平面力系的平衡方程及应用课件

机械设计基础之静力学 模块V1 平面力系的平衡平面力系的平衡平面力系的平衡LOGO2引言力系力系平面内作用在物体上力的总称（力的集合）平面内作用在物体上力的总称（力的集合）根据力的作用线是否共面可分为：根据力的作用线是否共面可分为：平面力系平面力系空间力系空间力系根据力的作用线是否汇交可分为：根据力的作用线是否汇交可分为：汇交力系汇交力系平行力系平行力系任意力系任意力系平衡力系平衡力系作用在物体上使物体保持平衡的力系作用在物体上使物体保持平衡的力系平面力系的平衡平面力系的平衡平面汇交力系平面力偶系平面任意力系平面汇交力系一级目录平面汇交力系平面力偶系平面任意力系平面力系的平衡平面汇交力系平面汇交力系过渡页平面汇交力系1、力在直角坐标轴上的投影；2、合力投影定理；3、平面汇交力系合成的解析法平面汇交力系平面汇交力系平面汇交力系过渡页平面汇交力系 平面汇交力系：研究方法：几何法，解析法。研究方法：几何法，解析法。研究方法：几何法，解析法。研究方法：几何法，解析法。各力的作用线都在各力的作用线都在各力的作用线都在各力的作用线都在同一平面内且同一平面内且同一平面内且同一平面内且 汇交于一汇交于一汇交于一汇交于一点的力系。点的力系。点的力系。点的力系。正文LOGO力在直角坐标轴上的投影1平面汇交力系 Fx=Fcos ;Fy=Fsin=F cosb说明：说明：（1）力在坐标轴上的投影为代数量；）力在坐标轴上的投影为代数量；（2）力的指向与坐标轴的正向一致时，力的投影为正）力的指向与坐标轴的正向一致时，力的投影为正值，否则为负。值，否则为负。LOGO第8 页正文合力投影定理2平面汇交力系由图可看出，各分力在由图可看出，各分力在x 轴和在轴和在y轴投轴投影的和分别为：影的和分别为：合力投影定理：合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。FRxF2xF1xF3xF4xxyoLOGO第9 页正文平面汇交力系合成的解析法3平面汇交力系平面汇交力系平衡的必要与充分条件是平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系的合力为零该力系的合力为零。两个独立方程两个独立方程两个独立方程两个独立方程可求解两个未知量可求解两个未知量可求解两个未知量可求解两个未知量平面平面平面平面汇汇交力系平衡的必要和充分条件是：交力系平衡的必要和充分条件是：交力系平衡的必要和充分条件是：交力系平衡的必要和充分条件是：各力在两个各力在两个各力在两个各力在两个任任任任选选的坐的坐的坐的坐标轴标轴上投影的代数和等于零。上投影的代数和等于零。上投影的代数和等于零。上投影的代数和等于零。只要不平行即可只要不平行即可只要不平行即可只要不平行即可LOGO第10 页正文平面汇交力系合成的解析法3平面汇交力系 （3 3）合理）合理）合理）合理选选取坐取坐取坐取坐标标系，列平系，列平系，列平系，列平衡方程求解；衡方程求解；衡方程求解；衡方程求解；（4 4）对结对结果果果果进进行必要的分析行必要的分析行必要的分析行必要的分析和和和和讨论讨论。（1 1）选选取研究取研究取研究取研究对对象；象；象；象；（2 2）画出研究）画出研究）画出研究）画出研究对对象的受力象的受力象的受力象的受力图图；几点说明：几点说明：几点说明：几点说明：（1 1）投影）投影）投影）投影轴轴常常常常选择选择与未知力垂直，与未知力垂直，与未知力垂直，与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个未知数；最好使每个方程中只有一个未知数；最好使每个方程中只有一个未知数；最好使每个方程中只有一个未知数；（2 2）未知力的方向可以先假）未知力的方向可以先假）未知力的方向可以先假）未知力的方向可以先假设设，如，如，如，如果求出果求出果求出果求出负值负值，说说明与假明与假明与假明与假设设相相相相 反。反。反。反。对对于于于于二力构件，一般先二力构件，一般先二力构件，一般先二力构件，一般先设为设为拉力，如果求拉力，如果求拉力，如果求拉力，如果求出出出出负值负值，说说 明物体受明物体受明物体受明物体受压压力。力。力。力。解析法解题步骤：解析法解题步骤：解析法解题步骤：解析法解题步骤：LOGO第11 页正文平面汇交力系合成的解析法3平面汇交力系例例例例题题1 1 已知：已知：已知：已知：P P，a a ，求：，求：，求：，求：A A、B B处约处约束反力。束反力。束反力。束反力。2 2a a Pa aABCD解：解：解：解：（1 1）取）取）取）取刚刚架架架架为为研究研究研究研究对对象象象象（2 2）画受力）画受力）画受力）画受力图图解上述方程，得解上述方程，得解上述方程，得解上述方程，得（3 3）建立坐）建立坐）建立坐）建立坐标标系，列方程求解系，列方程求解系，列方程求解系，列方程求解 PABCD FB FALOGO第12 页正文平面汇交力系合成的解析法3平面汇交力系解解：研究AB杆 画出受力图 列平衡方程例例例例题题2 2 已知已知已知已知 P=2kN P=2kN 求求求求Scd,R,Ra aLOGO第13 页正文平面汇交力系合成的解析法3平面汇交力系 解平衡方程由EB=BC=0.4m，解得：；平面汇交力系平面任意力系过渡页平面力偶系平面力系的平衡平面力偶系平面力偶系过渡页平面力偶系1、力矩的概念；2、合力矩定理；3、力偶和力偶矩；4、平面力偶系的合成与平衡平面力偶系平面力偶系过渡页平面力偶系力对物体可以产生力对物体可以产生力对物体可以产生力对物体可以产生 移动效应移动效应移动效应移动效应-取决于力的大小、方向取决于力的大小、方向取决于力的大小、方向取决于力的大小、方向转动效应转动效应转动效应转动效应-取决于力矩的大小、方向取决于力矩的大小、方向取决于力矩的大小、方向取决于力矩的大小、方向力矩：力矩：力矩：力矩：是度量力对刚体转动效应的物理量。是度量力对刚体转动效应的物理量。是度量力对刚体转动效应的物理量。是度量力对刚体转动效应的物理量。扭矩扳手扭矩扳手扭矩扳手扭矩扳手正文LOGO力对点之矩1平面力偶系OFABh力臂力臂矩心矩心 平面内力对点之矩是平面内力对点之矩是代数量代数量，不仅，不仅与力的与力的大小大小有关，且有关，且与矩心位置与矩心位置有关。有关。当当F=0=0 或或 h=0=0 时，时，=0=0。说明：说明：力对点之矩不因力的作用线移动而改变。力对点之矩不因力的作用线移动而改变。互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和为零。为零。LOGO第18 页正文合力矩定理2平面力偶系 定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所 有各分力对同一点的矩的代数和。有各分力对同一点的矩的代数和。有各分力对同一点的矩的代数和。有各分力对同一点的矩的代数和。即：即：即：即：LOGO第19 页正文合力矩定理2平面力偶系 解解：用力对点的矩法用力对点的矩法例例例例题题3 3 已知：如图已知：如图 F、Q、l,求：求：和和应用合力矩定理应用合力矩定理LOGO第20 页正文合力矩定理2平面力偶系 解解：例例例例题题4 4 已知：如图已知：如图 F、R、r,求：求：应用合力矩定理应用合力矩定理ARFr FxFy LOGO第21 页正文合力矩定理2平面力偶系 解解：例题例题5 已知：如图已知：如图 q、l,求：合力的大小和作用线位置。求：合力的大小和作用线位置。xClABqQ=qlCxdxqdxLOGO第22 页正文合力矩定理2平面力偶系 解解：例题例题6 已知：如图已知：如图 q、l,求：合力的大小和作用线位置。求：合力的大小和作用线位置。xClABqQCxdxqdx 注注注注：三角型分布载荷的合力大三角型分布载荷的合力大三角型分布载荷的合力大三角型分布载荷的合力大小等于该三角型的面积，合力的小等于该三角型的面积，合力的小等于该三角型的面积，合力的小等于该三角型的面积，合力的作用线通过该三角形的几何中心。作用线通过该三角形的几何中心。作用线通过该三角形的几何中心。作用线通过该三角形的几何中心。LOGO第23 页正文力偶与力偶矩3平面力偶系力偶A AB Bd d力偶力偶力偶力偶两个大小相等、方向相反且不两个大小相等、方向相反且不两个大小相等、方向相反且不两个大小相等、方向相反且不共共共共线线的平行力的平行力的平行力的平行力组组成的力系。成的力系。成的力系。成的力系。力偶臂力偶臂力偶臂力偶臂力偶的两力之力偶的两力之力偶的两力之力偶的两力之间间的垂直距离。的垂直距离。的垂直距离。的垂直距离。力偶的作用面力偶的作用面力偶的作用面力偶的作用面力偶所在的平面。力偶所在的平面。力偶所在的平面。力偶所在的平面。LOGO第24 页正文平面力偶系力偶矩力偶与力偶矩3力偶矩力偶矩力偶矩力偶矩A AB BO Od dx x 度量力偶度量力偶度量力偶度量力偶对对物体的物体的物体的物体的转动转动效效效效应应力偶矩与力矩具有相同的性力偶矩与力矩具有相同的性力偶矩与力矩具有相同的性力偶矩与力矩具有相同的性质质。力偶的三要素：力偶矩的大小；力偶的力偶的三要素：力偶矩的大小；力偶的力偶的三要素：力偶矩的大小；力偶的力偶的三要素：力偶矩的大小；力偶的转转向；力偶的作用面。向；力偶的作用面。向；力偶的作用面。向；力偶的作用面。LOGO第25 页正文平面力偶系平面力偶的性质力偶与力偶矩3性质性质1：力偶中两个力在任意方向上的投：力偶中两个力在任意方向上的投影等于零，故力偶对物体影等于零，故力偶对物体不产生移动效应不产生移动效应性质性质2：力偶不能合成为一个力（没有合力）：力偶不能合成为一个力（没有合力），也不能用一个力来平衡，力偶只能与力，也不能用一个力来平衡，力偶只能与力偶来平衡。力和力偶是两个基本力素。偶来平衡。力和力偶是两个基本力素。LOGO第26 页正文平面力偶系平面力偶的性质力偶与力偶矩3性质性质3：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩心：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩心 的位置无关，因此力偶对刚体的效应用的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶矩力偶矩度量。度量。由于O点是任取的+FFdOxABLOGO第27 页正文平面力偶系力偶的等效力偶与力偶矩3F0F0ABdFDCF1F2 在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，等，等，等，则则两力偶彼此等效。两力偶彼此等效。两力偶彼此等效。两力偶彼此等效。推推推推论论1 1：力偶：力偶：力偶：力偶对刚对刚体的作用与力偶在其作体的作用与力偶在其作体的作用与力偶在其作体的作用与力偶在其作用面内的位置无关；用面内的位置无关；用面内的位置无关；用面内的位置无关；推推推推论论2 2：只要保持力偶矩的大小和力偶的：只要保持力偶矩的大小和力偶的：只要保持力偶矩的大小和力偶的：只要保持力偶矩的大小和力偶的转转向不向不向不向不变变，可以同，可以同，可以同，可以同时时改改改改变变力偶中力的大小力偶中力的大小力偶中力的大小力偶中力的大小和力偶臂的和力偶臂的和力偶臂的和力偶臂的长长短，而不改短，而不改短，而不改短，而不改变变力偶力偶力偶力偶对刚对刚体的体的体的体的作用。作用。作用。作用。MMM力偶表示方法力偶表示方法力偶表示方法力偶表示方法LOGO第28 页正文思考：平面力偶系力偶与力的异同力偶与力的异同共同点：共同点：单位位统一，符号一，符号规定定统一。一。差异点：差异点：1.力矩随矩心位置不同而力矩随矩心位置不同而变化；力化；力偶矩偶矩对物体作用效果与矩心物体作用效果与矩心选取无关。取无关。2.力偶矩可以完全描述一个力偶；力力偶矩可以完全描述一个力偶；力对点之矩不能完全描述一个力。点之矩不能完全描述一个力。思考：思考：思考：思考：1.1.如果某平面力系由多个力偶和一个力如果某平面力系由多个力偶和一个力如果某平面力系由多个力偶和一个力如果某平面力系由多个力偶和一个力组组成，成，成，成，该该力系一定不平衡。力系一定不平衡。力系一定不平衡。力系一定不平衡。2.2.如果某平面力系由多个力和一个力偶如果某平面力系由多个力和一个力偶如果某平面力系由多个力和一个力偶如果某平面力系由多个力和一个力偶组组成，成，成，成，该该力系一定不平衡。力系一定不平衡。力系一定不平衡。力系一定不平衡。LOGO第29 页正文平面力偶系平面力偶系的合成平面力偶系的合成与平衡4A AB Bd dF4F3F1d d1 1F2d d2 2A AB BFd d任意个力偶的情况任意个力偶的情况任意个力偶的情况任意个力偶的情况结论结论：平面力偶系合成平面力偶系合成平面力偶系合成平面力偶系合成结结果果果果还还是一个力偶是一个力偶是一个力偶是一个力偶,其其其其力偶矩力偶矩力偶矩力偶矩为为各力偶矩的各力偶矩的各力偶矩的各力偶矩的代数和代数和代数和代数和。LOGO第30 页正文平面力偶系平面力偶系的合成与平衡4平面力偶系的平衡 平面力偶系平衡的充要条件是平面力偶系平衡的充要条件是:所有各力偶矩的所有各力偶矩的代数和代数和等于零等于零。LOGO第31 页正文平面力偶系平面力偶系的合成与平衡4 梁上除作用有力偶梁上除作用有力偶梁上除作用有力偶梁上除作用有力偶 M M 外，外，外，外，还还有反有反有反有反力力力力F FA A，F FB B 。解：以梁解：以梁解：以梁解：以梁为为研究研究研究研究对对象。象。象。象。因因因因为为力偶只能与力偶平衡，所以力偶只能与力偶平衡，所以力偶只能与力偶平衡，所以力偶只能与力偶平衡，所以 F FA A=F FB B。又又又又 M M=0 =0 即即即即 M-FM-FA A d d=0=0所以所以所以所以 F FA A =F FB B=M/d =M/d B BA Ad dMMF FB BF FA Ad dMMB BA A例例例例题题7 7 一一一一简简支梁作用一矩支梁作用一矩支梁作用一矩支梁作用一矩为为M M 的力偶，不的力偶，不的力偶，不的力偶，不计计梁重，求二支座梁重，求二支座梁重，求二支座梁重，求二支座约约束束束束力。（力。（力。（力。（ABAB=d d）LOGO第32 页正文平面力偶系平面力偶系的合成与平衡4 因因因因为为力偶只能与力偶平衡，所以，力力偶只能与力偶平衡，所以，力力偶只能与力偶平衡，所以，力力偶只能与力偶平衡，所以，力F FA A与与与与F FB B构成一力偶，故构成一力偶，故构成一力偶，故构成一力偶，故F FA A=F=FB B。列写平衡方程：列写平衡方程：列写平衡方程：列写平衡方程：B Bl lF FA AF FB BA A M M=0=0，解得解得解得解得例例例例题题11 11 如如如如图图所示的工件上作用有三个力偶。已知三个力偶的矩分所示的工件上作用有三个力偶。已知三个力偶的矩分所示的工件上作用有三个力偶。已知三个力偶的矩分所示的工件上作用有三个力偶。已知三个力偶的矩分别别为为：MM1 1=M=M2 2=10 N=10 N.mm，MM3 3=20 N=20 N.mm；固定螺柱固定螺柱固定螺柱固定螺柱 A A 和和和和 B B 的距离的距离的距离的距离 l l=200=200 mmmm 。求两个光滑螺柱所受的水平力。求两个光滑螺柱所受的水平力。求两个光滑螺柱所受的水平力。求两个光滑螺柱所受的水平力。解：解：解：解：选选工件工件工件工件为为研究研究研究研究对对象，象，象，象，平面汇交力系平面力偶系一级目录平面任意力系平面任意力系平面力系的平衡平面任意力系平面任意力系过渡页平面任意力系1、力系的简化2、平面任意力系的平衡方程及应用平面任意力系平面任意力系过渡页平面任意力系平面任意力系：各力的作用线在同一平面任意力系：各力的作用线在同一平面内平面内,既不汇交为一点又不相互平行既不汇交为一点又不相互平行的力系。的力系。研究方法：研究方法：未知力系未知力系已知力系已知力系力系向一点简化力系向一点简化（平面任意力系）（平面任意力系）（平面汇交力系和平面力偶系）（平面汇交力系和平面力偶系）LOGO第36 页正文平面任意力系的简化平面任意力系1力的平移定理AF FBdF F F F AF F BM=F.d=MB(F)定理：可以把作用于定理：可以把作用于刚体上点体上点A的力的力F平行移到任一点平行移到任一点B，但必，但必须同同时附加一个力偶，附加一个力偶，这个个附加力偶的矩等于原来的力附加力偶的矩等于原来的力F对新作用新作用点点B的矩的矩。MMAF FBdLOGO第37 页正文平面任意力系的简化平面任意力系1力的平移讨论MFF为什么什么钉子子有有时会折弯？会折弯？F(a a)F(b b)两两圆盘运运动形式形式是否一是否一样？F FMM单单手手攻攻丝丝LOGO第38 页正文平面任意力系的简化平面任意力系1平面一般力系向平面内一点简化F3F1F2O OO OO OFR R MMOOF1MMM1 11F1=F1 M1=MO(F1)F2MMM2 22F3MMM3 33F2=F2 M2=MO(F2)F3=F3 M3=MO(F3)简化中心化中心OFR=F1+F2+F3=F1+F2+F3 MO=M1+M2+M3=MO(F1)+MO(F2)+MO(F3)平面平面汇交力系交力系平面力偶系平面力偶系LOGO第39 页正文平面任意力系的简化平面任意力系1平面一般力系向平面内一点简化O Ox xxy yyMMO OFR结论：平面任意力系向作用面内任一点：平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一个力化，可得一个力和一个力偶，偶，这个力等于个力等于该力系的主矢，作用力系的主矢，作用线通通过简化中心。化中心。这个力偶的个力偶的矩等于力系矩等于力系对于点于点O的主矩。的主矩。原力系的主矢原力系的主矢原力系的主矢原力系的主矢力系力系力系力系对对于于于于简简化中心化中心化中心化中心O O的主矩的主矩的主矩的主矩LOGO第40 页正文平面任意力系的简化平面任意力系1平面任意力系平面任意力系F1F2F3F4Fn平面力偶系平面力偶系平面汇交力系平面汇交力系合成合成合成合成FR=FiM=Mi力线平移定理力线平移定理力线平移定理力线平移定理例例FAyFAxFFNLOGO第41 页正文平面任意力系平面任意力系的平衡方程及应用平面任意力系平衡的充要条件为：平面任意力系平衡的充要条件为：平面任意力系平面任意力系平面任意力系平面任意力系的平衡方程的平衡方程的平衡方程的平衡方程 =0 =0 为力平衡为力平衡 MO =0 =0 为力偶也平衡为力偶也平衡力系的主矢力系的主矢 和主矩和主矩 MO 都等于零都等于零2LOGO第42 页正文平面任意力系平面任意力系的平衡方程及应用2 几点说明：几点说明：（1）三个方程只能求解三个未知量；）三个方程只能求解三个未知量；（2）二个投影坐）二个投影坐标轴不一定互相垂直，只要不平行即可；不一定互相垂直，只要不平行即可；（3）投影坐）投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂直；尽可能与多个未知力平行或垂直；（4）力矩方程中，矩心尽可能）力矩方程中，矩心尽可能选多个未知力的交点。多个未知力的交点。平平面任意力系平衡方程的面任意力系平衡方程的基本式基本式LOGO第43 页正文例例例例题题12 12 已知：已知：q，a,P=qa,M=Pa，求：求：A、B两点的支座反力？两点的支座反力？解：解：选选AB梁为研究对象。梁为研究对象。画受力图画受力图 列平衡方程，求未知量。列平衡方程，求未知量。FAxFAyFBq2aaMPABBAqMP平面任意力系平面任意力系的平衡方程及应用2LOGO第44 页正文例例例例题题13 13 已知：已知：Q=7.5kN,P=1.2kN,l=2.5m,a=2m,=30o,求：求：BC杆拉力和铰杆拉力和铰A处的支座反力？处的支座反力？解解：（：（1）选选AB梁为研究对象。梁为研究对象。（2）画受力图）画受力图FAxFAy FBCAQlBPal/2 QlABPal/2C平面任意力系平面任意力系的平衡方程及应用2LOGO第45 页正文（3）列平衡方程，求未知量。列平衡方程，求未知量。QlABFAxFAyFBCPal/2平面任意力系平面任意力系的平衡方程及应用2LOGO第46 页正文v（3）列平衡方程，求未知量。列平衡方程，求未知量。QlABFAxFAyFBCPal/2平面任意力系平面任意力系的平衡方程及应用2LOGO第47 页正文v（3）列平衡方程，求未知量。列平衡方程，求未知量。QlABFAxFAyFBCPal/2C平面任意力系平面任意力系的平衡方程及应用2LOGO第48 页正文二矩式二矩式条件：条件：x 轴不轴不垂直于垂直于AB连线连线三矩式三矩式条件：条件：A,B,C不在不在 同一直线上同一直线上 基本式（一矩式）基本式（一矩式）平面任意力系平面任意力系的平衡方程及应用2LOGO第49 页正文任务实施：任务实施：塔式起重机如图。机架重为塔式起重机如图。机架重为W=200KN，作用线通过塔架的中，作用线通过塔架的中心。最大起重量心。最大起重量P=50KN，最大悬臂长为，最大悬臂长为12m，轨道，轨道AB的间距为的间距为4m。平。平衡荷重衡荷重Q=30KN，到机中心距离为，到机中心距离为6m。求：。求：1、空载和满载时，轨道对机轮、空载和满载时，轨道对机轮A、B的法向约束力；的法向约束力；2、此起重机在空载和满载时会不会翻倒？、此起重机在空载和满载时会不会翻倒？QWPFAFBAB6m12m2m2mLOGO第50 页正文解：选起重机为研究对象。解：选起重机为研究对象。（1）要使）要使起重机不翻倒，应使作用在起重机上的力系满足起重机不翻倒，应使作用在起重机上的力系满足平衡条件。平衡条件。满载时，为满载时，为使使起重机不绕点起重机不绕点B翻倒，力系满足翻倒，力系满足平衡方程平衡方程 。在临界情况下在临界情况下，FA=0。求出的。求出的P3 值是所允许的最小值。值是所允许的最小值。空载时，为空载时，为使使起重机不绕点起重机不绕点A翻倒，力系满足翻倒，力系满足平衡方程平衡方程 。在临界情况下在临界情况下，FB=0。求出的。求出的P3 值是所允许的最大值。值是所允许的最大值。LOGO第51 页 起重机实际工作时不允许处于极限状态，要使起重机不翻倒，起重机实际工作时不允许处于极限状态，要使起重机不翻倒，平平衡荷重衡荷重P3应在两者之间，即：应在两者之间，即：75KNP3 350KN （2）取）取P3=180KN，求，求满载时满载时作用于作用于轮子的反力轮子的反力FA和和FB。由平面平。由平面平行力系的平衡方程行力系的平衡方程：解方程得解方程得 验证：验证：