常微分方程课件--常数变易法

1.4 线性方程与常数性方程与常数变易法易法1.4 线性方程与常数变易法一阶线性微分方程一阶线性微分方程一 一阶线性微分方程的解法-常数变易法一 一阶线性微分方程的解法-常数变易法代入(1)得积分得注 求(1)的通解可直接用公式(3)代入(1)得积分得注 求(1)的通解可直接用公式(3)例1 求方程通解,这里为n常数解:将方程改写为首先,求齐次方程的通解从分离变量得两边积分得例1 求方程通解,这里为n常数解:将方程改写为首先,求齐故对应齐次方程通解为其次应用常数变易法求非齐线性方程的通解,即积分得故通解为故对应齐次方程通解为其次应用常数变易法求非齐线性方程的通解,例2 求方程通解.解:但将它改写为即故其通解为例2 求方程通解.解:但将它改写为即故其通解为例3 求初值问题的解.解:先求原方程的通解例3 求初值问题的解.解:先求原方程的通解故所给初值问题的通解为故所给初值问题的通解为形如的方程,称为伯努利方程.解法:形如的方程,称为伯努利方程.解法:(雅各布第一 伯努利)书中给出的伯努利数在很多地方有用,而伯努利定理Bernoulli(1654 1705)瑞士数学家,位数学家.标和极坐标下的曲率半径公式,1695年 猜度术,则是大数定律的最早形式.年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多 1694年他首次给出了直角坐 1713年出版了他的巨著这是组合数学与概率论史上的一件大事,此外,他对双纽线,悬链线和对数螺线都有深入的研究.(雅各布第一 伯努利)书中给出的伯努利数在很多地方例4 求方程的通解.解:解以上线性方程得例4 求方程的通解.解:解以上线性方程得例5 R-L串联电路.,由电感L,电阻R和电源所组成的串联电路,如图所示,其中电感L,电阻R和电源的电动势E均为常数,试求当开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系.二 线性微分方程的应用举例电路的路的Kirchhoff第二定律第二定律:在闭合回路中在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零所有支路上的电压的代数和为零.例5 R-L串联电路.,由电感L,电阻R和电源所组成的串则电流经过电感L,电阻R的电压降分别为 解线性方程:解:于是由Kirchhoff第二定律,得到 设当开关K合上后,电路中在时刻t的电流强度为I(t),取开关闭合时的时刻为0,得通解为:则电流经过电感L,电阻R的电压降分别为 故当开关K合上后,电路中电流强度为故当开关K合上后,电路中电流强度为例2 湖泊的污染设一个化工厂每立方米的废水中含有3.08kg盐酸，这些废水流入一个湖泊中，废水流入的速率20立方米每小时.开始湖中有水400000立方米.河水中流入不含盐酸的水是1000立方米每小时,湖泊中混合均匀的水的流出的速率是1000立方米每小时,求该厂排污1年时,湖泊水中盐酸的含量.解:设t时刻湖泊中所含盐酸的数量为考虑 内湖泊中盐酸的变化.例2 湖泊的污染设一个化工厂每立方米的废水中含有3.08kg因此有该方程有积分因子两边同乘以后,整理得因此有该方程有积分因子两边同乘以后,整理得积分得利用初始条件得故积分得利用初始条件得故