数学分析--101102一致收敛课件

一、一、函数项级数的函数项级数的定义定义一、函数项级数的定义1二、二、函数项级数的函数项级数的敛散性敛散性称函数项级数称函数项级数 在在点点 收敛收敛；反之，称函数项级数在反之，称函数项级数在点点 发散发散。是数项级数。是数项级数。二、函数项级数的敛散性称函数项级数 2收敛点的全体称为该级数的收敛点的全体称为该级数的收敛点集；收敛点集；发散点的全体称为该级数的发散点的全体称为该级数的发散点集。发散点集。收敛点的全体称为该级数的收敛点集；发散点的全体称为该级数的发3例例1.1.解：解：例1.解：4三、和函数三、和函数三、和函数5(1)(1)(2)(2)四、四、函数项级数的函数项级数的性质性质？(1)(2)四、函数项级数的性质？610.2 10.2 一致收敛一致收敛10.2 一致收敛7一、函数列的一致收敛一、函数列的一致收敛函数列的逐点收敛函数列的逐点收敛一、函数列的一致收敛函数列的逐点收敛8数学分析-101102一致收敛课件9例例1.1.只要取只要取例1.只要取10例例2.2.例2.112 2 一致收敛一致收敛定义：定义：几何意义几何意义:.:.2 一致收敛定义：几何意义:.122 2 一致收敛一致收敛定理定理1.1.通常用于通常用于证明不一致收敛证明不一致收敛2 一致收敛定理1.通常用于证明不一致收敛13证明：证明：证明：14证明：证明：证明：15例例3.3.证明：证明：例3.证明：16例例4.4.解：解：一致收敛一致收敛故在故在(0,1)(0,1)上不一致收敛上不一致收敛.例4.解：一致收敛故在(0,1)上不一致收敛.17定理定理2.2.证明证明:定理2.证明:18数学分析-101102一致收敛课件19二、函数项级数的一致收敛二、函数项级数的一致收敛1.1.定义定义:2.Cauchy2.Cauchy收敛原理收敛原理:二、函数项级数的一致收敛1.定义:2.Cauchy收敛原理:203.3.推论推论(Cauchy(Cauchy定理中定理中 p=1)1)逆否逆否:3.推论(Cauchy定理中 p=1)逆否:21例例5.5.解解:故级数在故级数在(0,+)(0,+)上不一致收敛上不一致收敛!例5.解:故级数在(0,+)上不一致收敛!22三、一致收敛的判别三、一致收敛的判别优级数优级数,强级数强级数,控制级数控制级数三、一致收敛的判别优级数,强级数,控制级数23证明：证明：证明：24例例6.6.解：解：一致收敛一致收敛例例7.7.解：解：一致收敛一致收敛例例8.8.一致收敛一致收敛例6.解：一致收敛例7.解：一致收敛例8.一致收敛25说明：说明：使用使用M判别法，要求：判别法，要求：这种要求过强这种要求过强 存在级数：不绝对收敛，但一致收敛。存在级数：不绝对收敛，但一致收敛。(P401P401例例7 7)存在级数：绝对收敛，存在级数：绝对收敛，但级数一致收敛。但级数一致收敛。(P405-5.)说明：使用M判别法，要求：这种要求过强 存在级数：不262.2.Dirichlet和和Abel判别法判别法2.Dirichlet和Abel判别法27例例9.9.一致有界一致有界逐点有界逐点有界,不一致有界不一致有界.矛盾！矛盾！例9.一致有界逐点有界,不一致有界.矛盾！28Dirichlet判别法判别法若在若在I I上上 证明：证明：Dirichlet判别法若在I上证明：29由柯西收敛原理，由柯西收敛原理，由柯西收敛原理，30例例1010证明：证明：一致有界一致有界例10证明：一致有界31Abel判别法判别法设设则则证明：证明：Abel判别法设则证明：32数学分析-101102一致收敛课件33例例11.11.解：解：例11.解：34数学分析-101102一致收敛课件35作业作业 (数学分析习题集数学分析习题集)习题习题8.1函数项级数一致收敛函数项级数一致收敛 2;3、1),3),5),7);4;5;6;9.作业 (数学分析习题集)习题8.1函数项级数一致收敛36例例2.2.解：解：由此可解出收敛集由此可解出收敛集例2.解：由此可解出收敛集37