时变电磁场资料课件

在在时时变变场场情情况况下下，电电场场和和磁磁场场相相互互激激励励，在在空空间间形成电磁波，时变电磁场的能量以电磁波的形式传播。形成电磁波，时变电磁场的能量以电磁波的形式传播。电电磁磁场场的的波波动动性性可可用用电电磁磁场场满满足足的的波波动动方方程程来来描描述述，而而波波动动方方程程是是将将麦麦克克斯斯韦韦方方程程组组进进行行适适当当变变化化后后得到的。得到的。第第4章时变电磁场章时变电磁场 在时变场情况下，电场和磁场相互激励，在空间形成电磁波在时变场情况下，电场和磁场相互激励，在空间形成电磁波4.1 波动方程波动方程时时变变电电磁磁场场具具有有波波动动性性，其其波波动动方方程程与与一一般般波波动动方方程程相相似似，这是波动运动的共性。这是波动运动的共性。另另一一方方面面，电电磁磁场场的的波波动动具具有有个个性性，即即它它必必须须满满足足麦麦克克斯斯韦方程。韦方程。波动方程的建立波动方程的建立在在无无源源空空间间中中，电电荷荷和和电电流流处处处处为为零零，即即 0 0，J J0 0，电电磁场满足的麦克斯韦方程为磁场满足的麦克斯韦方程为 4.1 波动方程时变电磁场具有波动性，其波动方程与一般波波动方程时变电磁场具有波动性，其波动方程与一般波对第二式两边取旋度，并利用对第二式两边取旋度，并利用D D=E E、B B=H H，得，得 利用利用 和得和得 同理：同理：电磁场波动方电磁场波动方程，典型的三程，典型的三维波动方程维波动方程 波动方程解的一般形式波动方程解的一般形式 求求解解三三维维方方程程比比较较困困难难，且且解解的的物物理理意意义义不不易易理理解解。下下面面将将方方程程简简化化，再再进进行行求求解解和和分分析析。设设强强度度E E只只与与z z和和时时间间t t有有关关，其方向沿其方向沿x x方向，即方向，即 对第二式两边取旋度，并利用对第二式两边取旋度，并利用D=E、B=H，得，得 利用利用一维波动方程一维波动方程 解的函数形式解的函数形式 变量变量 波动方程解的诠注波动方程解的诠注 电磁场的波动性电磁场的波动性 现在关心函数变量现在关心函数变量 。考虑第一项考虑第一项 代表的物理意义。代表的物理意义。设设f f+的的波波形形当当变变量量 时时为为最最大大值值。令令波波形形最最大大值值的的位置为位置为z=zz=zmaxmax 一维波动方程一维波动方程 解的函数形式解的函数形式 变量变量 波动方程解的诠注波动方程解的诠注 t00t1vt1t2vt2t3vt3t4vt4z不同时刻波形最大值出现的位置不同时刻波形最大值出现的位置t t=0=0，z zmaxmax=0=0；t=t1 0，zmax=vt10；沿沿z z方向传播方向传播 图形移动速度，即电磁波速度图形移动速度，即电磁波速度 t=t2 t1，zmax=vt2vt10；t5vt5t00t1vt1t2vt2t3vt3t4vt4z 不同时刻波形不同时刻波形波动方程及其解的进一步说明波动方程及其解的进一步说明 同理可得第二项表示沿同理可得第二项表示沿-z z方向传播的波方向传播的波 波波动动方方程程的的解解代代表表两两个个沿沿相相反反方方向向传传播播的的波波，具具体体选选择择视视具具体情况而定体情况而定 三维波动方程的解仍然代表传播的波，但无法用图形描绘三维波动方程的解仍然代表传播的波，但无法用图形描绘 满满足足波波动动方方程程的的电电磁磁场场，以以振振荡荡形形式式在在空空间间中中传传播播，形形成成电电磁波，其传播速度为磁波，其传播速度为 ，真空中，真空中 波动方程及其解的进一步说明波动方程及其解的进一步说明 同理可得第二项表示沿同理可得第二项表示沿-z方向传播方向传播4.2 电磁场的位函数电磁场的位函数 在在静静态态场场中中引引入入了了标标量量位位和和矢矢量量位位，分分别别描描述述电电场场和和磁磁场场，简简化化了了对对电电场场和和磁磁场场的的分分析析过过程程。对对于于时时变变电电磁磁场场，也也可可以以引引入位函数来描述。入位函数来描述。4.2.1 矢量位和标量位矢量位和标量位标量位函数标量位函数引引入入A A和和 的的意意义义在在于于简简化化电电磁磁场场的的求求解解过过程程，特特别别是是对对于于复复杂的辐射问题，引入位函数可以大大简化。杂的辐射问题，引入位函数可以大大简化。4.2 电磁场的位函数电磁场的位函数 在静态场中引入了标量位和矢量位在静态场中引入了标量位和矢量位注注意意，这这里里定定义义的的矢矢量量位位A A和和标标量量位位 不不是是惟惟一一确确定定的的，对对于于同样一组同样一组E E和和B B，还可以用另一组位函数来表示，即有，还可以用另一组位函数来表示，即有显显然然不不同同的的位位函函数数对对应应同同样样的的电电磁磁场场。由由于于 是是任任意意标标量量，所所以以同同样样电电磁磁场场的的位位函函数数有有无无数数多多组组，即即电电磁磁场场的的位位函函数数具具有有不确定性。不确定性。位位函函数数的的不不确确定定性性来来源源于于只只给给定定了了矢矢量量位位A A的的旋旋度度，对对其其散散度度没没有有任任何何限限制制。只只有有同同时时给给定定矢矢量量场场的的旋旋度度和和散散度度，才才能能惟惟一确定这个矢量场。所以，必须对矢量位一确定这个矢量场。所以，必须对矢量位A A的散度作出限制。的散度作出限制。注意，这里定义的矢量位注意，这里定义的矢量位A和标量位和标量位 不是惟一确定的，对于同样不是惟一确定的，对于同样洛仑兹条件洛仑兹条件在电磁场工程中，通常规定矢量位在电磁场工程中，通常规定矢量位A A的散度为的散度为或规定矢量位或规定矢量位A A的散度为的散度为库仑条件库仑条件洛仑兹条件在电磁场工程中，通常规定矢量位洛仑兹条件在电磁场工程中，通常规定矢量位A的散度为或规定矢的散度为或规定矢4.2.2 达朗贝尔方程达朗贝尔方程4.2.2 达朗贝尔方程达朗贝尔方程位函数满足的达朗贝尔方程，是非齐次的波动方程。位函数满足的达朗贝尔方程，是非齐次的波动方程。达朗贝尔方程和位函数的波动性达朗贝尔方程和位函数的波动性 电荷产生标量位波动电荷产生标量位波动 电流产生矢量位波动电流产生矢量位波动 离离开开源源后后，位位函函数数以以波波动动的的形形式式存存在在并并传传播播，由由此此决决定定电电磁磁场也以波动的形式存在和传播场也以波动的形式存在和传播位函数满足的达朗贝尔方程，是非齐次的波动方程。达朗贝尔方程和位函数满足的达朗贝尔方程，是非齐次的波动方程。达朗贝尔方程和 说明说明 若应用库仑条件，位函数满足什么样的方程若应用库仑条件，位函数满足什么样的方程?具有什么特点具有什么特点?问题问题 应用洛仑兹条件的特点：应用洛仑兹条件的特点：位函数满足的方程在形式上是对称位函数满足的方程在形式上是对称 的，且比较简单，易求解；的，且比较简单，易求解；解的物理意义非常清楚，明确地解的物理意义非常清楚，明确地 反映出电磁场具有有限的传递速度；反映出电磁场具有有限的传递速度；矢量位只决定于矢量位只决定于J，标，标 量位只决定于量位只决定于，这对求解方程特别有利。只需解出这对求解方程特别有利。只需解出A，无需，无需 解出解出 就可得到待求的电场和磁场。就可得到待求的电场和磁场。电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数，应电磁位函数只是简化时变电磁场分析求解的一种辅助函数，应 用不同的规范条件，矢量位用不同的规范条件，矢量位A和标量位和标量位 的解也不相同，但最终的解也不相同，但最终 得到的电磁场矢量是相同的。得到的电磁场矢量是相同的。说明说明 若应用库仑条件，位函数满足什么样的方程若应用库仑条件，位函数满足什么样的方程?库仑规范：库仑规范：位函数的规范条件位函数的规范条件不利点：不利点：磁矢位与电位函数不能分离！磁矢位与电位函数不能分离！库仑规范：库仑规范：位函数的规范条件不利点：位函数的规范条件不利点：问题：问题：在时变电磁场中在时变电磁场中 位函数的作用位函数的作用？问题：问题：电磁场的波动方程电磁场的波动方程位函数方程位函数方程结论：结论：无源区两种方法一样简单无源区两种方法一样简单有源区位函数方程更简单有源区位函数方程更简单电磁场的波动方程位函数方程结论：电磁场的波动方程位函数方程结论：4.3 电磁能量守恒定律电磁能量守恒定律 能能量量守守恒恒定定律律是是一一切切物物质质运运动动过过程程遵遵守守的的普普遍遍规规律律，作作为为特殊形态的物质，电磁场及其运动过程也遵守这一规律。特殊形态的物质，电磁场及其运动过程也遵守这一规律。本本节节将将详详细细讨讨论论电电磁磁场场的的能能量量和和能能量量守守恒恒定定律律，引引入入重重要要的的坡坡印印廷廷矢矢量量和和坡坡印印廷廷定定理理，分分析析讨讨论论电电磁磁场场能能量量、电电荷荷电电流运动及电磁场做功之间的相互联系。流运动及电磁场做功之间的相互联系。电磁能量问题有关概念电磁能量问题有关概念 电电磁磁场场的的能能量量密密度度：电电磁磁场场能能量量的的空空间间分分布布用用能能量量密密度度w w来来描描述述，它它表表示示单单位位体体积积中中电电磁磁场场的的能能量量，通通常常是是坐坐标标与与时时间间的的函数，即函数，即 4.3 电磁能量守恒定律电磁能量守恒定律 能量守恒定律是一切物质运动能量守恒定律是一切物质运动 电电磁磁场场的的能能量量流流密密度度：电电磁磁波波电电磁磁振振荡荡定定向向运运动动伴伴随随电电磁磁场场能能量量移移动动，其其流流动动情情况况用用电电磁磁场场能能量量流流密密度度(能能流流密密度度)S S表表示示。S S是是矢矢量量，数数值值为为单单位位时时间间垂垂直直流流过过单单位位面面积积的的能能量量，方方向为能量流动方向，一般是坐标和时间的函数，即向为能量流动方向，一般是坐标和时间的函数，即 电磁场的能量流通量：通过面积电磁场的能量流通量：通过面积 的能量流通量为的能量流通量为 电磁场对连续电荷系统做的功：电磁场对连续电荷系统做的功：对单位体积电荷做功的功率对单位体积电荷做功的功率对体积对体积V V中电荷做功的功率中电荷做功的功率 电电磁磁场场对对电电荷荷系系统统做做的的功功：电电磁磁场场中中运运动动速速度度为为v v的的电电荷荷q q受受到的电磁场作用力到的电磁场作用力 ，功率，功率 电磁场的能量流密度：电磁波电磁振荡定向运动伴随电磁场能电磁场的能量流密度：电磁波电磁振荡定向运动伴随电磁场能 电磁场的能量守恒定律电磁场的能量守恒定律设设区区域域V V中中电电磁磁场场能能量量随随时时间间减减少少，由由于于能能量量守守恒恒，减减少少的的能量可能通过边界能量可能通过边界 流出，或因对流出，或因对V V中电荷做功而消耗，即中电荷做功而消耗，即 减少量减少量 =流出量流出量 +消耗量消耗量坡应廷定理坡应廷定理或或电磁电磁场能量守恒定理场能量守恒定理 电磁场的能量守恒定律电磁场的能量守恒定律 坡应廷定理或电磁场能量守恒定理坡应廷定理或电磁场能量守恒定理 用场量表示能量密度和能流密度用场量表示能量密度和能流密度能能量量密密度度和和能能流流密密度度应应该该与与电电磁磁场场场场量量有有关关，w w和和S S可可以以用用场场量来表示。量来表示。由由与与坡坡应应廷廷定定理理比比较较坡应廷矢量坡应廷矢量电磁场能量密度电磁场能量密度电场能量密度电场能量密度磁场能量密度磁场能量密度 用场量表示能量密度和能流密度由用场量表示能量密度和能流密度由 与坡应廷定理比较坡应廷矢与坡应廷定理比较坡应廷矢 定义：定义：(W/mW/m2 2 )物理意义物理意义：的方向的方向 电磁能量传输的方向电磁能量传输的方向 的大小的大小 通过垂直于能量传输方通过垂直于能量传输方 向的单位面积的电磁功率向的单位面积的电磁功率 描述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要物理量描述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要物理量 坡印廷矢量（电磁能流密度矢量）坡印廷矢量（电磁能流密度矢量）定义：定义：(W/m2例例 一一根根长长度度为为l l、横横截截面面为为S S的的导导线线两两端端电电位位差差为为U U，导导线的电导率为线的电导率为。求当电流流过导线时电场能量的损耗。求当电流流过导线时电场能量的损耗。解：解：当导线两端存在电位差时，导线中会产生电场，即当导线两端存在电位差时，导线中会产生电场，即 可可见见，电电场场对对电电荷荷做做功功导导致致电电场场能能量量消消耗耗，电电场场能能量量通通过过做做功功转换为光、热、机械能或其他形式的能量。转换为光、热、机械能或其他形式的能量。例例 一根长度为一根长度为l、横截面为、横截面为S的导线两端电位差为的导线两端电位差为U，导线的电导，导线的电导 例例4.3.14.3.1 同轴线的内导体半径为同轴线的内导体半径为a a、外导体的内半径为、外导体的内半径为b b，其间填充均匀的理想介质。设内外导体间的电压为其间填充均匀的理想介质。设内外导体间的电压为U U，导体中流过，导体中流过的电流为的电流为I I。（。（1 1）在导体为理想导体的情况下，计算同轴线中传）在导体为理想导体的情况下，计算同轴线中传输的功率；（输的功率；（2 2）当导体的电导率）当导体的电导率为有限值时，计算通过内导体为有限值时，计算通过内导体表面进入每单位长度内导体的功率。表面进入每单位长度内导体的功率。同轴线同轴线 例例4.3.1 同轴线的内导体半径为同轴线的内导体半径为a、解解：（：（1 1）在内外导体为理想导体的情况下，电场和磁场只存）在内外导体为理想导体的情况下，电场和磁场只存在于内外导体之间的理想介质中，内外导体表面的电场无切向分量，在于内外导体之间的理想介质中，内外导体表面的电场无切向分量，只有电场的径向分量。利用高斯定理和安培环路定理，容易求得内只有电场的径向分量。利用高斯定理和安培环路定理，容易求得内外导体之间的电场和磁场分别为外导体之间的电场和磁场分别为内外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量内外导体之间任意横截面上的坡印廷矢量 解：（解：（1）在内外导体为理想导体的情况下，电场和磁场只）在内外导体为理想导体的情况下，电场和磁场只电磁能量在内外导体之间的介质中沿轴方向流动，即由电源流向电磁能量在内外导体之间的介质中沿轴方向流动，即由电源流向负载，如图所示。负载，如图所示。穿过任意横截面的功率为穿过任意横截面的功率为同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量（理想导体情况）（理想导体情况）电磁能量在内外导体之间的介质中沿轴方向流动，即由电源流向负载电磁能量在内外导体之间的介质中沿轴方向流动，即由电源流向负载 （2 2）当导体的电导率）当导体的电导率为有限值时，导体内部存在沿电流方为有限值时，导体内部存在沿电流方向的电场向的电场内内根据边界条件，在内导体表面上电场的切向分量连续，即根据边界条件，在内导体表面上电场的切向分量连续，即因此，在内导体表面外侧的电场为因此，在内导体表面外侧的电场为内磁场则仍为磁场则仍为内导体表面外侧的坡印廷矢量为内导体表面外侧的坡印廷矢量为同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量（非理想导体情况）（非理想导体情况）为什么？为什么？为什么？为什么？（2）当导体的电导率）当导体的电导率为有限值时，导体内部存在为有限值时，导体内部存在式中式中 是单位长度内导体的电阻。由此可见，进是单位长度内导体的电阻。由此可见，进入内导体中功率等于这段导体的焦耳损耗功率。入内导体中功率等于这段导体的焦耳损耗功率。由此可见，内导体表面外由此可见，内导体表面外侧的坡印廷矢量既有轴向侧的坡印廷矢量既有轴向分量，也有径向分量，如分量，也有径向分量，如图所示。图所示。进入每单位长度进入每单位长度内导体的功率为内导体的功率为 以上分析表明电磁能量是由电磁场传输的，导体仅起着定向以上分析表明电磁能量是由电磁场传输的，导体仅起着定向引导电磁能流的作用。当导体的电导率为有限值时，进入导体中引导电磁能流的作用。当导体的电导率为有限值时，进入导体中的功率全部被导体所吸收，成为导体中的焦耳热损耗功率。的功率全部被导体所吸收，成为导体中的焦耳热损耗功率。同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量同轴线中的电场、磁场和坡印廷矢量（非理想导体情况）（非理想导体情况）金属传输线有损耗，金属传输线有损耗，金属传输线有损耗，金属传输线有损耗，光纤有优势光纤有优势光纤有优势光纤有优势式中式中 是单位长度内导体的电阻。是单位长度内导体的电阻。时变电磁场共性问题学习总结uu针对的问题和已经学到的分析方法针对的问题和已经学到的分析方法1.1.单一媒质空间的无源问题单一媒质空间的无源问题单一媒质空间的无源问题单一媒质空间的无源问题uu微分方程方法（波动方程）微分方程方法（波动方程）微分方程方法（波动方程）微分方程方法（波动方程）2.2.单一媒质空间的有源问题单一媒质空间的有源问题单一媒质空间的有源问题单一媒质空间的有源问题uu微分方程方法（位函数方程）微分方程方法（位函数方程）微分方程方法（位函数方程）微分方程方法（位函数方程）3.3.3.3.能量守恒定律能量守恒定律能量守恒定律能量守恒定律Poyting Poyting Poyting Poyting 定律定律定律定律Poyting Poyting Poyting Poyting 矢量矢量矢量矢量时变电磁场共性问题学习总结时变电磁场共性问题学习总结4.4 4.4 惟一性定理惟一性定理 在以闭曲面在以闭曲面S S为边界的有界区域为边界的有界区域V V 内，内，如果给定如果给定t t0 0 时刻的电场强度和磁场强度时刻的电场强度和磁场强度的初始值，并且在的初始值，并且在 t t 0 0 时，给定边界面时，给定边界面S S上的电场强度的切向分量或磁场强度的切向分量，那么，在上的电场强度的切向分量或磁场强度的切向分量，那么，在 t t 0 0 时，区域时，区域V V 内的电磁场由麦克斯韦方程惟一地确定。内的电磁场由麦克斯韦方程惟一地确定。惟一性定理的表述惟一性定理的表述 在分析有界区域的时变电磁场问题时，常常需要在给定的初在分析有界区域的时变电磁场问题时，常常需要在给定的初始条件和边界条件下，求解麦克斯韦方程。那么，在什么定解条始条件和边界条件下，求解麦克斯韦方程。那么，在什么定解条件下，有界区域中的麦克斯韦方程的解才是惟一的呢？这就是麦件下，有界区域中的麦克斯韦方程的解才是惟一的呢？这就是麦克斯韦方程的解的惟一问题。克斯韦方程的解的惟一问题。惟一性问题惟一性问题4.4 惟一性定理惟一性定理 在以闭曲面在以闭曲面S为边界的有界为边界的有界 惟一性定理指出了获得惟一解所必须满足的条件，惟一性定理指出了获得惟一解所必须满足的条件，为电磁场问题的求解提供了理论依据，具有非常重为电磁场问题的求解提供了理论依据，具有非常重 要的意义和广泛的应用。要的意义和广泛的应用。惟一性定理指出了获得惟一解所必须满足的条件，惟一性定理指出了获得惟一解所必须满足的条件，场场源源（电电荷荷或或电电流流）以以一一定定的的角角频频率率 随随时时间间作作正正弦弦变变化化，它它所所激激发发的的电电磁磁场场也也以以相相同同的的角角频频率率随随时时间间作作正正弦弦变变化化，称称为为时谐场时谐场或或正弦场正弦场 广播、电视和通信的载波，都是广播、电视和通信的载波，都是时谐波时谐波或称或称正弦电磁波正弦电磁波 即即使使电电磁磁场场不不是是正正弦弦场场，也也可可以以通通过过富富里里叶叶变变换换展展开开成成正正弦弦场来研究。所以，研究正弦场具有普遍意义场来研究。所以，研究正弦场具有普遍意义 复复数数表表示示法法可可以以使使大大多多数数正正弦弦场场问问题题得得以以简简化化，但但有有时时仍仍需需用用实实数数形形式式（称称为为瞬瞬时时表表示示法法），所所以以经经常常会会遇遇到到两两种种表表示示法法的互换的互换 另另外外，对对于于能能量量密密度度、能能流流密密度度等等含含有有场场量量的的平平方方关关系系的的物物理量（称为二次式），只能用瞬时的形式来表示理量（称为二次式），只能用瞬时的形式来表示4.5 时谐电磁场时谐电磁场 场源（电荷或电流）以一定的角频率场源（电荷或电流）以一定的角频率 随时间作正弦变化，它所随时间作正弦变化，它所设设是是一一个个以以角角频频率率 随随时时间间t t作作正正弦弦变变化化的的场场量量，它它可可以以是是电电场场和和磁磁场场的的任任意意一一个个分分量量，也也可可以以是是电电荷荷或或电电流流等等变变量，它与时间的关系可以表示成量，它与时间的关系可以表示成式中的式中的A A0 0为振幅，为振幅，(r r)为与坐标有关的相位因子。为与坐标有关的相位因子。利用三角公式利用三角公式实实数数表表示示法法或或瞬瞬时时表示法，瞬时场表示法，瞬时场其中其中复数表示法复数表示法时间因子时间因子复振幅复振幅相位因子相位因子照此法，电场各分量照此法，电场各分量E Ei i（i i 表示表示x x，y y或或z z）可表示成）可表示成 4.5.1 时谐电磁场的复数表示时谐电磁场的复数表示 设是一个以角频率设是一个以角频率 随时间随时间t作正弦变化的场量，它可以作正弦变化的场量，它可以各分量合成以后，电场强度为各分量合成以后，电场强度为 复复矢矢量量，只只与与坐坐标标有有关关，与与时间无关时间无关 同理：同理：对复数表示法的进一步说明对复数表示法的进一步说明 复数式用复数式用“”以示区别，但实际中以示区别，但实际中“”并不写出来并不写出来 复数式只是数学表示方式，不代表真实的场复数式只是数学表示方式，不代表真实的场 真实场是复数式的实部，即瞬时表达式真实场是复数式的实部，即瞬时表达式 由由于于时时间间因因子子是是默默认认的的，有有时时它它不不用用写写出出来来，只只用用与与坐坐标标有有关的部份就可表示场量关的部份就可表示场量各分量合成以后，电场强度为各分量合成以后，电场强度为 复矢量，只与坐标有关，与时间无关复矢量，只与坐标有关，与时间无关 复数表示法与瞬时表示法的变换复数表示法与瞬时表示法的变换瞬时表示法瞬时表示法 复数表示法复数表示法 不不含含时时间间因因子子的复数表示法的复数表示法 恢复时间因子恢复时间因子取实部得到瞬时表示法，即瞬时场取实部得到瞬时表示法，即瞬时场 复数表示法与瞬时表示法的变换瞬时表示法复数表示法与瞬时表示法的变换瞬时表示法 复数表示法复数表示法 将将复复数数形形式式表表示示的的场场量量和和电电荷荷、电电流流，代代入入麦麦克克斯斯韦韦方方程程组组，可得正弦场的麦克斯韦方程组，如可得正弦场的麦克斯韦方程组，如消去时间因子消去时间因子略去略去“”同理同理4.5.2 复矢量的麦克斯韦方程复矢量的麦克斯韦方程 将复数形式表示的场量和电荷、电流，代入麦克斯韦方程组，可得将复数形式表示的场量和电荷、电流，代入麦克斯韦方程组，可得对复数形式麦氏方程的说明对复数形式麦氏方程的说明 方程中的各量都不包含时间因子，各量均与时间无关方程中的各量都不包含时间因子，各量均与时间无关 因因为为 所所以以时时间间偏偏导导数数作作用用于于复复数数形形式式的场量时，相当于在场量前乘上的场量时，相当于在场量前乘上j，如如例例1 已已知知时时变变场场的的电电场场强强度度为为 ，其中其中E Exmxm和和 k kz z为实常数。写出电场强度的瞬时矢量。为实常数。写出电场强度的瞬时矢量。解：解：对复数形式麦氏方程的说明对复数形式麦氏方程的说明 方程中的各量都不包含时间因子，各量方程中的各量都不包含时间因子，各量 例例4.5.14.5.1 将下列场矢量的瞬时值形式写为复数形式将下列场矢量的瞬时值形式写为复数形式（2）解解：（：（1 1）由于）由于（1）所以所以 例例4.5.1 将下列场矢量的瞬时值形式写为复数形式（将下列场矢量的瞬时值形式写为复数形式（2 2）因为）因为 故故 所以所以 （2）因为）因为 故故 所以所以 实际的介质都存在损耗：实际的介质都存在损耗：导电媒质导电媒质当电导率有限时，存在欧姆损耗当电导率有限时，存在欧姆损耗 电介质电介质受到极化时，存在电极化损耗受到极化时，存在电极化损耗 磁介质磁介质受到磁化时，存在磁化损耗受到磁化时，存在磁化损耗 损损耗耗的的大大小小与与媒媒质质性性质质、随随时时间间变变化化的的频频率率有有关关。一一些些媒媒质质的损耗在低频时可以忽略，但在高频时就不能忽略的损耗在低频时可以忽略，但在高频时就不能忽略4.5.3 复电容率和复磁导率复电容率和复磁导率 导电媒质的等效介电常数导电媒质的等效介电常数 对于介电常数为对于介电常数为、电导率为、电导率为 的导电媒质，有的导电媒质，有实际的介质都存在损耗：实际的介质都存在损耗：4.5.3 复电容率和复磁导率复电容率和复磁导率 电介质的复介电常数电介质的复介电常数 对对于于存存在在电电极极化化损损耗耗的的电电介介质质，有有 称称为为复复介介电电常常数数或或复复电电容容率率。其其虚虚部部为为大大于于零零的的数数，表表示示电电介介质质的电极化损耗。在高频情况下，实部和虚部都是频率的函数。的电极化损耗。在高频情况下，实部和虚部都是频率的函数。同时存在极化损耗和欧姆损耗的介质同时存在极化损耗和欧姆损耗的介质 对对于于同同时时存存在在电电极极化化损损耗耗和和欧欧姆姆损损耗耗的的电电介介质质，复复介介电电常常数为数为 磁介质的复磁导率磁介质的复磁导率 对对于于磁磁性性介介质质，复复磁磁导导率率数数为为 ，其其虚虚部为大于零的数，表示磁介质的磁化损耗。部为大于零的数，表示磁介质的磁化损耗。电介质的复介电常数电介质的复介电常数 同时存在极化损耗和欧姆损耗的介质同时存在极化损耗和欧姆损耗的介质 磁介磁介 损耗角正切损耗角正切 工工程程上上通通常常用用损损耗耗角角正正切切来来表表示示介介质质的的损损耗耗特特性性，其其定定义义为复介常数或复磁导率虚部与实部之比，即有为复介常数或复磁导率虚部与实部之比，即有 导电媒质导电性能的相对性导电媒质导电性能的相对性 导导电电媒媒质质的的导导电电性性能能具具有有相相对对性性，在在不不同同频频率率情情况况下下，导导电媒质具有不同的导电性能。电媒质具有不同的导电性能。损耗角正切损耗角正切 导电媒质导电性能的相对性导电媒质导电性能的相对性4.5.5 时谐场的位函数时谐场的位函数 在在时时谐谐时时情情况况下下，矢矢量量位位和和标标量量位位以以及及它它们们满满足足的的方方程程都都可可以表示成复数形式，即以表示成复数形式，即此时洛仑兹条件和位函数满足的达朗贝尔方程变为此时洛仑兹条件和位函数满足的达朗贝尔方程变为4.5.4 亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程 在时谐情况下，电磁场波动方程可写成在时谐情况下，电磁场波动方程可写成式式中中 ，此此方方程程称称为为亥亥姆姆霍霍兹兹方方程程，即即时时谐谐情情况况下下的的波动方程。对于有耗介质，有波动方程。对于有耗介质，有4.5.5 时谐场的位函数时谐场的位函数 在时谐时情况下，矢量位和标在时谐时情况下，矢量位和标4.5.6 平均能量密度和平均能流密度平均能量密度和平均能流密度 时谐场中的二次式时谐场中的二次式电电磁磁场场能能量量密密度度和和能能流流密密度度的的表表达达式式中中都都包包含含了了场场量量的的平平方方关系，这种关系式称为二次式。关系，这种关系式称为二次式。二次式的表示方法二次式的表示方法二二次次式式本本身身不不能能用用复复数数形形式式表表示示，其其中中的的场场量量必必须须是是实实数数形形式，不能将复数形式的场量直接代入。式，不能将复数形式的场量直接代入。设某正弦电磁场的电场强度和磁场强度分别为设某正弦电磁场的电场强度和磁场强度分别为 4.5.6 平均能量密度和平均能流密度平均能量密度和平均能流密度 时谐场中的二次式时谐场中的二次式则能流密度为则能流密度为 如把电场强度和磁场强度用复数表示，即有如把电场强度和磁场强度用复数表示，即有先取实，再代入先取实，再代入 则能流密度为则能流密度为 如把电场强度和磁场强度用复数表示，即有如把电场强度和磁场强度用复数表示，即有先取先取使用二次式时需要注意的问题使用二次式时需要注意的问题 二次式只有实数的形式，没有复数形式二次式只有实数的形式，没有复数形式 场量是实数式时，直接代入二次式即可场量是实数式时，直接代入二次式即可 场场量量是是复复数数式式时时，应应先先取取实实部部再再代代入入，即即“先先取取实实后后相相乘乘”如复数形式的场量中没有时间因子，取实前如复数形式的场量中没有时间因子，取实前先补充时间因子先补充时间因子 二次式的时间平均值二次式的时间平均值 能能量量密密度度和和能能流流密密度度反反映映的的是是能能量量密密度度或或能能流流密密度度在在某某一一个个瞬时的取值，是时间的函数瞬时的取值，是时间的函数 有有时时要要关关心心在在一一个个时时间间周周期期中中的的平平均均值值，即即平平均均能能量量密密度度和和平均能流密度。这就是二次式的时间平均值问题平均能流密度。这就是二次式的时间平均值问题使用二次式时需要注意的问题使用二次式时需要注意的问题 二次式只有实数的形式，没有复数形二次式只有实数的形式，没有复数形如电场和磁场都用实数形式给出，则平均能流密度为如电场和磁场都用实数形式给出，则平均能流密度为 如果电场和磁场都用复数形式给出，即有如果电场和磁场都用复数形式给出，即有 同理，有同理，有 时间平均值与时间无关时间平均值与时间无关如电场和磁场都用实数形式给出，则平均能流密度为如电场和磁场都用实数形式给出，则平均能流密度为 如果电场和磁如果电场和磁 具有普遍意义，不仅适用于正弦电磁场，也适用于其他具有普遍意义，不仅适用于正弦电磁场，也适用于其他 时变电磁场；而时变电磁场；而 只适用于时谐电磁场。只适用于时谐电磁场。在在 中中，和和 都是实数形式且是都是实数形式且是 时间的函数，所以时间的函数，所以 也是时间的函数，也是时间的函数，反映的是能流反映的是能流密度密度 在某一个瞬时的取值在某一个瞬时的取值；而；而 中的中的 和和 都是复矢量，与时间无关，所以都是复矢量，与时间无关，所以 也也与时间无与时间无 关，关，反映的是能流密度在一个时间周期内的平均取值反映的是能流密度在一个时间周期内的平均取值。利利用用 ，可可由由 计算计算 ，但不能直，但不能直 接由接由 计算计算 ，即，即 关于关于 和和 的几点说明的几点说明 具有普遍意义，不仅适用于正弦电磁场具有普遍意义，不仅适用于正弦电磁场例例4.5.4已知无源空间中，电磁场的电场强度复矢量为已知无源空间中，电磁场的电场强度复矢量为 ，其中，其中k k和和E E0 0为常数。求为常数。求：H H、S S 和和S S平均平均。解：解：（1）由得）由得（2 2）电场、磁场的瞬时值和玻应廷矢量为）电场、磁场的瞬时值和玻应廷矢量为例例4.5.4已知无源空间中，电磁场的电场强度复矢量为已知无源空间中，电磁场的电场强度复矢量为（3 3）平均坡应廷矢量为）平均坡应廷矢量为或直接积分，得或直接积分，得（3）平均坡应廷矢量为或直接积分，得）平均坡应廷矢量为或直接积分，得例例3已已知知真真空空中中电电磁磁场场的的电电场场强强度度和和磁磁场场强强度度矢矢量量分分别别为为 ，其中，其中E E0 0、H H0 0和和k k为常数。求：为常数。求：(1)(1)w w和和w w平均平均(2)(2)S S和和S S平均平均。解解:(1)其中：其中：于是于是例例3已知真空中电磁场的电场强度和磁场强度矢量分别为已知真空中电磁场的电场强度和磁场强度矢量分别为例例4 一个真空中存在的电磁场复振幅为一个真空中存在的电磁场复振幅为 ，其中，其中E E0 0为常数。求：为常数。求：z=0z=0以及以及 处的处的S S平均平均和和S(t)。解解:将题中给出的场量写成复数形式，即将题中给出的场量写成复数形式，即磁场强度的共轭为：磁场强度的共轭为：于是于是例例4 一个真空中存在的电磁场复振幅为一个真空中存在的电磁场复振幅为 结果表示电磁场在任何位置上的坡印亭矢量的平均值均为结果表示电磁场在任何位置上的坡印亭矢量的平均值均为0 0，不伴随电磁场，不伴随电磁场能量的传输。实际上，它对应一个驻波场。能量的传输。实际上，它对应一个驻波场。这个场对应的坡印亭矢量为这个场对应的坡印亭矢量为 结果表示电磁场在任何位置上的坡印亭矢量的平均值均为结果表示电磁场在任何位置上的坡印亭矢量的平均值均为0对磁场求旋度后得：对磁场求旋度后得：对照已知的电场强度，对照已知的电场强度，对磁场求旋度后得：对照已知的电场强度，对磁场求旋度后得：对照已知的电场强度，因此在因此在 处，有处，有在在z=0z=0处，处，S S（t t）=0=0，因此在因此在 处，有在处，有在z=0处，处，S（t）=0本章重点本章重点 波动方程波动方程(由由Maxwell方程推导波动方程方程推导波动方程)电磁场的位函数及其达朗贝尔方程电磁场的位函数及其达朗贝尔方程 坡印廷定理坡印廷定理坡印廷矢量及其物理意义坡印廷矢量及其物理意义坡印廷矢量用复数形式表示的平均值坡印廷矢量用复数形式表示的平均值 时谐电磁场的复数表示时谐电磁场的复数表示 复矢量的复矢量的MaxwellMaxwell方程方程 复电容率和复磁导率复电容率和复磁导率本章重点本章重点