弹性力学平面问题极坐标解答课件

弹性力学平面问题极坐标解答第四章平面问题的极坐标解答第四章平面问题的极坐标解答本章要点本章要点弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)要点：要点：（1）极坐标中平面问题的基本方程：）极坐标中平面问题的基本方程：平衡方程、几何方程、物理方程、相容方程、边界条件。平衡方程、几何方程、物理方程、相容方程、边界条件。（2）极坐标中平面问题的求解方法及应用）极坐标中平面问题的求解方法及应用应用：应用：圆盘、圆环、厚壁圆筒、楔形体、半无限平面体圆盘、圆环、厚壁圆筒、楔形体、半无限平面体等的应力与变形分析。等的应力与变形分析。弹性力学弹性力学2一、极坐标中的平衡微分方程一、极坐标中的平衡微分方程二、极坐标中的几何方程与物理方程二、极坐标中的几何方程与物理方程三、极坐标中的应力函数与相容方程三、极坐标中的应力函数与相容方程四、应力分量的坐标变换式四、应力分量的坐标变换式五、轴对称应力与相应的位移五、轴对称应力与相应的位移六、圆环或圆筒受均布压力六、圆环或圆筒受均布压力七、压力隧洞七、压力隧洞八、圆孔的孔边应力集中八、圆孔的孔边应力集中九、半平面体在边界上受集中力九、半平面体在边界上受集中力十、半平面体在边界上受分布力十、半平面体在边界上受分布力弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)第四章平面问题的极坐标解答第四章平面问题的极坐标解答内容提要内容提要弹性力学弹性力学3极坐标中的微元体极坐标中的微元体xyOPABC体力：体力：应力：应力：面面面极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程一一面r、的正面上，与坐标方向一致时为正；r、的负面上，与坐标方向相反时为正。应力正向规定：应力正向规定：弹性力学弹性力学4平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答考虑微元体平衡（厚度为考虑微元体平衡（厚度为1），将力投影到中心径向轴上：），将力投影到中心径向轴上：xyOPABC极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程一一两边同除以两边同除以 ，并略去高阶小量：，并略去高阶小量：弹性力学弹性力学5平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答两边同除以两边同除以 ，并略去高阶小量：，并略去高阶小量：极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程一一xyOPABC将力投影到中心环向轴上：将力投影到中心环向轴上：弹性力学弹性力学6平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答 剪应力互等定理剪应力互等定理于是，极坐标下的平衡方程为：于是，极坐标下的平衡方程为：（41）两方程三个未知量，是一次超静定问题，须应用几何学和物理学方面的条件才能求解。两方程三个未知量，是一次超静定问题，须应用几何学和物理学方面的条件才能求解。极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程一一xyOPABC方程说明：方程说明：弹性力学弹性力学7平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答一、极坐标中的平衡微分方程一、极坐标中的平衡微分方程二、极坐标中的几何方程与物理方程二、极坐标中的几何方程与物理方程三、极坐标中的应力函数与相容方程三、极坐标中的应力函数与相容方程四、应力分量的坐标变换式四、应力分量的坐标变换式五、轴对称应力与相应的位移五、轴对称应力与相应的位移六、圆环或圆筒受均布压力六、圆环或圆筒受均布压力七、压力隧洞七、压力隧洞八、圆孔的孔边应力集中八、圆孔的孔边应力集中九、半平面体在边界上受集中力九、半平面体在边界上受集中力十、半平面体在边界上受分布力十、半平面体在边界上受分布力弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)第四章平面问题的极坐标解答第四章平面问题的极坐标解答内容提要内容提要弹性力学弹性力学81.几何方程几何方程xyOPAB(1)只有径向变形，无环向变形。只有径向变形，无环向变形。径向线段的相对伸长：径向线段的相对伸长：（a）径向线段的转角：径向线段的转角：（b）线段的相对伸长：线段的相对伸长：（c）极坐标中的几何方程与物理方程极坐标中的几何方程与物理方程二二环向线段的转角：环向线段的转角：（d）弹性力学弹性力学9平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答径向线段的相对伸长：径向线段的相对伸长：（a）径向线段的转角：径向线段的转角：（b）环向线段的相对伸长：环向线段的相对伸长：（c）环向线段的转角：环向线段的转角：（d）剪应变为：剪应变为：（e）xyOPAB极坐标中的几何方程与物理方程极坐标中的几何方程与物理方程二二弹性力学弹性力学10平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答yxOPBA(2)只有环向变形，无径向变形。只有环向变形，无径向变形。径向线段的相对伸长：径向线段的相对伸长：（f）径向线段的转角：径向线段的转角：（g）环向线段的相对伸长：环向线段的相对伸长：（h）（i）环向线段的转角：环向线段的转角：剪应变为：剪应变为：（j）极坐标中的几何方程与物理方程极坐标中的几何方程与物理方程二二弹性力学弹性力学11平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答(3)总应变总应变（42）极坐标下的几何方程极坐标下的几何方程极坐标下的几何方程极坐标下的几何方程极坐标中的几何方程与物理方程极坐标中的几何方程与物理方程二二弹性力学弹性力学12平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答2.物理方程物理方程平面应力情形：平面应力情形：平面应变情形：平面应变情形：（43）（44）极坐标中的几何方程与物理方程极坐标中的几何方程与物理方程二二弹性力学弹性力学13平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答一、极坐标中的平衡微分方程一、极坐标中的平衡微分方程二、极坐标中的几何方程与物理方程二、极坐标中的几何方程与物理方程三、极坐标中的应力函数与相容方程三、极坐标中的应力函数与相容方程四、应力分量的坐标变换式四、应力分量的坐标变换式五、轴对称应力与相应的位移五、轴对称应力与相应的位移六、圆环或圆筒受均布压力六、圆环或圆筒受均布压力七、压力隧洞七、压力隧洞八、圆孔的孔边应力集中八、圆孔的孔边应力集中九、半平面体在边界上受集中力九、半平面体在边界上受集中力十、半平面体在边界上受分布力十、半平面体在边界上受分布力弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)第四章平面问题的极坐标解答第四章平面问题的极坐标解答内容提要内容提要弹性力学弹性力学14xyOrPxy（1）极坐标与直角坐标间的关系）极坐标与直角坐标间的关系（2）应力分量与应力函数关系）应力分量与应力函数关系极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程三三弹性力学弹性力学15平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答(a)(b)极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程三三弹性力学弹性力学16平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答(c)xyOrPxy由直角坐标下应力函数与应力的关系：由直角坐标下应力函数与应力的关系：极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程三三弹性力学弹性力学17平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答（3）极坐标中的相容方程）极坐标中的相容方程(a)(b)将式将式(a)与与(b)相加相加极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程三三弹性力学弹性力学18平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答极坐标下的极坐标下的 微分算子：微分算子：极坐标下的相容方程为：极坐标下的相容方程为：（46）说明：方程（说明：方程（46）为常体力情形的相容方程。）为常体力情形的相容方程。极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程三三弹性力学弹性力学19平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答一、极坐标中的平衡微分方程一、极坐标中的平衡微分方程二、极坐标中的几何方程与物理方程二、极坐标中的几何方程与物理方程三、极坐标中的应力函数与相容方程三、极坐标中的应力函数与相容方程四、应力分量的坐标变换式四、应力分量的坐标变换式五、轴对称应力与相应的位移五、轴对称应力与相应的位移六、圆环或圆筒受均布压力六、圆环或圆筒受均布压力七、压力隧洞七、压力隧洞八、圆孔的孔边应力集中八、圆孔的孔边应力集中九、半平面体在边界上受集中力九、半平面体在边界上受集中力十、半平面体在边界上受分布力十、半平面体在边界上受分布力弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)第四章平面问题的极坐标解答第四章平面问题的极坐标解答内容提要内容提要弹性力学弹性力学20 设已知极坐标中的应力分量 、。试求直角坐标中的应力分量 、。在弹性体中取微小三角板A，各边上的应力如图所示。三角板的厚度取为一个单位。令边的长度为，则边及边的长度分别为 及 。应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式四四在一定的应力状态下，如果已知极坐标中的应力分量，就可以利用简单的关系式求得直角坐标中的应力分量。反之，如果已知直角坐标中的应力分量，也可以利用简单的关系式求得极坐标中的应力分量。弹性力学弹性力学21平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答另取微小三角板另取微小三角板B B应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式四四剪应力互等剪应力互等弹性力学弹性力学22平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答(1)用极坐标下的应力分量表示直角坐标下的应力分量(2)用直角坐标下的应力分量表示极坐标下的应力分量应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式四四综上，得出应力分量由极坐标向直角坐标的变换式为：综上，得出应力分量由极坐标向直角坐标的变换式为：弹性力学弹性力学23平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答一、极坐标中的平衡微分方程一、极坐标中的平衡微分方程二、极坐标中的几何方程与物理方程二、极坐标中的几何方程与物理方程三、极坐标中的应力函数与相容方程三、极坐标中的应力函数与相容方程四、应力分量的坐标变换式四、应力分量的坐标变换式五、轴对称应力与相应的位移五、轴对称应力与相应的位移六、圆环或圆筒受均布压力六、圆环或圆筒受均布压力七、压力隧洞七、压力隧洞八、圆孔的孔边应力集中八、圆孔的孔边应力集中九、半平面体在边界上受集中力九、半平面体在边界上受集中力十、半平面体在边界上受分布力十、半平面体在边界上受分布力弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)第四章平面问题的极坐标解答第四章平面问题的极坐标解答内容提要内容提要弹性力学弹性力学24应力分量应力分量相容方程相容方程轴对称应力与相应的位移轴对称应力与相应的位移五五极坐标系下应力分量与相容方程极坐标系下应力分量与相容方程弹性力学弹性力学25平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答求解方法：求解方法：逆解法逆解法1.轴对称问题应力分量与相容方程轴对称问题应力分量与相容方程（2）应力分量）应力分量（3）相容方程）相容方程2.相容方程的求解相容方程的求解将相容方程表示为：将相容方程表示为：轴对称应力与相应的位移轴对称应力与相应的位移五五（1）应力函数）应力函数极坐标平面内仅为极坐标平面内仅为 r 的函数的函数弹性力学弹性力学26平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答轴对称问题拉普拉斯算子轴对称问题拉普拉斯算子代入相容方程成为代入相容方程成为为四阶常微分方程，其全部通解只有为四阶常微分方程，其全部通解只有4项。积分得轴对称应力函数通解：项。积分得轴对称应力函数通解：（A、B、C、D 为待定常数）3.应力分量应力分量将应力函数通解代入应力分量表达式，得轴对称应力的一般性解答将应力函数通解代入应力分量表达式，得轴对称应力的一般性解答轴对称应力与相应的位移轴对称应力与相应的位移五五弹性力学弹性力学27平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4.位移分量位移分量对于平面应力问题，将应力分量代入物理方程，得相应的形变分量对于平面应力问题，将应力分量代入物理方程，得相应的形变分量(a)由式（由式（a）的第一式积分，得）的第一式积分，得轴对称应力与相应的位移轴对称应力与相应的位移五五弹性力学弹性力学28平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答将式（将式（b）代入式（）代入式（a）中第二式，得）中第二式，得将上式积分，得将上式积分，得:将式（将式（b）、）、（c）代入式（）代入式（a）中第三式，得）中第三式，得或写成：或写成：（b）是任意的待定函数是任意的待定函数（c）是是 r 任意函数任意函数要使该式成立，两边须为要使该式成立，两边须为同一常数。同一常数。轴对称应力与相应的位移轴对称应力与相应的位移五五弹性力学弹性力学29平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答（d）（e）式中式中F 为常数。对（为常数。对（d）积分有：）积分有：（f）其中其中 H 为常数。对式（为常数。对式（e）两边求导）两边求导其解为：其解为：（g）（h）将式（将式（f）（g）（h）代入式（）代入式（b）（c），得），得（4-12）轴对称应力与相应的位移轴对称应力与相应的位移五五弹性力学弹性力学30平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答一、极坐标中的平衡微分方程一、极坐标中的平衡微分方程二、极坐标中的几何方程与物理方程二、极坐标中的几何方程与物理方程三、极坐标中的应力函数与相容方程三、极坐标中的应力函数与相容方程四、应力分量的坐标变换式四、应力分量的坐标变换式五、轴对称应力与相应的位移五、轴对称应力与相应的位移六、圆环或圆筒受均布压力六、圆环或圆筒受均布压力七、压力隧洞七、压力隧洞八、圆孔的孔边应力集中八、圆孔的孔边应力集中九、半平面体在边界上受集中力九、半平面体在边界上受集中力十、半平面体在边界上受分布力十、半平面体在边界上受分布力弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)第四章平面问题的极坐标解答第四章平面问题的极坐标解答内容提要内容提要弹性力学弹性力学31已知：已知：求：圆环应力分布。求：圆环应力分布。轴对称问题应力应力分量表达式：轴对称问题应力应力分量表达式：（411）边界条件：边界条件：（a）将式（将式（a）代入应力分）代入应力分量，有：量，有：（b）圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力六六弹性力学弹性力学32平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答式式(b)中有三个未知常数，二个方程无法完全确定。中有三个未知常数，二个方程无法完全确定。对于多连体问题，位移须满足位移单值条件。对于多连体问题，位移须满足位移单值条件。位移多值项位移多值项圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力六六要使单值，须有：要使单值，须有：B=0 ，由式（，由式（b）得）得将其代回应力分量式，有：将其代回应力分量式，有：弹性力学弹性力学33平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答（4-13）（1）若：）若：(二向等压情况二向等压情况)（2）若：）若：（压应力）（压应力）（拉应力）（拉应力）圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力六六（压应力）（压应力）（拉应力）（拉应力）弹性力学弹性力学34平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答 具有圆形孔道的无限大弹性体。具有圆形孔道的无限大弹性体。（3）若：）若：（压应力）（压应力）（压应力）（压应力）（4）若：）若：圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力六六弹性力学弹性力学35平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答一、极坐标中的平衡微分方程一、极坐标中的平衡微分方程二、极坐标中的几何方程与物理方程二、极坐标中的几何方程与物理方程三、极坐标中的应力函数与相容方程三、极坐标中的应力函数与相容方程四、应力分量的坐标变换式四、应力分量的坐标变换式五、轴对称应力与相应的位移五、轴对称应力与相应的位移六、圆环或圆筒受均布压力六、圆环或圆筒受均布压力七、压力隧洞七、压力隧洞八、圆孔的孔边应力集中八、圆孔的孔边应力集中九、半平面体在边界上受集中力九、半平面体在边界上受集中力十、半平面体在边界上受分布力十、半平面体在边界上受分布力弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)第四章平面问题的极坐标解答第四章平面问题的极坐标解答内容提要内容提要弹性力学弹性力学36问题：问题：厚壁圆筒埋在无限大弹性体内，受内压厚壁圆筒埋在无限大弹性体内，受内压 q 作用，求圆筒的应力。作用，求圆筒的应力。1.分析分析与以前相比较，相当于两个轴对称问题：与以前相比较，相当于两个轴对称问题：(a)受内外压力作用的厚壁圆筒；(b)仅受内压作用的无限大弹性体。确定外压确定外压 p 的两个条件：的两个条件：径向变形连续：径向变形连续：径向应力连续：径向应力连续：压力隧洞压力隧洞七七弹性力学弹性力学37平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答2.求解求解(1)圆筒的应力与边界条件圆筒的应力与边界条件应力：应力：（a）边界条件：边界条件：(2)无限大弹性体的应力与边界条件无限大弹性体的应力与边界条件应力：应力：（b）边界条件：边界条件：将式（将式（a）、（）、（b）代入相应的边界条件，得到如下方程：）代入相应的边界条件，得到如下方程：压力隧洞压力隧洞七七弹性力学弹性力学38平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4个方程不能解个方程不能解5个未知量，个未知量，需由位移连续条件确定。需由位移连续条件确定。(c)(d)由轴对称应力状态下对应的位移分量公式，平面应变问题的圆筒和无限由轴对称应力状态下对应的位移分量公式，平面应变问题的圆筒和无限大弹性体的径向位移为：大弹性体的径向位移为：压力隧洞压力隧洞七七弹性力学弹性力学39平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答利用：利用：(e)要使对任意的要使对任意的 成立，须有成立，须有(f)由(d)式知压力隧洞压力隧洞七七弹性力学弹性力学40平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答(g)其中：其中：式（式（g）与式（）与式（c）（）（d）联立求解）联立求解（4-16）圆筒及圆筒及无限大无限大弹性体弹性体应力分应力分量量式式(f)压力隧洞压力隧洞七七弹性力学弹性力学41平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答讨论：讨论：（1）完全接触）完全接触压力隧洞问题为最简单的接触问题（面接触）。压力隧洞问题为最简单的接触问题（面接触）。接触面间既不互相脱离，也不互相滑动。接触条件为接触面间既不互相脱离，也不互相滑动。接触条件为应力：应力：（2）非完全接触（光滑接触）非完全接触（光滑接触）接触条件：接触条件：当当 n a），圆孔半径为），圆孔半径为 a，在无限远处受有均匀拉应力，在无限远处受有均匀拉应力 q 作用。作用。求：孔边附近的应力。求：孔边附近的应力。圆孔的孔边应力集中圆孔的孔边应力集中八八弹性力学弹性力学44平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答AOxybAArA原问题转化为：无限大圆板中间开有一圆孔的新问题。原问题转化为：无限大圆板中间开有一圆孔的新问题。b（2）问题的求解）问题的求解 问题分析问题分析坐标系：坐标系：就外边界（直线），宜用直角坐标；就外边界（直线），宜用直角坐标；就内边界（圆孔），宜用极坐标。就内边界（圆孔），宜用极坐标。取一半径为取一半径为 r (ba），在其上取一点），在其上取一点 A 的应力，有：的应力，有：由应力转换公式：由应力转换公式：圆孔的孔边应力集中圆孔的孔边应力集中八八弹性力学弹性力学45平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答新问题的边界条件可表示为：新问题的边界条件可表示为：xyba内内边边界界外外边边界界（a）问题问题1（b）ba将外边界条件（将外边界条件（a）分解为两部分：）分解为两部分：（c）ba问题问题2圆孔的孔边应力集中圆孔的孔边应力集中八八弹性力学弹性力学46平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答 问题问题1的解：的解：内边界内边界外边界外边界（b 该问题为轴对称问题，其解为该问题为轴对称问题，其解为 当当 ba 时，有时，有（d）问题问题1ba圆孔的孔边应力集中圆孔的孔边应力集中八八弹性力学弹性力学47平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答 问题问题2的解：（非轴对称问题）的解：（非轴对称问题）内内边边界界外外边边界界（c）由边界条件（由边界条件（c），可假设：），可假设：为为 r 的某一函数乘以的某一函数乘以 ；为为r 的某一函数乘以的某一函数乘以 。又由极坐标下的应力分量表达式：又由极坐标下的应力分量表达式：可假设应力函数为：可假设应力函数为：ba问题问题2 将其代入相容方程：将其代入相容方程：圆孔的孔边应力集中圆孔的孔边应力集中八八弹性力学弹性力学48平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答 该方程的特征方程：该方程的特征方程：特征根为：特征根为：方程的解为：方程的解为：圆孔的孔边应力集中圆孔的孔边应力集中八八弹性力学弹性力学49平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答 相应的应力分量：相应的应力分量：对上述应力分量应用边界条件（对上述应力分量应用边界条件（c）,有有内边界内边界外边界外边界（c）（e）ba问题问题2圆孔的孔边应力集中圆孔的孔边应力集中八八弹性力学弹性力学50平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答ba问题问题2代入应力分量式（代入应力分量式（e）,有有（f）圆孔的孔边应力集中圆孔的孔边应力集中八八弹性力学弹性力学51平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答将问题将问题1和问题和问题2的解相加的解相加,得全解：得全解：讨论：讨论：（1）沿孔边，沿孔边，r=a，环向正应力：，环向正应力：Ab 齐尔西（齐尔西（G.）解）解3q2qq0q906045300圆孔的孔边应力集中圆孔的孔边应力集中八八弹性力学弹性力学52平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答（3）沿沿 x 轴，轴，=0，环向正应力：，环向正应力：圆孔的孔边应力集中圆孔的孔边应力集中八八（2）沿沿 y 轴，轴，=90，环向正应力：，环向正应力：1.04q1.07q1.22q3q4a3a2aar弹性力学弹性力学53平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答（4）若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力 q1、q2 作用作用xyq1q2q2q1xyq1q1xyq2q2叠加后的应力：叠加后的应力：圆孔的孔边应力集中圆孔的孔边应力集中八八弹性力学弹性力学54平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答一、极坐标中的平衡微分方程一、极坐标中的平衡微分方程二、极坐标中的几何方程与物理方程二、极坐标中的几何方程与物理方程三、极坐标中的应力函数与相容方程三、极坐标中的应力函数与相容方程四、应力分量的坐标变换式四、应力分量的坐标变换式五、轴对称应力与相应的位移五、轴对称应力与相应的位移六、圆环或圆筒受均布压力六、圆环或圆筒受均布压力七、压力隧洞七、压力隧洞八、圆孔的孔边应力集中八、圆孔的孔边应力集中九、半平面体在边界上受集中力九、半平面体在边界上受集中力十、半平面体在边界上受分布力十、半平面体在边界上受分布力弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)第四章平面问题的极坐标解答第四章平面问题的极坐标解答内容提要内容提要弹性力学弹性力学55xyOP1.楔顶受有集中力楔顶受有集中力P作用作用 楔形体顶角为楔形体顶角为，下端为无限长（单位厚度），顶端受有集中力，下端为无限长（单位厚度），顶端受有集中力 P，与中心线的夹角为，与中心线的夹角为，求：，求：（1）应力函数的确定）应力函数的确定因次分析法：因次分析法：半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受集中力九九由应力函数与应力分量间的微分关系，可推断：由应力函数与应力分量间的微分关系，可推断：（a）将其代入相容方程，以确定函数将其代入相容方程，以确定函数弹性力学弹性力学56平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答 4阶常系数齐次的常微分方程阶常系数齐次的常微分方程通解：通解：其中其中A，B，C，D为积分常数。将其代入前面的应力函数表达式：为积分常数。将其代入前面的应力函数表达式：xy（4-20）（对应于无应力状态）（对应于无应力状态）xyOP半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受集中力九九弹性力学弹性力学57平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答（2）应力分量的确定）应力分量的确定xyOP边界条件：边界条件：自然满足自然满足ab（b）任取一圆弧任取一圆弧 ，其上的应力应与楔顶的力，其上的应力应与楔顶的力 P 平衡。平衡。将式（将式（b）代入，有：）代入，有：半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受集中力九九弹性力学弹性力学58平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答积分得：积分得：代入式（代入式（b）（4-21）密切尔（密切尔（J.H.）解答）解答xyOPab半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受集中力九九弹性力学弹性力学59平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答两种特殊情况：两种特殊情况：P（1）应力对称分布应力对称分布应力反对称分布应力反对称分布PxyOabxyOab半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受集中力九九（2）弹性力学弹性力学60平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答(1)应力分量应力分量由楔形体受集中力的情形，可以得到由楔形体受集中力的情形，可以得到 极坐标表示的极坐标表示的 应力分量应力分量利用极坐标与直角坐标的应力转换式（利用极坐标与直角坐标的应力转换式（4-8），可求得），可求得PxyO无限大半平面体在边界法线方无限大半平面体在边界法线方向受集中力作用向受集中力作用2.半平面边界受法向集中力作用半平面边界受法向集中力作用或将其改为直角坐标表示或将其改为直角坐标表示（4-23）半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受集中力九九弹性力学弹性力学61平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答(2)位移分量位移分量直角坐标直角坐标表示的应表示的应力分量力分量假定为平面应力情形，其极坐标形式的物理方程为假定为平面应力情形，其极坐标形式的物理方程为PxyO将式代入将式代入（4-24）半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受集中力九九弹性力学弹性力学62平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答由几何方程由几何方程(a)(b)(c)积分式（积分式（a）(d)式（式（d）代入式（）代入式（b）积分上式积分上式(e)半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受集中力九九弹性力学弹性力学63平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答将式（将式（d）(e)代入式（代入式（c）得，得，要使上式成立，方程两侧须等于同一常数。要使上式成立，方程两侧须等于同一常数。方程左方程左方程右方程右半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受集中力九九弹性力学弹性力学64平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答不妨令不妨令代入位移分量式（代入位移分量式（d）（）（e），有），有式中，常数式中，常数H，I，K 由边界条件确定。由边界条件确定。(f)PxyO半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受集中力九九弹性力学弹性力学65平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答由式（由式（f）得：）得：由问题的对称性，有：由问题的对称性，有：常数常数 I 须由铅垂方向（须由铅垂方向（x方向）位移条件确定。方向）位移条件确定。(g)PxyO半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受集中力九九弹性力学弹性力学66平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答(3)边界沉陷计算边界沉陷计算M点的下沉量：由于常数由于常数 I 无法确定，所以只能求得的相对沉陷量。为此，在边界上取一基准点无法确定，所以只能求得的相对沉陷量。为此，在边界上取一基准点B，M点相对于基点相对于基准点准点B的沉陷为的沉陷为简化后得：简化后得：PxyOrMBs（4-25）符拉芒（符拉芒（A.）公式）公式对平面应变情形：对平面应变情形：半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受集中力九九弹性力学弹性力学67平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答一、极坐标中的平衡微分方程一、极坐标中的平衡微分方程二、极坐标中的几何方程与物理方程二、极坐标中的几何方程与物理方程三、极坐标中的应力函数与相容方程三、极坐标中的应力函数与相容方程四、应力分量的坐标变换式四、应力分量的坐标变换式五、轴对称应力与相应的位移五、轴对称应力与相应的位移六、圆环或圆筒受均布压力六、圆环或圆筒受均布压力七、压力隧洞七、压力隧洞八、圆孔的孔边应力集中八、圆孔的孔边应力集中九、半平面体在边界上受集中力九、半平面体在边界上受集中力十、半平面体在边界上受分布力十、半平面体在边界上受分布力弹性力学简明教程(第三版)徐芝纶院士(1911-1999)第四章平面问题的极坐标解答第四章平面问题的极坐标解答内容提要内容提要弹性力学弹性力学681.应力分量应力分量半平面体在边界上受分布力半平面体在边界上受分布力十十dP 作用在距原点作用在距原点 时，时，将此式在将此式在 区间上积分区间上积分dP 作用在原点作用在原点O（4-24）PxyO弹性力学弹性力学69平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答式中，需将式中，需将q 表示成表示成 的函数，再进行积分。的函数，再进行积分。2.边界点的相对沉陷量边界点的相对沉陷量讨论均匀分布的单位力的情形。讨论均匀分布的单位力的情形。dP计算分布力中点计算分布力中点 I 相对于相对于 K 点的沉陷量。点的沉陷量。（4-27）半平面体在边界上受分布力半平面体在边界上受分布力十十弹性力学弹性力学70平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答dP对对 r 积分，即可求得积分，即可求得 I 点的相对沉陷量。点的相对沉陷量。当基准点当基准点K位于均布力之外时，沉陷量为位于均布力之外时，沉陷量为（c）为简单起见，假定基点为简单起见，假定基点 K 取得很远，即取得很远，即s远大于远大于r，积，积分时可视其为常数，积分结果为：分时可视其为常数，积分结果为：（4-28）其中常数其中常数 C、的值为：的值为：半平面体在边界上受分布力半平面体在边界上受分布力十十弹性力学弹性力学71平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答本章课后作业本章课后作业1.习题：习题：4-92.习题：习题：4-14弹性力学弹性力学72平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答谢谢观赏谢谢观赏