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2.2 2.2 直线的投影直线的投影ABabbabZXYaVHW 直线的投影直线的投影直线的投影直线的投影 直线上的点直线上的点直线上的点直线上的点 直线的真长及其倾角直线的真长及其倾角直线的真长及其倾角直线的真长及其倾角 两直线间的相对位置两直线间的相对位置两直线间的相对位置两直线间的相对位置一边平行于投影面的直一边平行于投影面的直一边平行于投影面的直一边平行于投影面的直角投影规律角投影规律角投影规律角投影规律2.2 直线的投影ABabbabZXYaVHW1HABbaCDcdEFe(f)直线的投影特性：直线的投影特性：直线的投影特性：直线的投影特性：一般来说，直线的投影一般来说，直线的投影一般来说，直线的投影一般来说，直线的投影仍然为直线。当直线垂直于仍然为直线。当直线垂直于仍然为直线。当直线垂直于仍然为直线。当直线垂直于投影面时，直线的投影则积投影面时，直线的投影则积投影面时，直线的投影则积投影面时，直线的投影则积聚为一点。聚为一点。聚为一点。聚为一点。直线对投影面的位置不同，直线可分为三类：直线对投影面的位置不同，直线可分为三类：直线对投影面的位置不同，直线可分为三类：直线对投影面的位置不同，直线可分为三类：一般位置直线一般位置直线一般位置直线一般位置直线投影面平行线投影面平行线投影面平行线投影面平行线投影面垂直线投影面垂直线投影面垂直线投影面垂直线 直线与三个投影面均倾斜。直线与三个投影面均倾斜。直线与三个投影面均倾斜。直线与三个投影面均倾斜。直线平行于其中的一个投影面，直线平行于其中的一个投影面，直线平行于其中的一个投影面，直线平行于其中的一个投影面，倾斜于另外两个投影面。倾斜于另外两个投影面。倾斜于另外两个投影面。倾斜于另外两个投影面。直线垂直于某一投影面。直线垂直于某一投影面。直线垂直于某一投影面。直线垂直于某一投影面。1 1、直线的投影、直线的投影HABbaCDcdEFe(f)直线的投影2abbabaYHYWXZABab ababZXY 一般线的投影特性：一般线的投影特性：一般位置线的任何一个投影，均不反映直线的真长，一般位置线的任何一个投影，均不反映直线的真长，一般位置线的任何一个投影，均不反映直线的真长，一般位置线的任何一个投影，均不反映直线的真长，也不反映直线与投影面的倾角。也不反映直线与投影面的倾角。也不反映直线与投影面的倾角。也不反映直线与投影面的倾角。一一 般般 位位 置置 线线abbabaYHYWXZABababab3 直线所平行的投影面不同，投影面平行线又可分为：直线所平行的投影面不同，投影面平行线又可分为：直线所平行的投影面不同，投影面平行线又可分为：直线所平行的投影面不同，投影面平行线又可分为：水平线水平线水平线水平线 直线平行于直线平行于直线平行于直线平行于H H H H面，倾斜于面，倾斜于面，倾斜于面，倾斜于V V V V、W W W W面。面。面。面。正平线正平线正平线正平线直线平行于直线平行于直线平行于直线平行于V V V V面，倾斜于面，倾斜于面，倾斜于面，倾斜于H H H H、W W W W面。面。面。面。侧平线侧平线侧平线侧平线直线平行于直线平行于直线平行于直线平行于W W W W面，倾斜于面，倾斜于面，倾斜于面，倾斜于H H H H、V V V V面。面。面。面。投影面投影面投影面投影面平行线平行线平行线平行线投投 影影 面面 平平 行行 线线 直线所平行的投影面不同，投影面平行线又可分为：水平线直4 水平线的投影特性：水平线的投影特性：水平线的投影特性：水平线的投影特性：1.1.1.1.水平线的水平线的水平线的水平线的H H H H投影反映真长，真长投影与投影反映真长，真长投影与投影反映真长，真长投影与投影反映真长，真长投影与OXOXOXOX夹角为夹角为夹角为夹角为；与；与；与；与OYOYOYOY轴的夹角为轴的夹角为轴的夹角为轴的夹角为；=0=0=0=0。2.2.2.2.水平线的水平线的水平线的水平线的V V V V投影投影投影投影 abOX abOX abOX abOX；W W W W投影投影投影投影 a”b”OY a”b”OY a”b”OY a”b”OY；abb”aba 反映真长TLYHYWXZaa”abBb”AbZXY水水 平平 线线 水平线的投影特性：abb”aba 反映5 正平线的投影特性：正平线的投影特性：正平线的投影特性：正平线的投影特性：1 1 1 1、正平线的、正平线的、正平线的、正平线的V V V V投影反映真长，真长投影与投影反映真长，真长投影与投影反映真长，真长投影与投影反映真长，真长投影与OXOXOXOX夹角为夹角为夹角为夹角为；与与与与OZOZOZOZ轴的夹角为轴的夹角为轴的夹角为轴的夹角为;=0;=0;=0;=0。2 2 2 2、正平线的、正平线的、正平线的、正平线的H H H H投影投影投影投影 a bOX a bOX a bOX a bOX；W W W W投影投影投影投影 abOZ abOZ abOZ abOZ；abbaba反映真长TLYHYWXZabAabBabZXY正正 平平 线线 正平线的投影特性：abbaba反映6abbaba反映真长TLYHYWXZabAabBabZXY 侧平线的投影特性：侧平线的投影特性：侧平线的投影特性：侧平线的投影特性：1.1.1.1.侧平线的侧平线的侧平线的侧平线的W W W W投影反映真长，真长投影与投影反映真长，真长投影与投影反映真长，真长投影与投影反映真长，真长投影与OYOYOYOY夹角为夹角为夹角为夹角为；与；与；与；与OZOZOZOZ轴的夹角为轴的夹角为轴的夹角为轴的夹角为 ；=0=0=0=0。2.2.2.2.侧平线的侧平线的侧平线的侧平线的V V V V投影投影投影投影 abOZ abOZ abOZ abOZ；H H H H投影投影投影投影 a bOY a bOY a bOY a bOY；侧侧 平平 线线abbaba反映真长TLYHYWXZabAa7 按直线所垂直的投影面不同，投影面垂直线按直线所垂直的投影面不同，投影面垂直线又可分为：又可分为：铅垂线铅垂线直线垂直于直线垂直于直线垂直于直线垂直于H H H H面，平行于面，平行于面，平行于面，平行于V V V V、W W W W面。面。面。面。正垂线正垂线直线垂直于直线垂直于直线垂直于直线垂直于V V V V面，平行于面，平行于面，平行于面，平行于H H H H、W W W W面。面。面。面。侧垂线侧垂线直线垂直于直线垂直于直线垂直于直线垂直于W W W W面，平行于面，平行于面，平行于面，平行于H H H H、V V V V面。面。面。面。投影面投影面垂直线垂直线投投 影影 面面 垂垂 直直 线线 按直线所垂直的投影面不同，投影面垂直线又可分为：铅垂8abbab(a)YHYWXZabA(a)bBabZXY 铅垂线投影特性：铅垂线投影特性：铅垂线投影特性：铅垂线投影特性：1 1 1 1、铅垂线的、铅垂线的、铅垂线的、铅垂线的H H H H投影积聚为一点；投影积聚为一点；投影积聚为一点；投影积聚为一点；2 2 2 2、铅垂线的、铅垂线的、铅垂线的、铅垂线的V V V V、W W W W投影反映直线的真长，且平行于投影反映直线的真长，且平行于投影反映直线的真长，且平行于投影反映直线的真长，且平行于OZOZOZOZ轴。轴。轴。轴。铅铅 垂垂 线线abbab(a)YHYWXZabA(a)bBa9baa(b)baYHYWXZa(b)BbAabaZXY 正垂线投影特性：正垂线投影特性：正垂线投影特性：正垂线投影特性：1 1 1 1、正垂线的、正垂线的、正垂线的、正垂线的V V V V投影积聚为一点；投影积聚为一点；投影积聚为一点；投影积聚为一点；2 2 2 2、正垂线的、正垂线的、正垂线的、正垂线的H H H H、W W W W投影反映直线的真长，且平行于投影反映直线的真长，且平行于投影反映直线的真长，且平行于投影反映直线的真长，且平行于OYOYOYOY轴。轴。轴。轴。正正 垂垂 线线baa(b)baYHYWXZa(b)BbA10ab（b）abaYHYWXZabAabBa(b)ZXY 侧垂线投影特性：侧垂线投影特性：侧垂线投影特性：侧垂线投影特性：1 1 1 1、侧垂线的、侧垂线的、侧垂线的、侧垂线的W W W W投影积聚为一点；投影积聚为一点；投影积聚为一点；投影积聚为一点；2 2 2 2、侧垂线的、侧垂线的、侧垂线的、侧垂线的V V V V、H H H H投影反映直线的真长，且平行于投影反映直线的真长，且平行于投影反映直线的真长，且平行于投影反映直线的真长，且平行于OXOXOXOX轴。轴。轴。轴。侧侧 垂垂 线线ab（b）abaYHYWXZabAabBa(b11ABCa(b)EFDedf 直线上点的投影特性直线上点的投影特性直线上点的投影特性直线上点的投影特性:1 1 1 1、直线上点的投影必定位于直线的同面投影上。、直线上点的投影必定位于直线的同面投影上。、直线上点的投影必定位于直线的同面投影上。、直线上点的投影必定位于直线的同面投影上。2 2 2 2、直线上的点分割直线为两段，则线段的空间之比等于、直线上的点分割直线为两段，则线段的空间之比等于、直线上的点分割直线为两段，则线段的空间之比等于、直线上的点分割直线为两段，则线段的空间之比等于它们的投影之比，即：它们的投影之比，即：它们的投影之比，即：它们的投影之比，即：ED:DF=e d:d f=ed:df=ed:dfED:DF=e d:d f=ed:df=ed:dfED:DF=e d:d f=ed:df=ed:dfED:DF=e d:d f=ed:df=ed:df(c)2 2、直线上的点、直线上的点ABCa(b)EFDedf 直线上点的投影特性:(c)12ababkkkabXZYHYWOK K 点点在在直直线线 AB AB 上上【例题【例题【例题【例题1 1 1 1】判定下题中，点】判定下题中，点】判定下题中，点】判定下题中，点K K K K是否在直线是否在直线是否在直线是否在直线ABABABAB上？上？上？上？ababkkkabXZYHYWOK 点在直线 A13XYHYWZababkkabkK K点点不不在在直直线线ABAB上上O【例题【例题【例题【例题2 2 2 2】判断点】判断点】判断点】判断点K K K K是否在直线是否在直线是否在直线是否在直线ABABABAB上。上。上。上。XYHYWZababkkabkK点不在直线AB上14bXabaccaccbXOABbbaacCcHV【例题【例题【例题【例题3 3 3 3】已知点已知点已知点已知点C C在线段在线段在线段在线段ABAB上，求点上，求点上，求点上，求点C C 的正面投影。的正面投影。的正面投影。的正面投影。bXabaccaccbXOABbbaacCcHV15ababC c cXO【例题【例题【例题【例题4 4 4 4】试在直线】试在直线】试在直线】试在直线ABABABAB上确定一点上确定一点上确定一点上确定一点C C C C，使，使，使，使AC:CB=2:3AC:CB=2:3AC:CB=2:3AC:CB=2:3，求，求，求，求C C C C点点点点的两面投影。的两面投影。的两面投影。的两面投影。ababC cXO【例题4】试在直线AB上确定一点C，16直角三角形法ABABABAB真长真长真长真长ABABABAB真长真长真长真长ababABabbabZXYaZZZZABABABAB量取量取量取量取Z Z Z ZABABABABYYYYABABABAB量取量取量取量取YYYYABABABAB3、一般线的实长与倾角、一般线的实长与倾角直角三角形法AB真长AB真长ababABabb17 求解一般位置线段的实长及其与投影面的夹角，是求解画法几何综求解一般位置线段的实长及其与投影面的夹角，是求解画法几何综求解一般位置线段的实长及其与投影面的夹角，是求解画法几何综求解一般位置线段的实长及其与投影面的夹角，是求解画法几何综合题时经常遇到的基本问题之一。也是工程中经常遇到的问题。而用直合题时经常遇到的基本问题之一。也是工程中经常遇到的问题。而用直合题时经常遇到的基本问题之一。也是工程中经常遇到的问题。而用直合题时经常遇到的基本问题之一。也是工程中经常遇到的问题。而用直解三角形法求解实长、倾角又最为方便、简捷。解三角形法求解实长、倾角又最为方便、简捷。解三角形法求解实长、倾角又最为方便、简捷。解三角形法求解实长、倾角又最为方便、简捷。一、直角三角形法的作图要领：用线段在某一投影面上的投影长作一、直角三角形法的作图要领：用线段在某一投影面上的投影长作一、直角三角形法的作图要领：用线段在某一投影面上的投影长作一、直角三角形法的作图要领：用线段在某一投影面上的投影长作为一条直角边，再以线段的两端点相对应于投影面的坐标差作为另一直为一条直角边，再以线段的两端点相对应于投影面的坐标差作为另一直为一条直角边，再以线段的两端点相对应于投影面的坐标差作为另一直为一条直角边，再以线段的两端点相对应于投影面的坐标差作为另一直角边，所作直角三角形的斜边即为线段的实长，斜边与投影长间的夹角角边，所作直角三角形的斜边即为线段的实长，斜边与投影长间的夹角角边，所作直角三角形的斜边即为线段的实长，斜边与投影长间的夹角角边，所作直角三角形的斜边即为线段的实长，斜边与投影长间的夹角即为线段与该投影响面的夹角。即为线段与该投影响面的夹角。即为线段与该投影响面的夹角。即为线段与该投影响面的夹角。二、直角三角形的四个要素：实长、投影长、坐标差及直线对投影二、直角三角形的四个要素：实长、投影长、坐标差及直线对投影二、直角三角形的四个要素：实长、投影长、坐标差及直线对投影二、直角三角形的四个要素：实长、投影长、坐标差及直线对投影面的倾角。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。面的倾角。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。面的倾角。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。面的倾角。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。三、解题时：直角三角形画在任何位置，都不影响解题结果。但用哪三、解题时：直角三角形画在任何位置，都不影响解题结果。但用哪三、解题时：直角三角形画在任何位置，都不影响解题结果。但用哪三、解题时：直角三角形画在任何位置，都不影响解题结果。但用哪个长度来作直角边不能搞错。个长度来作直角边不能搞错。个长度来作直角边不能搞错。个长度来作直角边不能搞错。四、作图四、作图四、作图四、作图 1 求直线的实长及对水平投影面的夹角角 2 求直线的实长及对正面投影面的夹角角 3 求直线的实长及对侧面投影面的夹角角 例题1一般位置线段的实长及其与投影面夹角的求解一般位置线段的实长及其与投影面夹角的求解一般位置线段的实长及其与投影面夹角的求解一般位置线段的实长及其与投影面夹角的求解 求解一般位置线段的实长及其18 在直角三角形中，一条直角边为直线的投影长，另在直角三角形中，一条直角边为直线的投影长，另在直角三角形中，一条直角边为直线的投影长，另在直角三角形中，一条直角边为直线的投影长，另一条直角边为直线的坐标差，则斜边即为该直线的真长；一条直角边为直线的坐标差，则斜边即为该直线的真长；一条直角边为直线的坐标差，则斜边即为该直线的真长；一条直角边为直线的坐标差，则斜边即为该直线的真长；真长与投影长之间的夹角为直线与该投影面的倾角。真长与投影长之间的夹角为直线与该投影面的倾角。真长与投影长之间的夹角为直线与该投影面的倾角。真长与投影长之间的夹角为直线与该投影面的倾角。真长（真长（真长（真长（TL)TL)TL)TL)坐标差Z、Y、XH、V、W投影长、直直 角角 三三 角角 形形 法法 在直角三角形中，一条直角边为直线的投影长，另一条直19|zA-zB|AB1 求直线的实长及对水平投影面的夹角求直线的实长及对水平投影面的夹角 角角|zA-zB|ABab|zA-zB|AB|zA-zB|ab|zA-zB|AB1 求直线的实长及对水平投影面的夹角202 求直线的实长及对正面投影面的夹角求直线的实长及对正面投影面的夹角 角角|yA-yB|aXabbabABABab|yA-yB|yA-yB|AB|yA-yB|2 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角|yA-yB|a213 求直线的实长及对侧面投影面的夹角求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角角ABbbabaa|xA-xB|xA-xB|3 求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角ABbbab22a|zA-zB|abABab|zA-zB|【例题【例题【例题【例题5 5】已知线段实长】已知线段实长】已知线段实长】已知线段实长ABAB，且，且，且，且A A点在点在点在点在B B点前方，求它的水平投影点前方，求它的水平投影点前方，求它的水平投影点前方，求它的水平投影。a|zA-zB|abABab|zA-zB|【例题5】已知线23【例题【例题【例题【例题6 6 6 6】试在直线】试在直线】试在直线】试在直线ABABABAB上其一点上其一点上其一点上其一点C C C C，使，使，使，使AC=25 mmAC=25 mmAC=25 mmAC=25 mm，求点，求点，求点，求点C C C C的投影的投影的投影的投影 ababXOZAB=ZABC C在AB上量取AC=25mmccBA【例题6】试在直线AB上其一点C，使AC=25 mm，求点C24【例题【例题【例题【例题7 7 7 7】已知直线已知直线已知直线已知直线ABAB的的的的V V投影，且投影，且投影，且投影，且AB=40mmAB=40mm，求，求，求，求ABAB的的的的HH投影投影投影投影量取YABR=40mmYABabab【例题7】已知直线AB的V投影，且AB=40mm，求AB的H25【例题【例题【例题【例题8 8 8 8】已知直线】已知直线】已知直线】已知直线ABABABAB的的的的V V V V投影，且投影，且投影，且投影，且=30=30=30=30，求，求，求，求ABABABAB的的的的H H H H投影。投影。投影。投影。ababYAB量取YAB【例题8】已知直线AB的V投影，且=30，求AB的H投影26【例题【例题【例题【例题9 9 9 9】已知直线】已知直线】已知直线】已知直线ABABABAB的的的的V V V V投影，且投影，且投影，且投影，且=30,=30,=30,=30,求求求求ABABABAB的的的的 H H H H 投影。投影。投影。投影。ababz zABAB直线的直线的H投影长投影长以直线的以直线的H投影长投影长为半径，作圆弧为半径，作圆弧直线直线AB真长真长【例题9】已知直线AB的V投影，且=30,求AB的 H27两直线的两直线的两直线的两直线的相对位置相对位置相对位置相对位置两直线交叉两直线交叉两直线交叉两直线交叉两直线相交两直线相交两直线相交两直线相交两直线平行两直线平行两直线平行两直线平行 4、两直线的相对位置、两直线的相对位置两直线的两直线交叉两直线相交两直线平行 4、两直线的相对位28 两直线平行的投影特性：两直线平行的投影特性：两直线平行的投影特性：两直线平行的投影特性：两直线平行，则两直线的同面投影相互平行。即两直线平行，则两直线的同面投影相互平行。即两直线平行，则两直线的同面投影相互平行。即两直线平行，则两直线的同面投影相互平行。即ABCDABCDABCDABCD，则：则：则：则：abcd abcd abcd abcd；abcdabcdabcdabcd；abcd abcd abcd abcd。xobaadbbccxobaabdcdcABCD两两 直直 线线 平行平行 两直线平行的投影特性：xobaadbbc29abcdc a b d 对于对于一般位置直一般位置直线线，只要有两个同名，只要有两个同名投影互相平行，空间投影互相平行，空间两直线就平行。两直线就平行。AB/CD【例题【例题【例题【例题10101010】判断图中两条直线是否平行判断图中两条直线是否平行判断图中两条直线是否平行判断图中两条直线是否平行abcdcabd 对于一般位置直线，只30b d c a cbadd b a c 对于对于特殊位置直特殊位置直线线，只有两个同名投，只有两个同名投影互相平行，空间直影互相平行，空间直线不一定平行。线不一定平行。求出侧面投影后可知：求出侧面投影后可知：ABAB与与CDCD不平行。不平行。求出侧面投影求出侧面投影如何判断？如何判断？【例题【例题【例题【例题11111111】判断图中两条直线是否平行判断图中两条直线是否平行判断图中两条直线是否平行判断图中两条直线是否平行bdcacbaddbac 对于31obxaabkcddckxoBDACKbbaaccddkk两直线相交的投影特性两直线相交的投影特性两直线相交的投影特性两直线相交的投影特性：两直线相交，则两直线的同面投影必定相交，且投影两直线相交，则两直线的同面投影必定相交，且投影两直线相交，则两直线的同面投影必定相交，且投影两直线相交，则两直线的同面投影必定相交，且投影的交点符合点的投影规律。的交点符合点的投影规律。的交点符合点的投影规律。的交点符合点的投影规律。两两 直直 线线 相相 交交obxaabkcddckxoBDACKbbaa32cabb a c d k kd先作正面投影先作正面投影【例题【例题【例题【例题1212】过过C点作水平线点作水平线CD与与AB相交相交cabbacdkkd先作正面投影【例题12】过33ObXaabcddc11(2)2XOBDACbbaaccdd211(2)21 两直线交叉的投影特性两直线交叉的投影特性两直线交叉的投影特性两直线交叉的投影特性：既不满足两直线平行的投影特性既不满足两直线平行的投影特性既不满足两直线平行的投影特性既不满足两直线平行的投影特性,也不满足两直线相也不满足两直线相也不满足两直线相也不满足两直线相交的投影特性，均属于两直线交叉交的投影特性，均属于两直线交叉交的投影特性，均属于两直线交叉交的投影特性，均属于两直线交叉.两两 直直 线线 交交 叉叉ObXaabcddc11(2)2XOBDACbb34d b a abcdc1(2)3(4)投影特性投影特性：同名投影可能相交，同名投影可能相交，但但 “交点交点”不符合空不符合空间一个点的投影规律间一个点的投影规律。“交点交点”是两直线上是两直线上的一的一 对对重影点的投重影点的投影影，用其可帮助判断，用其可帮助判断两直线的空间位置。两直线的空间位置。、是面的重影点，是面的重影点，、是是H面的重影点。面的重影点。为什么？为什么？123 4 两直线相交吗？两直线相交吗？交叉两直线的投影特性：交叉两直线的投影特性：dbaabcdc1(2)3(4)投影特性：35交叉两直线重影点投影的可见性判断交叉两直线重影点投影的可见性判断(3)4 1(2)43341 2 12交叉两直线重影点投影的可见性判断(3)41(2)433436【例题【例题【例题【例题13131313】判断两直线的相对位置（方法一）】判断两直线的相对位置（方法一）】判断两直线的相对位置（方法一）】判断两直线的相对位置（方法一）XaacddcbbodcabYWYHZ两两直直线线交交叉叉【例题13】判断两直线的相对位置（方法一）Xaacdd37【例题【例题【例题【例题14141414】判断两直线的相对位置】判断两直线的相对位置】判断两直线的相对位置】判断两直线的相对位置(方法二）方法二）方法二）方法二）cboaacddbx11=1d=1c两两直直线线交交叉叉【例题14】判断两直线的相对位置(方法二）cboaacd38【例题【例题【例题【例题15151515】作直线】作直线】作直线】作直线KLKLKLKL与与与与ABABABAB、CDCDCDCD相交，且平行于相交，且平行于相交，且平行于相交，且平行于EFEFEFEF直线。直线。直线。直线。d e f fecaabcd(b)(k)l lk作kle f 作klef【例题15】作直线KL与AB、CD相交，且平行于EF直线。d39【例题【例题【例题【例题16161616】已知水平线】已知水平线】已知水平线】已知水平线ABABABAB的两面投影及点的两面投影及点的两面投影及点的两面投影及点C C C C的两面投影，的两面投影，的两面投影，的两面投影，求作直线求作直线求作直线求作直线CDCDCDCD，使其与直线，使其与直线，使其与直线，使其与直线ABABABAB相交且与相交且与相交且与相交且与H H H H面成面成面成面成30303030 夹角。夹角。夹角。夹角。CabcabZCDCD水平投影长CD真长以CD水平投影长为半径作弧d有两解d【例题16】已知水平线AB的两面投影及点C的两面投影，求作直40AHBCacbcOXba cba 直角投影规律：直角投影规律：直角投影规律：直角投影规律：空间两直线互相垂直，当其中一条直线为投影面的空间两直线互相垂直，当其中一条直线为投影面的空间两直线互相垂直，当其中一条直线为投影面的空间两直线互相垂直，当其中一条直线为投影面的平行线时，则在该直线所平行的投影面内，两直线的投平行线时，则在该直线所平行的投影面内，两直线的投平行线时，则在该直线所平行的投影面内，两直线的投平行线时，则在该直线所平行的投影面内，两直线的投影反映直角关系。影反映直角关系。影反映直角关系。影反映直角关系。5 5、一边平行于投影面的直角投影、一边平行于投影面的直角投影AHBCacbcOXba cba 直角投41直角投影定理直角投影定理一、垂直相交的两直线的投影 定理一定理一垂直相交的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。定理二定理二 相交两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。二、交叉垂直的两直线的投影 定理三定理三相互垂直的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。定理四定理四两直线在同一投影面上的投影反映直角，且有一条直线平行于该投影面，则空间两直线的夹角必是直角。直角投影定理一、垂直相交的两直线的投影42两两 直直 线线 交交 叉叉 垂垂 直直OXbabamnnmBHACcbaMNnm两 直 线 交 叉 垂 直OXbabamnnmBHACc43举例举例求作点到直线的距离求作点到直线的距离ZZ距离注意：距离直线只有平行于投举例求作点到直线的距离44【例题【例题【例题【例题17171717】求点】求点】求点】求点K K K K到直线到直线到直线到直线ABABABAB的距离的距离的距离的距离 。kkababll垂线KL的实长ZKLZKL【例题17】求点K到直线AB的距离。kkababll45【例题【例题【例题【例题18181818】已知直角三角形】已知直角三角形】已知直角三角形】已知直角三角形ABCABCABCABC，其一直角边，其一直角边，其一直角边，其一直角边BCBCBCBC在在在在EFEFEFEF线上，线上，线上，线上，长长长长30mm30mm30mm30mm，试完成三角形，试完成三角形，试完成三角形，试完成三角形ABCABCABCABC的投影。的投影。的投影。的投影。efefaabbcc量取bc=30mm【例题18】已知直角三角形ABC，其一直角边BC在EF线上，46【例题【例题【例题【例题19191919】求两直线】求两直线】求两直线】求两直线ABABABAB、CDCDCDCD之间的距离。之间的距离。之间的距离。之间的距离。aabbcdc(d)nmm两交叉线间距离(n)【例题19】求两直线AB、CD之间的距离。aabbcd47ffee【例题【例题【例题【例题20202020】过点】过点】过点】过点E E E E作线段作线段作线段作线段ABABABAB、CD CD CD CD 公垂线公垂线公垂线公垂线EFEFEFEFffee【例题20】过点E作线段AB、CD 公垂线EF48 两两 平平 行行 直直 线线 的的 距距 离离投影面垂直线投影面垂直线b b a a d d c c a(b)c(d)e e f f efabcda(b)c(d)ef 两 平 行 直 线 的 距 离投影面垂直线badc49投投影影面面平平行行线线 实距实距两两 平平 行行 直直 线线 的的 距距 离离投影面平行线 egfehgfhijkllkji50（e e）【例题【例题【例题【例题2121】求直线求直线求直线求直线ABAB和和和和CDCD间的最短距离。间的最短距离。间的最短距离。间的最短距离。空间两直线互相垂直，若空间两直线互相垂直，若其中有一条直线平行于某投影面其中有一条直线平行于某投影面 ，则两直线在该投影面上的投影，则两直线在该投影面上的投影仍互相垂直。仍互相垂直。fe e f f 分析：分析：ABCDEFabecdf因为因为AB H,EF AB,所以所以EF/H；又因为又因为EF CD,EF/H所以所以ef cd。Xcd（b b）b b a aa a c c d d o因为因为EF/H,所以所以e f/OX；EF AB,EF CD（e）【例题21】求直线AB和CD间的最短距离。51ABab|yA-yB|bc=BCbbcnmaaXmnc【例题【例题【例题【例题22222222】作三角形】作三角形】作三角形】作三角形ABCABCABCABC，ABCABCABCABC为直角，使为直角，使为直角，使为直角，使BCBCBCBC在在在在MNMNMNMN上，且上，且上，且上，且 BC BC BC BC AB AB AB AB=2=2=2=2 3 3 3 3。ABab|yA-yB|bc=BCbbcnmaa52d d b bb b X XOOa a c c c ca ad dABCD有有ab bc分析：分析：空间两直线互相垂直，若其空间两直线互相垂直，若其中有一条直线平行于某投影面中有一条直线平行于某投影面 ，则两直线在该投影面上的投影仍则两直线在该投影面上的投影仍互相垂直。互相垂直。因为因为AB BC,且且AB H根据直角投影定理根据直角投影定理【例题【例题【例题【例题23232323】已知长方形】已知长方形】已知长方形】已知长方形ABCDABCDABCDABCD中中中中BCBCBCBC边的两投影和边的两投影和边的两投影和边的两投影和ABABABAB边的面边的面边的面边的面 投影（投影（投影（投影（ab/OX)ab/OX)ab/OX)ab/OX)，求作长方形的两投影。，求作长方形的两投影。，求作长方形的两投影。，求作长方形的两投影。dbbXOaccadABCD有ab bc分析：53【例题【例题【例题【例题24242424】已知正方形】已知正方形】已知正方形】已知正方形ABCDABCDABCDABCD的对角线位于侧平线的对角线位于侧平线的对角线位于侧平线的对角线位于侧平线EFEFEFEF上，试上，试上，试上，试完成该正方形的正面、侧面投影。完成该正方形的正面、侧面投影。完成该正方形的正面、侧面投影。完成该正方形的正面、侧面投影。afeefabcdbdcoo=XAOXAO半对角线长【例题24】已知正方形ABCD的对角线位于侧平线EF上，试完54f 0【例题【例题【例题【例题2525】已知菱形】已知菱形】已知菱形】已知菱形ABCDABCD的对角线的对角线的对角线的对角线ABAB的两投影，另一对角线的两投影，另一对角线的两投影，另一对角线的两投影，另一对角线CD CD 长为长为长为长为2L,2L,且知其正面投影的方向，求作菱形的两投影。且知其正面投影的方向，求作菱形的两投影。且知其正面投影的方向，求作菱形的两投影。且知其正面投影的方向，求作菱形的两投影。eef f ZFE ZFELc0ccddABCDEL L XaabbLo分析：分析：因为因为AB CD,且且AB/H所以所以ab cd；于是于是CD成为过成为过E点且已点且已知方向的直线；知方向的直线；在在CD线上取点线上取点C和和D,使使EC=ED=L,求投影求投影c、df 0【例题25】已知菱形ABCD的对角线AB的两投影，另一55本章小结本章小结 直线的投影特性，尤其是直线的投影特性，尤其是特殊位置直线的投影特性特殊位置直线的投影特性。直线及两直线的相对位置的判断方法及投影特性。直线及两直线的相对位置的判断方法及投影特性。定比定理。定比定理。直角定理，即两直线垂直时的投影特性。直角定理，即两直线垂直时的投影特性。重点掌握：重点掌握：本章小结 直线的投影特性，尤其是特殊位置直线的投影特性。重56一、各种位置直线的投影特性一、各种位置直线的投影特性 一般位置直线一般位置直线三个投影与各投影轴都倾斜。三个投影与各投影轴都倾斜。投影面平行线投影面平行线 在其平行的投影面上的投影反映线段实长在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相应的投影轴。应的投影轴。投影面垂直线投影面垂直线 在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。一、各种位置直线的投影特性 一般位置直线三个投影与各投影轴57二、直线上的点二、直线上的点 点的投影在直线的同名投影上。点的投影在直线的同名投影上。点分线段成定比，点的投影必分线段的投影点分线段成定比，点的投影必分线段的投影 成定比成定比定比定理。定比定理。三、两直线的相对位置三、两直线的相对位置 平行：同名投影互相平行。平行：同名投影互相平行。相交：同名投影相交，交点是两直线的共有，且相交：同名投影相交，交点是两直线的共有，且 符合空间一个点的投影规律。符合空间一个点的投影规律。交叉（异面）：同名投影可能相交，但交叉（异面）：同名投影可能相交，但“交点交点”不不 符合空间一个点的投影规律。符合空间一个点的投影规律。“交点交点”是是两两 直线上一对重影点的投影。直线上一对重影点的投影。二、直线上的点 点的投影在直线的同名投影上。点分线段成58四、相互垂直的两直线的投影特性四、相互垂直的两直线的投影特性 两直线同时平行于某一投影面时，在该两直线同时平行于某一投影面时，在该 投影面上的投影反映直角。投影面上的投影反映直角。两直线中有一条平行于某一投影面时，两直线中有一条平行于某一投影面时，在该投影面上的投影反映直角。在该投影面上的投影反映直角。两直线均为一般位置直线时，两直线均为一般位置直线时，在三个投影面上的投影都不在三个投影面上的投影都不 反映直角。反映直角。直角定理直角定理四、相互垂直的两直线的投影特性 两直线同时平行于某一投影面59
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