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第二章 弹性力学的基本方程第二章 弹性力学的基本方程1 12-6 弹性力学问题的一般提法弹性力学问题的一般提法2-7 指标表示法指标表示法2-8 迭加原理迭加原理2-9 弹性力学问题解的唯一性原理弹性力学问题解的唯一性原理2-10 圣维南原理圣维南原理2-6 弹性力学问题的一般提法2 22-1载荷应力载荷应力1.外力的表示外力的表示外力：直接施加在物体上引起物体的外力：直接施加在物体上引起物体的变形与内力形与内力 根据外力作用区域分根据外力作用区域分为体体积力和表面力力和表面力 2-1载荷应力1.外力的表示3 3体体积力：力：分布在物体的体分布在物体的体积内，作用在物体内的内，作用在物体内的所有所有质点上，例如重力、点上，例如重力、惯性力、性力、电磁磁力等。力等。体积力：4 4体力矢量表示体力矢量表示为：体力矢量表示为：5 5表面力：表面力：作用在物体表面上的外力，作用在物体表面上的外力，简称面力。称面力。例如，液体或气体的例如，液体或气体的压力，固体力，固体间的接的接触力等，通常用面力矢量触力等，通常用面力矢量 表面力：6 62.应力应力在载荷的作用下，物体的各部分之间要产生相互作用，这种物体内的一部分对另一部分的相互作用力，称为内力。2.应力7 7弹弹性体内一点内力集性体内一点内力集性体内一点内力集性体内一点内力集度表示度表示度表示度表示为为：注意：同一点不同截注意：同一点不同截注意：同一点不同截注意：同一点不同截面上的内力不同面上的内力不同面上的内力不同面上的内力不同弹性体内一点内力集度表示为：注意：同一点不同截面上的8 82.应力分量应力分量应力正负号的规定：正面上的应力分量与坐标轴的正方向一致为正，负面上的应力分量与坐标的负方向一致为正；反之为负。2.应力分量 9 9应应力分量：力分量：应力分量：10101.微元体：首先，在物体内一点首先，在物体内一点P P的附近，用三的附近，用三组组坐坐标标面的平行平面截出一个微小的平行六面体面的平行平面截出一个微小的平行六面体单单元，三条棱元，三条棱边边的的长长度分度分别为别为dxdx、dydy、dzdz，如如图图2-62-6示。作用在微元体上的体力的三个分示。作用在微元体上的体力的三个分量仍用量仍用和和表示。表示。2-2 平衡（运动）微分方程平衡（运动）微分方程1.微元体：2-2 平衡（运动）微分方程1111 12122.力平衡微分方程由得：由得：2.力平衡微分方程由得：1313又称纳维叶(Navier)方程。又称纳维叶(Navier)方程。14143.力矩平衡方程（剪应力互等定理）。3.力矩平衡方程（剪应力互等定理）。15153.运动微分方程。如果物体处于运动状态，根据达朗伯（dAlembert）原理，在体力项中引入惯性力：和这里为材料密度，t为时间。3.运动微分方程。如果物体处于运动状态，根据达朗伯（dAl1616运动微分方程：运动微分方程：17172-3 2-3 斜面应力公式应力边界条件斜面应力公式应力边界条件过物体内的一点P取出一个微四面体，设斜面 的面积为dA，则三个负面的面积分别为2-3 斜面应力公式应力边界条件过物体内的一点P取出一1818弹性力学的基本方程19191.四面体的平衡方程由x方向的平衡条件得：将各面面积代入得：1.四面体的平衡方程由x方向的平衡条件得：将各面面积代入得：2020同理可得：上式称为斜面应力公式，又称Cauchy公式。同理可得：上式称为斜面应力公式，又称Cauchy公式。21212.斜面上的正应力与剪应力2.斜面上的正应力与剪应力22223.边界条件上式称为应力的边界条件，l,m,n为斜面外法线方向余弦3.边界条件上式称为应力的边界条件，l,m,n为斜面23232-4 2-4 位移几何方程位移几何方程1.位移 物体内各点位置的改变量称为位移。用u、v、w表示位移矢量u，沿x、y、z三个坐标方向的分量，并规定沿坐标轴正方向的位移分量为正，反之为负。研究物体位形变化，可以将位移分解成两类：(1)物体刚体位移(2)物体内质点间相对位移 2-4 位移几何方程1.位移 用u、v、w表24242.应变线元的相对伸长，称为正应变，沿x、y、z,和表示，即方向线元的正应变分别用,2.应变线元的相对伸长，称为正应变，沿x、y、z,和表2525弹性力学的基本方程2626正交线元直角的变化称为剪应变，沿x、y、z直角的变化分和表示，方向三个正交线元别用，符号规定：正应变以伸长为正，缩短为负；剪应变以直角的减小为正，反之为负。这种规定与应力的正负规定是一致的。正交线元直角的变化称为剪应变，沿x、y、z直角的变化分和表2727.几何方程几何方程是物体变形过程的位移应变关系设弹性体内任一点的位移分别为u(x,y,z),v(x,y,z),w(x,y,z),为简化起见，通过投影的变形分析来建立应变位移关系.几何方程几何方程是物体变形过程的位移应变关系设弹性体2828物体变形的位移及在坐标面上投影物体变形的位移及在坐标面上投影2929以oxy平面上的投影为例分析物体变形的应变位移关系以oxy平面上的投影为例分析物体变形的应变位移关系3030以oxy平面上的投影为例分析物体变形的应变位移关系以oxy平面上的投影为例分析物体变形的应变位移关系3131P点的邻近点A和B的坐标分别为(x+dx,y,z)和(x,y+dy,z),将，点的位移按Taylor级数在点处展开：点：点：P点的邻近点A和B的坐标分别为(x+dx,y,z)点：3232在小变形条件下：在小变形条件下：3333弹性力学的基本方程3434在小变形条件下在小变形条件下3535同例分析平面yoz和平面zox可得：方程组称为几何方程，又称为柯西（Cauchy)方程同例分析平面yoz和平面zox可得：方程组称为几何方程，又称36362-5 广广义Hooke定律定律1.简单应力状态 简单拉压：纯剪切：2-5 广义Hooke定律1.简单应力状态 简单拉压：37372.复杂应力状态2.复杂应力状态38383.体积应变称为体积应变 3.体积应变称为体积应变 39394.用应变表示应力同理4.用应变表示应力同理4040令则令则4141于是式中中称为拉梅常数注意：是应变张量分量而不是剪应变分量上式称为用应变表示应力的广义Hooke定律 于是式中中称为拉梅常数注意：是应变张量分量而不是剪应变分量4242上式还可进一步写成：上式还可进一步写成：43432-6 弹性力学性力学问题的一般提法的一般提法 我们通过对平衡、几何和物理三个方面的分析建立了弹性力学的全部基本方程，即平衡（运动）微分方程、几何方程和应力-应变关系；2-6 弹性力学问题的一般提法 我们通过对平衡、4444又称纳维叶(Navier)方程。(1)平衡微分方程又称纳维叶(Navier)方程。(1)平衡微分方程4545运动微分方程：运动微分方程：4646(2)几何方程方程组称为几何方程，又称为柯西（Cauchy)方程(2)几何方程方程组称为几何方程，又称为柯西（Cauchy4747(3)应力-应变关系(本构关系)应力-应变关系(本构关系)(3)应力-应变关系(本构关系)应力-应变关系(本构关系)48482-7 指标表示法非求和指标称为自由指标。2-9 弹性力学问题解的唯一性原理在表达式的某项中，某指标重复出现一次，则当载荷作用区域大于物体受力处截面组成部分的上式称为应力的边界条件，l,m,n为斜面三大控制方程含盖所有弹性力学问题,方程组具有2-10 圣维南原理例如，液体或气体的压力，固体间的接触力等，通常用面力矢量作用在微元体上的体力的三个分量仍用 和 表示。由x方向的平衡条件得：对于薄壁构件存在两组不同的解，分别记为如果物体处于运动状态，根据达朗伯（dAlembert）物体内各点位置的改变量称为位移。为刚体位移（应力边值问题）或用应变表示的应力-应变关系 三大控制方程含盖所有弹性力学问题,方程组具有15个未知量15个方程，可以求解。具体弹性力学问题,必须与相应的弹性力学问题,为此需知具体问题的边界条件。2-7 指标表示法用应变表示的应力-应变关系 三4949（4）边界条件（）应力边界条件（）位移边界条件（）混合边界条件（4）边界条件（）应力边界条件（）位移边界条件（）混合50502-7 指指标表示法表示法 力的分量、应力分量、应变分量和位移分量引用的记号法，是一种公认的表示方法。但有由于控制方程的表示过于冗长，为减少篇幅，在力学等大多数文献中，在理论推导采用指标表示。1.指标符号 具有相同性质的一组量，可以用一个带下标的字母表示。2-7 指标表示法 力的分量、应力分量、应变分5151位移分量：u、v、w可以写成，缩写后为 坐标：x、y、z 可以写成，缩写后为单位基矢量：可以写成，缩写后为应力分量：可以写成缩写后为位移分量：u、v、w可以写成，缩写后为 坐标：x5252应变分量：可用表示由此，向量 可表示为在三维笛卡尔空间中，下标用小写英文母表示，并取 在二维笛卡尔空间中，下标用小写希腊字母表示，并取 应变分量：可用表示由此，向量 可表示为在三维笛卡尔空间中，5353三阶线性代数方程组可表示为引用求和记号以后，还可以进一步简写为三阶线性代数方程组可表示为引用求和记号以后，还可以进一步简写54542.求和约定于是上式可表示为 在表达式的某项中，某指标重复出现一次，则表示要把该项在该指标的取值范围内遍历求和，这就是爱因斯坦（Einstein）求和约定。重复指标称为哑指标（或简称哑标）。式中的i，不是求和指标。非求和指标称为自由指标。2.求和约定于是上式可表示为 在表达式的某项中，5555注意:而 3.求导数的简记方法 注意:而 3.求导数的简记方法 5656例如:例如:57574.克罗内克（Kroneker）符号 定义:于是4.克罗内克（Kroneker）符号 定义:于是5858(1)具有如下性质：(2)(3)(4)(1)具有如下性质：(2)(3)(4)5959 5.置换符号 置换符号用 表示,定义:(a)循环序列：i,j,k取不同的值，5.置换符号 置换符号用 表示,定义:(a6060(b)逆循环序列：i,j,k取不同的值 (c)非循环序列：i,j,k中有两个以上的指标取 相同值 利用置换符号可以简化公式 （1）行列式(b)逆循环序列：i,j,k取不同的值 (c)非循6161可表示为（2）向量叉积 可表示为可表示为（2）向量叉积 可表示为6262当采用指标记法时,弹性力学问题的控制方程（在V内）（1）平衡（运动）微分方程 （2）几何方程：（在V内）（3）应力-应变关系：当采用指标记法时,弹性力学问题的控制方程（在V内）（1）6363（在V内）（在V内）（在V内）（4）边界条件 力的边界条件：（在 内）位移边界条件：（在 内）（在V内）（在V内）（在V内）（4）边界条件 力的边界条件64642-8 迭加原理 考虑同一物体两组载荷情况:(在上）(在上)位移第二组:体力（在V 内）面力(在上）第一组:体力（在V 内）位移面力(在上）2-8 迭加原理 考虑同一物体两组载荷情况:(在 6565对第一组载荷应有(在V 内)(在 上）(在 上）对第一组载荷应有(在V 内)(在 上）(在 上6666对第二组载荷应有(在V 内)(在 上）(在 上）对第二组载荷应有(在V 内)(在 上）(在 上6767(在V 内)(在 上）(在 上）将上面两组关系中的对应方程相加得若则(在上）(在V 内)(在 上）(在 上）将上面两组关系中6868上式表示在体力 及面力 作用下,约束位移为 弹性力学问题的解为:应力：应变：位移：对于大变形情况，几何方程将出现二次非线性项，平衡微分方程将受到变形的影响，因而叠加原理不再适用。对于非线性弹性或弹塑性材料，应力-应变关是非线性的，叠加原理不成立。上式表示在体力 及面力 69692-9 弹性力学问题解的唯一性原理弹性力学问题解的唯一性原理唯一性定理：在给定载荷作用下，处于平衡状态的弹性体，其内部各点的应力、应变解是唯一的，如果物体的整体刚体位移受到约束，则位移解也是唯一的。2-9 弹性力学问题解的唯一性原理唯一性定理：7070 证明：设对应于同一组载荷 、和约束条件存在两组不同的解，分别记为 则、(在V 内）证明：设对应于同一组载荷 、和约束条件存在两组7171(在上）(在上）及(在V 内）(在 上）(在 上）及(在V 内）7272(在上）(在上）将以上两组关系中的对应方程相减，得(在V 内）(在上）(在上）(在 上）(在 上）将以上两组关系中的对应方程相7373上式表明，两解之差：、和对应了一个无体力、无面力的自然状态。根据无初应力假设，在自然状态下，有 可见，应力、应变解是唯一的。对应无变形状态，为刚体位移（应力边值问题）或与之相应的位移零位移（位移边值问题或混合边值问题）。当限制刚体位移，则上式表明，两解之差：、74742-10 圣维南原理圣维南原理圣维南原理：若作用在物体局部表面上的外力，用一个静力等效的力系（具有相同的主矢和主矩）代替，则离此区域较远的部分所受影响可以忽略不计。若在物体的一小部分区域上作用一自平衡力系，则此力系对物体内距该力系作用区域较远的部分不产生影响，只在该力系作用的区域附近才引起应力和变形。2-10 圣维南原理圣维南原理：若在物体的7575图2-16 根据以上分析，利用圣维南原理可以放宽边界条件。圣维南原理的两种提法是等价的。图2-16 根据以上分析，利 圣维南原7676 对于薄壁构件（薄壁杆件或薄壳），使用圣维南原理时要谨慎。注意：当载荷作用区域大于物体受力处截面组成部分的最小尺寸时，圣维南原理无效。对于薄壁构件注意：当载荷作用区域大7777弹性力学的基本方程78
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