但形式由广义坐标的选取来确定哈密顿正则方程二课件

4哈密顿动力学哈密顿动力学1正则方程正则方程2守恒原理守恒原理3泊松括号和泊松定理泊松括号和泊松定理4刘维定理刘维定理5哈密顿原理哈密顿原理6正则变换正则变换7哈密顿哈密顿雅可比原理雅可比原理4哈密顿动力学1正则方程1拉格朗日动力学拉格朗日动力学哈密顿动力学哈密顿动力学从量纲来分析：从量纲来分析：能量能量时间=作用量作用量拉格朗日动力学哈密顿动力学从量纲来分析：能量时间=作用量21.哈密顿正则方程哈密顿正则方程完整、保守的系统，动力学方程为拉格朗日方程完整、保守的系统，动力学方程为拉格朗日方程是广义坐标的二阶微分方程，可改写为是广义坐标的二阶微分方程，可改写为广义动量定义为广义动量定义为2s个一阶微分方程作为系统的个一阶微分方程作为系统的动力学方程动力学方程用广义坐标和广义动量来代替广义坐标和广义速度用广义坐标和广义动量来代替广义坐标和广义速度一、正则方程一、正则方程1.哈密顿正则方程完整、保守的系统，动力学方程为拉格朗日方3从广义动量的定义从广义动量的定义解出广义速度解出广义速度系统的动力学方程，但形式由广义坐标的选取来确定系统的动力学方程，但形式由广义坐标的选取来确定从广义动量的定义解出广义速度系统的动力学方程，但形式由广义坐4但形式由广义坐标的选取来确定哈密顿正则方程二课件5哈密顿正则方程哈密顿正则方程哈密顿正则方程6二、特性函数二、特性函数二、特性函数7三、勒让德变换三、勒让德变换两个自变量的函数两个自变量的函数四个变量之间的两个方程，四个变量之间的两个方程，其中的其中的2个是独立的个是独立的以以u，y为独立变量，则为独立变量，则三、勒让德变换两个自变量的函数四个变量之间的两个方程，其中的8构造一个新的函数构造一个新的函数因此因此旧独立变量旧独立变量旧独立变量旧独立变量新独立变量新独立变量构造一个新的函数因此旧独立变量旧独立变量新独立变量9不要的原独立变量不要的原独立变量=新函数新函数 新独立变量新独立变量=新的不独立变量新的不独立变量原不独立变量原不独立变量=-新函数新函数 新独立变量新独立变量 旧函数旧函数 保留的独立变量保留的独立变量=保留的不独立变量保留的不独立变量不要的原独立变量=新函数新独立变量=新的不独立变量原不独10比比较较将将f 换成换成g 后后第一式：第一式：u 与与x 对易对易第二式：加负号第二式：加负号这种由一组独立变量这种由一组独立变量(x,y)变为另一组独立变量变为另一组独立变量(u,y)的变换成为的变换成为勒让德变换勒让德变换勒让德变换指出：独立变量改变，相应的函数本身勒让德变换指出：独立变量改变，相应的函数本身随之改变，这样不独立变量仍可以用独立变量的偏随之改变，这样不独立变量仍可以用独立变量的偏导数表示导数表示比较将f换成g后第一式：u与x对易第二式：加负11由勒让德变换给出正则方程：由勒让德变换给出正则方程：拉格朗日变量：拉格朗日变量：哈密顿变量：哈密顿变量：新函数新函数新的新的独立独立变量变量不要的不要的原独立原独立变量变量旧函数旧函数根据前面我们根据前面我们得到的勒让德得到的勒让德变换有：变换有：由勒让德变换给出正则方程：拉格朗日变量：哈密顿变量：新函数新12这些勒让德变换只是数学内容，考虑拉格朗日方程，这些勒让德变换只是数学内容，考虑拉格朗日方程，则有则有这些勒让德变换只是数学内容，考虑拉格朗日方程，则有13哈密顿量哈密顿量H=Ep+Ek动量定义动量定义牛顿第二定律牛顿第二定律p广义动量广义动量x广义位移广义位移即：即：哈密顿正则方程：哈密顿正则方程：一维弹簧振子的运动一维弹簧振子的运动哈密顿量H=Ep+Ek动量定义牛顿第二定律p广义14哈密顿变量：哈密顿变量：哈密顿正则方程哈密顿正则方程哈密顿函数：哈密顿函数：哈密顿变量：哈密顿正则方程哈密顿函数：15拉格朗日变量：拉格朗日变量：哈密顿变量：哈密顿变量：拉格朗日变量：哈密顿变量：16对比对比可得可得对比可得17考虑拉格朗日方程，考虑拉格朗日方程，因此有：因此有：考虑拉格朗日方程，因此有：182.守恒原理守恒原理一、能量积分一、能量积分哈密顿量：哈密顿量：对时间求微商：对时间求微商：考虑正则方程考虑正则方程2.守恒原理一、能量积分哈密顿量：对时间求微商：考虑正则方19也就是说，哈密顿函数也就是说，哈密顿函数H中不显含时间中不显含时间t，则有则有表示一积分常数表示一积分常数广义能量守恒广义能量守恒由拉格朗日动力学可知由拉格朗日动力学可知稳定约束：稳定约束：体系机械能守恒体系机械能守恒不稳定约束：不稳定约束：广义能量守恒广义能量守恒也就是说，哈密顿函数H中不显含时间t，则有表示一积分常数广义20二、循环积分，可遗坐标二、循环积分，可遗坐标若哈密顿函数若哈密顿函数H 中不显含某一广义坐标中不显含某一广义坐标则由正则方程，立即有则由正则方程，立即有也就是也就是这就是哈密顿动力学中的广义动量守恒原理这就是哈密顿动力学中的广义动量守恒原理二、循环积分，可遗坐标若哈密顿函数H中不显含某一广义坐标则21拉格朗日动力学：拉格朗日函数中不显含某一广义坐标拉格朗日动力学：拉格朗日函数中不显含某一广义坐标哈密顿动力学：哈密顿函数中不显含某一广义坐标哈密顿动力学：哈密顿函数中不显含某一广义坐标广义动量守恒原理的条件：广义动量守恒原理的条件：这两个条件实际上是等价的这两个条件实际上是等价的即在即在L和和H中，若其一不含广义坐标中，若其一不含广义坐标则另一必定也不则另一必定也不含有含有拉格朗日动力学：拉格朗日函数中不显含某一广义坐标哈密顿动力学22可遗坐标对应的广义动量可遗坐标对应的广义动量守恒守恒不含于不含于L或或H 的广义坐标的广义坐标称为可遗坐标称为可遗坐标若体系某一广义动量守恒，给问题的求解带来方便，这若体系某一广义动量守恒，给问题的求解带来方便，这在拉格朗日动力学和哈密顿动力学中是相同的，但在哈在拉格朗日动力学和哈密顿动力学中是相同的，但在哈密顿动力学中更适合于处理可遗坐标；密顿动力学中更适合于处理可遗坐标；拉格朗日函数中虽然可以含有可遗坐标拉格朗日函数中虽然可以含有可遗坐标，但是可以，但是可以含有相应的广义速度含有相应的广义速度，问题仍然是，问题仍然是s个自由度；个自由度；而哈密顿函数中，不仅不含有可遗坐标而哈密顿函数中，不仅不含有可遗坐标，而相应的，而相应的广义动量广义动量是个常数，因此这一自由度相当于已经解是个常数，因此这一自由度相当于已经解出，只要求解其他自由度即可。出，只要求解其他自由度即可。可见在哈密顿动力学中可遗坐标才是正真的可以忽略可见在哈密顿动力学中可遗坐标才是正真的可以忽略想一想：为什么不讨论想一想：为什么不讨论L中不显含中不显含，或，或H中不显含中不显含的问题？的问题？可遗坐标对应的广义动量守恒不含于L或H的广义坐标23例例1质质量量为为M的的楔楔子子置置于于光光滑滑的的水水平平桌桌面面上上.楔楔子子底底面面也也是是光光滑滑的的,斜斜面面却却是是粗粗糙糙的的,质质量量为为m,半半径径为为R的的圆圆柱柱体体沿沿着着楔楔子子斜斜面面无无滑滑动动地地滚滚下下.求求解解楔楔子子和和圆圆柱柱体体的运动的运动.解解楔子可在水平方向运动楔子可在水平方向运动.取桌面上取桌面上的固定点的固定点O为原点为原点,把楔子的质心把楔子的质心(其其实不一定要质心，改为楔子的任一点实不一定要质心，改为楔子的任一点也行也行)相对于相对于O点的水平坐标记作点的水平坐标记作X.圆柱体可在楔子的斜面上滚动圆柱体可在楔子的斜面上滚动.把圆柱轴相对于楔子斜面上端把圆柱轴相对于楔子斜面上端并沿斜边计算的坐标记作并沿斜边计算的坐标记作q,把圆柱某根半径与竖直向下之间的把圆柱某根半径与竖直向下之间的夹角记作夹角记作,无滑动这个约束条件可写为无滑动这个约束条件可写为例1质量为M的楔子置于光滑的水平桌面上.楔子底面也是光24这个运动约束可以积分为这个运动约束可以积分为故故,这是一个完整约束这是一个完整约束,q 和和 不独立不独立.这个系统有两个自由度这个系统有两个自由度,可以选可以选x 和和 是两个独立的广义坐标是两个独立的广义坐标.主动力都是重力主动力都是重力.圆柱体的势能圆柱体的势能楔子的动能为楔子的动能为圆柱的动能包括质心的平动动能和绕圆柱的动能包括质心的平动动能和绕质心转动的转动动能质心转动的转动动能这个运动约束可以积分为故,这是一个完整约束,q和不独25所以所以按定义按定义,广义动量广义动量所以得到广义速度所以得到广义速度所以按定义,广义动量所以得到广义速度26于是于是,系统的哈密顿函数系统的哈密顿函数哈密顿函数不含有广义坐标哈密顿函数不含有广义坐标X,所以所以X是循环坐标是循环坐标,相应的广义相应的广义动量守恒动量守恒此时对此时对 的正则方程为的正则方程为:于是,系统的哈密顿函数哈密顿函数不含有广义坐标X,所以X27所以所以这是匀加速转动这是匀加速转动,积分一次积分一次简单推导简单推导,可得可得所以这是匀加速转动,积分一次简单推导,可得28例例2：写出粒子在中心势场：写出粒子在中心势场V=-a/r中哈密顿函数和正中哈密顿函数和正则方程。则方程。解：自由度是解：自由度是2，广义坐标，广义坐标r、。广义动量：广义动量：中心势场粒子的能量守恒，因此粒子的哈密顿函数为：中心势场粒子的能量守恒，因此粒子的哈密顿函数为：例2：写出粒子在中心势场V=-a/r中哈密顿函数和正则方程。29可以解得正则方程：可以解得正则方程：该题还可解得该题还可解得粒子的径向运动方程粒子的径向运动方程角动量守恒定律角动量守恒定律可以解得正则方程：该题还可解得粒子的径向运动方程角动30例例3分分别用笛卡儿坐用笛卡儿坐标、柱面坐、柱面坐标和球面坐和球面坐标写出一个写出一个自由自由质点在点在势场V()中的哈密顿函数中的哈密顿函数H。解解:体系为质点，自由度数体系为质点，自由度数s3。（1）在笛卡儿坐标系中，取）在笛卡儿坐标系中，取x，y，z为广义坐标，为广义坐标，则拉格朗日函数则拉格朗日函数L为为例3分别用笛卡儿坐标、柱面坐标和球面坐标写出一个解:31（2）在柱面坐标系中）在柱面坐标系中L=TV（2）在柱面坐标系中L=TV32（3）在球面坐标系中）在球面坐标系中（3）在球面坐标系中33,V=V（r，）V（r，）,V=V（r，）V（r，）34例例4求弹性双原子分子的拉格朗日函数和哈密顿函数。设求弹性双原子分子的拉格朗日函数和哈密顿函数。设两两原子之间相互作用的弹性力为原子之间相互作用的弹性力为 F=k（rr0）其中）其中r为两为两原子间距离，原子间距离，r0为两原子处在平衡时的距离。为两原子处在平衡时的距离。解解:为了求出拉格朗日函数，应先求为了求出拉格朗日函数，应先求分子的动能。分子的动能。T=TcT 两原子相对质心的动能两原子相对质心的动能质心动能质心动能把两原子相对质心的动能转换为把两原子相对质心的动能转换为m2相对于相对于m1的运动。的运动。例4求弹性双原子分子的拉格朗日函数和哈密顿函数。设两35但形式由广义坐标的选取来确定哈密顿正则方程二课件36L=TV L=TV37例例5一一质量量为m的自由的自由质点，受力点，受力为位矢，为位矢，k为大于零的常数。求在直角坐大于零的常数。求在直角坐标系中系中质点的运点的运动微分方程。微分方程。解解:取取x，y，z为广广义坐坐标。动能能为例5一质量为m的自由质点，受力38但形式由广义坐标的选取来确定哈密顿正则方程二课件39例例6应用哈密顿正则方程求核外电子的运动规律。设电子应用哈密顿正则方程求核外电子的运动规律。设电子的电量为的电量为e，原子核带电为，原子核带电为Ze，Z为原子序数。为原子序数。是循环坐标是循环坐标:p=C例6应用哈密顿正则方程求核外电子的运动规律。设电子40可见电子的运动与可见电子的运动与 无关，可令无关，可令 ，则，则 。可见电子的运动与无关，可令41但形式由广义坐标的选取来确定哈密顿正则方程二课件42在在拉拉格格朗朗日日动动力力学学中中,从从拉拉格格朗朗日日函函数数可可以以直直接接写写出出动动力力学学方方程程即即拉拉格格朗朗日日方方程程.在在哈哈密密顿顿动动力力学学中中,必必须须从从拉拉格格朗朗日日函函数数转转到到哈哈密密顿顿函函数数,才才可可写写出出动动力力学学方方程程即即哈哈密密顿顿正正则则方方程程,从从哈哈密密顿顿正正则则方方程程消消去去广广义义动动量量的的结结果果其其实实不不过过是是从从另另一一条条路路径径达达到到拉拉格格朗朗日日方方程程,所以哈密顿动力学不如拉格朗日动力学简便所以哈密顿动力学不如拉格朗日动力学简便.哈哈密密顿顿动动力力学学的的优优点点之之一一是是便便于于量量子子化化.另另一一个个优优点点在在变变量量的的变变换换中中比比较较自自由由：拉拉格格朗朗日日动动力力学学采采用用的的变变量量广广义义坐坐标标和和广广义义动动量量并并不不对对等等,只只能能对对广广义义坐坐标标进进行行变变换换,而而广广义义速速度度也也随随之之而而变变.哈哈密密顿顿动动力力学学采采用用的的变变量量坐坐标标和和动动量量是是完完全全对对等等的的,不不仅仅可可以以对对广广义义坐坐标标进进行行变变换换,而而且且可可以以坐坐标标和和动动量量一一起起变变换换,这这个个到到下下面面正正则变换时进一步分析则变换时进一步分析.在拉格朗日动力学中,从拉格朗日函数可以直接433.3.泊松括号和泊松定理泊松括号和泊松定理哈密顿正则方程哈密顿正则方程对于循环坐标对于循环坐标不显含时间不显含时间t，则有，则有称为运动积分称为运动积分当体系运动时，如果函数当体系运动时，如果函数则称其为正则称其为正则方程的一个运动积分则方程的一个运动积分3.泊松括号和泊松定理哈密顿正则方程对于循环坐标不显含时间44若若都是正则方程的运动积分，则这些积都是正则方程的运动积分，则这些积分的任意函数分的任意函数任然是正则方程的积分任然是正则方程的积分若找到了若找到了2s个独立的运动积分个独立的运动积分则由则由可以解出可以解出即为正则方程的解。即为正则方程的解。若都是正则方程的运动45如果函数如果函数 是正则变量是正则变量q,p 和时间的函数和时间的函数则它则它对对时间的导数为时间的导数为其中其中,H叫做泊松括号叫做泊松括号.一、泊松括号的定义一、泊松括号的定义如果函数是正则变量q,p和时间的函数则它对时间的46如果函数如果函数 在运动中保持为常数在运动中保持为常数,则则如果函数如果函数 也是正则变量和时间的函数也是正则变量和时间的函数,泊松括号泊松括号 ,定义为定义为如果函数在运动中保持为常数,则如果函数也是正则变量和47二、泊松括号的性质二、泊松括号的性质雅可比恒等式雅可比恒等式二、泊松括号的性质雅可比恒等式48例例1 1 计算泊松括号计算泊松括号 Ly,Lz,Lz,Lx 和和 Lx,Ly;Lx,L2,Ly,L2 和和 Lz,L2.这里这里L是质点的角动量是质点的角动量.解解:这里广义坐标这里广义坐标q1=x,q2=y,q3=z;广义动量广义动量p1=px,p2=py,p3=pz;先计算泊松括号先计算泊松括号 Ly,Lz,即即例1计算泊松括号Ly,Lz,Lz,Lx和Lx,L49同理同理同理同理同理同理50三、泊松定理三、泊松定理如果函数如果函数,都是相空间中的运动积分都是相空间中的运动积分,则它们则它们的组合的组合,也是相空间中的运动积分也是相空间中的运动积分.证明：证明：三、泊松定理如果函数,都是相空间中的运动积分,则它51显然显然,也是运动常数也是运动常数.还可以通过类似的关系得还可以通过类似的关系得到更多的运动常数到更多的运动常数.显然,也是运动常数.还可以通过类似的关系得到更多的52（1）利用泊松括号表示正则方程：）利用泊松括号表示正则方程：即正则方程可以表示为：即正则方程可以表示为：（1）利用泊松括号表示正则方程：即正则方程可以表示为：53克朗内克符号克朗内克符号（2）利用泊松括号表示正则变量：）利用泊松括号表示正则变量：是一组正则变量是一组正则变量克朗内克符号（2）利用泊松括号表示正则变量：是一组正则变量54四、量子力学中的泊松括号四、量子力学中的泊松括号 在在经经典典力力学学中中,两两个个力力学学量量同同时时具具有有确确定定的的值值并并不不成成为为问问题题.可可是是,在在量量子子力力学学中中这这却却是是个个问问题题.力力学学量量在在量量子子力力学学中中是是用用算算符符或或矩矩阵阵表表示示的的,两两个个算算符符或或矩矩阵阵的的乘乘积积一一般般是是与与这这两两个个算算符符或或矩矩阵阵的的先先后后次次序序有有关关的的.两两个个力力学学量量X X和和Y Y是是否否可可以以同同时时具具有有确确定的值就看它们的量子泊松括号定的值就看它们的量子泊松括号是否为零是否为零.如如果果两两个个力力学学量量的的经经典典泊泊松松括括号号为为零零,则则它它们们的的量量子子松松括括号号也也为为零零,在在量量个个力力学学中中它它们们是是可可以以同同时时确确定定的的.比比如如,任任意意两两个个广广义义坐坐标标可可以以同同时时确确定定,任任意意两两个个广广义义动动量量也也可可以以同同时时确确定定,一一个个广广义义坐坐标标和和对对应应的的广广义义动动量量不不能能同同时时确确定定,一一个个广广义义坐坐标标和和非非对对应应的的广广义义动动量量可可以以同同时时确确定定.又又比比如如,角角动动量量的的任任意意两两个个分分量量不不能能同同时时确确定定,但但角角动动量量的的一一个个分分量量和和角角动动量量的的平平方方可可以以同同时确定时确定.四、量子力学中的泊松括号在经典力学中,两个力554.刘维定理刘维定理分分析析力力学学解解决决宏宏观观机机械械问问题题的的过过程程并并不不比比牛牛顿顿力力学学简简单单,但但是是对对于于大大数数目目系系统统,往往往往牛牛顿顿力力学学无无法法求求解解,而而运用哈密顿正则方程却容易的多运用哈密顿正则方程却容易的多.哈哈密密顿顿动动力力学学用用广广义义坐坐标标和和广广义义动动量量描描述述力力学学系系统统的的运运动动.对对一一个个自自由由度度问问题题,某某一一时时刻刻的的状状态态用用x和和p值值表表示示,即即xp平平面面上上的的一一个个点点表表示示.随随着着时时间间推推移移,状状态态不不断断变变化化,它在它在xp平面上刻画出一条曲线平面上刻画出一条曲线.多多自自由由度度的的情情况况也也类类似似.对对于于s个个自自由由度度的的力力学学系系统统,我我们们把把广广义义坐坐标标和和广广义义动动量量当当作作直直角角坐坐标标而而构构成成2s维维的的空空间间叫叫作作相相空空间间.该该力力学学系系统统在在某某一一时时刻刻的的状状况况也也可可用用相相空空间间的的一一个个点点表表示示.随随着着时时间间的的推推移移,相相空空间间中中的的代代表表点点给给出出的的曲曲线线形形成成相相轨轨道道,换换句句话话说说,相相轨轨道道给给出出力力学学系系统统随时间的演变过程随时间的演变过程.4.刘维定理分析力学解决宏观机械问题的过程56原原则则上上,给给定定力力学学系系统统的的初初始始状状态态,该该系系统统的的运运动动就就由由动动力力学学方方程程完完全全确确定定,即即以以相相空空间间中中某某一一点点为为出出发发点点的的相相轨轨道道，由由动动力力学学方方程程所所完完全全决决定定.但但是是,如如果果系系统统的的自自由由度度数数比比较较大大,力力学学系系统统比比较较复复杂杂,我我们们不不能能断断定定相相空间中究竟哪一点准确地代表系统的状态空间中究竟哪一点准确地代表系统的状态.怎么办怎么办?替替代代的的办办法法：我我们们只只能能考考虑虑各各种种可可能能的的代代表表点点,其其中中每每一一点点都都代代表表系系统统的的一一种种可可能能状状态态.实实质质上上,这这是是考考虑虑处处于于给给定定约约束束条条件件下下许许许许多多多多性性质质完完全全相相同同的的力力学学系系统统,这这些些性性质质完完全全相相同同的的力力学学系系统统构构成成一一个个系系综综;相相空空间间中中每每一一个个代代表表点点对对应应于于系系综综中中某某一一个个力力学学系系统统的的状状态态,代代表表点点的的相相轨轨道道对对应应于于该该系系统统的的演演变变,各各种种可可能能的的代代表表点点则则对对应应于于系系综综中中所所有有力力学学系系统统的的状状况况,各各种种可可能能的的相相轨轨道则对应于系综的演变道则对应于系综的演变.这就是统计力学的起点这就是统计力学的起点.原则上,给定力学系统的初始状态,该系统的运动就由动力学方57刘维定理刘维定理:保守力学体系在相空间中代表点的密度保守力学体系在相空间中代表点的密度,在在运动过程中保持不变运动过程中保持不变.物理含义物理含义:同一力学体系在不同的初始状态所构成的同一力学体系在不同的初始状态所构成的不同代表点不同代表点,它们各自独立地沿着正则方程所规定的轨它们各自独立地沿着正则方程所规定的轨道运动道运动.当这些点构成的区域随时间运动到另外一个区当这些点构成的区域随时间运动到另外一个区域时域时,在新的区域在新的区域,代表点的密度代表点的密度,等于在出发区域中等于在出发区域中的密度的密度.设体积元为设体积元为其中代表点的数目为其中代表点的数目为dN,代表点的密度为代表点的密度为,则则一般密度一般密度 随时随地不同随时随地不同,所以所以从从刘维定理:保守力学体系在相空间中代表点的密度,在运动过程58知知刘维定理说明在刘维定理说明在体系中体系中刘维定理证明刘维定理证明:假定初始时假定初始时,体元位置为体元位置为经历时间经历时间dt,这个固定体元中代表点的数目变化这个固定体元中代表点的数目变化另一方面也可以从代表点在运动中出入这个固定体元另一方面也可以从代表点在运动中出入这个固定体元的边界的数目来计算在时间的边界的数目来计算在时间dt中代表点的数目变化中代表点的数目变化知刘维定理说明在体系中刘维定理证明:假定初始时,体元位置为59先考虑通过一对曲面先考虑通过一对曲面q,q+dq 进出进出d 代表点的增加代表点的增加.把体元把体元d 表达式改写为表达式改写为在在dt 时间内通过时间内通过q 进入进入d 的代表点必定位于一个柱体的代表点必定位于一个柱体内内,柱体底为柱体底为dA,高为高为,为相空间中代表点垂为相空间中代表点垂直于曲面直于曲面q 的速度分量的速度分量.所以在所以在dt 时间内通过时间内通过q 进入进入d 的代表点数为的代表点数为同理同理,在在dt时间内通过曲面时间内通过曲面q+dq 离开离开d 代表点的代表点的数目为数目为先考虑通过一对曲面q,q+dq进出d代表点的60两者相减两者相减,得得通过曲面通过曲面q 和和q+dq 进入进入d 代表点的代表点的净数目为净数目为同理同理,得得通过曲面通过曲面p 和和p+dp 进入进入d 代表点的净数代表点的净数目为目为把上面两式相加把上面两式相加,并对并对 求和求和,则得在则得在dt时间内由于代时间内由于代表点的运动表点的运动,穿过穿过d 的边界而进入其中的的边界而进入其中的代表点的净代表点的净数目数目两者相减,得通过曲面q和q+dq进入d代表61显然显然所以所以利用正则方程利用正则方程,得得证明完毕证明完毕!显然所以利用正则方程,得证明完毕!62刘刘维维定定理理是是统统计计力力学学的的基基本本的的定定理理.它它是是2s维维的的相相空空间间中中的的定定理理,在在普普通通空空间间或或s 维维的的位位形形空空间间(把把s 个个广广义义坐坐标标作作为为直直角角坐坐标标构构成成的的空空间间)中中并并不不存存在在类类似似的的定定理理.因因此此,在在统统计计力力学学讨讨论论系系综综时时需需要要运运用用哈哈密顿动力学而不用拉格朗日动力学密顿动力学而不用拉格朗日动力学.刘维定理的另外表示刘维定理的另外表示刘维定理是统计力学的基本的定理.它是2s维的635.哈密顿原理哈密顿原理力学原理力学原理微分原理微分原理牛顿动力学方程牛顿动力学方程拉格朗日动力学方程拉格朗日动力学方程哈密顿动力学方程哈密顿动力学方程变分原理：积分形式变分原理：积分形式不涉及广义坐标的选取不涉及广义坐标的选取有限自由度的力学体系有限自由度的力学体系无限自由度的力学体系无限自由度的力学体系非力学体系非力学体系动力学问题动力学问题5.哈密顿原理力学原理微分原理牛顿动力学方程拉格朗日动力学64一、变分法初步一、变分法初步1、泛函、泛函最速落径问题最速落径问题质点沿光滑轨道质点沿光滑轨道自自A点自由下滑到点自由下滑到B点，所点，所需时间最短的路径怎样？需时间最短的路径怎样？一、变分法初步1、泛函最速落径问题质点沿光滑轨道65总时间取决于轨道的形状，即函数关系总时间取决于轨道的形状，即函数关系而不是而不是y的值的值一个变数一个变数J 的值取决于函数关系的值取决于函数关系，就叫，就叫作函数作函数的泛函，记做的泛函，记做2、变分问题、变分问题考虑最速落径问题，选取适当的轨道考虑最速落径问题，选取适当的轨道使质点从使质点从A到到B自由下滑的时间最短，这就是泛函自由下滑的时间最短，这就是泛函的极值问题。的极值问题。泛函的极值问题叫做泛函的极值问题叫做变分问题变分问题总时间取决于轨道的形状，即函数关系而不是y的值一个变数J的663、欧拉方程、欧拉方程设泛函设泛函J只依赖于单个自变量只依赖于单个自变量x，单个函数，单个函数y(x)及及其导数其导数，即，即函数函数F 对于对于x，y，y 都是二次连续可导，所以都是二次连续可导，所以y的二的二阶导数是连续的阶导数是连续的设函数关系设函数关系y(x)稍有变动，稍有变动，称为函数称为函数y(x)的变分的变分则泛函的值也随之改变，其增量为则泛函的值也随之改变，其增量为3、欧拉方程设泛函J只依赖于单个自变量x，单个函数y(x)67由于由于由于68这样这样在简单的变分问题中，变分在简单的变分问题中，变分在端点保持为零，即在端点保持为零，即于是变分为零的要求是于是变分为零的要求是上式对任意上式对任意均成立，所以均成立，所以就是泛函取极值的必要条件，叫做变分问题的就是泛函取极值的必要条件，叫做变分问题的欧拉方程欧拉方程这样在简单的变分问题中，变分在端点保持为零，即于69若泛函若泛函J不显含不显含x，则欧拉方程有初积分，则欧拉方程有初积分证明：证明：若泛函J不显含x，则欧拉方程有初积分证明：70泛函取极值的必要条件，欧拉方程泛函取极值的必要条件，欧拉方程拉格朗日方程，拉格朗日方程，二、哈密顿原理二、哈密顿原理也就是说，拉格朗日方程是下列变分问题的欧拉方程也就是说，拉格朗日方程是下列变分问题的欧拉方程泛函取极值的必要条件，欧拉方程拉格朗日方程，二、哈密顿原理也71力学系统的动力学方程归结为一个变分原理：力学系统的动力学方程归结为一个变分原理：力学系统从时刻力学系统从时刻t1到时刻到时刻t2的一切可能运动之中，使作的一切可能运动之中，使作用量用量取极值的运动才是实际发生的运动取极值的运动才是实际发生的运动哈密顿原理哈密顿原理位形空间：以位形空间：以s个广义坐标为直角坐标的空间个广义坐标为直角坐标的空间位形空间中的一个点可以表示体系任一时刻的位形位形空间中的一个点可以表示体系任一时刻的位形随着时间的推移，力学系统的位形方式演变，位形空随着时间的推移，力学系统的位形方式演变，位形空间中的代表点描绘出相应的曲线，在一切可能的曲线间中的代表点描绘出相应的曲线，在一切可能的曲线中，使作用量取极值的那一条曲线就是真实的运动。中，使作用量取极值的那一条曲线就是真实的运动。力学系统的动力学方程归结为一个变分原理：力学系统从时刻t1到72位形空间中的哈密顿原理：位形空间中的哈密顿原理：做变换：做变换：可得相空间中的哈密顿原理：可得相空间中的哈密顿原理：位形空间中的哈密顿原理：做变换：可得相空间中的哈密顿原理：73在相空间中，有在相空间中，有力学系统的始末位形是确定的，则力学系统的始末位形是确定的，则在相空间中，有力学系统的始末位形是确定的，则74因此有因此有也就是也就是正则方程正则方程因此有也就是正则方程756.正则变换正则变换一、正则变换的条件一、正则变换的条件点变换：广义坐标之间的变换点变换：广义坐标之间的变换例如：有心力问题中例如：有心力问题中直角坐标直角坐标极坐标极坐标极角是循环坐标极角是循环坐标哈密顿动力学中可以考虑更广泛的变换哈密顿动力学中可以考虑更广泛的变换正则变换：变换后的动力学方程仍保持正则方程的形式正则变换：变换后的动力学方程仍保持正则方程的形式正则变量正则变量 共轭变量共轭变量6.正则变换一、正则变换的条件点变换：广义坐标之间的变换例76变换前：变换前：变换后：变换后：都必须满足正则方程都必须满足正则方程也就是说变分原理也就是说变分原理二者等价二者等价变换前：变换后：都必须满足正则方程也就是说变分原理二者等价77分析变分原理分析变分原理给被积函数加上某个函数对时间的全导数，则增添给被积函数加上某个函数对时间的全导数，则增添的部分为的部分为若认为力学系统在位形空间或相空间中的代表点的若认为力学系统在位形空间或相空间中的代表点的初始和终末位形是给定的，则初始和终末位形是给定的，则因而增添的部分恒为零，也就是说哈密顿原理中的因而增添的部分恒为零，也就是说哈密顿原理中的被积函数加上某个函数对时间的全导数，并不改变被积函数加上某个函数对时间的全导数，并不改变动力学方程。动力学方程。分析变分原理给被积函数加上某个函数对时间的全导数，则增添的部78二者等价二者等价也就是说也就是说即即满足此式的变换就是正则变换满足此式的变换就是正则变换二者等价也就是说即满足此式的变换就是正则变换79二、正则变换的母函数二、正则变换的母函数函数函数U 决定了正则变换，因此称为正则变换的母函数决定了正则变换，因此称为正则变换的母函数由由可以把母函数用可以把母函数用q、Q及及t表示，记做表示，记做U1这样这样二、正则变换的母函数函数U决定了正则变换，因此称为正则变换80借助勒让德变换，借助勒让德变换，作为母函数，则作为母函数，则这样这样借助勒让德变换，作为母函数，则这样81借助另一个勒让德变换，借助另一个勒让德变换，作为母函数，则作为母函数，则这样这样借助另一个勒让德变换，作为母函数，则这样82借助另一个勒让德变换，借助另一个勒让德变换，作为母函数，则作为母函数，则这样这样借助另一个勒让德变换，作为母函数，则这样83例例1：取母函数为：取母函数为这给出变换公式这给出变换公式恒等变换恒等变换例1：取母函数为这给出变换公式恒等变换84例例2：取母函数为：取母函数为这给出变换公式这给出变换公式例2：取母函数为这给出变换公式85例例3：取母函数为：取母函数为这给出变换公式这给出变换公式广义坐标广义坐标广义动量广义动量广义动量广义动量广义坐标广义坐标例3：取母函数为这给出变换公式广义坐标广义动量广义动量广义坐86