应用数学上册课题八1课件

任意角的三角函数课题八应用数学上册课题八1课件 2 应用数学 2 在机械加工、电工电子技术中，许多时候都需要计算大量数据，其中三角函数知识应用最为广泛本课题将学习、探讨三角函数的知识，包括角的概念、弧度制、任意角的三角函数、三角函数变换式等要求正确理解有关概念、公式、计算方法，从而为专业课的学习及生产加工打下良好基础学习指南在机械加工、电工电子技术中，许多时候都需要计算大量数据，其中应用数学应用数学目录页CONTENTS PAGE 3 8.1 角的概念的推广8.2 角的度量8.3 任意角的三角函数8.4 三角函数的诱导公式8.5 接近于零的正角的正弦和正切的近似值8.6 两角和与差的三角函数应用数学上册课题八1课件过渡页TRANSITION PAGE 4 应用数学角的概念的推广81任意角的概念终边相同的角角的概念的推广81任意角的概念 5 应用数学81角的概念的推广一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形叫做角这条射线的端点叫做角的顶点，射线旋转开始的位置叫做角的始边，终止的位置叫做角的终边如图8-1所示，OA为AOB的始边，OB为AOB的终边，点O为AOB的顶点由于射线旋转的方向有两个，我们规定，射线绕着它的端点按逆时针方向旋转形成正角，按顺时针方向旋转形成负角，射线没有旋转或旋转量为零形成零角例如，在图8-2（a）中，；在图8-2（b）中 图8-1图8-2（a）（b）8.1.1 任意角的概念一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形叫做角这条射线的端点叫 6 应用数学81角的概念的推广 8.1.2 终边相同的角1象限角在平面直角坐标系内讨论角时，通常取坐标原点为角的顶点，x轴的正半轴为角的始边角的终边落在第几象限，就称这个角是第几象限角（或者说这个角属于第几象限）如图8-3所示，30是第一象限角，120是第二象限角，-150是第三象限角注 如果角的终边在坐标轴上，则称这个角不属于任何象限图8-3 8.1.2 终边相同的角1象限角图8-3 7 应用数学81角的概念的推广2终边相同的角终边落在同一条射线上的角称为终边相同的角下面分析与30角有相同终边的一些角，如390，750，-330，-690等的特点：可以发现：与30角有相同终边的角有无数多个，它们相差360的整数倍所以与30角有相同终边的角（包括30角在内），可以用一般形式表示为：一般地，所有与角 终边相同的角（包括角 在内），可以用一般形式表示为：即这样的角有无数多个，它们相差360的整数倍 8.1.2 终边相同的角2终边相同的角一般地，所有与角 终边相同的角（包 8 应用数学81角的概念的推广例1 在0到360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是第几象限角 （1）360；（2）640；（3）解 （1）因为 ，所以240的角与-120的角终边相同，即-120是第三象限角 （2）因为啊啊啊啊啊啊啊啊，所以280的角与640的角终边相同，即640是第四象限角 （3）因为啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊，所以 的角与 的角终边相同，即 是第二象限角 8.1.2 终边相同的角例1 在0到360范围内，找出与下列各角终边相同的角，9 应用数学81角的概念的推广例2 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把 S 中在 间的角写出来（1）60；（2）解 （1）S中在 间的角有：（2）S中在 间的角有：8.1.2 终边相同的角例2 写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把 S 中在 过渡页TRANSITION PAGE 10 应用数学角的度量828.2.1 角度制8.2.2 弧度制角的度量828.2.1 角度制 11 应用数学82角的度量 11 余世维在初中，角的大小用“度”来表示即把一个周角分为360等份，每一等份叫做1度，记作“1”；1的 叫做1分，记为“”；1分的 叫做1秒，记作“”，即 8.2.1 角度制 8.2.1 角度制 12 应用数学82角的度量 12 余世维度量角除了角度制外，还有弧度制1概念弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记为1 rad如图8-4所示，弧AB的弧长等于半径r，则AOB=1 rad根据正、负角的规定，正角的弧度数可以用正实数表示，负角的弧度数可以用负实数表示，零角的弧度数可以用零表示因此，角的弧度数可以用任意实数来表示一般地，如果圆的半径为r，圆弧长为l，该弧所对的圆心角为，那么即圆心角弧度数的绝对值等于该角所对的弧长与该圆半径的比值 8.2.2 弧度制度量角除了角度制外，还有弧度制 8.2.2 弧度制 13 应用数学82角的度量 13 余世维2度与弧度的换算一个周角，用角度制来度量是360，用弧度制来度量是 所以，即一些特殊角的度数与弧度数的对应值如教材表8-1所示。3弧长公式公式中角的单位必须是弧度（rad）8.2.2 弧度制2度与弧度的换算 8.2.2 弧度制 14 应用数学82角的度量 14 余世维例1 求图8-5中公路弯道处弧AB的长l（单位：m）8.2.2 弧度制图8-5解 由图示可知 ，再由圆心角公式 ，得所以弯道处弧AB的长约为50 m例1 求图8-5中公路弯道处弧AB的长l（单位：m）8 15 应用数学82角的度量 15 余世维例2 如图8-6所示，两个皮带轮的中心距 是180 cm，两轮的直径分别是100 cm和37.5 cm，求皮带的长度 8.2.2 弧度制图8-6皮带的长度为581.4 cm例3 弯管尺寸如图8-7所示（单位：mm），求落料长度（图中点画线部分的长）图8-7弯管落料长度为117 mm例2 如图8-6所示，两个皮带轮的中心距 16 应用数学82角的度量 16 余世维例4 在车床上被加工的工件上有一点A由静止开始做匀速圆周运动，如图8-8所示设圆的半径OA为20 cm，点A在一秒钟内逆时针由点A运动到点A1的位置，经过的圆弧长为200 cm，求：（1）1秒钟内点A所经过的圆心角；（2）点A在1秒钟内所旋转的周数 8.2.2 弧度制图8-8解 设圆弧长为l，半径为r，圆心角为（1）因为 ，所以圆心角（2）旋转的周数为：答 （1）1秒钟内点A所经过的圆心角为10；（2）点A在1秒钟内所旋转的周数为周例4 在车床上被加工的工件上有一点A由静止开始做匀速圆周运 17 应用数学82角的度量 17 余世维4扇形面积公式角度制下的扇形面积公式为 ，其中n是扇形所含圆心角 的角度数，化为弧度数应是 ，从而得到弧度制下的扇形面积公式为：其中，角 的单位必须是弧度（rad）8.2.2 弧度制例5 有一块扇形铁片，半径长为30 cm，扇形所含圆心角为120，求这块扇形铁片的面积解 已知半径长 ，圆心角 ，所以这块扇形铁片面积为 答 这块扇形铁片的面积约为942 cm24扇形面积公式 8.2.2 弧度制例5 有一块扇形铁片过渡页TRANSITION PAGE 18 应用数学任意角的三角函数8.38.3.1 复习锐角的三角函数8.3.2 任意角的三角函数的概念任意角的三角函数8.38.3.1 复习锐角的三角函数 19 应用数学83任意角的三角函数案例 如图8-15所示，蒸汽机曲柄OP绕轴O旋转所形成的角q，是一个任意大小的角，如何求P点在某一时刻的位置？图8-15案例 如图8-15所示，蒸汽机曲柄OP绕轴O旋转所形成的角 20 应用数学83任意角的三角函数1定义在直角三角形中，如图8-16所示锐角 的对边与斜边的比叫做角的正弦，记作sin，即锐角的邻边与斜边的比叫做角的余弦，记作cos，即锐角的对边与邻边的比叫做角的正切，记作tan，即从正弦、余弦、正切的定义看到，任意给定一个锐角，都有唯一确定的比值sin，cos，tan 与它对应我们把锐角的正弦、余弦、正切统称为锐角三角函数 8.3.1 复习锐角的三角函数图8-16注意 对于任意锐角，有1定义 8.3.1 复习锐角的三角函数图8-16注意 21 应用数学83任意角的三角函数2锐角三角函数特殊角30，45，60的正弦、余弦、正切值如表所示304560sin cos tan 1 8.3.1 复习锐角的三角函数2锐角三角函数a304560sin acos ata 22 应用数学83任意角的三角函数1定义如图所示，在任意角的终边上任取一点（非原点），设点P的坐标为 ，它与原点的距离为r，那么（1）比值 叫做角 的正弦，记为sin，即 ；（2）比值 啊叫做角 的余弦，记为cos，即啊啊啊啊啊；（3）比值啊叫做角 的正切，记为tan，即啊啊啊啊啊根据相似三角形的知识，对于确定的角，这三个比值都不会随点P在角终边上的位置变化而改变当 时，的终边在y轴上，终边上任一点的横坐标x都等于0，所以 无意义除此之外，对于确定的角，上述三个比值都是唯一确定的，这就是说，正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，它们统称为三角函数注 锐角三角函数其实是上述任意角的三角函数的一个特例 8.3.2 任意角的三角函数的概念1定义 8.3.2 任意角的三角函数的概念 23 应用数学83任意角的三角函数2三角函数值由任意角的三角函数的定义，可得角 ，时的三角函数值，如表所示 8.3.2 任意角的三角函数的概念0sin 010cos 100tan 0不存在0不存在2三角函数值 8.3.2 任意角的三角函数的概念a0si 24 应用数学83任意角的三角函数3三角函数值的符号由任意角的三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，可以确定三角函数值在各象限的符号，如图8-19所示 8.3.2 任意角的三角函数的概念图8-193三角函数值的符号 8.3.2 任意角的三角函数的概念图 25 应用数学83任意角的三角函数4sin aa 和cos aa 的几何意义由于角的三角函数值与点P在角的终边上的位置无关，因此，利用单位圆来求已知角的三角函数值较为方便单位圆是指以坐标原点为圆心，以单位长1为半径长的圆，如图8-20所示设角的终边与单位圆的交点为P，点P的坐标为 ，则 所以有即点P的坐标为(cos，sin)这就是cos 和sin 的几何意义 8.3.2 任意角的三角函数的概念注 利用sin 和cos 的几何意义，可以方便地处理一些问题例如，从图8-20可以看出，无论取怎样的值，它的终边和单位圆交点的纵坐标和横坐标总是在-1到1之间变化，即 这说明函数sin 和cos 的值域是4sin a 和cos a 的几何意义 8.3.2 任意 26 应用数学83任意角的三角函数5同角三角函数的基本关系式由任意角的三角函数的定义，可得到同角三角函数之间的基本关系式：注 依据同角三角函数之间的基本关系式，如果已知一个角的某个三角函数值，就可以求出这个角的其他三角函数值；另外，还可以利用它们来化简同角的三角函数式或者证明三角恒等式 8.3.2 任意角的三角函数的概念5同角三角函数的基本关系式 8.3.2 任意角的三角函数 27 应用数学83任意角的三角函数例2 已知 ，并且 是第二象限角，求cos，tan 的值解 因为 ，所以 ，解得又因为是第二象限角，所以 ，即 例3 设 ，并且是第四象限角，求cos，sin 的值 8.3.2 任意角的三角函数的概念例2 已知 ，并且a 是第 28 应用数学83任意角的三角函数例4 化简下列各式解 8.3.2 任意角的三角函数的概念例4 化简下列各式 8.3.2 任意角的三角函数的概念 29 应用数学83任意角的三角函数例5 证明例6 已知 ，求 及 的值 8.3.2 任意角的三角函数的概念例5 证明 8.3.2 任意角的三角函数的概念