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第四节 基本不等式编辑课件编辑课件1.1.基本不等式：基本不等式：(1)(1)基本不等式成立的条件是基本不等式成立的条件是_._.(2)(2)等号成立的条件：当且等号成立的条件：当且仅仅当当_时时取等号取等号.(3)(3)称称为为正数正数a,ba,b的的_，称称为为正数正数a,ba,b的的_(4)(4)_._.(4)(4)语语言叙述：两个正数的言叙述：两个正数的_不小于它不小于它们们的的_._.a0,b0a0,b0a=ba=b算算术术平均数平均数几何几何平均数平均数算算术术平均数平均数几何平均几何平均数数编辑课件2.2.基本不等式的基本不等式的变变形形(1)a+b (a,b0).(1)a+b (a,b0).(2)a(2)a2 2+b+b2 2_(a,bR)._(a,bR).(3)(3)3 3利用基本不等式求最利用基本不等式求最值(1)(1)两个正数的和两个正数的和为定定值时，它，它们的的积有最大有最大值，即若，即若a a，b b为正正实数，且数，且a ab bM M，M M为定定值，则ab ab ，等号当且，等号当且仅当当_时成立成立.简记：和定：和定积最大最大.2ab2aba ab b编辑课件(2)(2)两个正数的两个正数的积为积为定定值时值时，它，它们们的和有最小的和有最小值值，即若，即若a a，b b为为正正实实数，且数，且ababP P，P P为为定定值值，则则a ab_b_，等号当且，等号当且仅仅当当_时时成立成立.简记简记：积积定和最小定和最小.a ab b编辑课件判断下面判断下面结论结论是否正确是否正确(请请在括号中打在括号中打“”“”或或“”).“”).(1)(1)函数函数y=x+y=x+的最小的最小值值是是2.()2.()(2)ab (2)ab 成立的条件是成立的条件是ab0.()ab0.()(3)(3)函数函数f(x)=x(0,)f(x)=x(0,)的最小的最小值值等于等于4.()4.()(4)x0(4)x0且且y0y0是是 的充要条件的充要条件.().()(5)(5)若若a0a0，则则 的最小的最小值为值为 ()()编辑课件【解析】【解析】(1)(1)错误错误.当当x0 x0时时，函数，函数值值一定一定为负为负，最小，最小值值不是不是2.2.(2)(2)错误错误.当当ab0ab0 x0且且y0y0时时一定有一定有 但当但当 时时，不一，不一定有定有x0 x0且且y0y0，所以，所以x0 x0且且y0y0是是 的充分不必要条件的充分不必要条件.编辑课件(5)(5)错误错误.虽虽有有 ，但不能，但不能说说 就是就是 的最小的最小值值，因，因为为 的的值值与与a a有关，不是一个定有关，不是一个定值值.答案答案:(1)(2)(3)(4)(5)(1)(2)(3)(4)(5)编辑课件1.1.下列不等式中正确的是下列不等式中正确的是()()(A)(A)若若aRaR，则则a a2 2+96a+96a(B)(B)若若a,bRa,bR，则则(C)(C)若若a,b0a,b0，则则(D)(D)若若xRxR，则则编辑课件【解析】【解析】选选C.C.对对于于A A，a a2 2+9-6a=(a-3)+9-6a=(a-3)2 20,a0,a2 2+96a,+96a,故故A A不不正确正确.由基本不等式成立的条件知由基本不等式成立的条件知B B错误错误.对对于于C C，当，当a,b0a,b0时时，有，有 ，所以，所以 故故C C选选项项正确正确.对对于于D D，xR,xR,故故D D错误错误.编辑课件2.2.若若x0,y0 x0,y0，且，且x+y=x+y=，则则xyxy的最大的最大值为值为()()(A)(B)(C)(D)(A)(B)(C)(D)【解析】【解析】选选D.D.由基本不等式可得由基本不等式可得当且当且仅仅当当x=y=x=y=时时，xyxy取最大取最大值值 .故故选选D.D.编辑课件3.3.函数函数f(x)=3f(x)=3x x+3+3-x-x的最小的最小值值是是()()(A)2 (B)1 (C)3 (D)(A)2 (B)1 (C)3 (D)【解析】【解析】选选A.A.由于由于3 3x x0,30,3-x-x00，所以，所以 当且当且仅仅当当3 3x x=3=3-x-x，即，即x=0 x=0时时函数取得最小函数取得最小值值2.2.编辑课件4.4.某公司租地建某公司租地建仓库仓库，每月土地占用，每月土地占用费费y y1 1与与仓库仓库到到车车站的距离站的距离成反比，而每月成反比，而每月库库存存货货物的运物的运费费y y2 2与与仓库仓库到到车车站的距离成正比，站的距离成正比，如果在距离如果在距离车车站站1010千米千米处处建建仓库仓库，这这两两项费项费用用y y1 1和和y y2 2分分别为别为2 2万万元和元和8 8万元万元.那么，要使那么，要使这这两两项费项费用之和最小，用之和最小，仓库应仓库应建在离建在离车车站站_千米千米处处.编辑课件【解析】【解析】设仓库设仓库到到车车站的距离站的距离为为x x千米，由千米，由题题意意设设 y y2 2=k=k2 2x x，而当，而当x=10 x=10时时，y y1 1=2=2，y y2 2=8=8，于是，于是k k1 1=20,k=20,k2 2=，因此，因此y y1 1=,y=,y2 2=x,y=x,y1 1+y+y2 2=+=+当且当且仅仅当当x=5x=5时时取等取等号，所以号，所以仓库应仓库应建在离建在离车车站站5 5千米千米处处.答案答案:5 5编辑课件5 5已知已知a a，b b为为正正实实数且数且a+b=1a+b=1，则则(1+)(1+)(1+)(1+)的最小的最小值为值为_._.【解析】【解析】a0,b0,a+b=1,a0,b0,a+b=1,同理同理 等号成立的等号成立的条件条件为为a=b=.a=b=.答案答案:9 9 编辑课件考向考向1 1 利用基本不等式判断命利用基本不等式判断命题题真假真假【典例【典例1 1】(1)(2013(1)(2013东东莞模莞模拟拟)若若a0,b0a0,b0，且，且a+b=2a+b=2，则则下下列不等式中正确的是列不等式中正确的是()()(A)ab1(A)ab1(B)ab1(B)ab1(C)a(C)a2 2+b+b2 244(D)a(D)a2 2+b+b2 244编辑课件(2)(2012(2)(2012福建高考福建高考)下列不等式一定成立的是下列不等式一定成立的是()()(A)lg(x(A)lg(x2 2+)lg x(x0)+)lg x(x0)(B)(B)(C)x(C)x2 2+12|x|+12|x|(D)(D)【思路点【思路点拨拨】运用基本不等式和不等式的性运用基本不等式和不等式的性质对质对每个每个选项进选项进行行分析判断，注意基本不等式分析判断，注意基本不等式应应用的条件和等号成立的条件是否用的条件和等号成立的条件是否满满足足.编辑课件【规规范解答】范解答】(1)(1)选选A.A.由已知可得由已知可得而而a a2 2+b+b2 2=(a+b)=(a+b)2 2-2ab=4-2ab2-2ab=4-2ab2，故只有，故只有A A正确正确.(2)(2)选选C.C.由于由于所以所以当且当且仅仅当当x x2 2=，即，即x=x=时时取等号，故取等号，故A A错误错误.当当sin x0sin x1a1时时，lga+loglga+loga a102102；当；当ab0ab0时时，编辑课件【变变式式训练训练】(2013(2013南通模南通模拟拟)给给出下列出下列结论结论：若若x0 x0，则则 若若a0,b0a0,b0，则则当当x(0,)x(0,)时时，sin x+sin x+的最小的最小值为值为6 6；若若a,b0a,b0，且且ab=2ab=2，则则 其中正确其中正确结论结论的序号是的序号是_._.编辑课件【解析】【解析】对对于于，只有当，只有当x0 x0时时，才有，才有 成立，成立，故故错误错误；对对于于，虽虽然有然有a0,b0a0,b0，但，但lg alg a和和lg blg b不一定都不一定都是正数，因此不一定有是正数，因此不一定有 故故错误错误；对对于于，虽虽然当然当x(0,)x(0,)时时，sin x0sin x0，所以，所以sin+sin+但其中的等号成立的条件是但其中的等号成立的条件是sin x=sin x=，即，即sin x=3sin x=3，这显这显然是不可能的，因此不能然是不可能的，因此不能说说sin x+sin x+的最小的最小值为值为6 6，故，故错误错误；对对于于，由于，由于当且当且仅仅当当a=b=a=b=时时取等号，所以取等号，所以正确正确.答案答案:编辑课件考向考向2 2 利用基本不等式求最利用基本不等式求最值值【典例【典例2 2】(1)(2013(1)(2013南京模南京模拟拟)若若x0 x0 x0，则则函数函数y=y=的最小的最小值值等于等于_._.(3)(2013(3)(2013余姚模余姚模拟拟)已知正数已知正数a,ba,b满满足足 则则a+ba+b的取的取值值范范围围是是_._.编辑课件【思路点【思路点拨拨】(1)(1)因因为为x0 x0，所以可，所以可对对(-x)+()(-x)+()利用基本不利用基本不等式求最小等式求最小值值.(2)(2)将函数解析式将函数解析式变变形形为为y=y=，再，再对对 运用运用基本不等式求最基本不等式求最值值.(3)(3)一种思路是根据一种思路是根据 将将a+ba+b中的中的b b用用a a表示，然后用基本表示，然后用基本不等式求范不等式求范围围；另一种思路是；另一种思路是对对 变变形，形，获获得得a+ba+b与与abab的关系，然后利用解不等式消去的关系，然后利用解不等式消去abab建立建立a+ba+b的不等式求解的不等式求解.编辑课件【规规范解答】范解答】(1)(1)由于由于x0 x0,b0a0,b0，可得，可得a .a .于是于是 当且当且仅仅当当a-=a-=，即，即a=a=时时取等号，所以取等号，所以a+ba+b的取的取值值范范围围是是 ,+).,+).编辑课件方法二：由方法二：由 得得a+b=3ab.a+b=3ab.由于由于 ，所以，所以 ，即即4(a+b)3(a+b)4(a+b)3(a+b)2 2，所以，所以a+b a+b ，即，即a+ba+b的取的取值值范范围围是是 ,+).,+).答案答案:,+),+)编辑课件【互【互动动探究】探究】本例本例题题(3)(3)中，条件不中，条件不变变，则则abab的取的取值值范范围围是是_._.【解析】【解析】由于由于a+b a+b ，所以，所以3ab 3ab ，即，即9(ab)9(ab)2 24ab4ab，所以所以ab ab ，即，即abab的取的取值值范范围围是是 ,+).,+).答案答案:,+),+)编辑课件【拓展提升】【拓展提升】两个正数的和与两个正数的和与积积的的转转化化基本不等式具有将基本不等式具有将“和式和式”转转化化为为“积积式式”和将和将“积积式式”转转化化为为“和式和式”的放的放缩缩功能，因此可以用在一些不等式的功能，因此可以用在一些不等式的证证明中，明中，还还可以用于求代数式的最可以用于求代数式的最值值或取或取值值范范围围.如果条件等式中，同如果条件等式中，同时时含有两个含有两个变变量的和与量的和与积积的形式，就可以直接利用基本不等式的形式，就可以直接利用基本不等式对对两个正数的和与两个正数的和与积进积进行行转转化，然后通化，然后通过过解不等式解不等式进进行求解行求解.【提醒】【提醒】形如形如y=x+(a0)y=x+(a0)的函数求最的函数求最值时值时，首先考，首先考虑虑用基本用基本不等式，若等号取不到，再利用不等式，若等号取不到，再利用该该函数的函数的单调单调性求解性求解.编辑课件【变变式式备选备选】(1)(2012(1)(2012济济宁模宁模拟拟)已知已知x0,y0,x+2y+2xy=8,x0,y0,x+2y+2xy=8,则则x+2yx+2y的最小的最小值值是是()()(A)3 (B)4 (C)(D)(A)3 (B)4 (C)(D)【解析】【解析】选选B.B.由于由于x0,y0 x0,y0，所以，所以2xy=x2y 2xy=x2y 而而2xy=8-(x+2y)2xy=8-(x+2y)，于是有，于是有8-(x+2y)8-(x+2y)令令x+2y=tx+2y=t，则则t t2 2+4t-320+4t-320，解得，解得t4t4或或t-8(t-8(舍去舍去)，因此，因此x+2y4x+2y4，即，即x+2yx+2y的最小的最小值值是是4 4，故，故选选B.B.编辑课件(2)(2012(2)(2012海口模海口模拟拟)函数函数f(x)=sin x+(0 x)f(x)=sin x+(0 x)的最小的最小值值是是_._.【解析】【解析】因因为为0 x0 x，所以，所以0sin x1.00y0得得x4(x4(x-4舍去舍去)，所以函数在所以函数在(4,+)(4,+)上上单调递单调递增，于是当增，于是当x=5x=5时时，y y取得最小取得最小值值13 18013 180元元.编辑课件【拓展提升】【拓展提升】注意注意变变量的取量的取值值范范围围在利用基本不等式解决在利用基本不等式解决实际应实际应用用问题时问题时，一定要注意，一定要注意问题问题中所中所涉及涉及变变量的取量的取值值范范围围，即函数的定，即函数的定义义域，分析在域，分析在该该范范围围内是否内是否存在使基本不等式的等号成立的存在使基本不等式的等号成立的变变量量值值，若存在，若存在，则则可利用基可利用基本不等式求解，若使基本不等式的等号成立的本不等式求解，若使基本不等式的等号成立的变变量量值值不在函数不在函数定定义义域内，域内，则应则应利用利用导导数研究函数的数研究函数的单调单调性，根据性，根据单调单调性求最性求最值值.编辑课件【变变式式备选备选】某种汽某种汽车车，购车费购车费用用为为1010万元，每年的保万元，每年的保险费险费、汽油汽油费约为费约为0.90.9万元，年万元，年维维修修费费第一年是第一年是0.20.2万元，以后逐年万元，以后逐年递递增增0.20.2万元万元.这这种汽种汽车车使用多少年使用多少年时时，它的年平均，它的年平均费费用最少？用最少？编辑课件【解析】【解析】由于由于“年年维维修修费费第一年是第一年是0.20.2万元，以后逐年万元，以后逐年递递增增0.20.2万元万元”，可知汽，可知汽车车每年每年维维修修费费构成以构成以0.20.2万元万元为为首首项项，0.20.2万元万元为为公差的等差数列，因此，汽公差的等差数列，因此，汽车车使用使用x x年年时总时总的的维维修修费费用用为为 万元万元.设设汽汽车车的年平均的年平均费费用用为为y y万元，万元，则则有有 编辑课件当且当且仅当当 即即x=10 x=10时，y y取得最小取得最小值.答：汽答：汽车使用使用1010年年时，它的年平均，它的年平均费用最少用最少.编辑课件【易【易错误错误区】区】忽忽视视基本不等式等号成立的条件致基本不等式等号成立的条件致误误【典例】【典例】(2012(2012浙江高考浙江高考)若正数若正数x x，y y满满足足x+3y=5xyx+3y=5xy，则则3x+4y3x+4y的最小的最小值值是是()()(A)(B)(C)5 (D)6(A)(B)(C)5 (D)6【误误区警示】区警示】本本题题在求解中容易出在求解中容易出现现的的错误错误是：是：对对x+3yx+3y运用基运用基本不等式得到本不等式得到 的范的范围围，再，再对对3x+4y3x+4y运用基本不等式，然后通运用基本不等式，然后通过过不等式的不等式的传递传递性得到性得到3x+4y3x+4y的最的最值值，忽，忽视视了基本不等式中等了基本不等式中等号成立的条件，没有注意到两次运用基本不等式号成立的条件，没有注意到两次运用基本不等式时时等号成立的等号成立的条件不一致，从而条件不一致，从而导导致致错误错误.编辑课件【规规范解答】范解答】选选C.C.由由x+3y=5xyx+3y=5xy可得可得所以所以3x+4y=(3x+4y)()3x+4y=(3x+4y)()当且当且仅仅当当x=1,y=x=1,y=时时取等号，故取等号，故3x+4y3x+4y的最小的最小值值是是5.5.编辑课件【思考点【思考点评评】1.1.连续连续运用基本不等式运用基本不等式应应注意等号成立的条件：注意等号成立的条件：连续连续使用基本使用基本不等式不等式时时取等号的条件很取等号的条件很严严格，要求同格，要求同时满时满足任何一次的字母足任何一次的字母取取值值存在且一致因此尽量不要存在且一致因此尽量不要连续连续两次以上使用基本不等式，两次以上使用基本不等式，若使用两次若使用两次时应时应保保证证两次等号成立的条件同两次等号成立的条件同时时相等相等.2.2.妙用妙用“1”“1”的代的代换换求代数式的最求代数式的最值值：在求解含有两个：在求解含有两个变变量的量的代数式的最代数式的最值问题时值问题时，通常的解决，通常的解决办办法是法是变变量替量替换换或常或常值值“1”“1”的替的替换换，即由已知条件得到某个式子的，即由已知条件得到某个式子的值为值为常数，然后常数，然后将欲求最将欲求最值值的代数式乘上常数，再的代数式乘上常数，再对对代数式代数式进进行行变变形整理，从形整理，从而可利用基本不等式求最而可利用基本不等式求最值值.编辑课件1.(20131.(2013韶关模韶关模拟拟)若若a1,a1,则则 的最大的最大值值是是()()(A)3 (B)a (C)-1 (D)(A)3 (B)a (C)-1 (D)【解析】【解析】选选C.C.因因为为a1,a1,所以所以a-10a-1tt2 2 (B)t(B)t1 1t0,b0a0,b0，若不等式，若不等式 恒成立，恒成立，则m m的最大的最大值等于等于()()(A)10 (B)9 (C)8 (D)7(A)10 (B)9 (C)8 (D)7【解析解析】选B.B.由于由于a0,b0a0,b0，所以不等式可化，所以不等式可化为 而而 当且当且仅当当 ，即，即a=ba=b时 取最小取最小值9 9，所以不等式恒成立，所以不等式恒成立时m m的最大的最大值等于等于9.9.编辑课件4.(20134.(2013湛江模湛江模拟拟)已知三角形已知三角形ABCABC中，点中，点D D是是BCBC的中点，的中点，过过点点D D的直的直线线分分别别交直交直线线ABAB，ACAC于于E,FE,F两点，若两点，若 则则 的最小的最小值值是是()()(A)9 (B)(C)5 (D)(A)9 (B)(C)5 (D)编辑课件【解析】【解析】选选D.D.由由D D，E E，F F三点共三点共线线可可设设=DD为BCBC的中点的中点,编辑课件 即即+=2,+=2,则当且当且仅当当 时取等号取等号.故故选D.D.编辑课件1.1.下列下列结论结论中正确的是中正确的是()()(A)(A)若若a0,a0,则则(a+1)(+1)2(a+1)(+1)2(B)(B)若若x0,x0,则则ln x+2ln x+2(C)(C)若若a+b=1,a+b=1,则则a a2 2+b+b2 2 (D)(D)若若a+b=1,a+b=1,则则a a2 2+b+b2 2 编辑课件【解析】【解析】选选C.C.当当a0a0时时，有，有(a+1)(+1)(a+1)(+1)故故A A错错误误.当当x0 x0时时，不一定有，不一定有ln x0ln x0，故，故 不一定成立，不一定成立，B B错误错误.当当a+b=1a+b=1时时，ab ab 故故a a2 2+b+b2 2=(a+b)=(a+b)2 2-2ab=1-2ab=1-2ab1-2=2ab1-2=，因此，因此C C正确，正确，D D错误错误.编辑课件2.2.已知已知a,ba,b都是正都是正实实数，函数数，函数y=2aey=2aex x+b+b的的图图象象过过(0,1)(0,1)点，点，则则 的最小的最小值值是是()()(A)3+(B)3-(A)3+(B)3-(C)4 (D)2(C)4 (D)2【解析】【解析】选选A.A.依依题题意得意得2a+b=12a+b=1，于是，于是 当且当且仅仅当当 即即b=-b=-1,1,时时，取最小取最小值值3+.3+.编辑课件
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