大学物理第六章-机械振动教材课件

第六章第六章第六章第六章 机械振动机械振动机械振动机械振动 任一物理量在某一定值附近往复变化均称为任一物理量在某一定值附近往复变化均称为振动振动.机械振动机械振动 物体在某一中心位置附近来回往复的运物体在某一中心位置附近来回往复的运动动.简谐运动简谐运动 最简单、最基本的振动最简单、最基本的振动.简谐运动简谐运动复杂振动复杂振动合成合成分解分解 简简谐谐振振动动：物物体体运运动动时时，离离开开平平衡衡位位置置的的位位移移(或或角位移角位移)按余弦按余弦(或正弦或正弦)规律随时间变化。规律随时间变化。6-1 6-1 简谐振动简谐振动简谐振动简谐振动1.1.弹簧振子弹簧振子弹簧振子弹簧振子弹簧振子：弹簧振子：弹簧振子：弹簧振子：连接在一起的一个忽略了质量的弹簧和一连接在一起的一个忽略了质量的弹簧和一个不发生形变的物体系统。个不发生形变的物体系统。简谐振动的特征及其表达式简谐振动的特征及其表达式简谐振动的特征及其表达式简谐振动的特征及其表达式回复力：回复力：作简谐运作简谐运动的质点所受的沿动的质点所受的沿位移方向的合外力位移方向的合外力,该力与位移成正比该力与位移成正比且反向。且反向。简谐振动的动力学特征简谐振动的动力学特征:据牛顿第二定律，得据牛顿第二定律，得令令运动学特征运动学特征或或位移位移 之解可写为：之解可写为：或或 简谐振动的运动学特征简谐振动的运动学特征:物体的加速度与位移成正物体的加速度与位移成正 比而方向相反，比而方向相反，物体的位移按余弦规律变化。物体的位移按余弦规律变化。速度速度加速度加速度简谐振动的特征及其表达式简谐振动的特征及其表达式简谐振动的特征及其表达式简谐振动的特征及其表达式 简谐振动中质点位移、速度、加速度与时间的关系简谐振动中质点位移、速度、加速度与时间的关系:简谐振动的特征及其表达式简谐振动的特征及其表达式简谐振动的特征及其表达式简谐振动的特征及其表达式 常量常量 和和 的确定的确定根据初始条件：根据初始条件：时，时，,，得得在在 到到 之间，通常之间，通常 存在两个值，可根据存在两个值，可根据 进行取舍。进行取舍。取取已知已知 求求讨论讨论6.2 6.2 简谐振动的振幅、周期和相位简谐振动的振幅、周期和相位简谐振动的振幅、周期和相位简谐振动的振幅、周期和相位(1)(1)振幅振幅:物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。由初始条件确定由初始条件确定(2)(2)周期和频率周期和频率 周期：周期：物体作一次完全运动所经历的时间。物体作一次完全运动所经历的时间。频率：频率：单位时间内物体所作完全运动的次数。单位时间内物体所作完全运动的次数。角频率角频率:物体在物体在 秒内所作的完全运动的次数。秒内所作的完全运动的次数。对于弹簧振子，因有对于弹簧振子，因有 ，得，得:利用上述关系式，得谐振动表达式：利用上述关系式，得谐振动表达式：(3)(3)相位和初相相位和初相 简谐振动的振幅、周期、频率和相位简谐振动的振幅、周期、频率和相位简谐振动的振幅、周期、频率和相位简谐振动的振幅、周期、频率和相位)cos(0jw+=tAx1 1）存在一一对应的关系存在一一对应的关系;2 2）相位在相位在 内变化，质点内变化，质点无相同无相同的运动状态；的运动状态；相差相差 为整数为整数 质点运动状态质点运动状态全同全同.（周期性）周期性）相位相位 ：决定简谐运动状态的物理量。：决定简谐运动状态的物理量。初相位初相位 ：t=0 时的相位。时的相位。描述质点初始时刻的运动状态描述质点初始时刻的运动状态.以以 为为原点旋转矢原点旋转矢量量 的端点的端点在在 轴上的轴上的投影点的运投影点的运动为简谐运动为简谐运动动.当当 时时时时6.3 6.3 简谐振动的矢量表示法简谐振动的矢量表示法简谐振动的矢量表示法简谐振动的矢量表示法 以以 为为原点旋转矢原点旋转矢量量 的端点的端点在在 轴上的轴上的投影点的运投影点的运动为简谐运动为简谐运动动.时时 简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法振动相位振动相位逆时针方向逆时针方向 M 点在点在 x 轴上投影轴上投影(P点点)的运动的运动规律规律：的长度的长度 旋转的角速度旋转的角速度旋转的方向旋转的方向与参考方向与参考方向x 的夹角的夹角XOM P x振幅振幅A振动圆频率振动圆频率 简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法用旋转矢量图画简谐运动的用旋转矢量图画简谐运动的 图图讨论讨论 相位差：表示两个相位之差相位差：表示两个相位之差 .用旋转矢量方便的比较简谐振动状态。用旋转矢量方便的比较简谐振动状态。1 1）对对同一同一简谐运动，相位差可以给出两运动状简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间。态间变化所需的时间。二者的二者的相位差相位差为：为：简谐振动的振幅、周期、频率和相位简谐振动的振幅、周期、频率和相位简谐振动的振幅、周期、频率和相位简谐振动的振幅、周期、频率和相位 2 2）对于两个对于两个同同频率频率的简谐运动，相位差表示它们的简谐运动，相位差表示它们间间步调步调上的上的差异差异.采用旋转矢量直观表示为：采用旋转矢量直观表示为：简谐振动的振幅、周期、频率和相位简谐振动的振幅、周期、频率和相位简谐振动的振幅、周期、频率和相位简谐振动的振幅、周期、频率和相位讨论讨论:(a)(a)当当 时时,称两个振动为同相；称两个振动为同相；同步同步(b)(b)当当 时时,称两个振动为反相；称两个振动为反相；反相反相(d)(d)当当 时时,称第二个振动落后第一个振动称第二个振动落后第一个振动 。(c)(c)当当 时时,称第二个振动超前第一个振动称第二个振动超前第一个振动 ；简谐振动的振幅、周期、频率和相位简谐振动的振幅、周期、频率和相位简谐振动的振幅、周期、频率和相位简谐振动的振幅、周期、频率和相位为其它为其它超前超前落后落后 速度的相位比位移的相位超前速度的相位比位移的相位超前 ，加速度的相，加速度的相位比位移的相位超前位比位移的相位超前 。简谐振动的振幅、周期、频率和相位简谐振动的振幅、周期、频率和相位简谐振动的振幅、周期、频率和相位简谐振动的振幅、周期、频率和相位 相位可以用来比较不同物理量变化的步调，对于相位可以用来比较不同物理量变化的步调，对于简谐振动的位移、速度和加速度，存在简谐振动的位移、速度和加速度，存在:例例6-1 6-1 一一物物体体沿沿X轴轴作作简简谐谐振振动动，振振幅幅A=0.12m,周周期期T=2s。当当t=0t=0时时,物物体体的的位位移移x=0.06m,且且向向X轴轴正正向向运运动动。求求:(1):(1)简简谐谐振振动动表表达达式式；(2)(2)t=T/4时时物物体体的的位位置置、速速度度和和加加速速度度；(3)(3)物物体体从从 x=-=-0.060.06m向向 X 轴负方向运动，轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需时间。第一次回到平衡位置所需时间。解解:(1):(1)取平衡位置为坐标原点取平衡位置为坐标原点,谐振动方程写为：谐振动方程写为：其中其中A=0.12m,T=2s,初始条件：初始条件：t=0,x0=0.06m,可得可得据初始条件据初始条件 得得 简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法在在t=T/4=0.5s时时，从前面所列的表达式可得从前面所列的表达式可得 简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法(2)t=T/4时物体的位置、速度和加速度；时物体的位置、速度和加速度；当当x=-0.06m时时，该时刻设为该时刻设为t1 1,得得因该因该时刻速度为负时刻速度为负，应舍去，应舍去 ，设物体在设物体在t2 2时刻第一次回到平衡位置，相位是时刻第一次回到平衡位置，相位是因此从因此从x=-0.06m处第一次回到平衡位置的时间处第一次回到平衡位置的时间：另解另解：从从t1 1时刻到时刻到t2 2时刻所对应的相差为时刻所对应的相差为：简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法(3)物体从物体从 x=-0.06m向向 X 轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需时间。轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需时间。几种常见的简谐振动几种常见的简谐振动几种常见的简谐振动几种常见的简谐振动(1)(1)单摆单摆重物所受合外力矩：重物所受合外力矩：据转动定律，得到据转动定律，得到 很小时很小时(小于小于 )，可取，可取令令 ,有有转角转角 的表达式可写为：的表达式可写为：几种常见的简谐振动几种常见的简谐振动几种常见的简谐振动几种常见的简谐振动(2)(2)复摆复摆一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆。一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆。刚刚体体的的质质心心为为C,对对过过O 点点的的转转轴轴的的转转动动惯惯量量为为J,O、C 两两点点间间距距离的距离为离的距离为l。所受合外力矩：所受合外力矩：令令据转动定律，得据转动定律，得若若 角度较小时角度较小时 几种常见的简谐振动几种常见的简谐振动几种常见的简谐振动几种常见的简谐振动例例6-2 6-2 一一质质量量为为m 的的平平底底船船，其其平平均均水水平平截截面面积积为为S，吃吃水水深深度度为为h，如不计水的阻力，求此船在竖直方向的振动周期。，如不计水的阻力，求此船在竖直方向的振动周期。解解:船静止时浮力与重力平衡，船静止时浮力与重力平衡，在在任任一一位位置置时时船船的位移用的位移用y 表示。表示。几种常见的简谐振动几种常见的简谐振动几种常见的简谐振动几种常见的简谐振动船的位移为船的位移为y 时船所受合力为：时船所受合力为：船在竖直方向作简谐振动。船在竖直方向作简谐振动。其角频率和周期为其角频率和周期为:因因得得:几种常见的简谐振动几种常见的简谐振动几种常见的简谐振动几种常见的简谐振动6.4 6.4 6.4 6.4 简谐振子的能量简谐振子的能量简谐振子的能量简谐振子的能量动能动能势能势能以水平弹簧振子为例讨论简谐振动系统的能量。以水平弹簧振子为例讨论简谐振动系统的能量。系统总的机械能：系统总的机械能：考虑到考虑到 ，系，系统总能量为统总能量为 ，表明简谐振动的机械能守恒。表明简谐振动的机械能守恒。简谐振动的能量简谐振动的能量简谐振动的能量简谐振动的能量能量平均值能量平均值上述结果对任一谐振系统均成立。上述结果对任一谐振系统均成立。谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线:简谐振动的能量简谐振动的能量简谐振动的能量简谐振动的能量6-5 6-5 简谐振动的合成简谐振动的合成简谐振动的合成简谐振动的合成1.1.1.1.同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成 设一质点同时参与沿同一方向设一质点同时参与沿同一方向(x 轴轴)的两个独立的的两个独立的同频率的简谐振动，两个振动位移为：同频率的简谐振动，两个振动位移为：合位移：合位移：合振动仍然是简谐振动，其方向和频率与原来相同。合振动仍然是简谐振动，其方向和频率与原来相同。矢量沿矢量沿X 轴之投影表征了合运动的规律。轴之投影表征了合运动的规律。旋转矢量图示法旋转矢量图示法同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成(1)当当Df=f 2-f1=2kp(k=0及及正正负负整数整数)，cos(f2-f1)=1,有有同相迭加，合振幅最大同相迭加，合振幅最大。讨论：讨论：同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成(2)当当Df=f 2-f1=(2k+1)p(k=0及及正正负整数负整数),cos(f2-f1)=0,有有反相迭加，合振幅最小反相迭加，合振幅最小。当当A1=A2 时，时，A=0。同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成(3)通常情况下，合振幅介于通常情况下，合振幅介于 和和 之间。之间。一般情况一般情况相位差相位差相位差相位差相互加强相互加强相互削弱相互削弱2.2.2.2.同方向不同频率的两个简谐振动的合成同方向不同频率的两个简谐振动的合成同方向不同频率的两个简谐振动的合成同方向不同频率的两个简谐振动的合成两个简谐振动合成得：两个简谐振动合成得：当两个同方向简谐振动的频率不同时，在旋转矢当两个同方向简谐振动的频率不同时，在旋转矢量图示法中两个旋转矢量的转动角速度不相同，二者量图示法中两个旋转矢量的转动角速度不相同，二者的相位差与时间有关，合矢量的长度和角速度都将随的相位差与时间有关，合矢量的长度和角速度都将随时间变化。时间变化。两个简谐振动的频率两个简谐振动的频率 和和 很接近，且很接近，且x=x1+x2同方向不同频率的两个简谐振动的合成同方向不同频率的两个简谐振动的合成同方向不同频率的两个简谐振动的合成同方向不同频率的两个简谐振动的合成 拍拍拍拍因因或或有有 在两个简谐振动的位移合成表达式中，第一项随时在两个简谐振动的位移合成表达式中，第一项随时间作缓慢变化间作缓慢变化,第二项是角频率近于第二项是角频率近于 的简谐的简谐函数。合振动可视为是角频率为函数。合振动可视为是角频率为 、振幅为、振幅为 的简谐振动。的简谐振动。或或 合振动的振幅随时间作缓慢的周期性的变化，振合振动的振幅随时间作缓慢的周期性的变化，振动出现时强时弱的动出现时强时弱的拍现象拍现象。拍频拍频:单位时间内强弱变化的次数。单位时间内强弱变化的次数。同方向不同频率的两个简谐振动的合成同方向不同频率的两个简谐振动的合成同方向不同频率的两个简谐振动的合成同方向不同频率的两个简谐振动的合成 拍拍拍拍拍频拍频:单位时间内强弱变化的次数。单位时间内强弱变化的次数。振幅部分振幅部分拍频拍频同方向不同频率的两个简谐振动的合成同方向不同频率的两个简谐振动的合成同方向不同频率的两个简谐振动的合成同方向不同频率的两个简谐振动的合成 拍拍拍拍相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成两个同频率的相互垂直的分运动位移表达式两个同频率的相互垂直的分运动位移表达式消时间参数，得消时间参数，得 合合运运动动一一般般是是在在 (x 向向)、(y 向向)范范围围内内的的一个椭圆。一个椭圆。椭椭圆圆的的性性质质(方方位位、长长短短轴轴、左左右右旋旋 )在在 A1、A2确定之后确定之后,主要决定于主要决定于 。用用旋旋转转矢矢量量描描绘绘振振动动合合成成图图相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成(1)f2-f1=0,两个分振动同相位，得两个分振动同相位，得在任一时刻离开坐标原点位移为：在任一时刻离开坐标原点位移为：(2)f2-f1=p,两个分运动反相位，得两个分运动反相位，得几种特殊情况：几种特殊情况：(3)f2-f1=p/2，得，得(4)f2-f1=3p/2，仍然得，仍然得几种特殊情况：几种特殊情况：这是坐标轴为主轴的椭圆，质点这是坐标轴为主轴的椭圆，质点的轨迹是顺时针旋转。的轨迹是顺时针旋转。与与(3)(3)相同，只是质点的轨迹相同，只是质点的轨迹沿逆时针旋转。沿逆时针旋转。相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成几种特殊情况：几种特殊情况：QP .相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成方向垂直的不同频率的简谐振动的合成方向垂直的不同频率的简谐振动的合成 两分振动频率相差很小两分振动频率相差很小 可可看看作作两两频频率率相相等等而而Df 随随t 缓缓慢慢变变化化，合合运运动动轨迹将按上页图依次缓慢变化轨迹将按上页图依次缓慢变化 轨迹称为李萨如图形轨迹称为李萨如图形-A2yxA1A2O-A1 两振动的频率成两振动的频率成整数比整数比相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成1:21:32:3几幅典型的利萨如图形几幅典型的利萨如图形相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成6-6 6-6 阻尼振动阻尼振动阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动受迫振动受迫振动 共振共振共振共振 振振动动物物体体不不受受任任何何阻阻力力的的影影响响，只只在在回回复复力力作作用用下所作的振动，称为下所作的振动，称为无阻尼自由振动无阻尼自由振动。在回复力和阻力作用下的振动称为在回复力和阻力作用下的振动称为阻尼振动阻尼振动。阻尼：阻尼：消耗振动系统能量的原因消耗振动系统能量的原因。阻尼种类：摩擦阻尼阻尼种类：摩擦阻尼 辐射阻尼辐射阻尼摩擦阻尼摩擦阻尼：由于摩擦阻力使系统能量逐渐变为热能；：由于摩擦阻力使系统能量逐渐变为热能；辐射阻尼辐射阻尼：由于振动系统引起临近质点的振动，使振动：由于振动系统引起临近质点的振动，使振动系统的能量逐渐向四周辐射出去，转变为波动的能量；系统的能量逐渐向四周辐射出去，转变为波动的能量；对在流体对在流体(液体、气体液体、气体)中运动的物体，当物体速中运动的物体，当物体速度较小时，阻力大小正比于度较小时，阻力大小正比于速度，且方向相反，表示速度，且方向相反，表示为为 ：阻力系数：阻力系数在阻力作用下的弹簧振子在阻力作用下的弹簧振子 阻尼振动阻尼振动阻尼振动阻尼振动受力：受力：运动方程运动方程:引入引入 阻尼因子阻尼因子 固有频率固有频率在小阻尼条件下在小阻尼条件下 ，微分方程的解为，微分方程的解为:其中其中振幅振幅阻力阻力弹性恢复力弹性恢复力其中其中 和和 为积分常数为积分常数,由初始条件决定。上式由初始条件决定。上式中的余弦项表征了在弹性力和阻力作用下的周期中的余弦项表征了在弹性力和阻力作用下的周期运动；运动；反映了阻尼对振幅的影响。反映了阻尼对振幅的影响。减幅振动减幅振动其中其中振幅振幅 阻尼振动不是周期阻尼振动不是周期性振动，更不是简谐振性振动，更不是简谐振动，因位移不是时间的动，因位移不是时间的周期函数。但阻尼振动周期函数。但阻尼振动有某种重复性。有某种重复性。位移相继两次达到极大值的时间间隔叫做位移相继两次达到极大值的时间间隔叫做阻尼振阻尼振动的周期动的周期，有，有由于阻尼，振动变慢了。由于阻尼，振动变慢了。阻尼振动的振幅为：阻尼振动的振幅为：振幅随时间作指数衰减。阻尼振幅随时间作指数衰减。阻尼 大小决定了阻尼大小决定了阻尼振动振幅的衰减程度。振动振幅的衰减程度。阻尼振动阻尼振动阻尼振动阻尼振动其中其中振幅振幅减幅振动减幅振动阻尼振动的三种情形：阻尼振动的三种情形：临界阻尼临界阻尼过阻尼过阻尼欠阻尼欠阻尼欠阻尼欠阻尼过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼 通过控制阻尼的通过控制阻尼的大小，以满足不同实大小，以满足不同实际需要。际需要。阻尼振动阻尼振动阻尼振动阻尼振动 2.2.2.2.受迫振动受迫振动受迫振动受迫振动 物体在物体在周期性外力周期性外力的持续作用下发生的振动的持续作用下发生的振动称为称为受迫振动受迫振动。物体所受驱动力：物体所受驱动力：运动方程：运动方程：设设受受受受 迫迫迫迫 振振振振 动动动动对于阻尼较小的情形，运动方程之解表为对于阻尼较小的情形，运动方程之解表为:衰减项衰减项稳态项稳态项经过一段时间后，衰减项忽略不计，仅考虑稳态项。经过一段时间后，衰减项忽略不计，仅考虑稳态项。稳态时振动物体速度：稳态时振动物体速度：在受迫振动中，周期性的驱动力对振动系统提供在受迫振动中，周期性的驱动力对振动系统提供能量，另一方面系统又因阻尼而消耗能量，若二者相能量，另一方面系统又因阻尼而消耗能量，若二者相等，则系统达到稳定振动状态。等，则系统达到稳定振动状态。受受受受 迫迫迫迫 振振振振 动动动动2.2.共振共振阻尼阻尼=0=0阻尼较小阻尼较小阻尼较大阻尼较大根据根据共振共振位移共振位移共振阻尼阻尼=0=0阻尼较小阻尼较小阻尼较大阻尼较大根据根据共振共振 受受迫迫振振动动速速度度在在一一定定条条件件下下发发生生共共振振的的的的现现象象称为称为速度共振速度共振。在在阻阻尼尼很很小小的的前前提提下下，速速度度共共振振和和位位移移共共振振可可以以认为等同。认为等同。共振现象的危害共振现象的危害1940 年年7月月1日美国日美国 Tocama 悬索桥因共振而坍塌悬索桥因共振而坍塌