大学高数向量及其线性运算课件

第二节第二节 向量及其线性运算向量及其线性运算北京理工大学北京理工大学2010-2011学年第二学期学年第二学期第二节 向量及其线性运算1大学高数向量及其线性运算课件2向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量.向量表示：向量表示：模长为模长为1 1的向量的向量.零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量.|向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小.单位向量：单位向量：一、向量的概念一、向量的概念或或或或与与 同方向的单位向量可记作同方向的单位向量可记作或或零零向量没有方向，或者说其方向是任意的向量没有方向，或者说其方向是任意的向量：既有大小又有方向的量.向量表示：模长为1的向量.零向量3自由向量：自由向量：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量.相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量.负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量.向径：向径：空间直角坐标系中任一点空间直角坐标系中任一点 与原点与原点构成的向量构成的向量 ，叫做点，叫做点M的的向径向径.即向量可以在空间中任意地平行移动，如此移即向量可以在空间中任意地平行移动，如此移动后仍被看成是原来的向量。本书中考虑的都动后仍被看成是原来的向量。本书中考虑的都是自由向量。是自由向量。自由向量：不考虑起点位置的向量.相等向量：大小相等且方向相同41 定义加法：定义加法：（平行四边形法则）（平行四边形法则）特殊地：若特殊地：若 分为同向和反向分为同向和反向（平行四边形法则有时也称为三角形法则）（平行四边形法则有时也称为三角形法则）二、向量的加减法二、向量的加减法1 定义加法：（平行四边形法则）特殊地：若分为同向和反5向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：（1 1）交换律：）交换律：（2 2）结合律：）结合律：（3）2 定义减法定义减法向量的加法符合下列运算规律：（1）交换律：（2）结合律：（36三、向量与数的乘法三、向量与数的乘法三、向量与数的乘法7数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：（2 2）分配律：）分配律：两个向量的平行关系两个向量的平行关系数与向量的乘积符合下列运算规律：（1）结合律：（2）分配律：8证证充分性充分性显然；显然；必要性必要性两式相减，得两式相减，得证充分性显然；必要性两式相减，得9按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定，上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量一个与原向量同方向的单位向量.按照向量与数的乘积的规定，上式表明：一个非零向量除以它的模的10例例1 1 化简化简解解例1 化简解11例例2 2 试用向量方法证明：对角线互相试用向量方法证明：对角线互相 平分的四边形必是平行四边形平分的四边形必是平行四边形.证证与与 平行且相等平行且相等,结论得证结论得证.例2 试用向量方法证明：对角线互相 平分12向量的概念向量的概念向量的加减法向量的加减法向量与数的乘法向量与数的乘法（注意与标量的区别）（注意与标量的区别）（平行四边形法则）（平行四边形法则）（注意数乘后的方向）（注意数乘后的方向）四、小结四、小结向量的概念向量的加减法向量与数的乘法（注意与标量的区别）（平13大学高数向量及其线性运算课件14一、向量在轴上的投影与投影定理一、向量在轴上的投影与投影定理一、向量在轴上的投影与投影定理15大学高数向量及其线性运算课件16证证于是于是证于是17空间两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角的概念：类似地，可定义类似地，可定义向量与一轴向量与一轴或或空间两轴空间两轴的夹角的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在它们的夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值.空间两向量的夹角的概念：类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的18空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影19空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影 数数空间一向量在轴上的投影 数20关于向量的关于向量的投影定理（投影定理（1 1）证证关于向量的投影定理（1）证21定理定理1 1的说明：的说明：投影为正；投影为正；投影为负；投影为负；投影为零；投影为零；(4)相等向量在同一轴上投影相等；相等向量在同一轴上投影相等；定理1的说明：投影为正；投影为负；投影为零；(4)相等向量22关于向量的关于向量的投影定理（投影定理（2 2）（可推广到有限多个）（可推广到有限多个）关于向量的投影定理（2）（可推广到有限多个）23特别地，如果把上述向量特别地，如果把上述向量a在轴上在轴上的投影换成向量的投影换成向量a在在向量向量b上上的投影的投影,可得到类似的概念与性质：可得到类似的概念与性质：特别地，如果把上述向量a在轴上的投影换成向量a在向量b上的24二、向量在坐标轴上的分向量与向量二、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标的坐标二、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标25由例由例1知知由例1知26 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影 向量在 轴上的投影 向量在 轴上的27按基本单位向量的按基本单位向量的坐标分解式坐标分解式：在三个坐标轴上的在三个坐标轴上的分向量分向量：向量的向量的坐标坐标：向量的向量的坐标表达式坐标表达式：特殊地：特殊地：按基本单位向量的坐标分解式：在三个坐标轴上的分向量：向量的坐28向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式29解解为直线上的点，为直线上的点，解为直线上的点，30由题意知：由题意知：#由题意知：#31非零向量非零向量 的的方向角方向角：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.三、向量的模与方向余弦的坐标表示式三、向量的模与方向余弦的坐标表示式非零向量 的方向角：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方32由图分析可知由图分析可知向量的方向余弦向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向.向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式由图分析可知向量的方向余弦方向余弦通常用来表示向量的方向.向33当当 时，时，向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式当 34方向余弦的特征方向余弦的特征特殊地：单位向量为特殊地：单位向量为方向余弦的特征特殊地：单位向量为35解解所求向量有两个，一个与所求向量有两个，一个与 同向，一个反向同向，一个反向或或解所求向量有两个，一个与 同向，一个反向或36解解例例 4 4 设有向量设有向量21PP,已知已知221=PP，它与，它与x轴轴和和y轴的夹角分别为轴的夹角分别为3p p和和4p p，如果，如果1P的坐标为的坐标为)3,0,1(，求，求2P的坐标的坐标.解例4 设有向量21PP,已知221=PP，它与x轴和y轴37大学高数向量及其线性运算课件38解解解39向量在轴上的投影与投影定理向量在轴上的投影与投影定理.向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.向量的模与方向余弦的坐标表示式向量的模与方向余弦的坐标表示式.四、小结四、小结（注意分向量与向量的坐标的（注意分向量与向量的坐标的区别区别）向量在轴上的投影与投影定理.向量在坐标轴上的分向量与向量的坐40作业作业P3,3,4P4,5P10-11,2,7,10,15,作业P3,3,441思考题思考题思考题42思考题解答思考题解答对角线的长为对角线的长为思考题解答对角线的长为43练练 习习 题题练 习 题44大学高数向量及其线性运算课件45练习题答案练习题答案练习题答案46思考题思考题已知平行四边形已知平行四边形ABCD的对角线的对角线试用试用 表示平行四边形四边上对应的向量表示平行四边形四边上对应的向量.思考题已知平行四边形ABCD的对角线试用 表示47思考题解答思考题解答思考题解答48练练 习习 题题练 习 题49大学高数向量及其线性运算课件50练习题答案练习题答案练习题答案51