工程类随机变量的数字特征数学期望教学课件

1.4 随机变量的数字特征随机变量的数字特征1.4.1 数学期望数学期望 对于连续随机变量对于连续随机变量X，它的概率密，它的概率密度为度为fX(x)，则其数学期望定义为，则其数学期望定义为 对于离散随机变量对于离散随机变量X，假定它有，假定它有n个可能取值，各个取值的概率为个可能取值，各个取值的概率为 ，则数学期望定义，则数学期望定义 为为均值具有如下性质：均值具有如下性质：性质性质1：其中其中c为常数为常数性质性质2：若：若c为常数，则有为常数，则有 性质性质3：若：若X、Y是任意二个随机变量，是任意二个随机变量，则有则有 性质性质4：若：若X、Y是二个相互独立的随是二个相互独立的随机变量，则有机变量，则有 例例1：设连续随机变量：设连续随机变量X在在a,b区间上区间上服从均匀分布，求服从均匀分布，求X的数学期望。的数学期望。例例2：设离散随机变量：设离散随机变量X服从二项分布，服从二项分布，即即 求其数学期望。求其数学期望。1.4.2 方差方差连续随机变量连续随机变量X的方差定义为的方差定义为离散随机变量离散随机变量X的方差定义为：的方差定义为：方差的性质：方差的性质：性质性质1：若：若c为常数，则为常数，则 性质性质2：若：若X是随机变量，是随机变量，c是常数，是常数，则有则有 性质性质3：若：若X、Y是两个相互独立的随是两个相互独立的随机变量，则有机变量，则有 例例3：设：设X服从服从a,b上的均匀分布，求上的均匀分布，求其方差。其方差。1.4.3 矩矩 n阶原点矩阶原点矩定义为定义为对于离散和连续随机变量，则分别有对于离散和连续随机变量，则分别有n阶中心矩阶中心矩定义为：定义为：对于离散和连续随机变量，则分别有对于离散和连续随机变量，则分别有 二维随机变量二维随机变量X和和Y的的n+k阶联合原点阶联合原点矩矩定义为：定义为：二维随机变量二维随机变量X和和Y的的n+k阶联合中心阶联合中心矩矩为：为：当当n=1，k=1时，二阶联合原点矩为时，二阶联合原点矩为它又称为它又称为X和和Y的相关矩的相关矩。当当n=1，k=1时，二阶联合中心矩为时，二阶联合中心矩为它又称为它又称为X和和Y的协方差的协方差。由协方差定义得由协方差定义得相关系数相关系数定义为：定义为：当当 时，则称时，则称X与与Y不相关不相关；若若 ，则称，则称X与与Y相关相关。当当 ，称为，称为正相关正相关；当当 ，称为，称为负相关负相关。例例4：X与与Y为相互独立的随机变量，为相互独立的随机变量，求二者的相关系数。求二者的相关系数。例例5：随机变量：随机变量Y=aX+b，其中，其中X为随为随机变量，机变量，a、b为常数，且为常数，且a0，求，求X与与Y的相关系数。的相关系数。1.4.4 统计独立与不相关统计独立与不相关 统计独立：对于随机变量而言，统计独立：对于随机变量而言，X和和Y相互统计独立的充要条件为相互统计独立的充要条件为相关是指两个坐标之间的线性相关程度。相关是指两个坐标之间的线性相关程度。下面对这两个概念进行讨论：下面对这两个概念进行讨论：1.随机变量随机变量X和和Y相互统计独立的充要相互统计独立的充要条件为条件为2.随机变量随机变量X与与Y不相关的充要条件是不相关的充要条件是 3.若两个随机变量统计独立，它们必若两个随机变量统计独立，它们必然不相关。然不相关。4.两个随机变量不相关，则它们不一两个随机变量不相关，则它们不一定互相独立。定互相独立。