函数单调性与极值课件

3.3 函数的单调性及其极值一、函数单调性一、函数单调性二、函数的极值及其求法二、函数的极值及其求法3.3 函数的单调性及其极值一、函数单调性二、函数的极值及其在某区间的切线在某区间的切线 轴正向角是锐角，则该曲线在该区间内是上升轴正向角是锐角，则该曲线在该区间内是上升如图（如图（a），），如果曲线如果曲线 若这个角是钝角，则该曲线在该区若这个角是钝角，则该曲线在该区间内是下降的如图（间内是下降的如图（b）。）。猜想：猜想：在某区间的切线 轴正向角是锐角，则该曲线在该区一、函数的单调性.,)()(),()(单调减少单调减少上上在在，则函数，则函数时，时，若当若当baxfxfbax02=一、函数的单调性.,)()(),()(单调减少上在，则函证证应用拉氏定理应用拉氏定理,得得证应用拉氏定理,得例例1 1解解 该函数的定义域为该函数的定义域为例1解 该函数的定义域为函数单调性与极值课件例例2解解例2解函数单调性与极值课件确定某个函数单调性的一般步骤是：确定某个函数单调性的一般步骤是：（1）确定函数的定义域。）确定函数的定义域。这些点为分界点，将定义域分为若干个区间这些点为分界点，将定义域分为若干个区间。（3）确定）确定在各个子区间内的符号，从而判断在各个子区间内的符号，从而判断确定某个函数单调性的一般步骤是：（1）确定函数的定义域。这些例例3 3证明不等式证明不等式证证例3证明不等式证（2）设）设（2）设函数单调性与极值课件函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.二、函数极值的定义定义定义极值是局部区域极值是局部区域上的最大或最值；上的最大或最值；在间断点或端点在间断点或端点处不考虑极值。处不考虑极值。函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点三、函数极值的求法三、函数极值的求法定理定理2(2(必要条件必要条件)定义定义注意注意:例如例如,三、函数极值的求法定理2(必要条件)定义注意:例如,定理定理3(3(第一充分条件第一充分条件)(是极值点情形是极值点情形)(不是极值点情形不是极值点情形)(2)(2)如果如果),(00 xxxd d-有有;0)(xf，则，则)(xf在在0 x处取得极小值处取得极小值.(3)(3)如果当如果当),(00 xxxd d-及及),(00d d+xxx时时,)(xf 符号相同符号相同,则则)(xf在在0 x处无极值处无极值.(1)(1)如果如果),(00 xxxd d-有有;0)(xf而而),(00d d+xxx,有有0)(xf，则，则)(xf在在 处取得极大值处取得极大值.0 x定理3(第一充分条件)(是极值点情形)(不是极值点情形)(2运用定理运用定理3求函数极值的一般步骤是：求函数极值的一般步骤是：（1）确定定义域并找出所给函数的驻点和导数不）确定定义域并找出所给函数的驻点和导数不 存在的点；存在的点；（2）考虑上述点两侧导数的符号，确定极值点；）考虑上述点两侧导数的符号，确定极值点；（3）求出函数极值点处的函数值，得到极值。）求出函数极值点处的函数值，得到极值。运用定理3求函数极值的一般步骤是：（1）确定定义域并例例4 4解解列表讨论列表讨论极大值极大值极小值极小值例4解列表讨论极大值极小值例例5 5解解注意注意:函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.例5解注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.定理定理4(4(第二充分条件第二充分条件)证证同理，可证（同理，可证（2）定理4(第二充分条件)证同理，可证（2）运用定理运用定理4求函数极值的一般步骤是：求函数极值的一般步骤是：（1）确定定义域，并求出所给函数的全部驻点；）确定定义域，并求出所给函数的全部驻点；（3）求出极值点处的函数值，得到极值。）求出极值点处的函数值，得到极值。（2）考虑函数的二阶导数在驻点处的符号，确）考虑函数的二阶导数在驻点处的符号，确定极值点；定极值点；运用定理4求函数极值的一般步骤是：（1）确定定义域，并求出所例例6 6解解（2）因为）因为所以有所以有例6解（2）因为所以有（3）计算极值：）计算极值：（3）计算极值：小 结单调性的判别是拉格朗日中值定理定单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用理的重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立间，结论仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式些方程实根的个数和证明不等式.小 结单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用.