平面向量分解定理课件

火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成火箭在升空的某一时刻，速度可以分解成竖直向上和水平向前的两个分速度竖直向上和水平向前的两个分速度情景情景1 1在物理学中我们知道，一个放在斜面上的物体在物理学中我们知道，一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力所受的竖直向下的重力G，可分解为使物体沿，可分解为使物体沿斜面下滑的力斜面下滑的力F1，和使物体垂直与斜面压紧斜，和使物体垂直与斜面压紧斜面的力面的力F2 情景情景2 2GF F1 1F F2 2如图，一盏电灯，可以由电线如图，一盏电灯，可以由电线CO吊在天花板吊在天花板上，也可以由电线上，也可以由电线AO和绳和绳BO拉住，拉住，CO所受所受的拉力的拉力F应于电灯重力平衡，拉力应于电灯重力平衡，拉力F可以分解可以分解为为AO与与BO所受的拉力所受的拉力F1和和F2 情景情景3 3OCMNAB问题问题问题问题2 2 2 2 平面内任一向量是否可以用两个平行向量来表示呢？平面内任一向量是否可以用两个平行向量来表示呢？平面内任一向量是否可以用两个平行向量来表示呢？平面内任一向量是否可以用两个平行向量来表示呢？问题问题问题问题1 1 给定一个向量给定一个向量给定一个向量给定一个向量a a是否可以分解成两个不平行方向上是否可以分解成两个不平行方向上是否可以分解成两个不平行方向上是否可以分解成两个不平行方向上 的向量的向量的向量的向量之和，即之和，即之和，即之和，即？ae1e2ae1e2若在同一平面内有两个不平行的向量若在同一平面内有两个不平行的向量若在同一平面内有两个不平行的向量若在同一平面内有两个不平行的向量e e1 1，e e2 2 ，则则则则给定向量给定向量给定向量给定向量a a，存在一对实数，存在一对实数，存在一对实数，存在一对实数 1 1、2 2，使，使，使，使a a=1 1e e1 1+2 2e e2 2结论结论结论结论 设设 、是同一平面内的两个不平是同一平面内的两个不平行的向量，行的向量，a 是这一平面内的任一向量，是这一平面内的任一向量，我们研究我们研究 a 与与 、之间的关系之间的关系a研究研究OC=OM+ON=OC=OM+ON=OA+OBOA+OB即即 a=+=+aA AO OB BN NM MM MN N研究研究a平面向量分解定理 一向量 a 有且只有一对实数 、使平行的向量，那么对于这一平面内的任 如果 、是同一平面内的两个不a=+这一平面内所有向量的一组基我们把不平行的向量 、叫做零向量不能作为基平面向量分解定理(另一种陈述)平面内任一向量可以唯一地表示为两个指定向量的线形组合的充要条件是两个指定向量不平行.（1）一组平面向量的基有多少对？(有无数对)思考E EF F F FA AN NB BaM MO OC CN NM MM MO OC CN NaE E思考 (2)若基选取不同，则表示同一 向量的实数 、是否相同？(可以不同，也可以相同)O OC CF FM MN NaE E E EA AB BN NOC=2OB+ONOC=2OB+ON OC=2OA+OEOC=2OA+OEOC=OF+OEOC=OF+OE 特别的，若特别的，若 a=0，则有且只有，则有且只有：可使可使 0=+.=0？若若 与与 中只中只有一个为零，情有一个为零，情况会是怎样？况会是怎样？特别的，若特别的，若a与与 （）平行，则有）平行，则有 =0（=0），使得），使得:a=+.已知向量 求做向量-2.5 +3 例1：、OABCD DC CB BA AM M例2:例3、如图，已知梯形ABCD，AB/CD，且AB=2DC,M,N分别是DC,AB的中点.请大家动手,在图中确一组基，将其他向量用这组基表示出来。ANMCDB解析：BC=BD+DC=MN=DN-DM =(AN-AD)-DC(ADAB)+DCDC=AB=设AB=,AD=,则有：=-.=-+=-+ANMCDB 评析评析 能够在具体问题中适当地选取基，使其他向量能够用基来表示，再利用有关知识解决问题。例4:ABCD中，E、F分别是DC和AB的中点，试判断AE,CF是否平行？FBADCEFBADCEE、F分别是DC和AB的中点,AE=AD+DE =b+aCF=CB+BF=-b-aAE=-CFAE与CF平行，又无公共点AE,CF平行.解：设AB=a,AD=b.使得AB=BD.设 a、b是两个不平行的向量，已知AB=2a+kb,CB=a+3b,CD=2a b,若A、B、D三点共线，求k的值。A、B、D三点共线解：AB与BD平行，则存在实数思考思考k=8.=a 4b由于BD=CD CB =(2a b)(a+3b)则需 2a+kb=(a 4b)由向量相等的条件得2=k=-4ABPo例5:APBo 1.平面向量分解定理可以联系物理学中的力的分解模型来理解，它说明在同一平面内任一向量都可以表示为不平行向量的线性组合，该定理是平面向量坐标表示的基础，其本质是一个向量在其他两个向量上的分解。课堂总结课堂总结 总结：1、平面向量分解定理内容2、对基本定理的理解（1）实数对1、的存在性和唯一性（）基的不唯一性（）定理的拓展性、平面向量分解定理的应用求作向量、解（证）向量问题、解（证）平面几何问题思考思考 在梯形在梯形ABCDABCD中，中，E E、F F分别时分别时ABAB、CDCD的中点，用向量的方法证明：的中点，用向量的方法证明：EF/AD/BC,EF/AD/BC,且且EF=(AD+BC)EF=(AD+BC)平面向量基本定理平面向量基本定理 如如果果e e1 1，e e2 2是是同同一一平平面面内内两两个个不不共共线线的的向向量量,那那么么对对于于这这一一平平面面内内的的任任一一向向量量a a，有有且且只只有有一一对对实实数数 1 1，2 2，使，使 a a=1e e1+2e e2基底基底基底基底线性组合线性组合线性组合线性组合（1 1）我们把不共线的向量）我们把不共线的向量）我们把不共线的向量）我们把不共线的向量e e1 1，e e2 2叫做表示这一平面内所有向叫做表示这一平面内所有向叫做表示这一平面内所有向叫做表示这一平面内所有向量的一组基底（量的一组基底（量的一组基底（量的一组基底（basebase）（2 2）一个平面向量用一组基底）一个平面向量用一组基底）一个平面向量用一组基底）一个平面向量用一组基底e e1 1，e e2 2表示成表示成表示成表示成a a=1 1e e1 1+2 2e e2 2的形的形的形的形式，我们称它为向量的分解式，我们称它为向量的分解式，我们称它为向量的分解式，我们称它为向量的分解（3 3）当）当）当）当e e1 1，e e2 2互相垂直时，就称为向量的正交分解；互相垂直时，就称为向量的正交分解；互相垂直时，就称为向量的正交分解；互相垂直时，就称为向量的正交分解；DCBAM例例1 14 4、证明唯一性：、证明唯一性：证明：（证明：（1 1）当）当 时，时，（2 2）当）当 时，假设时，假设 ，则有，则有 由由于于 不不平平行行，故故 ，即即 。1、若e1，e2是平面内向量的一组基底，则下面的向量中不能作为一组基底的是（）A）e1+e2和e1-e2 B）3 e1-2 e2和-6e1+4 e2 C）e1+3 e2和3 e1+e2 D）e1+e2和 e2B练习练习练习练习2.已知ABC中，D是BC的中点，用向量 ，表示向量练习练习3.设P，Q分别是四边形的对角线AC与BD的中点，,并且a，b不是共线向量，试用基底a，b表示向量例例2 2设e1，e2是平面内的一组基底 =3e1-2 e2,=4 e1+e2,=8 e1-9 e2,证明A，D，B，三点共线 思考思考 ,是两个不共线的向量，已知 ，若A，B，D三点共线，求实数 的值。1.平面向量基本定理，其实质在于：同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量e1,e2的线性组合，且e1,e2是这一平面内所有向量的一组基底 小结小结 2.任意向量都可以沿两个不平行的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的，即1，2是被a，e1，e2唯一确定的数量 小结小结