平面问题的基本理论-课件

第一节第一节 平面应力问题和平面应变问题平面应力问题和平面应变问题第二节第二节 平衡微分方程平衡微分方程第三节第三节 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态第四节第四节 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移第五节第五节 物理方程物理方程第六节第六节 边界条件边界条件第七节第七节 圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用第八节第八节 按位移求解平面问题按位移求解平面问题第九节第九节 按应力求解平面问题按应力求解平面问题 相容方程相容方程例例 题题教学参考资料教学参考资料习题的提示和答案习题的提示和答案第十节第十节 常应力情况下的简化常应力情况下的简化 应力函数应力函数 弹力平面问题共有应力、应变、位弹力平面问题共有应力、应变、位 移移8 8个未知函数，且均为个未知函数，且均为 。21平面应力问题和 平面应变问题 弹力空间问题共有应力、应变、弹力空间问题共有应力、应变、位位 移移1515个未知函数，且均为个未知函数，且均为；平面应力 条件是：等厚度的薄板；体力 、作用于体内，面，沿板厚不变；面力 、作用于板边，面，沿板厚不变；约束 、作用于板边，面，沿板厚不变。有两类问题可以简化为平面问题。第一种：平面应力问题第一种：平面应力问题 平面应力 坐标系如图选择。平面应力 简化为平面应力问题：简化为平面应力问题：故只有平面应力 存在。由于薄板很薄，应力是连续变化的，又无z向外力，可认为：平面应力两板面上无面力和约束作用，故 归纳为平面应力问题：归纳为平面应力问题：a.应力中只有平面应力 存在；b.且仅为 。平面应力由于板为等厚度，外力、约束沿z向不变，故应力 仅为 。如：弧形闸门闸墩计算简图：平面应力深梁计算简图：F第二种：平面应变问题（大坝、挡土墙）第二种：平面应变问题（大坝、挡土墙）条件是：很长的常截面柱体；体力 、作用于体内，面，沿长度方向不变；面力 、作用于柱面，面，沿长度方向不变；约束 、作用于柱面，面，沿长度方向不变。平面应变坐标系选择如图：平面应变对称面故任何 z 面（截面）均为对称面。平面应变 截面、外力、约束沿z向不变，外力、约束xy面，柱体非常长，简化为平面应变问题：简化为平面应变问题：由于截面形状、体力、面力及约束 沿 向均不变，故应力、应变、位移 均为 。平面应变 归纳平面应变问题归纳平面应变问题：a.应变中只有平面应变分量 存在；b.且仅为 。平面应变例如：例如：平面应变隧道隧道挡土墙挡土墙oyxyox2 22 2平衡微分方程平衡微分方程定义平衡微分方程表示物体内任 一点的微分体 的平衡条件。在任一点（x，y）取出一微小的平行六面体 ,作用于微分体上的力：体力：。应力：作用于各边 上，并表示 出正面上由 坐标增量引 起的应力增 量。定义应用的基本假定应用的基本假定：连续性假定应力用连续函数来表示。小变形假定用变形前的尺寸代替变 形后的尺寸。列出平衡条件列出平衡条件 ：合力=应力面积，体力体积；以正向物理量来表示。平面问题中可列出三个平衡条件:平衡条件平衡条件其中一阶微量抵消，并除以 得：，同理可得：平衡条件平衡条件 当 时，得切应力互等定理,得平衡条件平衡条件 对平衡微分方程的说明：对平衡微分方程的说明：代表A中所有点的平衡条件，（，）A；适用的条件连续性、小变形；应力不能直接求出；对两类平面问题的方程相同。说明说明比较:理力考虑整体 的平衡（只决定整体的 运动状态）。材力考虑有限体 的平衡（近似）。弹力考虑微分体 的平衡（精确）。说明说明 当 均平衡时，保证 、平衡；反之则不然。所以弹力的平衡条件是严格的、精确的。说明说明理力（V）材力（）弹力（）hV dxdy dx思考题1.试检查，同一方程中的各项，其量纲 必然相同（可用来检验方程的正确性）。2.将条件 ,改为对某一角点的 ，将得出什么结果？3.微分体边上的应力若考虑为不均匀分布，将得出什么结果？已知坐标面上应力 ，求斜面上的应力。问题的提出：2 23 3平面问题中一点的平面问题中一点的 应力状态应力状态问题问题斜面应力表示：求解：取出一个三角形微分体（包含 面、面，面）边长问题问题由平衡条件，并略去高阶分量体力项，得(1)求（,）（a）斜面应力斜面应力其中其中l=cos(n,x),m=cos(n,y).(2)求（）将 向法向、切向投影，得斜面应力斜面应力 设某一斜面为主面，则只有 由此建立方程，求出:(3)求主应力斜面应力斜面应力将x，y放在 方向，列出任一斜面上应力公式，可以得出（设 ）(4)求最大、最小应力最大、最小应力最大、最小应力说明：以上均应用弹力符号规定导出。(d)几何方程几何方程表示任一点的微分线段 上形变与位移之间的关系。2 24 4几何方程刚体位移几何方程刚体位移定义定义变形前位置：变形后位置：各点的位置如图。通过点P(x,y)作两正坐标向的微分线段定义定义当很小时，应用基本假定：连续性；小变形。假定假定假定假定由位移求形变：PA 线应变PA 转角PB 线应变PB 转角同理，适用于区域内任何点，因为（x,y）A；对几何方程的说明：平面问题的几何方程为说明说明 适用条件：a.连续性；b.小变形。应用小变形假定，略去了高阶小量 线性的几何方程；几何方程是变形后物体连续性条件 的反映和必然结果。形变和位移之间的关系：位移确定位移确定 形变完全确定：形变完全确定：从物理概念看，各点的位置确定，则微分线段上的形变确定。说明说明 从数学推导看，位移函数确定，则其导数（形变）确定。从物理概念看，、确定，物体还可作刚体位移。从数学推导看，、确定，求位移是积分运算，出现待定函数。形变确定，位移不完全确定形变确定，位移不完全确定：形变与位移的关系形变与位移的关系由 两边对y 积分，代入第三式由 两边对x 积分，例：若 ,求位移：形变与位移的关系形变与位移的关系分开变量，因为几何方程第三式对任意的（x，y）均应满足。当x（y）变化时，式(b)的左、右均应=常数 ，由此解出 。得形变与位移的关系形变与位移的关系物理意义：形变与位移的关系形变与位移的关系 表示物体绕原点的刚体转动。表示x，y向的刚体平移，结论：结论：形变确定，则与形变有关的位移可以确定，而与形变无关的刚体位移 则未定。须通过边界上的约束条件来确定 。物理方程表示（微分体上）应力和形变 之间的物理关系。定义利用广义胡克定律：2 25 5物理方程物理方程 物理方程的说明物理方程的说明：说明说明 正应力只与线应变有关；切应力只与切 应变有关。是线性的代数方程；是总结实验规律得出的；适用条件理想弹性体；物理方程的两种形式：应变用应力表示，用于 按应力求解；应力用应变（再用位移表示）表示，用于按位移求解。说明说明 平面应力问题的物理方程：平面应力问题的物理方程：代入 ，得在z方向平面应力 代入 得 平面应变问题的物理方程平面应变问题的物理方程平面应变在z方向，平面应力物理方程平面应变物理方程：变换关系变换关系：平面应变物理方程平面应力物理方程：位移边界条件位移边界条件 设在 部分边界上给定 位移分量 和 ,则有（在 上)。（a）定义边界条件边界条件 表示在边界上位移与约束、或应力与面力之间的关系。位移边界条件 26边界条件 若为简单的固定边，则有位移边界条件的说明：（在 上）。（b）它是在边界上物体保持连续性的条 件，或位移保持连续性的条件。它是函数方程，要求在 上每一点，位移与对应的约束位移相等。在23 中，通过三角形微分体的平衡条件，导出坐标面应力与斜面应力的关系式，应力边界条件应力边界条件设在 上给定了面力分 量 （在A中）。（c）应力边界条件将此三角形移到边界上，并使斜面与边界面重合，则得应力边界条件 它是边界上微分体的静力平衡条件；说明应力边界条件的说明：式（c）在A中每一点均成立，而 式（d）只能在边界 s上成立；它是函数方程，要求在边界上每一点s 上均满足，这是精确的条件；式（d）中，按应力符号规定，、按面力符号规定；位移、应力边界条件均为每个边界两 个，分别表示 、向的条件；说明 所有边界均应满足，无面力的边界 （自由边）也必须满足。若x=a为正x 面，l=1,m=0,则式(d)成为 当边界面为坐标面时当边界面为坐标面时，坐标面若x=-b为负x 面，l=-1,m=0,则式(d)成为 应力边界条件的两种表达式：应力边界条件的两种表达式：两种表达式 直接表示法：在同一边界面上标示出正值的应力，应力分量应等于对应的面力分量，应力与面力方向一致时取正号，方向相反时取负号。平衡法：在边界点取出微分体，考虑其平衡条件，得式（d）或（e）、（f）；例1 列出边界条件：例2 列出边界条件：显然，边界条件要求在 上，也成抛物线分布。混合边界条件：混合边界条件：部分边界上为位移边界条件，另一部分边界上为应力边界条件；同一边界上，一个为位移边界条件，另一个为应力边界条件。混合边界条件例3列出的边界条件：弹力问题是微分方程的边值问题。应力、位移等未知函数必须满足A内的方程和S上的边界条件。主要的困难在于难以满足边界条件。圣维南原理可用于简化小边界上的应力边界条件。27圣维南原理及其应用 圣维南原理：圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分量将有显著的改变，但远处所受的影响可以不计。圣维南原理圣维南原理1、圣维南原理只能应用于一小部分边界 （小边界，次要边界或局部边界）；圣维南原理的说明：4、远处 指“近处”之外。3、近处 指面力变换范围的一、二倍 的局部区域；2、静力等效 指两者主矢量相同，对 同一点主矩也相同；圣维南原理 圣维南原理表明，在小边界上进行面力的静力等效变换后，只影响近处（局部区域）的应力，对绝大部分弹性体区域的应力没有明显影响。圣维南原理推广：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。例1比较下列问题的应力解答：b例2比较下列问题的应力解答：推广圣维南原理的应用：圣维南原理的应用：1、推广解答的应用；2、简化小边界上的边界条件。应用 圣维南原理在小边界上的应用：圣维南原理在小边界上的应用：如图，考虑 小边界，精确的应力边界条件上式是函数方程，要求在边界上任一点，应力与上式是函数方程，要求在边界上任一点，应力与面力数值相等，方向一致，往往难以满足。面力数值相等，方向一致，往往难以满足。(a)在同一边界 上，圣维南原理的应用积分的应力边界条件 在小边界x=l上，用下列条件代替式(a)的条件：在同一边界 x=l 上，应力的主矢量 =面力的主矢量（给定)应力的主矩(M)=面力的主矩（给定）数值相等方向一致(b)右端面力的主矢量、主矩的数值及方向，均已给定；左端应力的主矢量、主矩的数值及方向，应与面力相同，并按应力的方向规定确定正负号。具体列出三个积分的条件：即：应力的主矢量、主矩的数值=面力的主矢量、主矩的数值；应力的主矢量、主矩的方向=面力的主矢量、主矩的方向。式中应力主矢量、主矩的正方向应力主矢量、主矩的正方向的正负号的确定：应力的主矢量的正方向，即应力的正方向，应力的主矩的正方向，即（正应力）（正的矩臂）的方向。例1 试列出图中的边界条件。MFyxl h/2 h/2q(a)解:(a)在主要边界 应精确满足下列边界条件：在小边界x=0应用圣维南原理，列出三个积分的近似边界条件，当板厚 时，在小边界x=l，当平衡微分方程和其它各边界条件都已满足的条件下，三个积分的边界条件必然满足，可以不必校核。(b)在主要边界x=0,b，应精确满足下列边界条件：FOxyqh(b)b/2 b/2 在小边界y=0，列出三个积分的边界条件，当板厚 时，注意在列力矩的条件时两边均是对原点o 的力矩来计算的。对于y=h的小边界可以不必校核。平面应力问题与平面应变问题，除物理方程的弹性系数须变换外，其余完全相同。因此，两者的解答相似,只须将 进行变换。以下讨论平面应力问题平面应力问题。1.平面问题的基本方程及边界条件平面问题2 28 8按位移求解平面问题按位移求解平面问题平面应力问题 平面域平面域A内的基本方程内的基本方程:平衡微分方程几何方程物理方程 S S上边界条件上边界条件:应力边界条件 位移边界条件 8个未知函数 必须满足上述方程和边界条件。（在 上）（在 上）按位移求解（位移法）取 ，为基本未知函数，从方程和边界条件中消去形变和应力，导出只含 ，的方程和边界条件，从而求出 ，；再求形变和应力。2.解法消元法 解法 按应力求解（应力法）取 为基本未知函数，从方程和边界条件中消去位移和形变，导出只含应力的方程和边界条件，从而求出应力；再求形变和位移。这是弹力问题的两种基本解法。将其他未知函数用 ，表示：形变用 ，表示几何方程;应力先用形变来表示（物理方程），再代入几何方程，用 ，表示。取 ，为基本未知函数；3.按位移求解按位移求解按位移求解 在A中导出求 ，的基本方程将式(a)代入平衡微分方程，上式是用 ，表示的平衡微分方程。在S上的边界条件位移边界条件 （在 上）(d)（在 上）(c)应力边界条件将式(a)代入应力边界条件，归纳：归纳：按位移求解时，、必须满足A内的方程(b)和边界条件(c)、(d)。式(b)、(c)、(d)是求解、的条件，也是校核、是否正确的全部条件。按位移求解（位移法）的优缺点：按位移求解（位移法）的优缺点：适用性广适用性广可适用于任何边界条件。可适用于任何边界条件。求函数式解答困难，但在近似解法求函数式解答困难，但在近似解法（变分法、差分法、有限单元法）中有着（变分法、差分法、有限单元法）中有着广泛的应用。广泛的应用。例1考虑两端固定的一维杆件。图(a)，只受重力作用，。试用位移法求解。(a)(b)解：为了简化，设位移 按位移求解，位移应满足式(b),(c),(d)。代入式(b),第一式自然满足，第二式成为(a)(b)解出 均属于位移边界条件，代入 ，在 处，代入 ，并求出形变和应力，思考题试用位移法求解图(b)的位移和应力。1.按应力求解平面应力问题（1）取 为基本未知函数；（2）其他未知函数用应力来表示:相容方程相容方程基本方程2-9 按应力求解平面问题按应力求解平面问题 形变用应力表示（物理方程）。按应力求解 位移用形变应力表示，须通过积分，不仅表达式较复杂，而且包含积分带来的未知项，因此位移边界条件用应力分量来表示时既复杂又难以求解。故在按应力求解时，只考虑全部为应力边界条件的问题,即 。在A内求解应力的方程 平衡微分方程（2个）。(a)(b)从几何方程中消去位移 、，得相容相容方程（形变协调条件）方程（形变协调条件）：补充方程从几何方程，物理方程中消去位移和形变得出。代入物理方程，消去形变，并应用平衡微分方程进行简化，便得用应力表示的相容方程：其中(4)应力边界条件假定全部边界上均为 应力边界条件 。（1）A内的平衡微分方程；（2）A内的相容方程；（3）边界 上的应力边界条件；（4）对于多连体，还须满足位移的单值条 件（见第四章）。归纳归纳：（1）-（4）也是校核应力分量是否正确的全部条件。按应力求解平面应力问题，应力 必须满足下列条件：2.形变协调条件（相容方程）的物理意义形变协调对应的位移存在位移必然连续；形变不协调对应的位移不存在不是物体实际存在的形变微分体变形后不保持连续。形变协调条件是与形变对应的位移存在且连续的必要条件。形变协调条件是位移连续性的必然结果。连续体位移连续几何方程形变协调条件。点共点（连续），变形后三连杆在 点共点，则三连杆的应变必须满足一定的协调条件。例1 三连杆系统，由于物体是连续的，变形前三连杆在 D思考题1.若 是否可能 成为弹性体中的形变？2.若 是否 可能为弹性体中的应力？提示：参见后面例题2、3。1.常体力情况下按应力求解的条件应力函数应力函数(A)(b)平衡微分方程 相容方程 (A)(a)按应力函数求解2 21010常体力情况下的简化常体力情况下的简化 应力边界条件 多连体中的位移单值条件。(d)(S)(c)在-条件下求解 的全部条件(a)、(b)、(c)中均不包含弹性常数，故 与弹性常数无关。2.在常体力,单连体,全部为应力边界条件（）下的应力 特征：不同材料的应力()的理论解相 同，用试验方法求应力时，也可以用不 同的材料来代替。结论结论：两类平面问题的应力解 相同，试 验时可用平面应力的模型代替平面应变的 模型。3.常体力下按应力求解的简化 对应的齐次微分方程的通解，艾里已求出为 非齐次微分方程(b)的任一特解，如取（1）常体力下平衡微分方程的全解是：特解+通解。满足平衡微分方程的全解为:(g)如果，则A、B均可用一个函数表示，即说明：说明：a.导出艾里（Airy）应力函数，是应用偏导数的相容性，即c.仍然是未知的。但已将按应力 求解转变为按应力函数 求解，从三个未知函数减少至一个未知函数 。b.导出应力函数 的过程，也就证明了 的存在性，故可以用各种方法去求解 。d.由 再去求应力（式（g）,必然满足平衡微分方程，故不必再进行校核。（2）应力应满足相容方程（a），将式 （g）代入（a），得 （3）若全部为应力边界条（），则应力边界条件也可用 表示。在常体力下求解平面问题，可转变为按应力函数按应力函数 求解求解，应满足:归纳：归纳：（1）A内相容方程（h）；（2）上的应力边界条件；（3）多连体中的位移单值条件连体。求出 后，可由式（g）求得应力。1例题2例题3例题4例题5例题例1 厚度的悬臂梁，受一端的集中力F的作用。已求得其位移的解答是试检查此组位移是否是图示问题的解答。h/2 h/2AxylFO解：此组位移解答若为图示问题的解答，则应满足下列条件:(1)区域内用位移表示的平衡微分方程 (书中式218）;（2）应力边界条件（书中式219），在 所有受面力的边界 上。其中在小边 界上可以应用圣维南原理，用三个积 分的边界条件来代替。（3）位移边界条件（书中式214）。本 题在x=l的小边界上，已考虑利用圣 维南原理，使三个积分的应力边界条 件已经满足。因此，只需校核下列三个刚体的约束条件：A点（x=l及y=0），读者可校核这组位移是否满足上述条件，如满足，则是该问题之解。例2 试考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在解：应变分量存在的必要条件是满足形变 相容条件，即 （a）相容；（b）在满足B=0,2A=C时，相容；（c）不相容。必须C=0。例3 在无体力情况下，试考虑下列应力分量是否可能在弹性体中存在：解：弹性体中的应力，在单连体中必须 满足：（1）平衡微分方程；（2）相容方程；（3）应力边界条件（当 ）。（a）组应力满足相容方程。为了满足平 衡微分方程，必须A=-F,D=-E 此外，还应满足应力边界条件。（b）组应力为了满足相容方程，其系数必 须满足 A+B=0。为了满足平衡微分方程，其系数必须 满足 A=B=-C/2。上两式是矛盾的，因此此组应力分量不可能存在。例4 图中的梁，受到如图所示的荷载的作用，试用下列应力表达式求解其应力，(a)xyloqql h/2 h/2解：本题是按应力求解的，在应力法中，应力分量在单连体中必须满足（1）平衡微分方程；（2）相容方程;（3）应力边界条件（在上）。将应力分量（a）代入平衡微分方程和相容方程，两者都能满足。再校核边界条件，在主要边界上，再将式（b）表达式代入次要边界条件，由此可见，在次要边界上的积分边界条件均能满足。因此，式（b）是图示问题之解。q(x)xylo h/2 h/2例5 在材料力学中，当矩形截面梁（度 ）受任意的横向荷载q(x)作用而弯曲时，弯曲应力公式为（a）试由平衡微分方程（不计体力）导出切应力 和挤压应力 的公式。（提示：注意关系式积分后得出的任意函数，可由梁的上下边界条件来确定。）（b）当q为常数时，试检验应力分量是否 满足相容方程，试在 中加上一项对平衡没有影响的函数f(y)，再由相容方程确定f(y),并校核梁的左右边界条件。解：本题引用材料力学的弯应力 的解，作为初步的应力的假设，再按应力法求解。应力分量必须满足 （1）平衡微分方程；（2）相容方程；（3）应力边界条件（在 上）。（a）不计体力，将 代入平衡微 分方程第一式，得:两边对y积分，得再由上下的边界条件将 代入平衡微分方程的第二式,对y积分，得 得由上下的边界条件，由此得 上述解答 及式(c),(d)已经满足平衡微分方程及 的边界条件；但一般不满足相容方程，且尚未校核左右端的小边界条件。（b）若q为常数，则 ，得 代入相容方程，为了满足相容方程，此式和式（c）、（d）的一组应力分量仍然满足平衡微分方程；再代入相容方程，得积分得由次要边界条件由此得 读者可检测，式（c）、（d）、（e）的一组应力已满足无体力，且q为常数情况下的平衡微分方程，相容方程，和应力边界条件（在x=0,l小边界上的剪力即为 的主矢量），因而是该问题之解。21 是22 是23 按习题21分析。24 按习题22分析。25 在 的条件中，将出现二、三阶微量。当略去三阶微量后，得 出的切应力互等定理完全相同。第二章 习题的提示与答案26 同上题。在平面问题中，考虑到二 阶微量的精度时，所得出的平衡微 分方程都相同。其区别只是在三阶 微量（即更高阶微量）上，可以略 去不计。27 应用的基本假定是：平衡微分方程 和几何方程连续性和小变形，物 理方程理想弹性体。28 在大边界上，应分别列出两个精确 的边界条件；在小边界（即次要边 界）上，按照圣维南原理可列出三 个积分的近似边界条件来代替。29 在小边界OA边上，对于图215 （a）、（b）问题的三个积分边界 条件相同，因此，这两个问题为静 力等效。210 参见本章小结。211 参见本章小结。212 参见本章小结。213 注意按应力求解时，在单连体中应力分量 必须满足 （1）平衡微分方程，（2）相容方程，（3）应力边界条件（假设 )。所以（a）和（b）问题中的应力虽然满足了平衡微分方程和应力边界条件，但都不满足相容方程，因而不是该两个问题之解。214 见教科书。215 见教科书。216 见教科书。217 取 它们均满足平衡微分方程，相容方程及x=0 和 的应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。218见教科书。219 提示：求出任一点的位移分量u 和 v，及转动量 ，再令x=y=0,便可得出。（一）本章学习要求及重点 本章系统地介绍了平面问题的基本理论：基本方程和边界条件，及两种基本解法。这些内容在弹性力学中具有典型性和代表性。因此，学好平面问题的基本理论，就可以方便地学习其他各章。为此，我们要求学生深入地理解本章的内容，掌握好以下几点：第二章 教学参考资料1、两类平面问题的定义。2、在平面区域内的平衡微分方程、几何方程和物理方程的建立。3、在平面边界上的位移和应力边界条件的建立，及圣维南原理的应用。4、按位移求解方法和按应力求解方法。5、关于一点应力状态的分析。为了牢固地理解和掌握平面问题的基本理论，要求学生做到:（1）清楚地了解上述有关问题的提出和分 析的方法；（2）自己动手推导公式，以加深理解；（3）对上述内容进行总结，掌握其要点。（二）本章内容提要1、平面问题包括平面应力问题和平面应变问题。它们的特征是：平面应力问题，（1）只有平面应力 存在；（2）应力和应变均只是x,y的函数。平面应变问题，（1）只有平面应变 存在；（2）应力、应变和位移只是x,y的函数。平面应力问题对应的弹性体通常为等厚度薄板，而平面应变问题对应的弹性体通常为常截面长柱体。这两类平面问题的平衡微分方程、几何方程、应力和位移边界条件都完全相同，只有物理方程的系数不同。如果将平面应力问题的物理方程作 的变换，便可得到平面应变问题的物理方程。2、平面问题的基本方程和边界条件（平面应力问题）平面问题中共有八个未知函数，即 。它们必须满足区域内的基本方程：（1）平衡微分方程（2）几何方程（3）物理方程和边界条件：（1）应力边界条件（2）位移边界条件（在 上）3、按位移求解平面问题（平面应力问题）位移分量u和v必须满足下列全部条件：（1）用位移表示的平衡微分方程（2）用位移表示的应力边界条件（在 上）（3）位移边界条件4、按应力求解平面问题（平面应力问题），应力分量必须满足下列全部条件：（1）平衡微分方程（2）相容方程（3）应力边界条件（假设全部为应力边界条 件，）（在 上）（4）若为多连体，还须满足位移单值条件。5、在常体力情况下，按应力求解可进一步简化为按应力函数求解。必须满足下列全部条件：（1）相容方程（2）应力边界条件（假设全部为应力边界 条件，）。（3）若为多连体，还须满足位移单值条件。求出应力函数后，可以按下式求出应力分量，（在 上）（三）按位移求解的简化 按应力求解平面问题，原先具有三个未知函数 。艾里求出了平衡微分方程的通解，可以用应力函数 表示三个应力分量，且能完全满足平衡微分方程。导出 的过程，也就证明了 的存在性。因此，按应力求解平面问题，均可改为按应力函数 求解：其中的未知函数只有一个 ，且 应满足的相容方程也化为较简单的重调和方程 在按位移求解平面问题中，许多力学家也想找出更简便的途径。下面介绍两种方法，可用来简化平面问题按位移求解的方法。（1）引用位移势函数的方法 假定位移是有势的，即位移分量u,v可以分别用一个势函数 的导数来表示，将上式代入按位移求解的平衡微分方程，得出若不计体力，则上述方程可以归纳为 其中 C为任意常数。于是，求解平衡微分方程的解答u,v，就化为求解泊松方程（b）的解答 ，求出 后，可由式（a）得出位移 u,v，再由几何方程和物理方程得出应力，并使它们分别满足位移或应力边界条件。引用位移势函数 ，使原先的两个未知函数u,v，简化为一个位移势函数 它应满足的泊松方程也简单得多，因而使求解的方法得到简化。其局限性是，其中人为地假定了位移是有势的，且使相应的体积应变 ，即弹性体中各点的体积应变均等于同一常量。（2）引用位移函数的方法 假定位移分量u,v可以用位移函数 和 表示为如下形式：其中 为刚体位移分量。(c)将式（c）代入用位移表示的平衡微分方程，若不计体力，就得到 于是，求解位移分量u,v的问题，就化为求解位移函数 的问题。都是重调和函数，应满足重调和方程（d）。求出位移函数 后，便可以得出位移和应力分量，并使它们分别满足位移或应力边界条件。引用位移函数，同样可以使求解的方程得到简化，如式（d）所示。但位移的表达式（c）同样是假定的，只能用来求解某些问题，而不能代表任何问题的解都符合式（c）的假定，即不具有普遍性。（四）平面问题的位移连续性条件（四）平面问题的位移连续性条件相容方程的导出相容方程的导出这里仿照空间问题相容方程的导出，给出平面应变问题（w=0，只有u,v且仅为x,y的函数）中关于相容方程的导出和证明。（1）位移函数u,v存在（有解），则必然连续，即具有连续性。位移函数u,v具有连续性的充分必要条件是，其导数 a.必须存在；b.而且相容。（2）求出u,v的导数。由几何方程，并引入微分体的转动分量，(e)由切应变 和转动分量 两式，得出 于是由式（e）（f）可见，只要形变分量 和转动分量 存在，则位移u,v的导数存在。其中 的存在性尚须证明。（3）u,v的导数必须满足相容性条件，即将式（e）、（f）代入式（g），整理后得由此可见，从u,v导数的相容性条件导出，式（h）必须成立。（4）转动分量 存在且具有连续性的条 件是，a.其导数存在从式（h）可见，只要形 变分量存在，则 的导数存在。b.其导数必须相容，即满足 将式（h）代入式（i），整理后便得出这就是平面问题的相容方程。（5）归纳起来讲，位移u,v存在且具有连 续性的条件是，形变分量满足相容方程（j）。