平面应力问题与平面应变问题课件

弹性力学 第二章1Chapter 2 Theory of Plane Problems 第二章：平面问题的理论第二章：平面问题的理论2.1 Plane stress and plane strain 平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题2024/6/16弹性力学 第二章2Spatial problems and plane problems空间问题转化为平面问题。空间问题转化为平面问题。a spatial problem a plane problem the body has a particular shape.particular external forces.当物体的形状特殊，外力分布特殊，空间问题当物体的形状特殊，外力分布特殊，空间问题转化为平面问题。转化为平面问题。Plane problems:plane stress problems and plane strain problems 平面问题平面问题:平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题2024/6/16弹性力学 第二章3A.conditions for plane stress problem平面应力问题的条件平面应力问题的条件Body-a very thin plate of uniform thickness.很薄的等厚度薄板很薄的等厚度薄板External forces-1.The surface forces act on the edges only.面力仅作用板周边面力仅作用板周边 2.The surface forces and body forces are parallel to the faces of the plate and distributed uniformly over the thickness.面力、体力平行于板面且沿厚度无变化。面力、体力平行于板面且沿厚度无变化。2024/6/16弹性力学 第二章42024/6/16弹性力学 第二章5B.Coordinate system for plane stress problem平面应力问题的坐标系平面应力问题的坐标系x and y axes are in the middle plane and z axis is perpendicular to the middle plane.x,y轴放在轴放在薄板的中面内，薄板的中面内，z垂直于中面垂直于中面2024/6/16弹性力学 第二章6C.Stresses for plane stress problem平面应力问题的应力平面应力问题的应力Noting the absence of surface forces on the faces of the plate,we have 板板 面无面力作用，故面无面力作用，故:since stress gradients through plate are small,通过板的通过板的应力梯度小应力梯度小 (z zx zy)z=any 0(x y xy)0,They are functions of x and y only.the plate is said to be in a plane stress condition 板称为处于平面应力状态板称为处于平面应力状态。2024/6/16弹性力学 第二章71.plane stress problem(1)Geometry character一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。等厚度薄等厚度薄 平板平板如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等(2)Force character（1）板边上受有）板边上受有平行于板面平行于板面且且不沿厚度变化不沿厚度变化的面力；的面力；（2）体力）体力平行于板面且不沿厚度变化。平行于板面且不沿厚度变化。(3)Stress character2024/6/16弹性力学 第二章8思考题：思考题：斜放的平板可否视为平面应力问题？斜放的平板可否视为平面应力问题？平面应力问题只有三个应力分量：平面应力问题只有三个应力分量：应变分量、位移分量也仅为应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与的函数，与 z 无关。无关。2024/6/16弹性力学 第二章9D.conditions for plane strain problem平面应变问题的条件平面应变问题的条件Body-a cylindrical or prismatical body with infinite length 无限长的柱形体无限长的柱形体External forces-1.The surface forces are acting on the lateral surface.面力仅作用横向周边面力仅作用横向周边 2.The surface forces and body forces are parallel to any cross section of the body and not varying along the axial direction.面力体力平行于横截面且不沿长度变化面力体力平行于横截面且不沿长度变化。2024/6/16弹性力学 第二章102024/6/16弹性力学 第二章11E.Coordinate system for plane strain problem平面应变问题的坐标系平面应变问题的坐标系x and y axes are in any cross section of the body,and z axis is perpendicular to the xy plane.x,y轴放在任意的横截轴放在任意的横截面内，面内，z垂直于垂直于xy面面2024/6/16弹性力学 第二章12F.Displacements for plane strain problem平面应变问题的位移平面应变问题的位移Noting motion constrained in z direction,we have：w=0 z向运动受限制向运动受限制，故：，故：w=0(u,v)0,They are functions of x and y only u v 通常不为零，且只是通常不为零，且只是x y的函数。的函数。Plane displacement problem 平面位移问题平面位移问题2024/6/16弹性力学 第二章13G.Stresses for plane strain problem平面应变问题的应力平面应变问题的应力Symmetric condition 对称条件对称条件:zx=0 zy=0 z 0 not independent 不独立不独立(x y xy)0,They are functions of x and y only x y xy 通常不为零，且只是通常不为零，且只是x y的函数的函数2024/6/16弹性力学 第二章14Symmetric condition对称条件对称条件:zx=0,zy=0AB2024/6/16弹性力学 第二章15将将mn作为对称面，按作用反作用关系，左部分某点若有作为对称面，按作用反作用关系，左部分某点若有 ，右部分则有，右部分则有 ，大小与，大小与 相等。相等。由对称性，对称点切应力应具有相同方向，右边又可有由对称性，对称点切应力应具有相同方向，右边又可有 ，而，而 均代表同一点的切应力，故有均代表同一点的切应力，故有，所以所以，因而，因而同理同理2024/6/16弹性力学 第二章16H.Strain for plane strain problem平面应变问题的应变平面应变问题的应变w=0-z=0 zx=0 zy=0-rzx=0,rzy=0(x y rxy)0 functions of x and y only x y rxy 通常不为零，且只是通常不为零，且只是x y的函数的函数The body is said to be in a plane strain condition.物体处于平面应变状态。物体处于平面应变状态。2024/6/16弹性力学 第二章172.plane strain problem(1)几何特征几何特征 一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多大得多，且，且沿长度方向几何沿长度方向几何形状和尺寸不变化形状和尺寸不变化。近似无限长等截面柱体近似无限长等截面柱体(2)外力特征外力特征 外力外力（体力、面力）（体力、面力）平行于横截面平行于横截面作用，且作用，且沿长度沿长度 z 方向不变化方向不变化。约束约束 沿长度沿长度 z 方向不变化方向不变化。(3)变形特征变形特征 plane strain problem2024/6/16弹性力学 第二章18水坝水坝滚柱滚柱厚壁圆筒厚壁圆筒可近似为平面应变问题的例子：可近似为平面应变问题的例子：煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。2024/6/16弹性力学 第二章192024/6/16弹性力学 第二章202024/6/16弹性力学 第二章21 如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？面应力问题还是平面应变问题？平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题非平面问题非平面问题2024/6/16弹性力学 第二章223.Solution of plane problem问题：问题：已知：外力（体力、面力）、边界条件，已知：外力（体力、面力）、边界条件，求：求：仅为仅为 x y 的函数的函数需建立三个方面的关系：需建立三个方面的关系：（1）静力学关系：）静力学关系：（2）几何学关系：）几何学关系：（3）物理学关系：）物理学关系：形变与应力间的关系。形变与应力间的关系。应力与体力、面力间的关系；应力与体力、面力间的关系；形变与位移间的关系；形变与位移间的关系；建立边界条件：建立边界条件：Differential equations of equilibrium Geometrical equationsPhysical equations（1）stress boundary problems；（2）displacement boundary problems；（3）mixed boundary problems；2024/6/16弹性力学 第二章232.2 Differential equations of equilibrium 平衡微分方程平衡微分方程Equations of equilibrium in mechanics of materials 材料力学中的平衡方程材料力学中的平衡方程isolated element(脱离体脱离体,单元体单元体)L*h*b 从整体平衡中可求得反力从整体平衡中可求得反力x*h*b 从部分梁的平衡可求得内力，从部分梁的平衡可求得内力，dx*h*b 从从dxh的单元体平衡可求得的单元体平衡可求得M、Q和和q之间之间的微分关系的微分关系 dx*dy*dz Spatial elasticity problemsdx*dy*1 Plane elasticity problems2024/6/16弹性力学 第二章24问问题题：“如如果果单单元元体体取取得得更更小小成成dxd dy y，那那将将怎样呢？怎样呢？”回回答答:dxd dy y的的单单元元体体也也是是平平衡衡的的，由由平平衡衡条条件件就就可可导导得得应应力力和和体体力力之之间间的的关关系系式式，即即平平衡衡微分方程，这就是弹力研究的内容。微分方程，这就是弹力研究的内容。比比较较类类推推:可可见见弹弹力力的的平平衡衡微微分分方方程程的的推推导导并并不不是是全全新新的的内内容容，其其所所用用的的方方法法（取取单单元元体体，考虑单元体的平衡）在材力中早已用过考虑单元体的平衡）在材力中早已用过2024/6/16弹性力学 第二章25弹弹力力的的单单元元体体变变小小了了，所所得得方方程程从从反反力力、内内力力的的四四则则运运算算和和常常微微分分关关系系变变成成了了应应力力体体力力的的偏偏微分关系。微分关系。弹弹力力的的研研究究更更前前进进了了一一步步，因因为为叠叠加加弹弹力力中中无无穷穷多多个个平平衡衡的的无无穷穷小小微微元元单单元元体体就就可可得得到到材材力力中中有有限限大大的的平平衡衡单单元元体体；相相反反，材材力力中中有有限限大大单单元元体体的的平平衡衡不不能能保保证证弹弹力力中中无无穷穷小小微微元元单单元元体的平衡。体的平衡。2024/6/16弹性力学 第二章262024/6/16弹性力学 第二章27Review:Taylors series:泰勒级数泰勒级数2024/6/16弹性力学 第二章28Review:Taylors series:泰勒级数F(x+dx,y)=F(x,y)+F(x,y)/x dx+0.5 2F(x,y)/x2 dx2+F(x,y)+F(x,y)/x dx F(x,y+dy)=F(x,y)+F(x,y)/y dy+0.5 2F(x,y)/y2dy2+F(x,y)+F(x,y)/y dy 注：注：这里用了小变形假这里用了小变形假定，以变形前的尺寸定，以变形前的尺寸代替变形后尺寸。代替变形后尺寸。2024/6/16弹性力学 第二章29两边同除以两边同除以dx dy，并整理得：，并整理得：两边同除以两边同除以dx dy，并整理得：，并整理得：2024/6/16弹性力学 第二章30由微元体由微元体PABC平衡，得平衡，得整理得：整理得：当当时，有时，有 剪应力互等定理剪应力互等定理当当时，有时，有2024/6/16弹性力学 第二章31平面问题的平衡微分方程：平面问题的平衡微分方程：（2-2）说明：说明：（1）两个平衡微分方程，三个未知量：）两个平衡微分方程，三个未知量：超静定问题，需找补充方程才能求解。超静定问题，需找补充方程才能求解。（2）对于平面应变问题，）对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，方向的平衡方程相同，z方向自成平衡，上述方程方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用两类平面问题均适用；（3）平衡方程中不含）平衡方程中不含E、，方程与材料性质无关方程与材料性质无关（钢、石料、混凝土等）；（钢、石料、混凝土等）；（4）平衡方程对）平衡方程对整个弹性体内都满足整个弹性体内都满足，包括边界。，包括边界。2024/6/16弹性力学 第二章32Notes about differential equations of equilibrium 平衡方程注平衡方程注 -x方向的平衡方程，体方向的平衡方程，体力和应力都是力和应力都是x方向，故应力的第二个下标为方向，故应力的第二个下标为x方方向。对应力的第一个下标求导。向。对应力的第一个下标求导。-y方向的平衡方程，体力方向的平衡方程，体力和应力都是和应力都是y方向，故应力的第二个下标为方向，故应力的第二个下标为y方方向。对应力的第一个下标求导。向。对应力的第一个下标求导。In the first(second)differential equation of equilibrium,the body force and stresses are in the x(y)direction,the second coordinate subscript in stresses is x(y),the differential of stresses is respect to the first subscript.2024/6/16弹性力学 第二章33空间问题转化为平面问题的条件。空间问题转化为平面问题的条件。试述两类平面问题试述两类平面问题z面上的应力情况？面上的应力情况？平面应力问题平面应力问题z面上的三个应力面上的三个应力 z zx zy是否精确为是否精确为零？零？平面应变问题平面应变问题z面上的两个应力面上的两个应力 zx zy是否精确为零是否精确为零？平面应变问题的位移和应变？平面应变问题的位移和应变？检查下面的应力在体力为零时是否是可能的解答检查下面的应力在体力为零时是否是可能的解答.(1)(1)x x =5x,=5x,y y=3y,=3y,xyxy=0=0 (2)(2)x x=2x=2x2 2,y y=2y=2y2 2,xyxy=-4xy=-4xy2024/6/16弹性力学 第二章34 Check whether the following stresses may be the possible solution when =0 and =0 (1 x x =5x,=5x,y y=3y,=3y,xyxy=0=0 (2)x x=2x=2x2 2,y y=2y=2y2 2 xyxy=-4xy2024/6/16弹性力学 第二章352.3 Stress at a point.Principal stresses 一点的应力，主应力一点的应力，主应力problem 1:the stress components x y xy at a point P are known.Let n be the outward normal to the plane AB passing through point P.The cosines of the angles between n and axes x and y are denoted by l and m respectively.We want to know the stresses acting on AB 问题问题1：已知：已知 1.P点点的的 x y xy 2.过过 P 点点的斜面的法线的斜面的法线n的方向余弦的方向余弦 l=cos(n,x)m=cos(n,y)求斜面上应力求斜面上应力2024/6/16弹性力学 第二章362024/6/16弹性力学 第二章37AB=ds PA=mds PB=ldsFx=0:px ds-xl ds-yxm ds+fx0.5lds mds=0Fy=0:pyds-ym ds-xyl ds+fy0.5 lds mds=0px=lx+m yx py=my+lxy (2-3)Problem1:stresses acting on any plane斜面上应力斜面上应力 px py2024/6/16弹性力学 第二章38Problem2:stresses acting on any plane斜面上斜面上主主应力应力 n nprojection of px py on the normal n will give n,projection of px py perpendicular to the normal n will give n px py(px=lx+m yx py=my+lxy)投影到法线方向为投影到法线方向为 n，投影到和法线垂直的方向为，投影到和法线垂直的方向为 n n=lpx+m py=l2 x+m2 y+2lm xy (2-4)n=lpy-mpx=lm(y-x)+(l2-m2)xy (2-5)2024/6/16弹性力学 第二章392.一点的主应力与应力主向一点的主应力与应力主向（1）主应力）主应力 若某一斜面上若某一斜面上 ，则该斜面上的正应，则该斜面上的正应力力 称为该点一个称为该点一个主应力主应力 ；当当 时，有时，有求解得：求解得：（2-6）平面应力状态主应力的计算公式平面应力状态主应力的计算公式2024/6/16弹性力学 第二章40Problem 3:Principal stress 主应力主应力 1=(x+y)/2+(x-y)/22+xy2 2=(x+y)/2-(x-y)/22+xy2tan(1,x)=(1-x)/xytan(2,x)=xy/(2-y)1+2=x+y invariant of the state of stress 应力的不变量应力的不变量主应力主应力 所在的平面所在的平面 称为称为主平面主平面；主应力主应力 所在平面的法线方向所在平面的法线方向 称为称为应力主向应力主向；由式（由式（2-6）易得：）易得：平面应力状态平面应力状态应力第一不变量应力第一不变量（2）应力主向）应力主向 设设1 与与 x 轴的夹角为轴的夹角为1，1与坐标轴正向的方向余弦为与坐标轴正向的方向余弦为 l1、m1，则则 设设2 与与 x 轴的夹角为轴的夹角为2，2与坐标轴正向的方向余弦为与坐标轴正向的方向余弦为 l2、m2，则则应力主向的计算公式：应力主向的计算公式：由由得得显然有显然有表明：表明：1 与与 2 互相垂直。互相垂直。结论结论任一点任一点P，一定存在两，一定存在两 互相垂直的主互相垂直的主应力应力1 、2。（3）n 用主应力表示用主应力表示xyOpdxdydsPABn由由1 与与 2 分别为最大和最小应力分别为最大和最小应力。2024/6/16弹性力学 第二章43由由显然，当显然，当时，时，n为最大、最小值：为最大、最小值：由由得，得，max、min 的方向与的方向与1 （2）成成45。xyOdxdydsPABnpProblem4:Maximum and minimum shearing stress2024/6/16弹性力学 第二章44Problem4:Maximum and minimum shearing stress 最大最小剪应力最大最小剪应力 max=(1-2)/2 min=-(1-2)/2 They are acting on planes inclined at 45 with 1 or 2最大与最小剪应力发生在与应力主向成最大与最小剪应力发生在与应力主向成45度的斜面上度的斜面上 N=(1+2)/2 The normal stresses on the planes of maximum and minimum shearing stresses at a point are equal and take the mean value of the two principal stresses at the point.在发生最大与最小剪应力的面上，在发生最大与最小剪应力的面上，剪剪应力的数值应力的数值都都等等于两个主应力的平均值于两个主应力的平均值。2024/6/16弹性力学 第二章452.2.已知已知 X=q，y=0，xy=-2q 求求 1，2，a1解：解：1=(x+y)/2+(x-y)/2)2+xy 2=(x+y)/2-(x-y)/2)2+xy tga 1=(1-x)/xy 分别代入后，得分别代入后，得 1=2.562q 2=-1.562q tga1=-0.781 a1=-37.99o=-37o59 2024/6/16弹性力学 第二章462.4 Geometrical equations.Rigid-body displacements 一几何方程，刚体位移一几何方程，刚体位移几何方程几何方程 刚体位移刚体位移 2024/6/16弹性力学 第二章47line segments PA,PB,PCTo study deformation condition at a certain point P,we consider line segments PA,PB,PC 研究一点的变形，考虑通过研究一点的变形，考虑通过P点的三个正向微点的三个正向微段段PA,PB,PCPA/x PA=dx P A-positive x direction PB/y PB=dy P B-positive y direction PC/z PC=dz P C-positive z direction2024/6/16弹性力学 第二章48Normal strain-a change in length per unit length正应变-单位长度的长度改变x-change in length per unit length of PAy-change in length per unit length of PBz-change in length per unit length of PCpositive(negative)for elongation(contraction)x-x向微段PA的相对伸缩y-y向微段PB的相对伸缩 伸长为正z-z向微段PC的相对伸缩 缩短为负2024/6/16弹性力学 第二章49Shearing strain-the change of a right angle（radian)剪应变-直角的改变量(弧度)rxy-the change of a right angle APBryz-the change of a right angle BPCrzx-the change of a right angle APCpositive(negative)for a decrease(increase)of the right anglerxy-直角APB的改变量 ryz-直角BPC的改变量 直角 变小为正rzx-直角APC的改变量 直角 变大为负2024/6/16弹性力学 第二章502024/6/16弹性力学 第二章51 x-change in length per unit length of PA x-x向微段PA的相对伸缩 x=(A点x向位移-P点x向位移)/PA =(u+u/x dx-u)/dx=u/x2024/6/16弹性力学 第二章52 y-change in length per unit length of PB y-y向微段PB的相对伸缩y=(B点y向位移-P点y向位移)/PB =(v+v/y dy-v)/dy=v/y2024/6/16弹性力学 第二章53 rxy-the change of a right angle APB rxy-直角直角APB的改变量的改变量 =(A点点y向位移向位移-P点点y向位移向位移)/PA=(v+v/x dx-v)/dx =v/x=(B点点x向位移向位移-P点点x向位移向位移)/PB=(u+u/y dy-u)/dy =u/yrxy=+=u/y+v/x2024/6/16弹性力学 第二章54Notes 注：规律 x=u/x-x方向的位移方向的位移u对对x坐标求导坐标求导 u/x 为为x方向线段的正应变方向线段的正应变 x。y=v/y-y方向的位移方向的位移 v 对对y坐标求导坐标求导 v/y 为为y方向线段的正应变方向线段的正应变 y。u/y-x方向的位移方向的位移 u 对对y坐标求导为坐标求导为y方向线方向线段的转角。段的转角。v/x-y方向的位移方向的位移 v 对对x坐标求导为坐标求导为x方向线方向线段的转角。段的转角。2024/6/16弹性力学 第二章55Rigid-body displacements-displacements corresponding to zero strains刚体位移刚体位移-应变为零时的位移应变为零时的位移 x=u/x=0 u=f1(y)y=v/y=0 v=f2(x)rxy=u/y+v/x=df1(y)/dy+df2(x)/dx=0 -df1(y)/dy=d f2(x)/dx=-df1(y)/dy=f1(y)=-y+u0 df2(x)/dx=f2(x)=x+v0 u=-y+u0 v=x+v0 2024/6/16弹性力学 第二章56Physical meanings of u0 v0 刚体位移中刚体位移中 u0 v0 的物理意义。的物理意义。u=-y+u0 v=x+v0 u0-the rigid-body translation in the x direction x向刚体平动向刚体平动v0-the rigid-body translation in the y direction y向刚体平动向刚体平动 -the rigid-body rotation of the body about z axis.绕绕z 轴的刚体转动轴的刚体转动2024/6/16弹性力学 第二章57u=-y+u0 v=x+v0 Assume:u00,0,v0=0,=0,u(x,y)=u0,v(x,y)=0 u0 -the rigid-body translation in the x direction.x向刚体平动向刚体平动Assume:u0=0,0,v00,=0,u(x,y)=0,v(x,y)=v0 v0-the rigid-body translation in the y direction.y向刚体平动向刚体平动Assume:u0=0,0,v0=0,0,u=-y v=x -the rigid-body rotation of the body about z axis.绕绕z 轴的刚体转动轴的刚体转动2024/6/16弹性力学 第二章582024/6/16弹性力学 第二章592-5 Physical equations.物理方程Hooks law 虎克定律虎克定律-实验得实验得 物理关系，本构关系物理关系，本构关系 x=x-(y+z)/E rxy=xy/G y=y-(x+z)/E rxz=xz/G (2-10)z=z-(x+y)/E rzy=zy/G A.Physical equations for spatial problems A 空间问题的物理方程空间问题的物理方程2024/6/16弹性力学 第二章60E-the modulus of elasticity or Youngs modulus 弹弹性模量性模量 杨氏模量杨氏模量-Poissons ratio 泊松比泊松比G-the shear modulus 剪切剪切模量模量 They are interrelated by the equation。E G 的关系式的关系式 G=E/2(1+)2024/6/16弹性力学 第二章61B.Physical equations for plane stress problems B.平面应力平面应力问题的物理方程问题的物理方程Substituting z=0,zx=0 and zy=0 into eq.(2-10),we obtain:将将 z=0,zx=0 和和 zy=0 代入方程代入方程(2-10)得：得：x=x-y/E (2-11)y=y-x/E rxy=xy/G z=-x+y/E 算板厚改变算板厚改变 it can be used to find the change of thickness of the plate.2024/6/16弹性力学 第二章62B.Physical equations for plane stress problems B.平面应力平面应力问题的物理方程问题的物理方程 x=x-y/E (2-12)y=y-x/E rxy=xy/G x=E/(1-2)x+y y=E/(1-2)y+x xy=G rxy2024/6/16弹性力学 第二章63C.Physical equations for plane strain problems C.平面应变平面应变问题的物理方程问题的物理方程z=z-x-y/E=0-z=(x+y)Substituting z=(x+y),zx=0 and zy=0 into eq.(2-10),we obtain:将 z=(x+y),zx=0 和 zy=0 代入方程(2-10)得：x=x-/(1-)y(1-2)/E y=y-/(1-)x(1-2)/E (2-13)rxy=xy/G2024/6/16弹性力学 第二章64 E E/(1-2)/(1-)G GPlane stress problem Plane strain problem平面应力问题 平面应变问题 E(1+2)/(1+)2 E /(1+)G G 2024/6/16弹性力学 第二章652.2.已知平面问题的位移分量为已知平面问题的位移分量为 u u(x x,y y)=)=c c(x x-5)-5)y y v v(x x,y y)=)=c c0.5(10-0.5(10-x x)x x-0.1-0.1y y2 2 其中其中c c是个常数。求以下物理量在点是个常数。求以下物理量在点 P P(x x=2.5,=2.5,y y=1)=1)的值：的值：(1)(1)应变分量应变分量 (2)(2)应力分量，已知应力分量，已知 E E=200000,=200000,=0.2.=0.2.(3)(3)PA PA(PAPA=d dx x,PAPA/x x)的转角的转角 (4)(4)PBPB(PBPB=d dy y,PBPB/y y)的转角的转角2024/6/16弹性力学 第二章66u u(x x,y y)=)=c c(x x-5)-5)y y v v(x x,y y)=)=c c0.5(10-0.5(10-x x)x x-0.10.1y y2 2 x x=2.5,=2.5,y y=1 =1 E E=200000,=200000,=0.2.=0.2.x=u/x=cy=c y=v/y=c(-0.2y)=-0.2c rxy=u/y+v/x=c(x-5)+c(5-x)=0 PAPA的转角的转角=v/x=c(5-x)=2.5c PBPB的转角的转角=u/y=c(x-5)=-2.5c x=E/(1-2)x+y=E/(1-2)c-0.22c=Ec y=E/(1-2)y+x=E/(1-2)-0.2c+0.2c=0 xy=G rxy=02024/6/16弹性力学 第二章672-6 Boundary conditions边界条件边界条件Elasticity problems:displacement boundary problems,stress boundary problems,mixed boundary problems弹性力学问题：弹性力学问题：位移边界问题，应力边位移边界问题，应力边界问题，混合边界问题界问题，混合边界问题2024/6/16弹性力学 第二章68Displacement boundary problems 位移边界问题位移边界问题All the surface displacements of the whole body are specified。物体全部边界上所有位移分量均已知。Displacement boundary condition:位移边界条件 (u)s=u(s)(v)s=v(s)(2-14)in which us vs-displacement components on the surface.欲求的位移分量在边界点的值。u v-prescribed functions of coordinates on the surface.给定的边界点的位移分量值2024/6/16弹性力学 第二章692024/6/16弹性力学 第二章70Stress boundary problems 应力边界问题应力边界问题All the surface forces acting on the body are prescribed.物体全部边界上所有面力分量均已知。物体全部边界上所有面力分量均已知。stress boundary condition:应力边界应力边界条件条件:(l x+m yx)s=fx (m y+l xy)s=fy (2-15)in which x y xy-stress components on the surface.欲求的应力欲求的应力分量在边界点的值分量在边界点的值 fx fy-prescribed functions of coordinates on the surface.给定的给定的边界点的面力分量值边界点的面力分量值2024/6/16弹性力学 第二章71xyOdxdydsPABpxpyn斜面外法线斜面外法线 n 的关于坐标轴的方向余弦：的关于坐标轴的方向余弦：在边界上取出一个三角形块在边界上取出一个三角形块,AB为边界。为边界。两边除以两边除以ds，可得：，可得：给定面力分量给定面力分量 边界边界 应力边界应力边界式中取：式中取：可得：可得：2024/6/16弹性力学 第二章72Stress boundary conditions on a coordinate plane坐标面上的坐标面上的 应力边界条件应力边界条件(lx+myx)s=fx (my+lxy)s=fy(x)s=fx(xy)s=fy(positive x plane 正x面:l=1,m=0)(x)s=-fx(xy)s=-fy(negative x plane负x面:l=-1,m=0)(yx)s=fx y)s=fy(positive y plane 正y面:l=0,m=1)(yx)s=-fx y)s=-fy(negative y plane 负y面:l=0,m=-1)2024/6/16弹性力学 第二章73 y y fy(x)s=fx(xy)s=fy (x)s=-fx(xy)s=-fy x x(yx)s=fx(y)s=fy(yx)s=-fx(y)s=-fy fx fx y fy2024/6/16弹性力学 第二章74 y y (x)s=-fx (x)s=fx fx x x fx x fy xy xy fy (xy)s=-fy (xy)s=fy 2024/6/16弹性力学 第二章75 fy y fx(y)s=fy(yx)s=fx x x y yx x(y)s=-fy y yx(yx)s=-fx fy fx2024/6/16弹性力学 第二章76（2-15）在边界上是坐标的已知函数在边界上是坐标的已知函数 应力边界条件表达了物体边界上各点的应力分量与面力应力边界条件表达了物体边界上各点的应力分量与面力分量间的关系。由于面力分量是给定的，因此，应力分量的分量间的关系。由于面力分量是给定的，因此，应力分量的绝对值等于面力分量的绝对值；而面力分量的方向就是应力绝对值等于面力分量的绝对值；而面力分量的方向就是应力分量的方向，并可按照应力分量的正负号规定来确定应力分分量的方向，并可按照应力分量的正负号规定来确定应力分量的正负号。量的正负号。2024/6/16弹性力学 第二章77Mixed boundary problems-1 混合混合边界问题边界问题-1Some portion of the boundary is specified with known displacements while the other portion is subjected to known surface forces.物体一部分边界上已知所有位移分量，因而具有位移边界条件：us=u vs=v 物体另一部分边界上已知所有面力分量，因而具有应力边界条件：(lx+myx)s=fx (my+lxy)s=fy2024/6/16弹性力学 第二章78Mixed boundary problems-2 混合混合边界问题边界问题-2A boundary is specified with a known displacement in one direction and subjected to known surface force in the perpendicular direction.物体同一部分边界上一个方向已知位移分物体同一部分边界上一个方向已知位移分量，因而具有位移边界量，因而具有位移边界条件，条件，另一正交方另一正交方向已知应力分量，因而具有应力边界向已知应力分量，因而具有应力边界条件条件2024/6/16弹性力学 第二章79 us=u=0 (xy)s=fy=0 vs=v=0 (x)s=fx=0 2024/6/16弹性力学 第二章80例例1如图所示，试写出其边界条件。如图所示，试写出其边界条件。xyahhq(1)(2)(3)(4)2024/6/16弹性力学 第二章81例例2 如图所示，试写出其边界条件。如图所示，试写出其边界条件。(1)ABCxyhp(x)p0lAB段（段（y=0）：）：代入边界条件公式，有代入边界条件公式，有(2)BC段（段（x=l）：）：(3)AC段（段（y=x tan）:N2024/6/16弹性力学 第二章82例例3 图示水坝，试写出其边界条件。图示水坝，试写出其边界条件。左侧面：左侧面：由应力边界条件公式，有由应力边界条件公式，有右侧面：右侧面：2024/6/16弹性力学 第二章83例例4图示薄板，在图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，方向受均匀拉力作用，证明在板中间突出部分的尖点证明在板中间突出部分的尖点A处无应处无应力存在。力存在。解：解：平面应力问题，在平面应力问题，在 AC、AB 边界上边界上无面力作用。即无面力作用。即AB 边界：边界：由应力边界条件公式，有由应力边界条件公式，有（1）AC 边界：边界：代入应力边界条件公式，有代入应力边界条件公式，有（2）A 点同处于点同处于 AB 和和 AC 的边界，的边界，满足式（满足式（1）和（）和（2），解得），解得 A 点处无应力作用点处无应力作用2024/6/16弹性力学 第二章84例例5图示楔形体，试写出其边界条件。图示楔形体，试写出其边界条件。上侧：上侧：下侧：下侧：右右侧侧2024/6/16弹性力学 第二章85图示构件，试写出其应力边界条件。图示构件，试写出其应力边界条件。例例6上侧：上侧：下侧：下侧：N2024/6/16弹性力学 第二章862-7 Saint-venants principle-1 圣维南原理圣维南原理If a system of forces acting on a small portion of the surface of an elastic body is replaced by another statically equivalent system of forces acting on the same portion of the surface,the redistribution of loading produces substantial changes in the stresses only in the immediate neighborhood of the loading,and the stresses are essentially the same in the parts of the body which are at large distances in comparison with the linear dimension of the surface which the forces are changed.2024/6/16弹性力学 第二章872-7 Saint-venants principle-1 圣维南原理圣维南原理把物体一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力，那末，离面力变换处较近的地方的应力将有显著变化，离面力变换处较远的地方的应力将基本不变。statically equivalent systems 静力等效力系By“statically equivalent systems”we mean that the two system have the same resultant force and the same resultant moment.静力等效力系是指两个力系的主矢量相同，对同一点的主矩相同。2024/6/16弹性力学 第二章882024/6/16弹性力学 第二章892-7 Saint-venants principle-2 圣维南原理圣维南原理If a balanced system of surface forces is applied to any small portion of a body,it will induce significant stresses only in the neighborhood of the surface forces.作用在物体小部分边界上的平衡面力系仅在面力作用的附近产生显著的应力。A balanced force system can be regarded as the difference between two statically equivalent force systems.静力等效的两个力系的差异是个平衡力系。2024/6/16弹性力学 第二章902024/6/16弹性力学 第二章91补:Mathematical expressions for elasticity problem(plane stress)弹性力学平面应力问题的数学表述(2-2)（2-8）（平面应力问题）（平面应力问题）（2-12）位移：位移：（2-14）应力：应力：（2-15）1.平平衡衡微微分分方方程程2.几何方程几何方程3.物物理理方方程程4.边界条件边界条件2024/6/16弹性力学 第二章922024/6/16弹性力学 第二章933.圣维南原理的应用圣维南原理的应用(1)对复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。对复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。(2)有些位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。有些位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。注意事项：注意事项：(1)必须满足静力等效条件；必须满足静力等效条件；(2)只能在次要边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用。只能在次要边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用。如：如：AB主要边界主要边界P次要边界次要边界2024/6/16弹性力学 第二章94例如，图29中，由于hl，左右两端为小边界，在左右边界上有一般分布的面力fx、fy，严格满足（2-15）式是非常困难的。在右端小边界上，使应力的主矢量等于面力的主矢量，应力对某点的主矩等于面力对同一点的主矩（即数值相同，方向一致）。具体的表达式为：2024/6/16弹性力学 第二章952024/6/16弹性力学 第二章96如果给出单位宽度上面力的主矢量和主矩，如图29所示的FN，FS,M，则在x=l的小边界上，三个积分边界条件成为：2024/6/16弹性力学 第二章97例例7 图示矩形截面水坝，其右侧受静水图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。水坝的应力边界条件。左侧面：左侧面：代入应力边界条件公式代入应力边界条件公式右侧面：右侧面：代入应力边界条件公式，有代入应力边界条件公式，有上端面：上端面：为次要边界，可由圣维南原理求解。为次要边界，可由圣维南原理求解。y方向力等效：方向力等效：对对O点的力矩等效：点的力矩等效：x方向力等效：方向力等效：注意：注意：必须按正向假设！必须按正向假设！2024/6/16弹性力学 第二章982024/6/16弹性力学 第二章992024/6/16弹性力学 第二章100 Three ways for the solution of an elasticity problem:弹性力学求解的三种方法弹性力学求解的三种方法1.solution in terms of displacements-take the displacement components as the basic unknown functions.按位移求解按位移求解-把位移作为基本未知函数把位移作为基本未知函数2.solution in terms of stresses-take the stress components as the basic unknown functions.按应力求解按应力求解-把应力作为基本未知函数把应力作为基本未知函数2024/6/16弹性力学 第二章1013.solution in terms of displacements and stresses-tak