二次函的图象与性质课件

二次函数二次函数y=axy=ax2 2的图象和性质的图象和性质二次函数y=ax2的图象和性质一次函数一次函数 的图象是的图象是 ；反比例函数反比例函数 的图象是的图象是 ；问题问题1：二次函数：二次函数y=x2的图象是什么呢？的图象是什么呢？一条直线一条直线双曲线双曲线 函数图象画法函数图象画法列表列表描点描点连线连线 描点法描点法描点法描点法问题问题2 2：如何画二次函数：如何画二次函数y=xy=x2 2的图象呢？的图象呢？知识回顾一次函数 的图象00.2512.2540.2512.254-0.50.511.52-1-1.5-2 0二次函数二次函数y=x2的图象形如物体抛射时的图象形如物体抛射时所经过的路线叫做所经过的路线叫做抛物线抛物线对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点关于关于y轴对称轴对称画函数画函数y-x2的图象的图象00.2512.2540.2512.254-0.50.511练习：二次函数二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时的图象形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线所经过的路线，我们把它叫做抛物线。这条抛物线关于这条抛物线关于y轴轴对称，对称，y轴就是它的轴就是它的对称轴。对称轴。对称轴与抛物线的交点对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点叫做抛物线的顶点二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时这条抛物线关于y轴对称图象在横轴的上方，开口向上，图象在横轴的上方，开口向上，(-2,4)(-1,1)(2,4)(1,1)当当x0时，函数值时，函数值y随随x的增大而增大。的增大而增大。当当x=0时时,函数函数 取得最小值，取得最小值，y =0。图象在横轴的上方，开口向上，(-2,4)(-1,1)(2,4(-2,-4)(-1,-1)(2,-4)(1,-1)图象图象在横轴的下方，开口向下，在横轴的下方，开口向下，当当x0 时，函数值时，函数值y随随x的增大而减小。的增大而减小。当当x=0时时,函数函数 取得最大值，取得最大值，y =0。(-2,-4)(-1,-1)(2,-4)(1,-1)图象在横 函数函数图象图象向上向上向下向下y轴轴（直线（直线x0）y轴轴（直线（直线x0）（0，0）（0，0）当当x0时，时，y最小值为最小值为0当当x0时，时，y最大值为最大值为0二次函数y=ax2的性质在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；在对称轴的左侧，y随x的增大而减小。在对称轴的右侧，y随x的增大而减小；在对称轴的左侧，y随x的增大而增大。函数图象向上向下y轴（直线x0）y轴（直线x0）（0，1 1、根据左边已画好的函数图象填空、根据左边已画好的函数图象填空：（1）抛物线）抛物线y=2x2的开口方向的开口方向 ,对称轴是对称轴是 ，顶点坐标，顶点坐标 ；在在 侧，侧，y随着随着x的增大而增大；的增大而增大；在在 侧，侧，y随着随着x的增大而减小，的增大而减小，当当x=时，函数时，函数y的值最小，是的值最小，是 。（2）抛物线）抛物线 的开口方向的开口方向 ，对称轴是，对称轴是 ，顶点是，顶点是 ；当当x0时，时，y随着随着x的增大而的增大而 ；当当x0时，时，y随着随着x的的 增大而增大而 ；当当x=0时，函数时，函数y的值最大，是的值最大，是 .向上向上y轴轴（0，0）对称轴的右对称轴的右对称轴的左对称轴的左00向下向下y轴轴增大增大减小减小0（0，0）1、根据左边已画好的函数图象填空：（2）抛物线 2、已知二次函数已知二次函数y=ax2（a0）的图像经过点（）的图像经过点（-2，-8）。）。（1）求）求a 的值，并写出这个二次函数的解析式；的值，并写出这个二次函数的解析式；（2）判断点）判断点（-1，-4）是否在此抛物线上；是否在此抛物线上；（3）点）点 和和 在此抛物线上，试比较在此抛物线上，试比较m和和n的大小的大小。解解（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得 -8=a(-2)2,解出a=-2,所求函数解析式为y=-2x2.（3）因为点 和 在抛物线y=-2x2上 所以当 时，当 时，因此 mn（2）因为 ，所以点（-1，-4）不在此抛物线上。(-2,-8)2、已知二次函数y=ax2（a0）的图像经过点（-2，-8y=-2x2 因为因为 nmn在对称轴的右边在对称轴的右边y随随x的增大而减小的增大而减小y=-2x2 因为 n在对称轴通过本节的学习你有哪些收获呢？驶向胜利的彼岸课堂小结课堂小结通过本节的学习你有哪些收获呢？驶向胜利的彼岸课堂小结在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象：（1）y3x2；（2）y x2 课堂作业:在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象：课堂作业:二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质xy二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质xyw怎样直接作出怎样直接作出函数函数y=3xy=3x2 2-6x+5-6x+5的图象的图象?函数y=ax+bx+c的图象 w我们知道我们知道,作出二次函数作出二次函数y=3xy=3x2 2的图象的图象,通过平移抛物线通过平移抛物线y=3xy=3x2 2可以得到二次函数可以得到二次函数y=3xy=3x2 2-6x+5-6x+5的图象的图象.w1.1.配方配方:提取二次项系数配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项化简:去掉中括号老师提示老师提示:配方后的表达配方后的表达式通常称为式通常称为配配方式方式或或顶点式顶点式怎样直接作出函数y=3x2-6x+5的图象?函数y=ax+直接画函数y=ax+bx+c的图象w4.4.画对称轴画对称轴,描点描点,连线连线:作出二次函数作出二次函数y=3(x-1)y=3(x-1)2 2+2+2的图象的图象 w2.2.根据配方式根据配方式(顶点式顶点式)确定开口方向确定开口方向,对称轴对称轴,顶点坐标顶点坐标.w3.3.列表列表:根据对称性根据对称性,选取适当值列表计算选取适当值列表计算.wa=30,a=30,开口向上开口向上;对称轴对称轴:直线直线x=1;x=1;顶点坐标顶点坐标:(1,2).:(1,2).直接画函数y=ax+bx+c的图象4.画对称轴,描点,连线学了就用,别客气?作出函数作出函数y=2xy=2x2 2-12x+13-12x+13的图象的图象.X=1(1,2)X=3(3,-5)学了就用,别客气?作出函数y=2x2-12x+13的图象.w例例.求次函数求次函数y=ax+bx+c的对称轴和顶点坐标的对称轴和顶点坐标 函数y=ax+bx+c的顶点式 w一般地一般地,对于二次函数对于二次函数y=axy=ax+bx+c,+bx+c,我们可以利用配方法我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标推导出它的对称轴和顶点坐标.w1.1.配方配方:提取二次项系数配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项化简:去掉中括号老师提示老师提示:这个结果通常这个结果通常称为求称为求顶点坐顶点坐标公式标公式.例.求次函数y=ax+bx+c的对称轴和顶点坐标 函数y顶点坐标公式?因此因此,二次函数二次函数y=axy=ax+bx+c的图象是一条抛物线的图象是一条抛物线.根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：顶点坐标公式?因此,二次函数y=ax+bx+c的图象是一条例：指出抛物线例：指出抛物线:的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与标、与y y轴的交点坐标、与轴的交点坐标、与x x轴的交点坐轴的交点坐标。并画出草图。标。并画出草图。对于对于y=ax2+bx+c我们可以确定它的开口我们可以确定它的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y轴轴的交点坐标、与的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交点时）轴的交点坐标（有交点时），这样就可以画出它的大致图象。，这样就可以画出它的大致图象。例：指出抛物线:的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y轴练习练习:1.抛物线抛物线y=x2-bx+3的对称轴是的对称轴是x=2,求求b的值的值.2.已知二次函数已知二次函数y=-x2+2x+c的最的最大值是大值是4,求求c的值的值.练习:1.抛物线y=x2-bx+3的对称轴是x=2,求b的值例例4：若抛物线：若抛物线y=x2-4x+c的顶点的顶点在在x轴上，求轴上，求c的值。的值。变化：抛物线变化：抛物线y=x2-4x+c的顶点在的顶点在y=x+1上，求上，求c的值。的值。解题时可以考虑多种方法解题时可以考虑多种方法例4：若抛物线y=x2-4x+c的顶点在x轴上，求c的值。变练习练习：已知抛物线：已知抛物线y=-3x2-2x+m的的顶点在直线顶点在直线 上，上，求求m的值的值练习：已知抛物线y=-3x2-2x+m的例例5：抛物线：抛物线y=2x2+bx的对称轴在的对称轴在y轴的右侧。求轴的右侧。求b的取值范围。的取值范围。例5：抛物线y=2x2+bx的对称轴在y轴的右侧。求b的取值例6 已知二次函数已知二次函数(1)当当m取何值时取何值时,函数图象关于函数图象关于y轴轴对称对称;(2)当当m取何值时取何值时,函数图象与函数图象与y轴交轴交点纵坐标是点纵坐标是1;(3)当当m取何值时取何值时,函数最小值是函数最小值是-2.例6 已知二次函数(1)当m取何值时,函数图象关于y轴对称例例7 已知抛物线已知抛物线和和(1)求证求证:不论不论m取何值取何值,抛物线抛物线y1的顶点的顶点总在总在y2抛物线上抛物线上;(2)当抛物线经过原点时当抛物线经过原点时,求求y1的解析式的解析式,在同一坐标系中作出两个图象在同一坐标系中作出两个图象;例7 已知抛物线 指出下列抛物线的开口方向、求出指出下列抛物线的开口方向、求出它的对称轴、顶点坐标、与它的对称轴、顶点坐标、与y y轴的交轴的交点坐标、与点坐标、与x x轴的交点坐标。并画出轴的交点坐标。并画出草图。草图。练习 指出下列抛物线的开口方向、求出 B1.1.抛物线抛物线y=2xy=2x2 2+8x-11+8x-11的顶点在的顶点在 （）A.A.第一象限第一象限 B.B.第二象限第二象限C.C.第三象限第三象限 D.D.第四象限第四象限2.2.不论不论k k 取任何实数，抛物线取任何实数，抛物线y=a(x+k)y=a(x+k)2 2+k(a0)+k(a0)的的顶点都顶点都在在A.A.直线直线y=xy=x上上 B.B.直线直线y=-xy=-x上上C.xC.x轴上轴上 D.yD.y轴上轴上3.3.若二次函数若二次函数y=axy=ax2 2+4x+a-1+4x+a-1的最小值是的最小值是2,2,则则a a的值是的值是 4 B.-1 C.3 D.44 B.-1 C.3 D.4或或-1-14.4.若二次函数若二次函数 y=axy=ax2 2+b x+c+b x+c 的图象如下的图象如下,与与x x轴的一个交点为轴的一个交点为(1,0),(1,0),则下列则下列各式中不成立的是各式中不成立的是()()A.bA.b2 2-4ac0 B.abc0-4ac0 B.abc0C.a+b+c=0 D.a-b+c0C.a+b+c=0 D.a-b+c0)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)由由a,b和和c的符号确定的符号确定由由a,b和和c的符号确定的符号确定向上向上向下向下在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而减小的增大而减小.在对称轴的右侧在对称轴的右侧,y随着随着x的增大而增大的增大而增大.在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而增大的增大而增大.在对称轴的右侧在对称轴的右侧,y随着随着x的增大而减小的增大而减小.根据图形填表：根据图形填表：二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质.顶点坐独立独立作业作业1.确定下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标.独立1.确定下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标.谢谢大家，再会谢谢大家，再会!谢谢大家，再会!作业结束寄语探索是数学的生命线探索是数学的生命线.结束寄语探索是数学的生命线.再见求二次函数的表达式求二次函数的表达式1.会用待定系数法确定二次函数的表达式.2.会求简单的实际问题中的二次函数表达式.1.会用待定系数法确定二次函数的表达式.二次函数表达式有哪几种表达方式？一般式：y=ax2+bx+c 顶点式：y=a(x-h)2+k如何求二次函数的表达式？已知二次函数图象上三个点的坐标，可用待定系数法求其表达式.交点式：y=a(x-x1)(x-x2)二次函数表达式有哪几种表达方式？一般式：y=ax2+bx解析：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c，由条件得：a-b+c=10，a+b+c=4，4a+2b+c=7，解方程组得：因此，所求二次函数的表达式是a=2,b=-3,c=5.y=2x2-3x+5.【例1】已知一个二次函数的图象过（1，10），（1，4），（2，7）三点，求这个函数的表达式.【例题】解析：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c，由条件得：a-【例2】已知抛物线的顶点为(-1，-3),与y轴交点为(0，-5),求抛物线的表达式.yox解析：设所求的二次函数为y=a(x1)2-3,由点(0,-5)在抛物线上得：a-3=-5,得a=-2，故所求的抛物线表达式为y=2(x1)2-3.-1-3【例2】已知抛物线的顶点为yox解析：设所求的二次函数为y=【规律方法】1.求二次函数y=ax2+bx+c的表达式，关键是求出待定系数a,b,c的值，由已知条件（如二次函数图象上三个点的坐标）列出关于a,b,c的方程组，并求出a,b,c，就可以写出二次函数的解析式.2.当给出的坐标或点中有顶点，可设顶点式y=a(x-h)2+k,将h,k换为顶点坐标，再将另一点的坐标代入即可求出a的值.【规律方法】1.求二次函数y=ax2+bx+c的表达式，关键（西安中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（-1，0），B（3，0），C（0，-1）三点.求该抛物线的表达式.【解析】设该抛物线的表达式为y=ax2+bx+c,根据题意，得 解之 得所求抛物线的表达式为AyxOCB【跟踪训练】（西安中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（-1，1（衢州中考）下列四个函数图象中，当x0时，y随x的增大而增大的是()C1（衢州中考）下列四个函数图象中，当x0时，C2.（莆田中考）某同学用描点法画y=ax2+bx+c(a0)的图象时，列出如下表格:经检查，发现只有一处数据计算错误，请你写出这个二次函数的表达式 .y=x24x+32.（莆田中考）某同学用描点法画y=ax2+bx+c(a3.（潼南中考）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（4,0），AOC=60，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M,N（点M在点N的上方），若OMN的面积为S，直线l的运动时间为t 秒（0t4）,则能大致反映S与t的函数关系的图象是()解析：选C.过点A作x轴的垂线，垂足为E，则OE=2，AE=，当点M在OA上时，ON=t，MN=，所以S=（0t2）；当点M在AB上时，MN的值不变为 ，所以S=（2t4），故选C.3.（潼南中考）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是你学到哪些二次函数表达式的求法？（1）已知图象上三点的坐标或给定x与y的三对对应值，通常选择一般式.（2）已知图象的顶点坐标,对称轴和最值,通常选择顶点式.确定二次函数的表达解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达方式.（3）已知图象与x轴的交点坐标,通常选择交点式.你学到哪些二次函数表达式的求法？（1）已知图象上三点的坐标或一个人如果看到什么都是本分，那就没有感激；如果看到情分更多，那就会有一种珍重之心.佚名一个人如果看到什么都是本分，那就没有感激；如果看到情分更多，