线性代数-行列式课件

第1章 行列式 行列式是线性代数的一个重行列式是线性代数的一个重要组成部分要组成部分.它是研究矩阵、线性方它是研究矩阵、线性方程组、特征多项式的重要工具程组、特征多项式的重要工具.本章本章介绍了介绍了n n阶行列式的定义、性质及计阶行列式的定义、性质及计算方法，最后给出了它的一个简单应算方法，最后给出了它的一个简单应用用克莱姆法则克莱姆法则.第1章 行列式 行列式是线性代数的一个重要组1第第1 1章章 行列式行列式n n阶行列式的定义阶行列式的定义行列式的性质行列式的性质行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开克莱姆法则克莱姆法则行列式的一个简单应用行列式的一个简单应用数学实验数学实验2第1章 行列式n阶行列式的定义2第第1.1节节 n阶行列式的定义阶行列式的定义 本节从二、三阶行列式出发，给本节从二、三阶行列式出发，给出出n阶阶行列式的概念行列式的概念.基本内容：基本内容：二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式排列及其逆序数排列及其逆序数n阶行列式定义阶行列式定义转置行列式转置行列式返回3第1.1节 n阶行列式的定义 本节从二、三阶行列式即即 称其为称其为二阶行列式二阶行列式.记号：记号：它表示数：它表示数：左上角到右下角表示左上角到右下角表示主对角线主对角线，4即 称其为二阶行列式.记号：它表示数：左上角到右下角表示主例例设(1)当 为何值时，(2)当 为何值时解或右上角到左下角表示右上角到左下角表示次对角线次对角线，例例设(1)当 为何值时，(2)当 为何值时5例3 求二阶行列式例3 求二阶行列式6(2)三阶行列式三阶行列式记号记号 即即 称为称为三阶行列式三阶行列式.它表示数它表示数7(2)三阶行列式记号 即 称为三阶行列式.它表示数7 可以用可以用对角线法则对角线法则来记忆如下来记忆如下.8 可以用对角线法则来记忆如下.8主对角线法主对角线法9主对角线法9例例4 计算三阶行列式计算三阶行列式解解:由主对角线法，有由主对角线法，有10例4 计算三阶行列式解:由主对角线法，有10例5例511例6满足什么条件时有解由题可得，即使即时，给定的行列式为零例6满足什么条件时有解由题可得，即使即时，给定的行列式为零12例7的充分必要条件是什么？解或或例7的充分必要条件是什么？解或或13练习练习：计算下列行列式解练习：计算下列行列式解141.排列及其逆序数排列及其逆序数(1)排列排列 由自然数由自然数1,2,n,组成的一个有序数组组成的一个有序数组i1i2in称为一个称为一个n级排列级排列.如：由如：由1,2,3可组成的三级排列有可组成的三级排列有3！=6个：个：123 132 213 231 312 321（总数为（总数为 n!个）个）注意注意:上述排列中只有第一个为自然顺序上述排列中只有第一个为自然顺序(小小大大),其其他则或多或少地破坏了自然顺序他则或多或少地破坏了自然顺序(元素大小与位置相元素大小与位置相反反)构成构成逆序逆序.1.2 n1.2 n阶行列式阶行列式151.排列及其逆序数(1)排列 由自然数1,2,n,组成的(2)排列的逆序数排列的逆序数定义：定义：在一个在一个n 级排列级排列i1i2in中，若某两数的前中，若某两数的前 后位置与大小顺序相反后位置与大小顺序相反,即即isit(ts),则称这两数构则称这两数构 成一个成一个逆序逆序.排列中逆序的总数排列中逆序的总数,称为它的逆序数，称为它的逆序数，记为记为N(i1i2in).=3 =2例例1 N(2413)N(312)16(2)排列的逆序数定义：在一个n 级排列i1i2in中(2)排列的逆序数排列的逆序数定义：定义：在一个在一个n 级排列级排列i1i2in中，若某两数的前中，若某两数的前 后位置与大小顺序相反后位置与大小顺序相反,即即isit(ts),则称这两数构则称这两数构 成一个成一个逆序逆序.排列中逆序的总数排列中逆序的总数,称为它的逆序数，称为它的逆序数，记为记为N(i1i2in).n奇偶排列奇偶排列:若排列若排列i1i2in的逆序数为的逆序数为奇（偶）数，奇（偶）数，称它为称它为奇（偶）排列奇（偶）排列.=3 =2例例1 N(2413)N(312)17(2)排列的逆序数定义：在一个n 级排列i1i2in中逆序数的计算方法逆序数的计算方法即例例2 N(n(n-1)321)N(135(2n-1)(2n)(2n-2)42)=0+1+2+(n-1)=n(n-1)/2=2+4+(2n-2)=n(n-1)逆序数的计算方法即例2 N(n(n-1)32118证明：证明：对换：对换：对换在一个排列对换在一个排列i1isit in中，若其中某中，若其中某两数两数is和和it互换位置互换位置,其余各数位置不变得到另一其余各数位置不变得到另一排列排列i1itis in,这种变换称为一个对换这种变换称为一个对换,记为记为(is it).例例3定理定理1.1：任一排列经过一个对换后奇偶性改变。任一排列经过一个对换后奇偶性改变。19证明：对换：对换在一个排对换在相邻两数间发生对换在相邻两数间发生，即，即设排列设排列 jk (1)经经j,k对换变成对换变成 kj (2)此时，排列此时，排列(1)、(2)中中j,k与其他数与其他数是否构成逆序的情形未是否构成逆序的情形未发生变化；而发生变化；而j与与k两数两数构成逆序的情形有变化：构成逆序的情形有变化：若若(1)中中jk构成逆序构成逆序,则则(2)中不构成逆序中不构成逆序(逆序数减少逆序数减少1)若若(1)中中jk不构成逆序不构成逆序,则则(2)中构成逆序中构成逆序(逆序数增加逆序数增加1)一般情形一般情形设排列设排列 ji1isk(3)经经j,k对换变成对换变成 k i1is j(4)易知，易知，(4)可由可由(3)经一系列相邻对换得到：经一系列相邻对换得到：k经经s+1次相邻对换成为次相邻对换成为 kj i1is j经经s次相邻对换成为次相邻对换成为 ki1is j 即经即经2s+1次相邻对换后次相邻对换后(3)成为成为(4).相邻对换改变排列的奇偶相邻对换改变排列的奇偶性，奇数次这样的对换后排列的奇偶性改变性，奇数次这样的对换后排列的奇偶性改变.|20对换在相邻两数间发生，即20定理定理1.21.2定理1.221思考练习思考练习（排列的逆序数详解）（排列的逆序数详解）方法方法1 在排列在排列x1x2xn中，任取两数中，任取两数xs和和xt(st),则它们必在排列则它们必在排列x1x2xn或或xnxn-1x1中构成逆序，中构成逆序，且只能在其中的一个排列中构成逆序且只能在其中的一个排列中构成逆序.又在排列又在排列x1x2xn中取两数的方法共有中取两数的方法共有 依题意，有依题意，有故排列故排列 x1x2xn 与与 xnxn-1x1 中逆序之和为中逆序之和为此即此即 22思考练习（排列的逆序数详解）方法1 在排列x1x方法方法2 n个数中比个数中比i大的数有大的数有n-i个个(i=1,2,n),若在排列若在排列x1x2xn中对中对i构成的逆序为构成的逆序为li个个,则在则在xnxn-1x1中对中对i构构成的逆序为成的逆序为(n-i)-li,于是两排列中对于是两排列中对i构成的逆序之和构成的逆序之和为为li+(n-in-i)-li=n-i (i=1,2,n)此即此即 23方法2 n个数中比i大的数有n-i个(i（二）（二）n阶行列式定义阶行列式定义分析：分析：(i)每一项均是由取自不同行、不同列的三个元素的每一项均是由取自不同行、不同列的三个元素的乘积构成，除符号外可写为乘积构成，除符号外可写为(ii)符号为符号为“+”123 231 312 （偶排列）（偶排列）“-”321 213 132（奇排列）（奇排列）(iii)项数为项数为 3！=624（二）n阶行列式定义分析：(i)每一项均是由取自不同行、不同n推广之推广之，有如下，有如下n 阶行列式定义阶行列式定义推广之，有如下n 阶行列式定义25定义：定义：是所有取自不同行、不同列是所有取自不同行、不同列n个元素的乘积个元素的乘积并冠以符号并冠以符号 的项的和的项的和.(i)是是取自不同行、不同列的取自不同行、不同列的n个元素的乘积；个元素的乘积；(ii)行标按自然顺序排列，列标排列的奇偶性行标按自然顺序排列，列标排列的奇偶性 决定每一项的符号；决定每一项的符号；(iii)表示对所有的表示对所有的 构成的构成的n！个排列求和个排列求和.26定义：是所有取自不同行、不同列n个元素的乘积并冠以符号 例例1 证明证明下三角行列式下三角行列式证：证：由定义由定义和式中和式中,只有当只有当所以所以下三角行列式的值等于其主对角线上各元素的乘积下三角行列式的值等于其主对角线上各元素的乘积.27例1 证明下三角行列式证：由定义和式中,只有当所以下三角线性代数-行列式课件28例例2 计算计算解解由行列式定义由行列式定义,和式中仅当和式中仅当29例2 计算解由行列式定义,和式中仅当29注：注：30例3用行列式的定义来计算行列式解设练习：例3用行列式的定义来计算行列式解设练习：31例例4应为何值应为何值，符号是什么？此时该项的此时该项的解此时或(1)若则取负号(2)若则取正号若若是五阶行列式是五阶行列式的一项，则的一项，则例4应为何值，符号是什么？此时该项的解此时或(1)若则取负32例例5用行列式定义计算解：例5用行列式定义计算解：33 由于数的乘法满足交换律，故而行列式各项中由于数的乘法满足交换律，故而行列式各项中n 个元素的顺序可以任意交换个元素的顺序可以任意交换.一般，可以证明一般，可以证明定理定理1.3:n阶行列式阶行列式D=Det(aij)的项可以写为的项可以写为其中其中i1i2in和和j1 j2 jn都是都是n级排列级排列.或或另一定义形式另一定义形式另一定义形式另一定义形式n推论推论:n阶行列式阶行列式D=Det(aij)的值为的值为34 由于数的乘法满足交换律，故而行列式各项中n 4.转置行列式转置行列式n定义：定义：如果将行列式如果将行列式D的行换为同序数的列，得的行换为同序数的列，得到的新行列式称为到的新行列式称为D的的转置行列式转置行列式，记为，记为DT.即若即若354.转置行列式定义：如果将行列式D的行换为同序数的列，得35 用定义计算用定义计算思考练习思考练习（n阶行列式定义）阶行列式定义）答答案案36 用定义计算思考练习（n阶行列式定义）答案361.3 行列式的性质行列式的性质 对多对多“0 0”的或是阶数较低的或是阶数较低(二、三二、三阶阶)的行列式利用定义计算较为容易的行列式利用定义计算较为容易,但但对一般的、高阶的（对一般的、高阶的（n n 4 4）行列式而言）行列式而言,直直接利用定义计算很困难或几乎是不可能的接利用定义计算很困难或几乎是不可能的 .因而需要讨论行列式的性质，用以简化因而需要讨论行列式的性质，用以简化计算计算.返回返回371.3 行列式的性质 对多“0”的或是阶数性质性质1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.（D=DT）证：证：事实上事实上,若记若记 DT=Det(bij),则则解解例例1 计算行列式计算行列式38性质1 行列式与它的转置行列式相等.（D=DT）证：事实上性质性质2 互换行列式的两行互换行列式的两行(rirj)或列或列(cicj)，行列，行列式的值变号式的值变号.推论推论 若行列式若行列式D的两行（列）完全相同的两行（列）完全相同,则则D=0.性质性质3推论推论 (1)D中行列式某一行（列）的所有元素的因中行列式某一行（列）的所有元素的因子可以提到行列式符号的外面，子可以提到行列式符号的外面，(2)D的两行的两行(列列)对应元素成比例，则对应元素成比例，则D=0.39性质2 互换行列式的两行(rirj)或列(cicj)性质性质4 若行列式若行列式 某一行某一行(列列)的所有元素都是两个数的所有元素都是两个数的和的和,则此行列式等于两个行列式的和则此行列式等于两个行列式的和.这两个行列这两个行列式的这一行式的这一行(列列)的元素分别为对应的两个加数之一，的元素分别为对应的两个加数之一，其余各行其余各行(列列)的元素与原行列式相同的元素与原行列式相同.即即证证40性质4 若行列式 某一行(列)的所有元素都是两个数的和性质性质5 行列式行列式D的某一行的某一行(列列)的所有元素都乘以数的所有元素都乘以数 k加到另一行加到另一行(列列)的相应元素上的相应元素上,行列式的值不变行列式的值不变,即即41性质5 行列式D的某一行(列)的所有元素都乘以数 k加到另6/17/20248/2/202342例例2 计算行列式计算行列式解解 43例2 计算行列式解 43解解44解44解解45解456/17/20248/2/2023466/17/20248/2/202347即6/17/2024即8/2/2023486/17/2024阜阳师范学院数学与计算科学学院8/2/2023阜阳师范学院数学与计算科学学院496/17/20248/2/2023506/17/2024阜阳师范学院数学与计算科学学院8/2/2023阜阳师范学院数学与计算科学学院51例例6 6 计算计算n n阶行列式阶行列式解(2)解(3)解(1)52例6 计算n阶行列式解(2)解(3)解(1)52解解(1)注意到行列式各行注意到行列式各行(列列)元素之和等于元素之和等于x+(n-1)a,有有返回53解(1)注意到行列式各行(列)元素之和等于x+(n-1)a解解(2)(2)注意到行列式各行元素之和等于注意到行列式各行元素之和等于有有返回54解(2)注意到行列式各行元素之和等于有返54解解 (3)(3)返回箭形行列式箭形行列式55解(3)返箭形行列式556/17/2024阜阳师范学院数学与计算科学学院8/2/2023阜阳师范学院数学与计算科学学院566/17/2024阜阳师范学院数学与计算科学学院8/2/2023阜阳师范学院数学与计算科学学院576/17/2024阜阳师范学院数学与计算科学学院8/2/2023阜阳师范学院数学与计算科学学院582024/6/17阜阳师范学院数学与计算科学学院2023/8/2阜阳师范学院数学与计算科学学院596/17/2024阜阳师范学院数学与计算科学学院8/2/2023阜阳师范学院数学与计算科学学院60例例9 证明证明证证 61例9 证明证 61证证62证622.证明证明1.计算行列式计算行列式思考练习思考练习（行列式的性质）行列式的性质）632.证明1.计算行列式思考练习（行列式的性质）63思考练习（思考练习（行列式性质答案）行列式性质答案）64思考练习（行列式性质答案）64=右边右边思考练习（思考练习（行列式性质答案）行列式性质答案）65=右边思考练习（行列式性质答案）65第第1.3 节节 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开1.行列式按一行（列）展开行列式按一行（列）展开余子式与代数余子式余子式与代数余子式在在n阶行列式阶行列式 中，划去元素中，划去元素aij所在的第所在的第i行和第行和第j列，余下的元素按列，余下的元素按原来的顺序构成的原来的顺序构成的n-1阶行列式，称为元素阶行列式，称为元素aij的的余子式，余子式，记作记作Mij；而而Aij=(-1)i+jMij称为元素称为元素aij的的代数余子式代数余子式.返回返回返回66第1.3 节 行列式按行（列）展开1.行列式按一行（列例例1 求出行列式求出行列式解解67例1 求出行列式解67引例：引例：6/17/2024引例：8/2/2023686/17/2024阜阳师范学院数学与计算科学学院8/2/2023阜阳师范学院数学与计算科学学院69定理定理1.4 1.4 行列式按一行（列）展开定行列式按一行（列）展开定理理n阶行列式阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即子式的乘积之和，即70定理1.4 行列式按一行（列）展开定理n阶行列式等于它的任意证证(i)D的第一行只有元素的第一行只有元素a11 0，其余元素均为零其余元素均为零,即即而而 A11=(-1)1+1M11=M11,故故D=a11A11 ;71证(i)D的第一行只有元素a110，其余元素均为零,即而(ii)当当D的第的第i行只有元素行只有元素aij 0时，即时，即 将将D中第中第i行依次与前行依次与前i-1行对调行对调,调换调换i-1次后位于第次后位于第1行行 D中第中第j列依次与前列依次与前j-1列对调列对调,调换调换j-1次后位于第次后位于第1列列经经(i-1)+(j-1)=i+j-2次对调后次对调后,aij 位于第位于第1行、第行、第1列列,即即(iii)一般地一般地由由(i)72(ii)当D的第i行只有元素aij0时，即 将D中第i行依由由(ii)73由(ii)73定理定理1.5 n阶行列式阶行列式的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零，即代数余子式的乘积之和为零，即74定理1.5 n阶行列式的任意一行（列）的各元素与另一行证证考虑辅助行列式考虑辅助行列式0=t列j列75证考虑辅助行列式0=t列j列75例例2 2 计算行列式计算行列式解解法法1法法2选取选取“0”多多的行或列的行或列76例2 计算行列式解法1法2选取“0”多766/17/2024阜阳师范学院数学与计算科学学院8/2/2023阜阳师范学院数学与计算科学学院77注注：6/17/2024注：8/2/202378例例4 讨论当讨论当 为何值时，为何值时，解解所以当论所以当论 ，79例4 讨论当 为何值时，解所以当论 例例5 求证求证证明：证明：首先从第首先从第1行起，每行减去下一行，然行起，每行减去下一行，然后按第后按第1列展开，之后又从第列展开，之后又从第1行起每行减去行起每行减去下一行，化为下三角行列式即得结果，即下一行，化为下三角行列式即得结果，即80例5 求证证明：首先从第1行起，每行减去下一行，然后按第181818282例例6 已知已知4阶行列式阶行列式解解法法1法2利用行列式的按列展开定理，简化计算利用行列式的按列展开定理，简化计算.83例6 已知4阶行列式解法1法2利用行列式的按列展开定理，简8484例例7 证明范得蒙行列式（证明范得蒙行列式（Vandermonde)证证 用数学归纳法用数学归纳法85例7 证明范得蒙行列式（Vandermonde)证 用数学 假设对假设对n-1阶范德蒙行列式结论成立，以下考虑阶范德蒙行列式结论成立，以下考虑 n 阶情形阶情形.86 假设对n-1阶范德蒙行列式结论成立，以下考虑8787例例8 计算行列式计算行列式解解1计算时，性质与按行（列）展开定理结合使用计算时，性质与按行（列）展开定理结合使用.88例8 计算行列式解1计算时，性质与按行（列）展开定理结合使解解2 利用范德蒙行列式的结论利用范德蒙行列式的结论89解2 利用范德蒙行列式的结论89例例9 计算计算n阶行列式阶行列式解解90例9 计算n阶行列式解90解解91解91思考练习思考练习（按行展开定理）按行展开定理）计算行列式计算行列式92思考练习（按行展开定理）计算行列式92思考练习思考练习（按行展开定理详解（按行展开定理详解1）93思考练习（按行展开定理详解1）93思考练习思考练习（按行展开定理详解（按行展开定理详解2）94思考练习（按行展开定理详解2）942 2*.拉普拉斯（拉普拉斯（Laplace）定理）定理k阶阶子子式式 在在n阶阶行行列列式式中中，任任意意选选定定k行行、k列列（1kn）位位于于这这些些行行列列交交叉叉处处的的k2个个元元素素按按原原来来顺顺序序构构成成的的一一个个k阶阶行行列列式式N，称称为为行行列列式式D的的一一个个k阶子式阶子式.k阶子式阶子式N的余子式及代数余子式的余子式及代数余子式 在在D中划去中划去k行、行、k列后，余下的元素按原来顺序构成的一个列后，余下的元素按原来顺序构成的一个n-k阶行阶行列式列式M，称为，称为k阶子式阶子式N的余子式的余子式;而而 为其代数余子式为其代数余子式.这里这里i1,i2,ik,j1,j2,jk分别为分别为 k阶子阶子式式N的行标和列标的行标和列标.952*.拉普拉斯（Laplace）定理k阶子式 在n阶行列式在在n阶行列式阶行列式 拉普拉斯（拉普拉斯（Laplace）定理）定理任意取定任意取定k行行(1 k n),由这由这k行元素组成的行元素组成的k阶子式阶子式N1,N2,V t 与它们的代数余子式与它们的代数余子式 的乘积之的乘积之和等于和等于D，即，即96在n阶行列式 拉普拉斯（Laplace）定理任意取定k行(1例例7 7 计算行列式计算行列式解解97例7 计算行列式解97一般地一般地98一般地98第第1.5节节 克莱姆法则克莱姆法则下面以行列式为工具下面以行列式为工具,研究含有研究含有n个方程个方程,n个未个未知量的知量的n元线性方程组的问题元线性方程组的问题.先以二元线性方程组为例先以二元线性方程组为例6/17/2024第1.5节 克莱姆法则下面以行列式为工具,研究含有n个99当系数行列式当系数行列式D0D0时，方程组有唯一解：时，方程组有唯一解：二元线性方程组二元线性方程组称为方程组的称为方程组的系数行列式系数行列式。6/17/2024当系数行列式D0时，方程组有唯一解：二元线性方程组称为方程100定理定理1.7（克莱姆法则）（克莱姆法则）如果如果n元线性方程组元线性方程组则方程组有唯一解则方程组有唯一解的系数行列式的系数行列式返回返回返回101定理1.7（克莱姆法则）如果n元线性方程组则方程组有唯一其中其中Dj(j=1,2,n)是把系数行列式是把系数行列式D中第中第j列的元素列的元素换成方程组的常数项换成方程组的常数项b1,b2,bn所构成的所构成的n级行列式级行列式,即即定理的结论有两层含义：定理的结论有两层含义：方程组（方程组（1）有解；）有解；解惟一且可由式解惟一且可由式(2)给出给出.102其中Dj(j=1,2,n)是把系数行列式D中第j列的元素证证 首先证明方程组首先证明方程组(1)有解有解.事实上事实上,将将 代入第代入第i个方程的左端，再将个方程的左端，再将Dj按第按第j列展开列展开得得 即式即式(2)给出的是方程组给出的是方程组(1)的解的解.103证 首先证明方程组(1)有解.事实上,将 代入第i个方程的左 下面证明解惟一下面证明解惟一.设设xj=cj(j=1,2,n)为方程组为方程组(1)的任意一个解，则的任意一个解，则以以D的第的第j列元素的代数余子式列元素的代数余子式 A1j,A2j,Anj依次乘依次乘以上式各等式，相加得以上式各等式，相加得从而从而 Dcj=Dj 由于由于D 0,因此因此即方程组的解是惟一的即方程组的解是惟一的.104 下面证明解惟一.设xj=cj(j=1,2,n)例例解线性方程组解线性方程组=21000=1680所以方程组有唯一解所以方程组有唯一解.6/17/2024例解线性方程组=21000=1680所以方程组有唯一解.105=120=420=720D=21000D1=16806/17/2024阜阳师范学院数学与计算科学学院=120=420=720D=21000D1=16808/106D=2100 D1=1680 D2=420 D3=720 D4=120 方程组的唯一解为：方程组的唯一解为：6/17/2024D=2100 D1=1680 D2=420 107例例2 2 解线性方程组解线性方程组 解解 系数行列式系数行列式 108例2 解线性方程组 解 系数行列式 108的系数行列式的系数行列式D 0，则方程组只有零解，则方程组只有零解;而若方程组而若方程组有非零解，则有非零解，则D=0.推论推论 齐次线性方程组（齐次线性方程组（3）有非零解的充分必要）有非零解的充分必要条件是系数行列式条件是系数行列式D=0定理定理1.8 1.8 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组109的系数行列式D0，则方程组只有零解;而若方程组 推论 例例3 若齐次线性方程组若齐次线性方程组解解 系数行列式系数行列式 方程组有非零解，则方程组有非零解，则D=0.于是于是=3或或 =0.有非零解，求有非零解，求 值值.110例3 若齐次线性方程组解 系数行列式 方程组有非零解，则例例3 3解解111例3解111第第1.5节节 数学实验数学实验 利用命令利用命令Det可以计算行列式可以计算行列式.例例1 1 计算行列式计算行列式 返回返回112第1.5节 数学实验 利用命令Det113113