平面向量的概念及其线性运算课件

(4)(4)平行向量：方向平行向量：方向 或或 的的 向量向量.平行向量平行向量又叫又叫 ，任一组平行向量都可以移到同一条直，任一组平行向量都可以移到同一条直线上线上.规定：规定：0 0与任一向量与任一向量 .(5)(5)相等向量：长度相等向量：长度 且方向且方向 的向量的向量.(6)(6)相反向量：长度相反向量：长度 且方向且方向 的向量的向量.相同相同相反相反非零非零共线向量共线向量平行平行相等相等相同相同相等相等相同相同2.2.向量的加法和减法向量的加法和减法 （1 1）加法）加法 法则：服从三角形法则、平行四边形法则法则：服从三角形法则、平行四边形法则.运算性质：运算性质：a a+b b=(交换律）；交换律）；(a a+b b)+)+c c=（结合律）；（结合律）；a a+0 0=.(2)(2)减法减法 减法与加法互为逆运算；减法与加法互为逆运算；法则：服从三角形法则法则：服从三角形法则.b b+a aa a+(b b+c c)0 0+a aa a3.3.实数与向量的积实数与向量的积 （1 1）长度与方向规定如下：）长度与方向规定如下：|a a|=|=;当当 时时，a a与与a a的的方方向向相相同同；当当 时时，a a与与a a的方向相反；当的方向相反；当 =0=0时，时，a a=.(2)(2)运算律：设运算律：设 、R R，则：，则：(a a)=)=;(+;(+)a a=;(a a+b b)=)=.|a a|0 0 0 00 0()a a a a+a a a a+b b4.4.两个向量共线定理两个向量共线定理 向量向量b b与与a a(a a0 0)共线的充要条件是共线的充要条件是 .有且只有一个实数有且只有一个实数 ，使得使得b b=a a基础自测基础自测1.1.如如图图所所示示，在在平平行行四四边边形形ABCDABCD中中，下下列列结结论论中中错错误的是误的是（）A.A.B.B.C.C.D.=D.=0 0 解析解析 A A显然正确，由平行四边形法则知显然正确，由平行四边形法则知B B正确正确.，故，故C C错误错误.D.D中中 =0 0.C2.2.如图所示，如图所示，D D是是ABCABC的边的边ABAB上的中点，则向量上的中点，则向量 等于等于（）A.A.B.B.C.C.D.D.解析解析 D D是是ABAB的中点，的中点，A3.3.（20092009北京）北京）已知向量已知向量a a、b b不共线，不共线，c c=k ka a+b b(k kR R),),d d=a a-b b.如果如果c cd d，那么（，那么（）A.A.k k=1=1且且c c与与d d同向同向 B.B.k k=1=1且且c c与与d d反向反向 C.C.k k=-1=-1且且c c与与d d同向同向 D.D.k k=-1=-1且且c c与与d d反向反向 解解析析 c cd d,c c=d d,即即k ka a+b b=(a a-b b).).又又a a、b b不不共共线，线，k k=,=-1,=-1,1=-1=-,k k=-1.=-1.c c=-=-d d,c c与与d d反向反向.D4.4.下列各命题中，真命题的个数为下列各命题中，真命题的个数为（）若若|a a|=|=|b b|，则，则a a=b b或或a a=-=-b b；若若 ，则则A A、B B、C C、D D是是一一个个平平行行四四边边形形的的四个顶点；四个顶点；若若a a=b b,b b=c c，则，则a a=c c;若若a ab b,b bc c,则则a ac c.A.4 A.4B.3B.3C.2C.2D.1D.1解析解析 由由|a a|=|=|b b|可知向量可知向量a a,b b模长相等但不能确定模长相等但不能确定向量的方向，如在正方形向量的方向，如在正方形ABCDABCD中，中，|=|=|，但，但 与与 既不相等也不互为相反向量，故此命题错误既不相等也不互为相反向量，故此命题错误.由由 可得可得|=|=|且且 ，由于由于 可能是可能是A A，B B，C C，D D在同一条直线上，在同一条直线上，故此命题不正确故此命题不正确.正确正确.不正确不正确.当当b b=0 0时，时，a ac c不一定成立不一定成立.答案答案 D D5.5.在在四四边边形形ABCDABCD中中，=a a+2+2b b，=-4=-4a a-b b，=-5=-5a a-3 3b b，其中，其中a a，b b不共线，则四边形不共线，则四边形ABCDABCD为（为（）A.A.梯形梯形 B.B.平行四边形平行四边形 C.C.菱形菱形 D.D.矩形矩形 解析解析 由已知得由已知得 =-8 =-8a a-2-2b b，故故 ，由共线向量知识知，由共线向量知识知ADADBCBC，且且|ADAD|=2|=2|BCBC|，故四边形，故四边形ABCDABCD为梯形，所以选为梯形，所以选A.A.A题型一题型一 平面向量的有关概念平面向量的有关概念【例例1 1】给出下列命题】给出下列命题 向量向量 的长度与向量的长度与向量 的长度相等；的长度相等；向量向量a a与向量与向量b b平行，则平行，则a a与与b b的方向相同或相反；的方向相同或相反；两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同；两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同；两个有共同终点的向量，一定是共线向量；两个有共同终点的向量，一定是共线向量；向向量量 与与向向量量 是是共共线线向向量量，则则点点A A、B B、C C、D D必在同一条直线上；必在同一条直线上；有向线段就是向量，向量就是有向线段有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为其中假命题的个数为（）题型分类题型分类 深度剖析深度剖析A.2A.2B.3B.3C.4C.4D.5D.5 熟练掌握向量的有关概念并进行判断熟练掌握向量的有关概念并进行判断.解析解析 中，中，向量向量 与与 互为相反向量，互为相反向量，它们的长度相等，它们的长度相等，此命题正确此命题正确.中若中若a a或或b b为零向量，则满足为零向量，则满足a a与与b b平行，但平行，但a a与与b b的方的方向不一定相同或相反，向不一定相同或相反，此命题错误此命题错误.由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，点相同，则其终点也必定相同，该命题正确该命题正确.由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，一定共线，该命题错误该命题错误.思维启迪思维启迪共线向量是方向相同或相反的向量，共线向量是方向相同或相反的向量，若若 与与 是共线向量，则是共线向量，则A A、B B、C C、D D四点不一定四点不一定在一条直线上，在一条直线上，该命题错误该命题错误.零向量不能看作是有向线段，零向量不能看作是有向线段，该命题错误该命题错误.答案答案 C C （1 1）本题涉及的主要内容有向量的概）本题涉及的主要内容有向量的概念、向量的表示、零向量、平行向量、相等向量、共念、向量的表示、零向量、平行向量、相等向量、共线向量线向量.（2 2）搞清楚向量的含义）搞清楚向量的含义.向量不同于我们以前学习过向量不同于我们以前学习过的数量，学习时应结合物理中位移等向量进行观察、的数量，学习时应结合物理中位移等向量进行观察、抽象、分析、比较，逐步理解向量是既有大小又有方抽象、分析、比较，逐步理解向量是既有大小又有方向的量向的量.探究提高探究提高知能迁移知能迁移1 1 下列结论中，不正确的是下列结论中，不正确的是（）A.A.向量向量 ，共线与向量共线与向量 同义同义 B.B.若向量若向量 ，则向量，则向量 与与 共线共线 C.C.若向量若向量 =，则向量，则向量 =D.D.只要向量只要向量a a，b b满足满足|a a|=|=|b b|，就有，就有a a=b b 解解析析 根根据据平平行行向向量量（或或共共线线向向量量）定定义义知知A A、B B均均正确；根据向量相等的概念知正确；根据向量相等的概念知C C正确；正确；D D不正确不正确.D题型二题型二 平面向量的线性运算平面向量的线性运算【例例2 2】在】在ABCABC中，中，D D、E E分别为分别为 BCBC、ACAC边上的中点，边上的中点，G G为为BEBE上上 一点，且一点，且GBGB=2=2GEGE，设，设 =a a，=b b，试用，试用a a、b b表示表示 ，.结结合合图图形形性性质质，准准确确灵灵活活运运用用三三角角形形法法则和平行四边形法则是向量加减运算的关键则和平行四边形法则是向量加减运算的关键.解解思维启迪思维启迪a ab b （1 1）解解题题的的关关键键在在于于搞搞清清构构成成三三角角形形的的三三个个问问题题间间的的相相互互关关系系，能能熟熟练练地地找找出出图图形形中中的的相相等等向向量量，并并能能熟熟练练运运用用相相反反向向量量将将加加减减法法相相互互转转化化.（2 2）用用几几个个基基本本向向量量表表示示某某个个向向量量问问题题的的基基本本技技巧巧是是：观观察察各各向向量量的的位位置置；寻寻找找相相应应的的三三角角形形或或多边形；多边形；运用法则找关系；运用法则找关系；化简结果化简结果.探究提高探究提高a ab b知能迁移知能迁移2 2 （20092009山东）山东）设设P P是是ABCABC所在平面内所在平面内 的一点，的一点，则，则 （）A.A.B.B.C.C.D.D.解解析析 因因为为 ，所所以以点点P P为为线线段段ACAC的的中点，即中点，即 ，如图，如图.B0 00 00 00 00 0题型三题型三 共线向量问题共线向量问题【例例3 3】（1212分）设两个非零向量分）设两个非零向量a a与与b b不共线，不共线，(1)(1)若若 =a a+b b，=2 =2a a+8+8b b，=3 =3（a a-b b）.求求证证：A A、B B、D D三三点点共共线线；（2 2）试试确确定定实实数数k k，使使k ka a+b b和和a a+k kb b共线共线.（1 1）由由已已知知求求 判判断断 与与 的的关关系系判断判断A A、B B、D D的关系的关系.（2 2）应用共线向量的充要条件）应用共线向量的充要条件列方程组列方程组 解方程组得解方程组得k k值值.思维启迪思维启迪（1 1）证明证明 =a a+b b,=2,=2a a+8+8b b,=3 =3（a a-b b），），=2 =2a a+8+8b b+3+3（a a-b b）=2=2a a+8+8b b+3+3a a-3-3b b=5=5（a a+b b）=5 .4=5 .4分分 、共线，共线，又又它们有公共点它们有公共点B B，A A、B B、D D三点共线三点共线.6.6分分（2 2）解解 k ka a+b b与与a a+k kb b共线，共线，存在实数存在实数 ，使，使k ka a+b b=(a a+k kb b),),即即k ka a+b b=a a+k kb b.（k k-）a a=(=(k k-1)-1)b b.9.9分分a a、b b是不共线的两个非零向量，是不共线的两个非零向量，k k-=-=k k-1=0,-1=0,k k2 2-1=0.-1=0.k k=1.12=1.12分分 探探究究提提高高 （1 1）向向量量共共线线的的充充要要条条件件中中要要注注意意当当两两向向量量共共线线时时，通通常常只只有有非非零零向向量量才才能能表表示示与与之之共共线线的的其其他他向向量量，要要注注意意待待定定系系数数法法的的运运用用和和方方程程思思想想.（2 2）证证明明三三点点共共线线问问题题，可可用用向向量量共共线线来来解解决决，但但应应注注意意向向量量共共线线与与三三点点共共线线的的区区别别与与联联系系，当当两两向向量共线且有公共点时，才能得出三点共线量共线且有公共点时，才能得出三点共线.知能迁移知能迁移3 3 设两个非零向量设两个非零向量e e1 1和和e e2 2不共线不共线.(1)(1)如果如果 =e e1 1-e e2 2,=3,=3e e1 1+2+2e e2 2,=-8,=-8e e1 1-2-2e e2 2,求证求证:A A、C C、D D三点共线；三点共线；（2 2）如果）如果 =e e1 1+e e2 2,=2,=2e e1 1-3-3e e2 2,=2,=2e e1 1-k ke e2 2,且且A A、C C、D D三点共线，求三点共线，求k k的值的值.（1 1）证明证明 =e e1 1-e e2 2,=3,=3e e1 1+2+2e e2 2,=-8,=-8e e1 1-2-2e e2 2,=4 =4e e1 1+e e2 2=(-8=(-8e e1 1-2-2e e2 2)=,)=,与与 共线，又共线，又 与与 有公共点有公共点C C，A A、C C、D D三点共线三点共线.（2 2）解解 =（e e1 1+e e2 2）+（2 2e e1 1-3-3e e2 2）=3=3e e1 1-2-2e e2 2，A A、C C、D D三点共线，三点共线，与与 共线，共线，从而存在实数从而存在实数 使得使得 =，即即3 3e e1 1-2-2e e2 2=(2=(2e e1 1-k ke e2 2),),由平面向量的基本定理，由平面向量的基本定理，3=2 3=2 -2=-2=-k k,解之得解之得 =,=,k k=.=.得得方法与技巧方法与技巧1.1.将将向向量量用用其其他他向向量量（特特别别是是基基向向量量）线线性性表表示示，是是十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础.2.2.首首尾尾相相连连的的若若干干向向量量之之和和等等于于以以最最初初的的起起点点为为起起点点，最最后后的的终终点点为为终终点点的的向向量量；若若这这两两点点重重合合，则则和和为为零向量零向量.3.3.通通过过向向量量的的共共线线可可以以证证明明三三点点共共线线及及多多点点共共线线，但但要注意到向量的平行与直线的平行的区别要注意到向量的平行与直线的平行的区别.思想方法思想方法 感悟提高感悟提高失误与防范失误与防范1.1.0 0与与实实数数0 0有有区区别别，0 0的的模模为为数数0 0，它它不不是是没没有有方方向向，而是方向不定而是方向不定.0 0可以看成与任意向量平行可以看成与任意向量平行.2.2.由由a ab b,b bc c不不能能得得到到a ac c.取取不不共共线线的的向向量量a a与与c c，显然有显然有a a0 0,c c0 0.3.3.注注意意向向量量加加法法的的三三角角形形法法则则与与向向量量减减法法的的三三角角形形法法则的根本区别与联系则的根本区别与联系.定时检测定时检测 一、选择题一、选择题1.1.（20092009湖南）湖南）对于非零向量对于非零向量a a、b b,“,“a a+b b=0 0”是是“a ab b”的的（）A.A.充分不必要条件充分不必要条件 B.B.必要不充分条件必要不充分条件 C.C.充分必要条件充分必要条件 D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 解析解析 当当a a+b b=0 0时，时，a a=-=-b b,a ab b;当当a ab b时，不一定有时，不一定有a a=-=-b b.“a a+b b=0 0”是是“a ab b”的充分不必要条件的充分不必要条件.A2.2.已知已知O O为为ABCABC内一点，且内一点，且 =0 0，则，则AOCAOC与与ABCABC的面积之比是（的面积之比是（）A.12 A.12B.13B.13C.23C.23D.11D.11 解析解析 设设ACAC的中点为的中点为D D，则，则 0 0，即点即点O O为为ACAC边上的中线边上的中线BDBD的中点，的中点，.A3.3.(2019(2019全国全国)在在ABCABC中，中，=c c，=b b,若点若点D D满足满足 ，则，则 等于等于（）A.B.A.B.C.D.C.D.解析解析 如图所示如图所示,在在ABCABC中中,Ab bc cb bc cb bc cb bc c4.4.（20192019广东）广东）在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中中,ACAC与与BDBD交交 于点于点O O,E E是线段是线段ODOD的中点的中点,AEAE的延长线与的延长线与CDCD交于交于 点点F F.若若 =a a,=,=b b,则则 等于等于（）A.A.B.B.C.C.D.D.解析解析 如图所示如图所示,E E是是ODOD的中点的中点,又又ABEABEFDEFDE,=3 ,=.=3 ,=.在在AOEAOE中中,=,=答案答案 B B5.5.（20192019海南）海南）平面向量平面向量a a,b b共线的充要条件是共线的充要条件是 （）A.A.a a,b b方向相同方向相同 B.B.a a,b b两向量中至少有一个为零向量两向量中至少有一个为零向量 C.C.R R,b b=a a D.D.存在不全为零的实数存在不全为零的实数 1 1,2 2,1 1a a+2 2b b=0=0 解解析析 A A中中,a a,b b同同向向则则a a,b b共共线线;但但a a,b b共共线线，a a,b b不不一一定同向定同向,因此因此A A不是充要条件不是充要条件.若若a a,b b两两向向量量中中至至少少有有一一个个为为零零向向量量,则则a a,b b共共线线;但但a a,b b共线时共线时,a a,b b不一定是零向量不一定是零向量,如如a a=(1,2),=(1,2),b b=(2,4),=(2,4),从而从而B B不是充要条件不是充要条件.当当b b=a a时时,a a,b b一定共线；一定共线；但但a a,b b共线时共线时,若若b b0 0,a a=0 0,则则b b=a a就不成立就不成立,从而从而C C也不是充要条件也不是充要条件.对于对于D,D,假设假设 1 10,0,则则a a=b b,因此因此a a,b b共线共线;反之反之,若若a a,b b共线共线,则则a a=b b,即即m ma a-n nb b=0 0.令令 1 1=m m,2 2=-=-n n,则则 1 1a a+2 2b b=0 0.答案答案 D D6.6.已知向量已知向量a a、b b、c c中任意两个都不共线，并且中任意两个都不共线，并且a a+b b与与 c c共线，共线，b b+c c与与a a共线，那么共线，那么a a+b b+c c等于（等于（）A.A.a a B.B.b b C.C.c c D.D.0 0 解析解析 a a+b b与与c c共线，共线，a a+b b=1 1c c 又又b b+c c与与a a共线，共线，b b+c c=2 2a a 由由得：得：b b=1 1c c-a a.b b+c c=1 1c c-a a+c c=（1 1+1+1）c c-a a=2 2a a，1 1+1=0 +1=0 1 1=-1=-1 2 2=-1 =-1 2 2=-1=-1D，即，即,a a+b b+c c=-=-c c+c c=0 0.二、填空题二、填空题7.7.设设e e1 1、e e2 2是两个不共线的向量，已知是两个不共线的向量，已知 =2 =2e e1 1+k ke e2 2，=e e1 1+3+3e e2 2，=2=2e e1 1-e e2 2，若若A A、B B、D D三三点点共共线线，则则实数实数k k的值为的值为 .解析解析 =2 =2，-4 =-4 =k k.-8-8则则k k=-8.=-8.8.8.在在ABCABC中中，=a a，=b b，MM是是CBCB的的中中点点，N N是是ABAB的的中中点点，且且CNCN、AMAM交交于于点点P P，则则 可可用用a a、b b表表示示为为 .解析解析 如图所示，如图所示，a ab b9.9.在在ABCABC中，已知中，已知D D是是ABAB边上一点，若式边上一点，若式 ,则则 =.解析解析 由图知由图知 且且 =0 0.+2+2得得:3:3 三、解答题三、解答题10.10.如图所示，在如图所示，在ABCABC中，中，D D、F F分别是分别是BCBC、ACAC的中点，的中点，a a，=b b.（1 1）用）用a a、b b表示向量表示向量 、；（2 2）求证：）求证：B B、E E、F F三点共线三点共线.（1 1）解解 延长延长ADAD到到G G，使，使 连接连接BGBG、CGCG，得到，得到ABGCABGC，所以所以 =a a+b b,(2)(2)证明证明 由由(1)(1)可知可知所以所以B B、E E、F F三点共线三点共线.11.11.若若a a,b b是是两两个个不不共共线线的的非非零零向向量量,a a与与b b起起点点相相同同，则则当当t t为为何何值值时时，a a，t tb b，（a a+b b）三三向向量量的的终终点点在在同同一条直线上？一条直线上？解解 设设 （a a+b b），），要使要使A A、B B、C C三点共线，只需三点共线，只需 即即-a a+b b=t tb b-a a 当当t t=时时,三向量终点在同一直线上三向量终点在同一直线上.解得解得12.12.已知：任意四边形已知：任意四边形ABCDABCD中，中，E E、F F分别是分别是ADAD、BCBC 的中点，求证：的中点，求证：证明证明 方法一方法一 如图所示，如图所示，E E、F F分别是分别是ADAD、BCBC的中点，的中点，同理同理 由由+得，得，方法二方法二 连结连结则则 返回返回