重积分的应用课件

第四节重积分的应用第九章第九章一、主要内容一、主要内容 二、典型例二、典型例题题三、同步三、同步练习练习四、同步四、同步练习练习解答解答一、主要内容一、主要内容(一一)几何几何应应用用1.1.立体体立体体积积的的计计算算(1)曲曲顶顶柱体的体柱体的体积积由二重由二重积积分的几何意分的几何意义义知知，以曲以曲面面z f(x,y)为为顶顶，以以xOy面上的面上的闭闭区区域域D为为底的曲底的曲顶顶柱体的体柱体的体积为积为V f(x,y)d.D(2)空空间间立体的体立体的体积积占有空占有空间间有界有界域域 的立体的体的立体的体积积为为V dv.2.曲面的面曲面的面积积设设光滑曲光滑曲面面S:z f(x,y),(x,y)Dxy,A 1 fx 2(x,y)f y2(x,y)d,Dxyd x d y.A 1 (z)2 (z)2 x yDxy即即d A 1 fx 2(x,y)f y2(x,y)d,称称为为面面积积元素元素 故有曲面面故有曲面面积积公式公式Dyz1 (x)2 (x)2 d y d z.y zA 若光滑曲面方程若光滑曲面方程为为y h(z,x),(z,x)Dz x,则则有有A 1 (y)2 (y)2 d z d x.z xDzx类类似地，似地，若光滑曲面方程若光滑曲面方程为为 x g(y,z),(y,z)Dy z,则则有有则则x y yFz z Fy,(x,y)D,z Fx,xFzzdxdy.FFx 2 Fy2 Fz 2A Dxy若光滑曲面方程若光滑曲面方程为隐为隐式式 F(x,y,z)0,且且Fz 0,因此因此(二二)物理物理应应用用1.质质量的量的计计算算由第一由第一节节的引的引例例2知，知，占占有有xOy面上面上闭闭区区域域D，密度函数密度函数为为(x,y)的的平面薄板的平面薄板的质质量量为为M (x,y)d.D类类似地似地，占有空占有空间间有界有界域域，密度函数密度函数为为(x,y,z)的的空空间间物体的物体的质质量量为为M (x,y,z)dv.2.质质心坐心坐标标的的计计算算设设物体占有空物体占有空间间域域 ,有有连续连续密度函密度函数数 (x,y,z),则该则该物体的物体的质质心坐心坐标为标为 (x,y,z)d x d y d z x(x,y,z)d x d y d zx .(x,y,z)d x d y d z y(x,y,z)d x d y d zy ,z(x,y,z)d x d y d zz .(x,y,z)d x d y d z当当(x,y,z)常数常数时时,可可得得形心坐形心坐标标：x 其其中中V d x d y d z为为 的体的体积积.zd x d y d z,1V1Vz yd x d y d z,1Vxd x d y d z,y 若物体若物体为为占占有有xOy 面上区面上区域域 D 的平面薄的平面薄片片,其面密其面密度度为为(x,y),则则它的它的质质心坐心坐标为标为 (x,y)dxd yD x(x,y)dxd yMMx D yMMx 对对 x 轴轴的的静力矩静力矩M y 对对 y 轴轴的的静力矩静力矩 y D Mx (x,y)dxd yD y(x,y)dxd y Dx dxd y,1Ax 其其中中A 为为 D 的面的面积积.常数常数时时,可得薄可得薄片片 的的形心坐形心坐标标:Dy dxd y,1Ay 3.转动惯转动惯量的量的计计算算IO (x2 y2)(x,y)dxd y.DxDyO(x,y)如果物体是平面薄如果物体是平面薄片片,面密度面密度为为(x,y),(x,y)D,则转动惯则转动惯量的表达式是二重量的表达式是二重积积分分:Ix y2 (x,y)dxd y,DI y x2 (x,y)dxd y,D若物体占有空若物体占有空间间区区域域 ,有有连续连续分布的密度函分布的密度函数数(x,y,z).物物体体 对对 z 轴轴 的的转动惯转动惯量量为为Iz (x2 y2)(x,y,z)dxd ydz,对对 x 轴轴的的转动惯转动惯量量为为Ix (y2 z2)(x,y,z)dxd ydz,对对 y 轴轴的的转动惯转动惯量量为为I y (x2 z2)(x,y,z)dxd ydz,对对原点的原点的转动惯转动惯量量为为IO (x2 y2 z2)(x,y,z)dxd ydz.设设物体占有空物体占有空间间区区域域,利用元素利用元素法法,连连续续，求物体求物体对对位于原点的位于原点的单单位位质质量量质质点的引力点的引力F (Fx,Fy,Fz).引力元引力元素素dF在三坐在三坐标轴标轴上的投影分上的投影分别为别为dvzyx rOd Fr x2 y2 z2G 为为引力常数引力常数r 3d Fy G (x,y,z)y dv,3dv,r(x,y,z)xd Fx G其密度函其密度函数数(x,y,z)4.引力的引力的计计算算Fy G (x,y,z)y dv,r 3Fz G (x,y,z)z dv.r 3r 3在在 上上积积分即得各引力分分即得各引力分量量:Fx G (x,y,z)x dv,r 3d Fz G (x,y,z)z dv,Dr 3DFy G (x,y)y d.r 3对对 xOy 面上的平面薄面上的平面薄片片D,设设其密度函其密度函数数 (x,y)连连续续，则则它它对对原点原点处处的的单单位位质质量量质质点点的引力的引力为为F (Fx,Fyz),其中其中Fx G (x,y)x d,r x2 y2G 为为引力常数引力常数用重用重积积分解决分解决问题问题的方法：的方法：用微元分析用微元分析法法(元素元素法法)从重从重积积分定分定义义出出发发 建立建立积积分式分式 解解题题要点：要点：画出画出积积分域、分域、选择选择坐坐标标系、确定系、确定积积分序、分序、定出定出积积分限、分限、计计算要算要简简便便二、典型例二、典型例题题解解利用利用对对称性称性，只要只要计计算第一卦限部分的体算第一卦限部分的体积积再八倍即再八倍即可可.设圆设圆柱的底半径柱的底半径为为R，两个两个圆圆柱面的方程柱面的方程为为x2 y2 R2,x2 z2 R2,例例1求两个底求两个底圆圆半径相等的直交半径相等的直交圆圆柱面所柱面所围围成成的立体的体的立体的体积积.立体在第一卦限的部分可看作是一个曲立体在第一卦限的部分可看作是一个曲顶顶柱柱体体.它的底它的底为为考考虑虑被被积积函函数数的的 特特点点，选选取取直直角角 坐坐标标计计算算，并并适适 当当选选取取积积分次序分次序 D 81V 8VR00R2 x2 R2 x2 d y 8 d x R0(R2 x2)dx 8y R2 x2RyOR xDD:0 y R2 x2,0 x R,于是于是R2 x2,R2 x2 d 它的它的顶为顶为柱柱面面z 1633R.故曲面在故曲面在 xOy 面上的投影域面上的投影域为为D xy :x 2 y 2 a 2,x 2 y 2所截所截下部分的面下部分的面积积.x2 y2 a2,例例2求曲面求曲面 az x 2 y2被被z 2a 解解1a(x2 y2)z az x2 y22axyz z 2a x2 y2Oxyz 2a x2 y2由两曲面方程消去由两曲面方程消去 z,得得Da因此因此 Dxy1 z2 z2 d x d yxyA aad 0a 22 0 4 2 d a 2y 2)d x d y1 4(x 2 D xy62(5 5 1)a.采用极坐采用极坐标计标计算算1a(x2 y2):z az x2 y22axyz z 2a x2 y2OxyDa例例3 Dy ydxd y1A3D 1 2 sin dd d 4sin 2sin 2 薄薄片片的的质质心心.0 1 3sin d 解解DOy42x利用利用对对称性可称性可知知 x 0,而而求位于两求位于两圆圆 2sin 和和 4sin 之之间间均匀均匀56904 22 sin d 7,56 2 3 1 94224DOyxC2sin d 56904 ).733故故质质心位于心位于点点C(0,空空间间物体及密度函数都物体及密度函数都 关于关于的密度在数的密度在数值值上等于上等于该该 点到原点的距离的平点到原点的距离的平方方.求球体的求球体的质质心心.x 2例例4已知球体已知球体 y 2 z 2 2 Rz,其上任一点其上任一点由由题题意意,密度函数密度函数(x,y,z)x2 y2 z2,z轴对轴对称称，所以所以质质心坐心坐标为标为Oyx(0，0，z).解解z2 R32155 R.(2 R cos )sin d 15502 2 z 2)d v球体的球体的质质量量 (x 2 y 2M (x,y,z)d vd 2 R cos 2 0002 r 2 r 2 sin d r d zOyx2 R5 R,454R).z z (x,y,z)d v332 R 5从而从而质质心心为为(0,0,15 8 R 6(2 R cos )sin cos d 632 R15605 12 2 1M 1Mz(x y 2 z 2)d v2dd32R152Rcos020052 r cos r 2 r 2 sind r d sin d a0302 D D Ix y2 d x d y 3 sin2 d d 44 a4 1 M a2.a2 12半半圆圆薄片的薄片的质质量量 M 2 211 2 .解解建立坐建立坐标标系如系如图图,D:x2 y2 a2,y 0.对对其直径的其直径的转动惯转动惯量量.aaDOxy例例5求半径求半径为为 a 的均匀半的均匀半圆圆薄薄片片(密度密度为为常常数数)0 z H.所求所求转动惯转动惯量即量即为圆为圆柱柱 体体对对于于 (x,y,z)x 2 y 2 R 2,高高为为H,求其求其对对底的直径的底的直径的转动转动 惯惯量量.例例6 设设均匀均匀圆圆柱体柱体(密度密度为为常量常量 )的底半径的底半径为为 R,解解zRyxO如右如右图图,圆圆柱体所占区域柱体所占区域为为x轴轴的的转动惯转动惯量量 Ix.z HRHd d 002222 0 (sin z)d z z 2)d vI x (y 2 RH 03232 0)d 3(H sin d 2 0236(R)d HR 4 sin 2 H 434 H 3 R 2.HR 4xyOR例例7设设有面密度有面密度为为常常数数 ,半径半径为为R的的圆圆形薄片形薄片 Gad Fz G2d d d a,23d(x2 y2 a2)解解za0M由由对对称性知称性知，引引力力F (0,0,Fz).x2 y2 R2,z 0,求它求它对对位于位于点点 M0(0,0,a)(a 0)处处的的单单位位质质量量质质点的引点的引力力.d FdaR2 a2 Fz Ga Ga 2Ga(1 1).2 0d 023 d D(x2 y2 a2)2322R d(a)从而从而1a 1).R2 a 2F (0,0,Fz)(0,0,2Ga(xOR yza0Md FdFx Fy 0.3 x2 y2 (z a)2 2Fz G z ad vR R G(z a)dz 2322Dz x y (z a)2 d x d y解解 利用利用对对称性知引力分量称性知引力分量先二后一先二后一先二后一先二后一例例8求半径求半径 R 的均匀的均匀球球 x2 y2 z2 R2 对对位于位于点点M0(0,0,a)(a R)的的单单位位质质量量质质点点的的引引力力.xyzOaM 0RDz R R G(z a)dz 2 0232R2 z2 (z a)2dd 0R R G(z a)dz 2322Dz x y (z a)2 d x d y用极坐用极坐标计标计算算d x d y2223Dz x y (z a)2Rdz R(z a)2G 22 1 1 R 2az a a z 2G R12R 2az a2 2R a R(z a)d上述上述结结果表明果表明:匀匀质质球球对对球外一球外一质质点的引力点的引力注注M (0,0,G).a2因此因此，所求的引力所求的引力为为F (0,0,Fz)RxyOzaM 0如同球的如同球的质质量集中于球心量集中于球心时时两两质质点点间间的引力的引力.a2 G M,3为为球的球的质质量量.3其其中中M 4R证证明明:半半径径R的球的体的球的体积为积为 V 4 R 3.三、同步三、同步练习练习1.3求半径求半径为为a 的球面与半的球面与半顶顶为为 的内接的内接锥锥面面2.所所围围成的立体的体成的立体的体积积.3.求曲求曲面面S1:z x2 y2 1任一点的切平面与任一点的切平面与 曲面曲面 S2:z x2 y2所所围围立体的体立体的体积积 V.与曲与曲面面y 1 x2和三坐和三坐标标面在第一卦面在第一卦限限内内围围成成4.过过曲面曲面 z x 2 y 2 1上上点点 P作一切平面，使其作一切平面，使其的柱体的体的柱体的体积积最大最大，求此点的坐求此点的坐标标及最大柱体的及最大柱体的 体体积积之之值值.中中,其其侧侧面面满满足方程足方程5.设设有一高度有一高度为为h(t)(t为时间为时间)的雪堆在融化的雪堆在融化过过程程h(t)2(x2 y2)z h(t)设长设长度度单单位位为为厘厘米米,时间单时间单位位为为小小时时,若体若体积积减少的速率与减少的速率与侧侧面面积积成成 正正比比(设设比例系数比例系数为为0.9),问问高度高度为为130厘米的雪堆全部融化厘米的雪堆全部融化需需多少小多少小时时?6.计计算双曲抛物算双曲抛物面面z xy 被柱被柱面面 x2 y2 R2所所截截出的面出的面积积 A.设设半径半径为为 R的球面的球面 的球心在定球面的球心在定球面x2 y2 z2 a2(a 0)上上,问问当当R取什么取什么值值时时,球面在定球面内部的那部分的面球面在定球面内部的那部分的面积积最大？最大？7.三角形均匀薄片的三角形均匀薄片的质质心心.求由直求由直线线 2 x y 6与两坐与两坐标轴标轴所所围围的的8.上的一个定上的一个定点点,设设有一半径有一半径为为R 的球的球体体,P0是此球的表面是此球的表面9.设设球体上任一点的密度与球体上任一点的密度与该该点点到到P0的距离的平方成正的距离的平方成正比比(比例常比例常数数 k 0),求球体的重心位求球体的重心位置置.求由曲求由曲线线 y 2 x与直与直线线 x 1所所围围成的平面成的平面10.薄片薄片对对于通于通过过坐坐标标原点任一直原点任一直线线的的转动惯转动惯量量,并并讨论讨论那种情况那种情况下下,转动惯转动惯量取得最大量取得最大值值或最小或最小值值.11.立立体体 其体密度其体密度为为 1求求 绕绕直直线线 l：x y z旋旋转转的的转动惯转动惯量量.设设由曲面由曲面 z 2 x 2 y2与与z x 2 y2围围成成设设在在 xOy 面上有一面上有一质质量量为为M 的均的均质质半半圆圆形形12.薄薄片片,占有平面区占有平面区域域x 2 y 2 R 2,y 0,过圆过圆心心O垂直于薄片的直垂直于薄片的直线线上有一上有一质质量量为为m的的质质点点 P,OP a,求薄片求薄片对质对质点点 P 的引的引力力.13.设设有底半径有底半径为为 a，高高为为 h，密度均匀的密度均匀的圆圆锥锥体，其体，其质质量量为为 M，在在圆锥顶圆锥顶点点处处有一有一单单 位位质质量量的的质质点，求点，求圆锥圆锥体体对对此此 质质点的引力点的引力.四、同步四、同步练习练习解答解答1.证证明明:半半径径R的球的体的球的体积为积为 V 4 R 3.证证系系中中,:0 r R ,V d vRd rsin d rd 02 002 3 4 R 3.3建立坐建立坐标标系，使球心在原点系，使球心在原点，则则在球面坐在球面坐标标xy0 ,0 2 .zRO所所围围成的立体的体成的立体的体积积.解解在球坐在球坐标标系下空系下空间间立体所占立体所占区域区域为为0 r 2a cos ,:0 ,0 2.则则立体体立体体积为积为2.求半径求半径为为a 的球面与半的球面与半顶顶为为 的内接的内接锥锥面面rMxOzy2a33cos sin d16 a30 34(1 cos ).4 a3 2a cos 0 0sin d 2 0d V dxd ydzd v r 2 sin d d drrMxOzyr 2 d r2a解解曲曲面面S1 在在点点(x0,y0,z0)的切平面方程的切平面方程为为3.求曲求曲面面S1:z x2 y2 1任一点的切平面与任一点的切平面与曲面曲面 S2:z x2 y2所所围围立体的体立体的体积积 V.z 2 x0 x 2 y0 y 1 x2 y2,00它与曲它与曲面面 z x2 y2 的交的交线线在在 xOy 面上的投影面上的投影为为(x x0)2 (y y0)2 1(记记所所围围域域为为D).因此因此V 2 x0 x 2 y0 y 1 x02 y02 x2 y2 dxdy.2D 1 (x x0)2 (y y0)2)dxdyD令令 x x0 cos,y y0 sin 2 d d D d d 1032 0 与曲与曲面面y 1 x2和三坐和三坐标标面在第一卦面在第一卦限限内内围围成成4.过过曲面曲面 z x 2 y 2 1上上点点 P作一切平面，使其作一切平面，使其的柱体的体的柱体的体积积最大最大，求此点的坐求此点的坐标标及最大柱体的及最大柱体的 体体积积之之值值.解解 设设P(x0,y0,z0)是曲面是曲面 z x 2 y 2 1上任一点，上任一点，曲面在曲面在该该点的法向量点的法向量n (2 x0,2 y0,1).曲曲面面 z x 2 y 2 1在在P点点处处的切平面方程的切平面方程为为2 x0(x x0)2 y0(y y0)(z z0)0.由由 z0 x02 y02 1代入此方程代入此方程,切平面方程表示切平面方程表示为为z 2 x0 x 2 y0 y (1 x2 y2).00柱体的底柱体的底为为D(x,y)0 y 1 x2,0 x 1切平面下的柱体的体切平面下的柱体的体积积为为 DV(x0,y0)2 x0 x 2 y0 y (1 x2 y2)d .00利用极坐利用极坐标标,有有求其偏求其偏导导数并令其分数并令其分别别为为零，得零，得3200 2 y 0 032V x 2 x 0 0,V y3得唯一得唯一驻驻点点 x0 y0 4,1202000200y)d sin (1 xcos 2 yd 2 xV(x0,y0)4232200(1 x y).(x0 y0)03 4 2 4 此此时时z0 x02 y02 1 32 1,92V(x0,y0)8 .94下面考下面考虑虑 V(x0,y0)在区域在区域边边界上的情形界上的情形.当当x0 0时时，有，有94 4 y4232000(1 y)y V(0,y)3V(x0,y0)2(x0 y0)当当x02 y02 1时时3x02 y02 2 x0 y0 23(2 x02 2 y02)23 3当当y0 0时时，有有V(x0,0)V(4,4).V(4,4),43 34 89 493 22 V(4,4),943 3 83 392 1)P(4,4,32综综上所上所述述，可知可知V(x0,y0)8 94即即为为所求最大体所求最大体积积即即为为所求切所求切点点.中中,其其侧侧面面满满足方程足方程5.设长设长度度单单位位为为厘厘米米,时间单时间单位位为为小小时时,若体若体积积减减少少的的速速率率与与侧侧面面积积成成 正正比比(设设比比例例系系数数为为0.9),问问高高度度为为130厘厘米米的的雪雪堆堆全全部部融融化化需需多多少少小小时时?解解依依题题意意,首先首先应应求出雪堆的体求出雪堆的体积积 V与与侧侧面面积积 S,设设有一高度有一高度为为h(t)(t为时为时间间)的雪堆在融化的雪堆在融化过过程程h(t)2(x2 y2)z h(t)zyxO雪堆是曲雪堆是曲顶顶柱体柱体，上上顶顶曲面的方程曲面的方程为为,h(t)2(x2 y2)z h(t).2h(t)(,)于于是其体是其体积积2222h(t)D (x,y)x y h(t)2 D2(x y 2)d x d yh(t)V xOy 面上的面上的圆圆域域：令令z 0,可得曲可得曲顶顶柱体的底是柱体的底是2h(t)2 d d h(t)h(t)h(t)2 2D2 00 d 2 h(t).4 h 3(t)d Dh 2(t)y 2)d x d y1 16(x 2雪堆的雪堆的侧侧面面积积S 1 z x 2 z y 2 d x d yD12 13h 2(t).12h(t)222 h(t)16 d dh(t)0 010h(t)13 t C.求求导导得得d t据据题题意意知知dV 0.9S,即即d h3(t)0.9 13 h2(t)d t 412d h(t)13,因此因此d t1010因因为为雪堆全部融化之雪堆全部融化之时时，也就，也就是是h(t)0时时由由 h(0)130,得得 C 130,故故 h(t)13 t 130.令令h(t)0,可可得得t 100(小小时时),因此雪堆全部融化因此雪堆全部融化需需100小小时时.d R0A 1 zx 2 zy 2 dxd yD 1 x2 y2 dxd yD20 1 2 d 3 2(1 R2)32 1).所所截截出的面出的面积积 A.解解曲面曲面在在 xOy 面上投影面上投影为为 D:x2 y2 R2,则则6.计计算双曲抛物算双曲抛物面面z xy 被柱被柱面面 x2 y2 R2 ),2 2 z 0 .2 R 22(4 a4 aR 2 x y球面在定球面内部的那部分的面球面在定球面内部的那部分的面积积最大？最大？设设半径半径为为 R的球面的球面 的球心在定球面的球心在定球面x2 y2 z2 a2(a 0)上上,问问当当R取什么取什么值值时时,解解根据根据题题意不妨意不妨设设球球面面 的方程的方程为为x2 y2 (z a)2 R2,两球面的交两球面的交线线在在xOy面上的投影面上的投影为为7.它所它所围围成的平面区域成的平面区域为为 在定球内的部分的方在定球内的部分的方程程 为为R 2z a x 2 y 2,2222R 2(4 a R).4 a 2D:x yD 1 z 2 z 2 d x d yxy其面其面积积S(R)R 2D x 2 y 2 Rd x dy.R R 2 a02 d 22 4 a 2 R 2R S(R)0d.2a R 3 2 R 22 R),D :0 2 ,0 (4 a4 a 2.6 R a 利用极坐利用极坐标标x cos ,y sin ,可得可得R 2,S(R)4 a3R2S(R)4R 面部分面面部分面积积最最大大.343a)为为极大极大值值，又又 S (4 a)4 0,因此因此 S(3令令 S (R)0,得得驻驻点点R1 4 a,R2 0(舍舍去去).3即即为为最大最大值值.所以所以当当R 4 a时时球球面面 在定球在定球2而三角形薄片的面而三角形薄片的面积为积为 A 1 3 6 9,故故 1Dx x d ,A2 x y 638.求由直求由直线线 2 x y 6与两坐与两坐标轴标轴所所围围的的 三角形均匀薄片的三角形均匀薄片的质质心心.ADy 1 y d.因薄片是均匀的因薄片是均匀的,故故质质心坐心坐标为标为yxO6解解因此因此质质心位于点心位于点(1,2).Dy y d 30019196 2 xy d yd x 2.Dx x d 30019196 2 xx d yd x 1,2 x y 63xOy6(R,0,0).上的一个定上的一个定点点,设设有一半径有一半径为为R 的球的球体体,P0是此球的表面是此球的表面9.解解点点到到P0的距离的平方成正的距离的平方成正比比(比例常比例常数数 k 0),求球体的重心位求球体的重心位置置.设设球体上任一点的密度与球体上任一点的密度与该该zOy记记球体球体为为 ,以以的的球球心心为为0 x直角坐直角坐标标系系,则则点点 P0 的坐的坐标标为为P原原点点O,以以 OP 0为为正正向向x 轴轴建立建立.222 k(x R)y z d v设设 的重心位置的重心位置为为(x,y,z),则则y z 0,x k(x R)2 y2 z2 d vx 利用利用对对称性知称性知(x R)2 y 2 z 2 d v (x 2 y 2 z 2)d v R2 d v 2002220 8Rr rd d 54sin d r R3 32 R5.y 2 z 2 d v15 x(x R)2 2 R x 2 d v R23z 2)d v(x y 22zOyx0P因因此此,所求的重心位置所求的重心位置为为4x R.故故4(R,0,0).2002023 (Rr 2 r 2 sin d rd d R)8 15 8R6,求由曲求由曲线线 y 2 x与直与直线线 x 1所所围围成的平面成的平面10.解解1 a 2y ax,d y ax,平面薄片上一平面薄片上一点点(x,y)到到该该直直线线的距离的距离为为设设通通过过原点的任一直原点的任一直线线为为yOy 2 xx 1x薄片薄片对对于通于通过过坐坐标标原点任一直原点任一直线线的的转动惯转动惯量量,并并讨论讨论那种情况那种情况下下,转动惯转动惯量取得最大量取得最大值值或最小或最小值值.则则由由转动惯转动惯量量计计算公式算公式,可得可得y 2 xyxO其其中中为为均匀薄片的面密度均匀薄片的面密度.积积分区域关分区域关于于x轴对轴对称称，记记D在在x轴轴上方上方的的子区域子区域为为D1:0 x 1,0 y x.由被由被积积函数的奇偶性知函数的奇偶性知D1 x 1D1 a2 (y2 2axy a2 x2)d,DI(a)d2Dy ax2d (1 a 2)d 222D1(y a x)d 2 1 a2I(a)22 21x1 a2 0 0 dx(y 2 4(1 1a2).1 a2 157105（1 a2）2I(a)64 a.y 2 xyxa x)d y O1 x 1D15由由I(a)0,可可得得a 0,I(0)4.7a 又又 lim I(a)4 ,因此因此15minI I(0)4,7maxI lim I(a)4 .a 15即平面薄片即平面薄片绕绕x轴轴的的转动惯转动惯量最小量最小，为为 4,7绕绕y轴轴的的转动惯转动惯量最大量最大，为为4 .Ox距离的平方距离的平方 d 2.要要求求 绕绕直直线线 l的的转转动动旋旋转转的的转动惯转动惯量量.惯惯量量必必须须先求先求得得 内内任任 一一点点 M(x,y,z)到直到直线线 l的的11.设设由曲由曲面面z 2 x2 y2与与z x2 y2围围成成立立体体 其体密度其体密度为为 1 求求 绕绕直直线线 l：x y z解解z x 2 y 2yz 2 x2 y2zM d l：x y zM3 1(x y z)2其中其中3 2(x 2 y 2 z 2 xy xz yz),所以所以d 2 x 2 y 2 z 2设设OM 为为坐坐标标原原点点到到点点M的向径的向径l则则d 2 OM2 (Prj OM)2,Prjl OM (1 x 1 y 1 z)3,zOxz x 2 y 2yz 2 x2 y2M d l：x y zM.908323102 0d d 2 2(2 z 2)d z (xy yz xz)d v 0,故故2222(x y z)d v3因此因此Il Il 1 d 2 d v由由对对称性知称性知 32222z xy xz yz)d v.(x yzOxz x 2 y 2yM d l：x y zz 2 x2 y2MR12.薄薄片片,占有平面区占有平面区域域x 2 y 2 R 2,y 0,过圆过圆心心O垂直于薄片的直垂直于薄片的直线线上有一上有一质质量量为为m的的质质点点 P,设设在在 xOy 面上有一面上有一质质量量为为M 的均的均质质半半圆圆形形OP a,求薄片求薄片对质对质点点 P 的引的引力力.解解记记引力引力为为F (Fx,F y,Fz).Q(x,y,0),在在d 内任取一点内任取一点d Qz PaRxOy设设d为为半半圆圆内的面内的面积积 元元素素,Md R 2a 2 x 2 y 2d F G m 2引力方向引力方向与与(x,y,a)一一致致,则则相相应应与与d 的部分的部分对质对质点的点的引引力大小力大小为为R于于是是d F在三个坐在三个坐标轴标轴上上的分量的分量为为Rad Q(G为为引力系数引力系数)z Pxd Fx 2GmM x d R2(a2 x2 y2)3 2Oy y 2)32F y 2GmM y d R d sin d 0(a 2D0 R 2(a 2 x 22GmM R 2 2)3 2 y 2)3 2 R 2(a 2 x 2d Fz 2GmM a d D故故F x y 2)32 R 2(a 2 x 2 2GmM x d 0 y 2)32 R 2(a 2 x 2d F y 2GmM y d D y 2)32 R 2Fz 2GmMa d R 2(a 2 x 2aR 2a 21 2GmM从从而而F (0,Fy,Fz)即即为为所求的引力所求的引力.lnaR2 R2 a2R R2 a2 R 4GmM力依次力依次为为Fx、F y、Fz.3记记引力在三个坐引力在三个坐标轴标轴上上 的分的分 a 2 h3 M1 a 2 hMV 则则 M 锥锥体，其体，其质质量量为为 M，在在圆锥顶圆锥顶点点处处有一有一单单 位位质质量量13.设设有底半径有底半径为为 a，高高为为 h，密度均匀的密度均匀的圆圆的的质质点点，求，求圆锥圆锥体体对对此此 质质点的引力点的引力.解解设圆锥设圆锥体的密度体的密度为为 azhoyx k(h z)d v3 x 2 y 2 (h z)2 2与与y轴轴方向的分力互相抵消方向的分力互相抵消，故故Fx Fy 0,而而rr 2d Fz k 1 d v h z又又圆锥圆锥体关于任一体关于任一过过 z轴轴的平面的平面对对称，因此沿称，因此沿x轴轴(h z)d v3 x 2 y 2 (h z)2 2于于是是 Fz k 0h2 a(h z)h3 2 (h z)2 2(h z)d k 0 d z 0d 计计算三重算三重积积分分 Fz时时可用截面可用截面法法,作平行作平行与与xOy面的面的 平平面面,截截 得得 z30D z x 2 y 2 (h z)2 2(h z)d hd z故故 F k222a2Dz:x y (h z)(0 z h).h282写在最后写在最后成功的基础在于好的学习习惯成功的基础在于好的学习习惯The foundation of success lies in good habits谢谢聆听 学习就是为了达到一定目的而努力去干,是为一个目标去战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard,Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal