平面汇交力系和平面力偶系-课件

1 21 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法 22 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法 23 平面力对点之矩的概念及计算平面力对点之矩的概念及计算 24 平面力偶平面力偶第二章第二章 平面汇交力系与平面力偶系平面汇交力系与平面力偶系22-1 2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系合成与平衡的几何法一、合成的几何法一、合成的几何法1.1.两个共点力的合成两个共点力的合成合力方向由正弦定理：由余弦定理：由力的平行四边形法则作，也可用力的三角形来作。32.2.任意个共点力的合成任意个共点力的合成为力多边形为力多边形 位置图位置图力矢图力矢图注注：在力多边形中，各力矢首尾相接，环绕同一方向，在力多边形中，各力矢首尾相接，环绕同一方向，而合力矢是反向封闭力多边形；而合力矢是反向封闭力多边形；根据矢量相加的交换律，根据矢量相加的交换律，任意变换各分力矢的作图次序，可得形状不同的力多边形，任意变换各分力矢的作图次序，可得形状不同的力多边形，但所得的合力矢但所得的合力矢FR却是一样的，即合力矢却是一样的，即合力矢FR与各分力矢的与各分力矢的作图顺序无关。作图顺序无关。合力FR可以表达为4结论：结论：平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力的作用线平面汇交力系合成的结果是一个合力，合力的作用线通过力系的汇交点，合力矢等于原力系中所有各力的矢量通过力系的汇交点，合力矢等于原力系中所有各力的矢量和，可由力多边形的封闭边来表示。和，可由力多边形的封闭边来表示。推广到平面汇交力系包含推广到平面汇交力系包含n n个力情况，则有个力情况，则有5二、平面汇交力系平衡的几何条件二、平面汇交力系平衡的几何条件平面汇交力系平衡的充要条件是：平面汇交力系平衡的充要条件是：如力系中各力的作用线都沿同一直线，则此力系称为共如力系中各力的作用线都沿同一直线，则此力系称为共线力系，它是平面汇交力系的特殊情况，它的力多边形在同线力系，它是平面汇交力系的特殊情况，它的力多边形在同一直线上。若沿直线的某一指向为正，相反为负，则力系合一直线上。若沿直线的某一指向为正，相反为负，则力系合力的大小与方向决定于各分力的代数和，即力的大小与方向决定于各分力的代数和，即在上面几何法求力系的合力中，合力为在上面几何法求力系的合力中，合力为零意味着力多边形自行封闭。所以平面零意味着力多边形自行封闭。所以平面汇交力系平衡的必要与充分的几何条件汇交力系平衡的必要与充分的几何条件是：是：力多边形自行封闭力多边形自行封闭 求解平面汇交力系平衡时，可以用上面方法利用比例尺进行求解平面汇交力系平衡时，可以用上面方法利用比例尺进行几何作图，量取得未知力还可以利用三角关系计算求未知力。几何作图，量取得未知力还可以利用三角关系计算求未知力。6例例2-1 支架的横梁支架的横梁AB与斜杆与斜杆DC彼此以铰链彼此以铰链C相联接，并各以相联接，并各以铰链铰链A，D连接于铅直墙上。如图所示。已知连接于铅直墙上。如图所示。已知AC=CB；杆；杆DC与水平线成与水平线成450角；载荷角；载荷F=10KN，作用于，作用于B处。设梁和杆的重处。设梁和杆的重量忽略不计，求铰链量忽略不计，求铰链A的约束力和杆的约束力和杆DC所受的力。所受的力。7 例例 已知压路机碾子重已知压路机碾子重P=20kN,r=60cm,欲拉过欲拉过h=8cm的障碍的障碍物。求：在中心作用的水平力物。求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力的大小和碾子对障碍物的压力。又由几何关系：又由几何关系：选碾子为研究对象选碾子为研究对象取分离体画受力图取分离体画受力图解：解：当碾子刚离地面时当碾子刚离地面时NA=0=0,这时拉力这时拉力F和自和自 重及支反力重及支反力NB构成一平衡力系。由平衡的构成一平衡力系。由平衡的 几何条件，力多边形封闭，故几何条件，力多边形封闭，故8几何法解题步骤：几何法解题步骤：1选取研究对象。选取研究对象。根据题意，选取适当的平衡物体作为研究根据题意，选取适当的平衡物体作为研究对象，并画出简图。对象，并画出简图。2分析受力，画受力图。分析受力，画受力图。在研究对象上，画出它所受的全部在研究对象上，画出它所受的全部已知力和未知力已知力和未知力(包括约束力包括约束力)。若某个约束力的作用线不能根据约。若某个约束力的作用线不能根据约束特性直接确定束特性直接确定(如铰链如铰链)，而物体又只受三个力作用，且有两力作，而物体又只受三个力作用，且有两力作用线交于一点，则可根据三力平衡必须汇交的条件确定该力的作用线交于一点，则可根据三力平衡必须汇交的条件确定该力的作用线。用线。3作力多边形或力三角形。作力多边形或力三角形。选择适当的比例尺，作出该力系选择适当的比例尺，作出该力系的封闭力多边形或封闭力三角形。必须注意，作图时总是从已知的封闭力多边形或封闭力三角形。必须注意，作图时总是从已知力开始。根据矢序规则和封闭特点，就可以确定未知力的指向。力开始。根据矢序规则和封闭特点，就可以确定未知力的指向。4求出未知量。求出未知量。用比例尺和量角器在图上量出未知量，或者用比例尺和量角器在图上量出未知量，或者用三角公式计算出来。用三角公式计算出来。由作用力和反作用力的关系，由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压力等于碾子对障碍物的压力等于23.1kN。F=11.5kN,NB=23.1kN所以所以9几何法解题不足：几何法解题不足：精度不够，误差大精度不够，误差大 作图要求精度高；作图要求精度高；不能表达各个量之间的函数关系。不能表达各个量之间的函数关系。下面我们研究平面汇交力系合成与平衡的另一种方法：解析法解析法。102-2 2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法平面汇交力系合成与平衡的解析法一、力在坐标轴上的投影一、力在坐标轴上的投影力在坐标轴上的投影定义为力矢量力在坐标轴上的投影定义为力矢量与该坐标轴单位矢量的标量积与该坐标轴单位矢量的标量积 力的大小力的大小方向余弦方向余弦力力FR在平面直角坐标系中的解析式为在平面直角坐标系中的解析式为11注意：注意：投影和分力是两种不同的量不能混淆。投影是投影和分力是两种不同的量不能混淆。投影是代数量代数量，对物体不产生运动效应，由力对物体不产生运动效应，由力FR可确定其投影，但由其投影只能可确定其投影，但由其投影只能确定力确定力F F的大小和方向，不能确定其作用位置。分力是力沿该方的大小和方向，不能确定其作用位置。分力是力沿该方向的分作用，是矢量，能对物体产生运动效应，由分力能完全确向的分作用，是矢量，能对物体产生运动效应，由分力能完全确定力的大小、方向和作用位置。只有在直角坐标系中，力在轴上定力的大小、方向和作用位置。只有在直角坐标系中，力在轴上的投影的绝对值才与力沿该轴的分力的大小相等，而投影的正负的投影的绝对值才与力沿该轴的分力的大小相等，而投影的正负号可表示该分力的指向。但是在斜坐标系中投影与分力的大小是号可表示该分力的指向。但是在斜坐标系中投影与分力的大小是不相等的，如图所示。不相等的，如图所示。12二、合力投影定理二、合力投影定理 根据合矢量投影定理：合矢量在某一轴投影等于各分矢根据合矢量投影定理：合矢量在某一轴投影等于各分矢量在同一轴投影的代数和，得平面汇交力系合力的投影，即量在同一轴投影的代数和，得平面汇交力系合力的投影，即合力矢的大小和方向余弦合力矢的大小和方向余弦其中其中 是合力分别与是合力分别与x、y轴轴正向的夹角正向的夹角13例例2-2 2-2 已知：已知：F1=200N，F2=300N，F3=100N，F4=250N，求，求图中所示平面汇交力系的合力。图中所示平面汇交力系的合力。合力的方向也可用其与合力的方向也可用其与x轴所夹的锐角轴所夹的锐角q q来表示来表示注：注：应用上式时，必须根据应用上式时，必须根据Fx和和Fy的正负号确定合力的正负号确定合力FR的指向的指向。14三、平面汇交力系合成与平衡的解析法三、平面汇交力系合成与平衡的解析法 从前述可知：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系从前述可知：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系的合力为零。即的合力为零。即为平衡的充要条件，也叫平衡方程为平衡的充要条件，也叫平衡方程欲使上式成立，必须同时满足欲使上式成立，必须同时满足为方便书写，下表为方便书写，下表i可以略去。可以略去。15 例例2-3 2-3 如图所示，重力如图所示，重力P=20KNP=20KN，用钢丝绳挂在铰车，用钢丝绳挂在铰车D D及滑轮及滑轮B B上。上。A A，B B，C C处为光滑铰链连接。钢丝绳、杆和滑轮的自重处为光滑铰链连接。钢丝绳、杆和滑轮的自重不计，不计，并忽略摩擦和滑轮的大小并忽略摩擦和滑轮的大小，试求平衡时杆，试求平衡时杆ABAB和和BCBC所受所受的力。的力。(1)(1)取研究对象。取研究对象。(2)(2)画受力图。画受力图。(3)(3)列平衡方程。列平衡方程。(4)(4)求解方程。求解方程。16解：解：研究研究AB杆杆 画出受力图画出受力图 列平衡方程列平衡方程 解平衡方程解平衡方程由EB=BC=0.4m，解得：解得：；例例 已知已知 P=2kN 求求SCD,RA17例例 已知如图已知如图P、Q，求平衡时求平衡时 =？地面的反力地面的反力ND=？解：研究球受力如图，解：研究球受力如图，选投影轴列方程为选投影轴列方程为由由得得由由得得18例例 图示吊车架，已知图示吊车架，已知P，求各杆受力大小求各杆受力大小。解解：1、研究对象：、研究对象：整体整体 或铰链或铰链AA602、几何法：、几何法：60SAC=P/sin600SAB=Pctg600193、解析法：、解析法：A60X=0SAC cos600 SAB=0Y=0SAC sin600 P=0解得：解得：SAC=P/sin600SAB=SAC cos600=Pctg600 xy201 1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度特殊时用几何法（解力三角形）比较简便。特殊时用几何法（解力三角形）比较简便。解题技巧及说明：解题技巧及说明：3 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个未知数。只有一个未知数。2 2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或特殊，都用解析法。特殊，都用解析法。215 5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出 负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，一般负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压力。先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压力。4 4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。、对力的方向判定不准的，一般用解析法。22力对物体可以产生力对物体可以产生 移动效应移动效应-取决于力的大小、方向取决于力的大小、方向转动效应转动效应-取决于力矩的大小、方向取决于力矩的大小、方向2-3 2-3 平面力对点之矩的概念及计算平面力对点之矩的概念及计算do23-+一、力对点的矩一、力对点的矩 是代数量。是代数量。当当F=0=0或或d=0=0时时，=0 =0。=2 =2AOB=F d,2,2倍倍形面形面积积。说明：说明：F,d转动效应明显转动效应明显。单位单位N m或或kN m。24如以如以 表示由点表示由点 O到到 A的矢径的矢径(如图如图)，由矢量积定义，由矢量积定义,的的大小就是三角形大小就是三角形 OAB 面积的两倍。由此可见，此矢积的模就面积的两倍。由此可见，此矢积的模就等于力等于力 对点对点 O的矩的大小，其指向与力矩的转向符合右手法的矩的大小，其指向与力矩的转向符合右手法则。即平面中力对点的矩也可以用矢量表示。则。即平面中力对点的矩也可以用矢量表示。二、合力矩定理二、合力矩定理 定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所有各分力对同一点的矩的代数和有各分力对同一点的矩的代数和即：即：25 证证 为平面汇交力系的合力，即：为平面汇交力系的合力，即：为矩心为矩心O到汇交点到汇交点A的矢径的矢径，对上式两端作矢积，有对上式两端作矢积，有以以由于每个力都有与点由于每个力都有与点O共面，上式各矢积平行，因此上式矢共面，上式各矢积平行，因此上式矢量和可按代数和计算。而各矢量积的大小就是力对点量和可按代数和计算。而各矢量积的大小就是力对点O之矩，之矩，于是证得合力矩定理，即于是证得合力矩定理，即26yxOxyAB力矩与合力矩的解析表达式力矩与合力矩的解析表达式 当平面汇交力系平衡时当平面汇交力系平衡时,合力为零合力为零;由上式可知，各力对任由上式可知，各力对任一点一点O O之矩的代数和皆为零。即之矩的代数和皆为零。即 上式说明上式说明:可用力矩方程代替投影方程求解平面汇交力系的平可用力矩方程代替投影方程求解平面汇交力系的平衡问题。衡问题。27 例例2-4 2-4 如图所示圆柱直齿轮，受到啮合力如图所示圆柱直齿轮，受到啮合力F F的作用。设的作用。设F=1400N。压力角压力角 ，齿轮的节圆（啮合圆）的半径，齿轮的节圆（啮合圆）的半径 r=60mm，试计算力试计算力F对于轴心对于轴心O的力矩。的力矩。解解:计算力计算力 F对点对点 O的矩，可直接按力矩的定义求得的矩，可直接按力矩的定义求得,即即 也可以根据合力矩定理，将力也可以根据合力矩定理，将力 F分解为圆周力分解为圆周力 和径向力和径向力 ，(图图(b),),由于径向力通过矩心由于径向力通过矩心O，则则 28水平梁水平梁 AB 受三角形分布的载荷作用，如图所示。载荷的最大受三角形分布的载荷作用，如图所示。载荷的最大值为值为q,梁长梁长 l。求合力的大小及合力作用线的位置。求合力的大小及合力作用线的位置。在坐标在坐标 x 处取长为处取长为 dx 的微段，其集度为的微段，其集度为：而在此微段上的荷载为：而在此微段上的荷载为：求合力的大小求合力的大小 解：荷载分布在一狭长解：荷载分布在一狭长范围内，如沿构件的轴线分范围内，如沿构件的轴线分布，则称为布，则称为分布荷载分布荷载。该问。该问题是一题是一集度集度按线性变化的按线性变化的线分布荷载线分布荷载求合力问题。求合力问题。29因此，合力因此，合力Q 的大小为：的大小为：求合力作用线的位置求合力作用线的位置解得：解得：计算结果说明计算结果说明:合力大小等于三角形线分布载荷的面积，合力作用合力大小等于三角形线分布载荷的面积，合力作用线通过该三角形的几何中心。线通过该三角形的几何中心。此结果要做为公式记住，遇到这样此结果要做为公式记住，遇到这样的分布载荷时直接使用即可。的分布载荷时直接使用即可。30一、力偶与力偶矩一、力偶与力偶矩力偶力偶：由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系。：由两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系。记作记作（F，F）2-42-4 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡31 性质性质1 1 力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。力偶的性质力偶的性质力偶无合力，不能与一个单个的力力偶无合力，不能与一个单个的力平衡；力偶只能与力偶平衡。平衡；力偶只能与力偶平衡。力偶只能使物体转动，转动效果力偶只能使物体转动，转动效果取决于力偶矩。取决于力偶矩。F FFFd d力偶的作用面力偶的作用面力偶臂力偶臂32FFdOxAB平面力偶对物体的作用效应，由以下两个因素决定：平面力偶对物体的作用效应，由以下两个因素决定：（1 1）力偶矩的大小；）力偶矩的大小；（2 2）力偶在作用面内的转向。）力偶在作用面内的转向。因此力偶矩可视为代数量，即因此力偶矩可视为代数量，即 +性质性质2 2 力偶矩的大小为力偶中的两个力对其作用面内某点的矩力偶矩的大小为力偶中的两个力对其作用面内某点的矩的代数和，其绝对值等于力与力偶臂的乘积即的代数和，其绝对值等于力与力偶臂的乘积即Fd，与矩心位，与矩心位置无关。记作置无关。记作 ，简记为，简记为 M 33结论：结论：FFdABC M 是代数量，有是代数量，有+、-；M 的值的值 M=2ABC 的面积的面积；单位单位：N m二、同平面内力偶的等效定理二、同平面内力偶的等效定理 定理：作用在定理：作用在同一平面内同一平面内的两个力偶，只要它们的力偶矩的两个力偶，只要它们的力偶矩的大小相等，转向相同，则该两个力偶彼此等效。的大小相等，转向相同，则该两个力偶彼此等效。34证明证明:如图所示，设在同平面内有两个偶如图所示，设在同平面内有两个偶 和和 作作用，它们的力偶矩相等，且力的作用线分别交于点用，它们的力偶矩相等，且力的作用线分别交于点A A和和B B，现证，现证明这两个力偶是等效的。明这两个力偶是等效的。证明：将力证明：将力F0和力和力F0分别沿它们的作用分别沿它们的作用线移到点线移到点A和和B，然后分别沿连线，然后分别沿连线AB和力和力偶（偶（F，F）的两力作用线方向分解，得）的两力作用线方向分解，得到到F1,F2,F1,F2 四个力与原力偶（四个力与原力偶（F0，F0）等效。由于两力平行四边形全等，于）等效。由于两力平行四边形全等，于是力是力F1和和F1构成一对平衡力，可以除去；构成一对平衡力，可以除去；力力F2和和F2构成一个新力偶（构成一个新力偶（F2，F2），），与原力偶（与原力偶（F0，F0）等效。连接）等效。连接CB、DB，计算力偶矩，有计算力偶矩，有35可见，力偶可见，力偶（F，F）与力偶与力偶（F2，F2）等效，所以力等效，所以力偶偶（F0，F0）与力偶与力偶（F，F）等效。等效。由假设由假设即即36 只要保持力偶矩大小和转向不变，可以同时改变力偶只要保持力偶矩大小和转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和相应力偶臂的长短，而不改变它对刚体的作用。中力的大小和相应力偶臂的长短，而不改变它对刚体的作用。由上述证明可得下列两个推论：由上述证明可得下列两个推论：任一力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对任一力偶可以在其作用面内任意移动，而不影响它对刚体的作用。因此，力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内刚体的作用。因此，力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关。的位置无关。力偶的符号表示：力偶的符号表示：由此可见，力偶的臂和力的大小都不是力偶的特征量，只由此可见，力偶的臂和力的大小都不是力偶的特征量，只有有力偶矩是平面力偶作用的唯一量度力偶矩是平面力偶作用的唯一量度。今后常用图示的符号表。今后常用图示的符号表示力偶。示力偶。M 为力偶矩。为力偶矩。37dd（1 1）平面力偶系的合成）平面力偶系的合成结论结论:在同平面内的任意个力偶系可合成为一个合力偶，合力偶在同平面内的任意个力偶系可合成为一个合力偶，合力偶矩等于各个力偶矩的代数和。矩等于各个力偶矩的代数和。平面力偶系平面力偶系:作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系三、平面力偶系的合成与平衡条件三、平面力偶系的合成与平衡条件38 平面力偶系平衡的充要条件是平面力偶系平衡的充要条件是:所有各力偶矩的代数和所有各力偶矩的代数和等于零。即等于零。即 （2 2）平面力偶系的平衡条件）平面力偶系的平衡条件 例例2-52-5如图所示的工件上作用有三个力偶。已知如图所示的工件上作用有三个力偶。已知:三个力偶三个力偶的矩分别为的矩分别为 M1=M2=10Nm，M3=20Nm;固定螺柱固定螺柱A和和B的距的距离离 l=200mm。求两个光滑螺柱所受的水平力。求两个光滑螺柱所受的水平力。得得代入已给数值代入已给数值39 例例2-6 2-6 如图所示机构的自重不计。圆轮上的销子如图所示机构的自重不计。圆轮上的销子A A放在摇放在摇杆杆BCBC上的光滑导槽内。圆轮上作用一力偶，其力偶矩为上的光滑导槽内。圆轮上作用一力偶，其力偶矩为M1=2KNm，OA=r=0.5m。图示位置为图示位置为OA与与OB垂直，垂直，qq=300，且系统平衡。求作用于摇杆且系统平衡。求作用于摇杆BC上力偶的矩上力偶的矩M2及铰及铰链链O，B处的约束力。处的约束力。40小小 结结1 1、掌握汇交力系合成的几何法与解析法、掌握汇交力系合成的几何法与解析法3 3、理解力偶和力偶矩的概念，力偶的等效与平面、理解力偶和力偶矩的概念，力偶的等效与平面力偶系的合成问题。力偶系的合成问题。2 2、能正确地将力沿坐标轴分解并求力在坐标轴、能正确地将力沿坐标轴分解并求力在坐标轴 上的投影。上的投影。4 4、能熟练地运用平面汇交力系与平面力偶系的平、能熟练地运用平面汇交力系与平面力偶系的平衡条件，求解平衡问题。衡条件，求解平衡问题。4142