弹性力学第6章(123节)课件

第六章第六章 用有限单元法解平面问题用有限单元法解平面问题概述1.有限元法有限元法(Finite Element Method，简称FEM)是弹性力学的一种近似解法。首先将连续体变换为离散化结构，然后再应用结构力学方法或变分法进行求解。FEM2.FEM的特点的特点 （1）具有通用性和灵活性。简史3.FEM简史简史 FEM是上世纪中期才出现，并得到迅速发展和广泛应用的一种数值解法。1943年柯朗第一次在论文中提出了FEM的 概念。（2）对同一类问题，可以编制出通用程 序，应用计算机进行计算。（3）只要适当加密网格，就可以达到工程 要求的精度。20世纪50年代，平面问题的FEM建立，并应用于工程问题。20世纪60年代后，FEM应用于各种力学问题和非线性问题，并得到迅速发展。1970年后，FEM被引入我国，并很快地得到应用和发展。简史导出方法5.本章介绍平面问题的FEM，仅叙述按位 移求解的方法。且一般都以平面应力问 题来表示。4.FEMFEM的两种主要导出方法的两种主要导出方法:应用结构力学方法导出。应用变分法导出。6-1 基本量和基本方程的矩阵表示 采用矩阵表示,可使公式统一、简洁，且便于编制程序。本章无特别指明，均表示为平面应力平面应力问题问题的公式。面力位移函数应变应力结点位移列阵结点力列阵 基本物理量基本物理量：体力基本物理量物理方程 其中D为弹性矩阵，对于平面应力问题是FEM中应用的方程：中应用的方程：几何方程应用的方程 结点虚位移，对应的虚应变。在FEM中，用结点的平衡方程代替平衡微分 方程。应用的方程ij虚功方程其中 以下来导出FEMFEM。1.结构离散化结构离散化将连续体变换为离散 化结构；6-2 有限单元法的概念 FEMFEM的概念的概念：将一个连续的结构离散成有限个节点上相互连接的有限个构件的结构物，这些有限大小的构件称为有限单元或单元，先对各个单元进行分析随后做总体分析最后求出结构的近似解的方法。FEM的概念 结力研究的对象是离散化结构。如桁架，各单元（杆件）之间除结点铰结外，没有其他联系（图（a）。弹力研究的对象，是连续体（图（b）)。结构离散化图 6-2 将连续体变换为离散化结构将连续体变换为离散化结构（图（c）：即将连续体划分为有限多个、有限大小的单元，并使这些单元仅在一些结点处用绞连结起来，构成所谓离散化结构离散化结构。结构离散化 图（c）与图（与图（a a）相比，两者都是离散）相比，两者都是离散化结构；区别是，桁架的单元是杆件，而化结构；区别是，桁架的单元是杆件，而图（图（c）的单元是三角形块体（注意：三角的单元是三角形块体（注意：三角形单元内部仍是连续体）形单元内部仍是连续体）。结构离散化例如：例如：将深梁划分为许多三角形单元，这将深梁划分为许多三角形单元，这些单元仅在角点用些单元仅在角点用铰铰连接起来。连接起来。2.应用结构力学方法应用结构力学方法(位移法位移法)进行求解进行求解:分析步骤如下：分析步骤如下：结力法求解 仿照桁架的结力位移法，来求解图（c）的平面离散化结构。其中应注意，三角形单元内部仍是连续体，应按弹力方法进行分析。（2)应用插值公式,由单元结点位移 ，求单元的位移函数（1）取各结点位移 为基本未知量。然后对每个单元,分别求出各物理量,并均用 来表示。结力法求解这个插值公式称为单元的位移模式，表示为（5）应用虚功方程，由单元的应力 ，求出 单元的结点力单元的结点力，表示为（4）应用物理方程，由单元的应变 ，求 出 单元的应力单元的应力，表示为（3）应用几何方程，由单元的位移函数d，求出单元的应变单元的应变，表示为结力法求解 结点对单元的作用力，作用 于单元，称为结点力，以正标向为正。单元对结点 的作用力，与 数 值相同,方向相反，作用于结点。结力法求解（6）将每一单元中的各种外荷载，按虚功 等效原则移置到结点上，化为结点荷结点荷 载载，表示为 结力法求解各单位移置到i 结点上的结点荷载 其中 表示对围绕i 结点的单元求和；结力法求解(7)对每一结点建立平衡方程对每一结点建立平衡方程。各单元对i 结点的结点力作用于结点i上的力有：为已知值,是用结点位移表示的值。通过求解联立方程 ，得出各结点位移值，并从而求出各单元的应变和应力。结力法求解 整体分析：建立结点平衡方程组，求解各结点 的位移。2.应用结构力学方法求解离散化结构,对单元进行分析：求出 （1）单元的位移模式，（2）单元的应变和应力列阵，（3）单元的结点力列阵，（4）单元的结点荷载列阵。1.将连续体变换为离散化结构。归纳起来，FEMFEM分析的主要内容分析的主要内容：思考题1.桁架的单元为杆件，而平面体的单元为三角形块体，在三角形内仍是作为连续体来分析的。试考虑后者在用结构力学方法求解时，将会遇到什么困难？2.在平面问题中，是否也可以考虑其它的单元形状，如四边形单元？FEM是取结点位移 为基本未知数的。但其中每一个单元仍是连续体，所以按弹力公式求应变、应力时，必须首先解决：如何由单元的结点位移 来求出单元的位移函数 应用插值公式，可由 求出位移d。这个插值公式表示了单元中位移的分布形式，因此称为位移模式位移模式。6-3 单元的位移模式与解答的收敛性 位移模式 泰勒级数展开式中，低次幂项是最重要的。三角形单元的位移模式，可取为 位移模式 在结点 应等于结点位移值 由此可求出 三角形单元求解前三个方程，即可得：求解后三个方程，即可得：其中A即为三角形i、j、m所围的面积，为保证A为正值，节点i、j、m的次序必须是逆时针的。其中 包含 将式 按未知数 归纳，可表示为 或用矩阵表示为三角形单元N 称为形（态）函数矩阵。三角形单元其中三角形单元矩阵表示：三结点三角形单元的位移模式，略去了二次以上的项，因而其误差量级是 且其中只包含了 的一次项，所以在单元中 的分布如图（a）所示，的分布如图 所示。三角形单元(a)(b)(c)图 6-51 FEM中以后的一系列工作，都是以位移模式为基础的。所以当单元趋于很小时，即 时，为了使FEM之解逼近于真解，即为了 保证保证FEMFEM收敛性收敛性,位移模式应满足下列位移模式应满足下列 条件：条件：收敛性条件（1）位移模式必须能反映单元的刚体位移。（2）位移模式必须能反映单元的常量应变。因为当单元 时，单元中的位移和应 变都趋近于基本量刚体位移和常量 位移。收敛性条件收敛性条件可见刚体位移项在位移模式中均已反映。与刚体位移相比，将位移模式写成检查位移模式是否反映刚体位移和常量变形：（3）位移模式应尽可能反映位移的连续性。即应尽可能反映原连续体的位移连续 性。在三角形单元内部，位移为连续；在两单元边界ij 上，之间均为线 性变化，也为连续。对位移模式求应变，得收敛性条件可见常量应变也已反映。为了保证为了保证FEM的收敛性，（的收敛性，（1）和（）和（2）是）是必要条件，而加上（必要条件，而加上（3）就为充分条件。）就为充分条件。例题1 平面问题中采用的四结点矩阵单元，如图所示。该单元的结点位移列阵是 第六章例题ba采用的位移模式是其中的系数 ,由四个结点处的位移值,应等于结点位移值 的条件求出。试检查其收敛性条件是否满足？并估计位移的误差量级。矩形单元采用的位移模式是ba在结点 应等于结点位移值 由此可求出 将8个常数代人位移模式（a）可得：其中 例题2 平面问题中采用的六结点三角形单 元，如图所示。该单元的结点位移列阵为 其位移模式取为 第六章例题 可以相似地表示。然后由六个结点处的条件求出 读者试检查其位移模式的收敛性，并估计其位移的误差量级。写在最后写在最后成功的基成功的基础在于好的学在于好的学习习惯The foundation of success lies in good habits38谢谢大家荣幸这一路，与你同行ItS An Honor To Walk With You All The Way讲师：XXXXXX XX年XX月XX日