2+b2-a-b+2ab=a2+(1-a)2-a-(1-a)+2a(1-a)=a2+1-2a+a2-a-1+a+2a-2a2=0.即a2+b2-a-b+2ab=0,充分性得证,再证必要性:若a2+b2-a-b+2ab=0,即(a+b)2-(a+b)=0,(a+b-1)(a+b)=0,因为a+b0,所以a+b-1=0,即a+b=1,必要性得证,综上可得,a2+b2-a-b+2ab=0成立的充要条件是a+b=1.【加固训练】1.函数f(x)=有且只有一个零点的充分不必要条件是()A.a0 B.0a C.a1【解析】选A.因为函数f(x)过点(1,0),所以函数f(x)有且只有一个零点函数y=-2x+a(x0)没有零点函数y=2x(x0)与直线y=a无公共点.由数形结合,可得a0或a1.观察选项,根据集合间关系a|a1,故选A.2.若“x21”是“x1得x1或x-1.由题意知x|x1或x-1,所以a-1,从而a的最大值为-1.答案:-1
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