二阶常系数齐次线性微分方程ppt课件

二阶线性常系数齐次微分方程二阶线性常系数齐次微分方程1任务要点1、二阶线性常二阶线性常系数齐次微分系数齐次微分方程方程2、微分方程的特征方程微分方程的特征方程3、二阶线性常系数齐次微分二阶线性常系数齐次微分方程通解的求解步骤方程通解的求解步骤任务要点1、二阶线性常系数齐次微分方程2、微分方程的特征方程2教学过程课前准备概念学习知识推导结论形成巩固练习小组成果展示课后作业教学过程课前准备概念学习知识推导结论形成巩固练习小组成果展示3课前准备1、一元二次方程的求解2、基本初等函数的导数公式3、二阶线性微分方程解的结构定理课前准备1、一元二次方程的求解2、基本初等函数的导数公式3、4求解下列一元二次方程解答解答解答解答解答解答解答解答求解下列一元二次方程解答解答解答5二阶常系数齐次线性微分方程ppt课件6二阶常系数齐次线性微分方程ppt课件7二阶常系数齐次线性微分方程ppt课件8二阶常系数齐次线性微分方程ppt课件9二阶线性微分方程解的结构定理如果y1、y2是二阶线性微分方程的两个线性无关的解 那么yC1y1C2y2就是微分方程的通解 二阶线性微分方程解的结构定理如果y1、y2是二阶线性微分方10方程方程为二阶线性为二阶线性常系数微分常系数微分方程方程为二阶线性为二阶线性常系数常系数齐次齐次微分方程微分方程概念学习p,q是常数,f(x)称为自由项.方程为二阶线性常系数微分方程为二阶线性常系数齐次微分方程概念11r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程.v特征方程及其根 特征方程的求根公式为r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征12将将y erx代代入入方方程程ypy qy 0得得(r2 pr q)erx 0 分析分析 考虑到当考虑到当y,y,y为同类函为同类函数时数时 有可能使有可能使ypy qy 恒等于零恒等于零 而函数而函数erx具有这种性质具有这种性质 所以猜想所以猜想erx是方程是方程的解的解 二阶齐次线性方程通解的求法二阶齐次线性方程通解的求法由此可见由此可见 只要只要r满足代数方程满足代数方程r2 pr q 0 函数函数y erx 就是微分方程的解就是微分方程的解 将yerx代入方程ypyqy0得 13(1)当当时时,方程有两个相异实根方程有两个相异实根则微分方程有两个线性无关的特解则微分方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为因此方程的通解为设设r1,r2是特征方程的两个根是特征方程的两个根.(2)当时时,特征方程有两相等实根特征方程有两相等实根则微分方程有一个特解则微分方程有一个特解(1)当时,方程有两个相异实根则微分方程有两个线性无关的14设另一特解为设另一特解为,(u(x)待定待定).是特征方程的重根是特征方程的重根取取u=x,得得因此原方程的通解为因此原方程的通解为得:代入原微分方程代入原微分方程设另一特解为,(u(x)待定).是特征方程的重根取u15(3)当时时,方程有一对共轭复根方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解这时原方程有两个复数解:利用解的叠加原理利用解的叠加原理,得原方程线性无关特解得原方程线性无关特解:因此原方程的通解为因此原方程的通解为(3)当时,方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解:利16有两个不相等的实根 r1、r2 有一对共轭复根 r1,2i yex(C1cosxC2sinx)下页v特征方程的根与通解的关系方程ypyqy0的通解方程r2prq0的根的情况有两个相等的实根 r1r2 有两个不相等的实根 r1、r2 有一对共轭复根 r1,17第一步 写出微分方程的特征方程r2prq0第二步 求出特征方程的两个根r1、r2 第三步 根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的通解 求ypyqy0的通解的步骤 下页有两个不相等的实根 r1、r2 有一对共轭复根 r1,2i yex(C1cosxC2sinx)v特征方程的根与通解的关系方程ypyqy0的通解方程r2prq0的根的情况有两个相等的实根 r1r2 第一步 写出微分方程的特征方程求y+py+qy=0的18下页有两个不相等的实根 r1、r2 有一对共轭复根 r1,2i yex(C1cosxC2sinx)v特征方程的根与通解的关系方程ypyqy0的通解方程r2prq0的根的情况有两个相等的实根 r1r2 因此微分方程的通解为yC1exC2e2x 例1 求微分方程yy2y0的通解 解微分方程的特征方程为 r2r20 特征方程有两个不相等的实根r11 r22 即(r1)(r2)0 下页有两个不相等的实根 r1、r2 有一对共轭复根 r119下页有两个不相等的实根 r1、r2 有一对共轭复根 r1,2i yex(C1cosxC2sinx)v特征方程的根与通解的关系有两个相等的实根 r1r2 特征方程有两个相等的实根r1r21 例2 求方程y2yy0的通解 解微分方程的特征方程为 r22r10 即(r1)20 因此微分方程的通解为yC1ex C2xex 即y(C1C2x)ex 方程ypyqy0的通解方程r2prq0的根的情况下页有两个不相等的实根 r1、r2 有一对共轭复根 r120下页通解形式 r24r80 特征方程的根为r122i r222i 是一对共轭复根 因此微分方程的通解为ye2x(C1cos2xC2sin2x)例 3 求微分方程y4y8y 0的通解 有两个不相等的实根 r1、r2 有一对共轭复根 r1,2i yex(C1cosxC2sinx)v特征方程的根与通解的关系有两个相等的实根 r1r2 解微分方程的特征方程为 方程ypyqy0的通解方程r2prq0的根的情况下页通解形式 r24r8021练习巩固求下列微分方程的通解练习巩固求下列微分方程的通解22小组成果展示总结反馈3.3.在学习方法上你有哪些体会？在学习方法上你有哪些体会？2.2.你会解决哪些新问题？你会解决哪些新问题？1.1.你学习了哪些内容？你学习了哪些内容？总结反馈3.在学习方法上你有哪些体会？2.你会解决哪些新24布置作业布置作业 继续探究继续探究阅阅阅阅 读读读读 教材教材章节章节13.5思考思考思考思考 书书书书 写写写写 P288 习题13-5布置作业 继续探究阅 读 教材章节13.5思考 书 写 25Thank you!Thank you!Thank you!26