物理竞赛辅导之刚体动力学课件

高中物理竞赛辅导之刚体动力学1质质质质点对点的角动量点对点的角动量点对点的角动量点对点的角动量为为为为:角动量大小：角动量大小：角动量大小：角动量大小：-平行四边形面积平行四边形面积平行四边形面积平行四边形面积角动量方向：右手螺旋定则角动量方向：右手螺旋定则角动量方向：右手螺旋定则角动量方向：右手螺旋定则思考：质点对轴的角动量如何？思考：质点对轴的角动量如何？思考：质点对轴的角动量如何？思考：质点对轴的角动量如何？预备知识预备知识质点对点的角动量为:角动量大小：2 刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体.（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）刚体刚体的运动形式：平动、转动的运动形式：平动、转动.刚体平动 质点运动 平动平动：若刚体中所：若刚体中所有点的运动有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线于它们的初始位置间的连线.一一一一 刚体的平动与转动刚体的平动与转动刚体的平动与转动刚体的平动与转动 刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体.（任意3 定轴转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动.转动又分定轴转动和非定轴转动.刚体的平面运动.定轴转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动 4 刚体的一般运动 质心的平动绕质心的转动+刚体的一般运动质心的平动绕质心的转动+5二二 转动定律转动定律O 转动定律转动定律转动定律转动定律 转动惯量转动惯量转动惯量转动惯量二 转动定律O 转动定律 转动惯量6 转动惯量物理转动惯量物理意义意义：转动惯性的量度：转动惯性的量度.刚体定轴转动的角加速度与它所受的刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩合外力矩成正成正比比，与刚体的，与刚体的转动惯量转动惯量成反比成反比.转动定律转动定律 转动惯量的大小取决于刚体的密度、几何转动惯量的大小取决于刚体的密度、几何形状及转轴的位置形状及转轴的位置.注意注意单个质点单个质点 质点系质点系 质量连续分布质量连续分布单位单位:千克千克米米2（kgm2）转动惯量物理意义：转动惯性的量度.刚7OO 设棒的线密度为设棒的线密度为 ，取一距离转轴，取一距离转轴 OO 为为 处的处的质量元质量元 讨论：讨论：一一质量为质量为 m、长为长为 l 的的均匀细长棒，与棒均匀细长棒，与棒垂直的轴的位置不同，转动惯量的变化垂直的轴的位置不同，转动惯量的变化.OO转轴过端点垂直于棒转轴过端点垂直于棒转轴过中心垂直于棒转轴过中心垂直于棒OO 设棒的线密度为 ，取一距离转轴8圆盘、圆柱绕中心轴的转动惯量圆盘、圆柱绕中心轴的转动惯量圆盘、圆柱绕中心轴的转动惯量圆盘、圆柱绕中心轴的转动惯量对于质量为对于质量为对于质量为对于质量为 、半径为半径为半径为半径为 、厚为厚为厚为厚为 的均匀圆盘的均匀圆盘的均匀圆盘的均匀圆盘取半径为取半径为取半径为取半径为 宽为宽为宽为宽为 的薄圆环，则有的薄圆环，则有的薄圆环，则有的薄圆环，则有可见，转动惯量与厚度可见，转动惯量与厚度 无关。所以，实心圆柱对无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量与圆盘的相同其轴的转动惯量与圆盘的相同。则有由于圆盘、圆柱绕中心轴的转动惯量对于质量为 、半径为 、厚为9球体绕其直径的转动惯量球体绕其直径的转动惯量球体绕其直径的转动惯量球体绕其直径的转动惯量 将均质球体分割成一系将均质球体分割成一系将均质球体分割成一系将均质球体分割成一系列彼此平行且都与对称轴垂列彼此平行且都与对称轴垂列彼此平行且都与对称轴垂列彼此平行且都与对称轴垂直得圆盘，则有直得圆盘，则有直得圆盘，则有直得圆盘，则有球体绕其直径的转动惯量 将均质球体分割成一系列10设任意物体绕某固定轴设任意物体绕某固定轴O的转动惯量为的转动惯量为J，绕，绕通过质心而平行于轴通过质心而平行于轴O的转动惯量为的转动惯量为Jc，则有，则有 miRirid xCyiO平行轴定理设任意物体绕某固定轴O的转动惯量为J，绕通过质心而11MM2a2aOCMM2a2aOC12o 对于薄板刚体，绕垂直于板面的轴Oz的转动惯量，等于位于板面内与Oz轴交于一点的两相互正交轴Ox和Oy的转动惯量之和。例如：薄盘绕直径的转动惯量o 对于薄板刚体，绕垂直于板面的轴Oz的转动惯量，等于13 若力学体系有几个部分组成，整体绕定轴转动的转动惯量,等与各部分对该轴的转动惯量之和。即 例如：例如：有质量为 ,长为 的均质细杆和质量为 ，半径为 的匀质球体组成的刚体，对Z轴的转动惯量为 若力学体系有几个部分组成，整体绕定轴转动的转14物理竞赛辅导之刚体动力学课件15竿竿子子长长些些还还是是短短些些较较安安全全？飞轮的质量为什么飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？大都分布于外轮缘？竿子长些还是短些较安全？飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘16 例例1 一长为一长为 质量为质量为 匀质细杆竖直放置，其匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链下端与一固定铰链 O 相接，并可绕其转动相接，并可绕其转动.由于此竖由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转动转动.试计算细杆转动到与竖直线成试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角角时的角加速度和角速度速度.解解 细杆受重力和细杆受重力和铰链对细杆的约束力铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得作用，由转动定律得mlo 例1 一长为 质量为 17式中式中得得由角加速度的定义由角加速度的定义代入初始条件积分代入初始条件积分 得得mlo式中得由角加速度的定义代入初始条件积分 得mlo18 例例2 有一半径为有一半径为R质量为质量为 m 匀质圆盘匀质圆盘,以角速度以角速度0 0绕绕通过圆心垂直圆盘平面的轴转动通过圆心垂直圆盘平面的轴转动.若有一个与圆盘大小相若有一个与圆盘大小相同的粗糙平面同的粗糙平面(俗称刹车片俗称刹车片)挤压此转动圆盘挤压此转动圆盘,故而有正压故而有正压力力N N 均匀地作用在盘面上均匀地作用在盘面上,从而使其转速逐渐变慢从而使其转速逐渐变慢.设正设正压力压力N N 和刹车片与圆盘间的摩擦系数均已被实验测出和刹车片与圆盘间的摩擦系数均已被实验测出.试试问经过多长时间圆盘才停止转动问经过多长时间圆盘才停止转动?解解:在圆盘上取面积微元在圆盘上取面积微元,面积元所受对转轴的摩擦力矩面积元所受对转轴的摩擦力矩大小大小r刹车片刹车片 例2 有一半径为R质量为 m 匀质圆盘,以19面积微元所受摩擦力矩面积微元所受摩擦力矩圆环所受摩擦力矩圆环所受摩擦力矩圆盘所受摩擦力矩圆盘所受摩擦力矩圆盘角加速度圆盘角加速度停止转动需时停止转动需时rR面积微元所受摩擦力矩圆环所受摩擦力矩圆盘所受摩擦力矩圆盘角加20Cxy*例例3 如图一斜面长如图一斜面长 l=1.5m,与水平面的夹角与水平面的夹角 =5o.有两个物体分别静止地位于斜面的顶端有两个物体分别静止地位于斜面的顶端,然后由顶端沿然后由顶端沿斜面向下滚动斜面向下滚动,一个物体是质量一个物体是质量 m1=0.65kg、半径为、半径为R1 的实心圆柱体的实心圆柱体,另一物体是质量为另一物体是质量为 m2=0.13 kg、半径、半径 R2=R1=R 的薄壁圆柱筒的薄壁圆柱筒.它们分别由斜面顶端滚到斜它们分别由斜面顶端滚到斜面底部各经历多长时间面底部各经历多长时间?解解:物体由斜面物体由斜面顶端滚下顶端滚下,可视为质可视为质心的平动和相对质心心的平动和相对质心的滚动两种运动合成的滚动两种运动合成.Cxy*例3 如图一斜面长 l=1.5m,与21Cxy质心运动方程质心运动方程转动定律转动定律角量、线量关系角量、线量关系实心圆拄实心圆拄空心圆筒空心圆筒Cxy质心运动方程转动定律角量、线量关系实心圆拄空心圆筒22 例例例例4 4 有一缓慢改变倾角的固定斜面，如图所示。有一缓慢改变倾角的固定斜面，如图所示。有一缓慢改变倾角的固定斜面，如图所示。有一缓慢改变倾角的固定斜面，如图所示。一质量为一质量为一质量为一质量为mm ，半径为，半径为，半径为，半径为R R 的匀质圆柱体从高的匀质圆柱体从高的匀质圆柱体从高的匀质圆柱体从高h h 处由静止处由静止处由静止处由静止沿光滑斜面滑下，紧接着沿粗糙水平面运动。已知水沿光滑斜面滑下，紧接着沿粗糙水平面运动。已知水沿光滑斜面滑下，紧接着沿粗糙水平面运动。已知水沿光滑斜面滑下，紧接着沿粗糙水平面运动。已知水平面与圆柱体间的摩擦系数平面与圆柱体间的摩擦系数平面与圆柱体间的摩擦系数平面与圆柱体间的摩擦系数 ,求：求：求：求：1 1）圆柱体沿水平面运动多长时间后开始作纯滚动。）圆柱体沿水平面运动多长时间后开始作纯滚动。）圆柱体沿水平面运动多长时间后开始作纯滚动。）圆柱体沿水平面运动多长时间后开始作纯滚动。2 2）圆柱体达到纯滚动前经历的水平距离）圆柱体达到纯滚动前经历的水平距离）圆柱体达到纯滚动前经历的水平距离）圆柱体达到纯滚动前经历的水平距离。例4 有一缓慢改变倾角的固定斜面，如图所23 解：解：1）沿光滑斜面，圆柱体仅作滑动；沿水平面达到纯滚动前作滑滚运动。动力学方程为：动力学方程为：由以上三式解得：由以上三式解得：解：1）沿光滑斜面，圆柱体仅作滑动；沿水平面24达到纯滚动前有：达到纯滚动前有：达到纯滚动前有：达到纯滚动前有：达到纯滚动时有：达到纯滚动时有：达到纯滚动时有：达到纯滚动时有：解得作纯滚动经历的时间：解得作纯滚动经历的时间：解得作纯滚动经历的时间：解得作纯滚动经历的时间：2 2）达到纯滚动时经历的距离：）达到纯滚动时经历的距离：）达到纯滚动时经历的距离：）达到纯滚动时经历的距离：达到纯滚动前有：达到纯滚动时有：解得作纯滚动经历的时间：2）25 例例 5 质量为质量为 的物体的物体 A 静止在光滑水平面上，静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质、质量为量为 的圆柱形滑轮的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为，并系在另一质量为 的物的物体体 B 上上.滑轮与绳索间没有滑动，滑轮与绳索间没有滑动，且滑轮与轴承间的摩且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计擦力可略去不计.问：（问：（1）两物体的线加速度为多少？两物体的线加速度为多少？水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（2）物体物体 B 从从 再求线加速度及再求线加速度及绳的张力绳的张力.静止落下距离静止落下距离 时，时，其速率是多少？（其速率是多少？（3）若滑轮与轴承间的摩若滑轮与轴承间的摩擦力不能忽略，并设擦力不能忽略，并设它们间的摩擦力矩为它们间的摩擦力矩为ABC 例 5 质量为 的26ABCOO 解解 （1）隔离物体分）隔离物体分别对物体别对物体A、B 及滑轮作及滑轮作受力分析，取坐标如图，受力分析，取坐标如图，运用牛顿第二定律运用牛顿第二定律 、转、转动定律列方程动定律列方程.ABCOO 解 （1）隔离物体分别对物体A、B27如令如令 ，可得，可得（2）B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率ABC如令 ，可得（2）B由静止出发作28 （3）考虑滑轮与轴承间的考虑滑轮与轴承间的摩擦力矩摩擦力矩 ，转动定律，转动定律结合（结合（1）中其它方程）中其它方程 （3）考虑滑轮与轴承间的摩擦力矩 29ABCABC30三三 角动量定理与角动量守恒角动量定理与角动量守恒 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理O 刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量 非刚体非刚体定轴转动的角动量定理定轴转动的角动量定理三 角动量定理与角动量守恒 刚体定轴转动的角动量定理O 刚31 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.内力矩不改变系统的角动量内力矩不改变系统的角动量.守恒条件守恒条件若若 不变，不变，不变；若不变；若 变，变，也变，但也变，但 不变不变.刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 若若 ，则，则 .讨论讨论 在在冲击冲击等问题中等问题中常量常量三三 刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.内力矩不改32 有许多现象都可以用角有许多现象都可以用角动量守恒来说明动量守恒来说明.它是自然它是自然界的界的普遍适用普遍适用的规律的规律.花样滑冰花样滑冰跳水运动员跳水跳水运动员跳水飞轮飞轮航天器调姿航天器调姿 有许多现象都可以用角动量守恒来说明.它是33解解:系统角动量守恒系统角动量守恒 例例1 两个转动惯量分别为两个转动惯量分别为 J1 和和 J2 的圆盘的圆盘 A和和 B.A 是机器上的飞轮是机器上的飞轮,B 是用以改变飞轮转速的离合器圆是用以改变飞轮转速的离合器圆盘盘.开始时开始时,他们分别以角速度他们分别以角速度1 和和2 绕水平轴转动绕水平轴转动.然后然后,两圆盘在沿水平轴方向力的作用下两圆盘在沿水平轴方向力的作用下.啮合为一啮合为一体体,其角速度为其角速度为 ,求求齿轮啮合后齿轮啮合后两圆盘的角速度两圆盘的角速度.解:系统角动量守恒 例1 两个转动惯量分34 解解:碰撞前碰撞前 M 落在落在 A点的速度点的速度 例例2 一杂技演员一杂技演员 M 由距水平跷板高为由距水平跷板高为 h 处自由下处自由下落到跷板的一端落到跷板的一端 A,并把跷板另一端的演员并把跷板另一端的演员 N 弹了起来弹了起来.设跷板是匀质的设跷板是匀质的,长度为长度为 l,质量为质量为 ,跷板可绕中部跷板可绕中部支撑点支撑点 C 在竖直平面内转动在竖直平面内转动,演员的质量均为演员的质量均为 m.假定假定演员演员 M 落在跷板上落在跷板上,与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞.问演员问演员 N 可弹起多高可弹起多高?ll/2CABMNh 碰撞后的瞬间碰撞后的瞬间,M、N具有相同的线速度具有相同的线速度 解:碰撞前 M 落在 A点的速度 35 M、N和跷板系统和跷板系统角动量守恒角动量守恒演员演员 N 达到的高度达到的高度ll/2CABMNh M、N和跷板系统角动量守恒演员 N 达到的高36 例例3 质量很小长度为质量很小长度为l 的均匀细杆的均匀细杆,可绕过其中心可绕过其中心 O 并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于当细杆静止于水平位置时水平位置时,有一只小虫以速率有一只小虫以速率 垂直落在距点垂直落在距点 O 为 l/4 处处,并背离点并背离点O 向细杆的端点向细杆的端点 A 爬行爬行.设小虫与细杆设小虫与细杆的质量均为的质量均为m.问问:欲使细杆以恒定的角速度转动欲使细杆以恒定的角速度转动,小虫小虫应以多大速率向细杆端点爬行应以多大速率向细杆端点爬行?解解:碰撞前后系统角碰撞前后系统角动量守恒动量守恒 例3 质量很小长度为l 的均匀细杆,37角动量定理角动量定理考虑到考虑到角动量定理考虑到38力矩的功力矩的功1 力矩作功力矩作功 2 力矩的力矩的功率功率四四 刚体定轴转动的动能与动能定理刚体定轴转动的动能与动能定理力矩的功1 力矩作功 2 力矩的功率四 刚体393 转动动能转动动能4 刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动的动能定理 合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量转动动能的增量.3 转动动能4 刚体绕定轴转动的动能定理 40质点系动能等于质心动能与体系相对于质心系的动质点系动能等于质心动能与体系相对于质心系的动能之和。此结论称为能之和。此结论称为柯尼希定理柯尼希定理。特别地：特别地：作作平面运动平面运动平面运动平面运动的刚体动能的刚体动能为为质点系动能等于质心动能与体系相对于质心系的动能之和。此结论称41质点运动与刚体定轴转动对照质点运动与刚体定轴转动对照质点运动质点运动刚体定轴刚体定轴转动转动速度速度加速度加速度角速度角速度角加速度角加速度质量质量 m转动惯量转动惯量动量动量角动量角动量力力力矩力矩质点运动与刚体定轴转动对照质点运动刚体定轴转动速度加速度角速42质点运动规律与刚体定轴转动的规律对照质点运动规律与刚体定轴转动的规律对照运动定律运动定律转动定律转动定律质点的平动质点的平动刚体的定轴转动刚体的定轴转动动量定理动量定理角动量定理角动量定理动量守恒定律动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律力的功力的功力矩的功力矩的功动能动能转动动能转动动能质点运动规律与刚体定轴转动的规律对照运动定律转动定律质点的平43质点运动规律与刚体定轴转动的规律对照质点运动规律与刚体定轴转动的规律对照质点的平动质点的平动刚体的定轴转动刚体的定轴转动动能定理动能定理动能定理动能定理重力势能重力势能重力势能重力势能机械能守恒机械能守恒只有保守力作功时只有保守力作功时机械能守恒机械能守恒只有保守力作功时只有保守力作功时质点运动规律与刚体定轴转动的规律对照质点的平动刚体的定轴转动44圆圆锥锥摆摆子子弹弹击击入入杆杆以子弹和杆为系统以子弹和杆为系统机械能机械能不不守恒守恒.角动量守恒；角动量守恒；动量动量不不守恒；守恒；以子弹和沙袋为系统以子弹和沙袋为系统动量守恒；动量守恒；角动量守恒；角动量守恒；机械能机械能不不守恒守恒.圆锥摆系统圆锥摆系统动量动量不不守恒；守恒；角动量守恒；角动量守恒；机械能守恒机械能守恒.讨讨 论论子子弹弹击击入入沙沙袋袋细细绳绳质质量量不不计计圆锥摆子弹击入杆以子弹和杆为系统机械能不守恒.角动量守恒；45 例例4 一长为一长为 l ,质量为质量为 的竿可绕支点的竿可绕支点O自由转自由转动动.一质量为一质量为 的子弹射入竖直竿底端，使竿的偏转角的子弹射入竖直竿底端，使竿的偏转角为为90.问子弹的初速率为多少问子弹的初速率为多少?解解:把子弹和竿看作一个系统把子弹和竿看作一个系统 .子弹射入竿的过程系统角动量守子弹射入竿的过程系统角动量守恒恒 例4 一长为 l ,质量为 46 例例4 一长为一长为 l ,质量为质量为 的竿可绕支点的竿可绕支点O自由转自由转动动.一质量为一质量为 、速率为、速率为 的子弹射入竿内距支点为的子弹射入竿内距支点为 a 处，使竿的偏转角为处，使竿的偏转角为30.问子弹的初速率为多少问子弹的初速率为多少?解解:把子弹和竿看作一个系统把子弹和竿看作一个系统 .子弹射入竿的过程系统角动量守子弹射入竿的过程系统角动量守恒恒 例4 一长为 l ,质量为 47 射入竿后，以子弹、细杆和射入竿后，以子弹、细杆和地球为系统地球为系统，机械能守恒，机械能守恒.射入竿后，以子弹、细杆和48 例例5 一根长为一根长为l、质量为、质量为m的均匀细棒的均匀细棒,棒的一端可绕通过棒的一端可绕通过O点并垂直于纸面的轴转动点并垂直于纸面的轴转动,棒棒的另一端有质量为的另一端有质量为 m 的小球的小球.开开始时始时,棒静止地处于水平位置棒静止地处于水平位置A.当棒转过当棒转过 角到达位置角到达位置 B,棒的棒的角速度为多少角速度为多少?解解:取小球、细棒和地球为系统取小球、细棒和地球为系统,在棒转动过程中机在棒转动过程中机械能守恒械能守恒,设设 A 位置为重力势能零点位置为重力势能零点.AB 例5 一根长为l、质量为m的均匀细棒,49ABAB50刚体的平面运动知识拓展51 一、问题的提出一、问题的提出一、问题的提出一、问题的提出回顾：刚体的简单运动回顾：刚体的简单运动回顾：刚体的简单运动回顾：刚体的简单运动平动和定轴转动平动和定轴转动平动和定轴转动平动和定轴转动请观察以下刚体的运动：请观察以下刚体的运动：请观察以下刚体的运动：请观察以下刚体的运动：火车车轮火车车轮火车车轮火车车轮刚体平面运动的定义：刚体平面运动的定义：刚体平面运动的定义：刚体平面运动的定义：在运动过程中在运动过程中在运动过程中在运动过程中,刚体上任一点到某一固定平面的距离始终刚体上任一点到某一固定平面的距离始终刚体上任一点到某一固定平面的距离始终刚体上任一点到某一固定平面的距离始终保持不变保持不变保持不变保持不变.即刚体上任一点都在与该固定平面平行的某一平面即刚体上任一点都在与该固定平面平行的某一平面即刚体上任一点都在与该固定平面平行的某一平面即刚体上任一点都在与该固定平面平行的某一平面内运动内运动内运动内运动 一、问题的提出回顾：刚体的简单运动平动和定轴转动请观察52 二、刚体平面运动的简化二、刚体平面运动的简化二、刚体平面运动的简化二、刚体平面运动的简化 SA1A2M 过刚体作平面过刚体作平面过刚体作平面过刚体作平面平行平面平行平面平行平面平行平面 平面平面平面平面与刚体相交截出一个与刚体相交截出一个与刚体相交截出一个与刚体相交截出一个平面图形平面图形平面图形平面图形S S S S；平面图形平面图形平面图形平面图形S S S S始终保持在平面始终保持在平面始终保持在平面始终保持在平面内运动；内运动；内运动；内运动；在在在在S S S S面内任选一点面内任选一点面内任选一点面内任选一点M M M M，过，过，过，过M M M M做平面做平面做平面做平面垂线垂线垂线垂线 S S刚体平面运动刚体平面运动刚体平面运动刚体平面运动 平面图形平面图形平面图形平面图形S S S S 在其自身平面内的运动在其自身平面内的运动在其自身平面内的运动在其自身平面内的运动A A1 1MAMA2 2做平动做平动做平动做平动MM点可代表直线点可代表直线点可代表直线点可代表直线A A1 1MAMA2 2上各上各上各上各点的运动点的运动点的运动点的运动设刚体上任一点到固定平面设刚体上任一点到固定平面设刚体上任一点到固定平面设刚体上任一点到固定平面的距离保持不变的距离保持不变的距离保持不变的距离保持不变 二、刚体平面运动的简化SA1A2M 过刚体作平面平面运动定理平面运动定理平面运动定理平面运动定理：平面运动可任意选取基点，分解为随基点的平动和平面运动可任意选取基点，分解为随基点的平动和相对基点的转动，其中平动的速度和加速度与基点的选相对基点的转动，其中平动的速度和加速度与基点的选择有关，而择有关，而绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择无关择无关择无关择无关，或者说，或者说平面图形相对各平移参考系的转动情况平面图形相对各平移参考系的转动情况平面图形相对各平移参考系的转动情况平面图形相对各平移参考系的转动情况都一样都一样都一样都一样。所以提平面图形的角速度，无需指明是相对哪个基所以提平面图形的角速度，无需指明是相对哪个基点的转动。点的转动。平面运动定理：54例例例例6 6 行行行行星星星星轮轮轮轮系系系系机机机机构构构构如如如如图图图图。大大大大齿齿齿齿轮轮轮轮I I固固固固定定定定，半半半半径径径径为为为为r r1 1；行行行行星星星星齿齿齿齿轮轮轮轮IIII沿沿沿沿轮轮轮轮I I只只只只滚滚滚滚而而而而不不不不滑滑滑滑动动动动，半半半半径径径径为为为为r r2 2。系系系系杆杆杆杆OAOA角角角角速速速速度度度度为为为为w w w wO O。求求求求轮轮轮轮IIII的的的的角角角角速度速度速度速度w w w wIIII及其上及其上及其上及其上B B，C C两点的速度。两点的速度。两点的速度。两点的速度。解解解解:行行行行星星星星齿齿齿齿轮轮轮轮IIII作作作作平平平平面面面面运运运运动动动动，求求求求得得得得A A点的速度为点的速度为点的速度为点的速度为v vA Aw w w wO OO OD DA AC CB Bv vA Av vDADAw w w wIIIII IIIII以以以以A A为为为为基基基基点点点点，分分分分析析析析两两两两轮轮轮轮接接接接触触触触点点点点D D的的的的速度。速度。速度。速度。由由由由于于于于齿齿齿齿轮轮轮轮I I固固固固定定定定不不不不动动动动，接接接接触触触触点点点点D D不不不不滑滑滑滑动动动动，显显显显然然然然v vD D0 0，因因因因而而而而有有有有v vDADAv vA Aw w w wO O(r r1 1+r r2 2)，方方方方向向向向与与与与v vA A相相相相反反反反，v vDADA为为为为点点点点D D相相相相对对对对基基基基点点点点A A的的的的速速速速度度度度，应应应应有有有有v vDADA w w w wIIII DADA。所以。所以。所以。所以例6 行星轮系机构如图。大齿轮I固定，半径为r1；行星齿轮I55v vA Aw w w wO OO OD DA AC CB Bv vA Av vCACAv vC Cv vB Bv vBABAv vA Aw w w wIIIII IIIII以以以以A A为基点，分析点为基点，分析点为基点，分析点为基点，分析点B B的速度。的速度。的速度。的速度。v vBABA与与与与v vA A垂直且相等，点垂直且相等，点垂直且相等，点垂直且相等，点B B的速度的速度的速度的速度以以以以A A为基点，分析点为基点，分析点为基点，分析点为基点，分析点C C的速度。的速度。的速度。的速度。v vCACA与与与与v vA A方向一致且相等，点方向一致且相等，点方向一致且相等，点方向一致且相等，点C C的速度的速度的速度的速度vAwOODACBvAvCAvCvBvBAvAwIIIII 以56定理：一般情况，在每一瞬时，平面图形上都唯一地存在一个速度为零的点。三 求平面图形内各点速度的瞬心法S设有一个平面图形S角速度为，图形上点A的速度为vA，如图。在vA的垂线上取一点C(由vA到AC的转向与图形的转向一致)，有如果取AC vA/，则NCvAvCA该点称为瞬时速度中心，或简称为速度瞬心。vAA定理：一般情况，在每一瞬时，平面图形上都唯一地存在一个速度为图形内各点速度的大小与该点到速度瞬心的距离成正比。速度的方向垂直于该点到速度瞬心的连线，指向图形转动的一方。三 求平面图形内各点速度的瞬心法CAvAvBBDvDC图形内各点速度的大小与该点到速度瞬心的距离成正比。速度的确定速度瞬心位置的方法有下列几种：(1)平面图形沿一固定表面作无滑动的滚动，图形与固定面的接触点C就是图形的速度瞬心。如车轮在地面上作无滑动的滚动时。三 求平面图形内各点速度的瞬心法vC确定速度瞬心位置的方法有下列几种：(1)平面图形沿一固定表(2)已知图形内任意两点A和B的速度的方向，速度瞬心C的位置必在每点速度的垂线的交线上。三 求平面图形内各点速度的瞬心法ABOCvAABvB(2)已知图形内任意两点A和B的速度的方向，速度瞬心C的位(3)已知图形上两点A和B的速度相互平行，并且速度的方向垂直于两点的连线AB，则速度瞬心必定在连线AB与速度矢vA和vB端点连线的交点C上。三 求平面图形内各点速度的瞬心法ABvBvACABvBvAC(3)已知图形上两点A和B的速度相互平行，并且速度的方向(4)某瞬时，图形上A、B两点的速度相等,如图所示，图形的速度瞬心在无限远处。(瞬时平动：此时物体上各点速度相同，但加速度不一定相等)三 求平面图形内各点速度的瞬心法OvAABvB另外注意：瞬心的位置是随时间在不断改变的，它只是在某瞬时的速度为零，加速度并不为零。(4)某瞬时，图形上A、B两点的速度相等,如图所示，图形的例例例例7 7 求图示求图示求图示求图示B B点及直杆中点点及直杆中点点及直杆中点点及直杆中点MM的速度的速度的速度的速度。解：AB作平面运动AvAvBB30CvMM瞬心在C点例7 求图示B点及直杆中点M的速度。解：AB作平面运动Av例例例例8 8 8 8 已已已已知知知知轮轮轮轮子子子子在在在在地地地地面面面面上上上上作作作作纯纯纯纯滚滚滚滚动动动动，轮轮轮轮心心心心的的的的速速速速度度度度为为为为v v，半半半半径径径径为为为为r r。求轮子上求轮子上求轮子上求轮子上A A1 1、A A2 2、A A3 3和和和和A A4 4点的速度。点的速度。点的速度。点的速度。A3A2A4A1vA2vA3vA4vO解：很显然速度瞬心在轮子与地面的接触点即A1各点的速度方向分别为各点与A点连线的垂线方向，转向与相同，由此可见车轮顶点的速度最快，最下面点的速度为零。O例8 已知轮子在地面上作纯滚动，轮心的速度为v，半径为r。求459090O1OBAD例例例例9 9 已已已已知知知知四四四四连连连连杆杆杆杆机机机机构构构构中中中中O O1 1B Bl l，ABAB3 3l l/2/2，ADADDBDB，OAOA以以以以w w w w绕绕绕绕O O轴转动。求：轴转动。求：轴转动。求：轴转动。求：(1)(1)ABAB杆的角速度；杆的角速度；杆的角速度；杆的角速度；(2 2)B B和和和和D D点的速度。点的速度。点的速度。点的速度。解：AB作平面运动，OA和O1B都作定轴转动，C点是AB杆作平面运动的速度瞬心。vAvBvDCAB459090O1OBAD例9 已知四连杆机构中O1B例10 直杆AB与圆柱O相切于D点，杆的A端以 匀速向前滑动，圆柱半径 ，圆柱与地面、圆柱与直杆之间均无滑动，如图，求 时圆柱的角速度。解一：圆柱作平面运动，其瞬心在 点，设其角速度为 。AB圆柱作平面运动，其瞬心在 点，则即亦即故例10 直杆AB与圆柱O相切于D点，杆的A端以 例例例例11 11 半径为半径为半径为半径为R R的的的的圆轮在直线轨道上作纯滚动，圆轮在直线轨道上作纯滚动，圆轮在直线轨道上作纯滚动，圆轮在直线轨道上作纯滚动，圆心圆心圆心圆心A A点的速度及点的速度及点的速度及点的速度及加速度如图，加速度如图，加速度如图，加速度如图，AB AB杆长度杆长度杆长度杆长度l l，可以绕圆心，可以绕圆心，可以绕圆心，可以绕圆心A A点转动。求：（点转动。求：（点转动。求：（点转动。求：（1 1）B B端端端端的速度和加速度；（的速度和加速度；（的速度和加速度；（的速度和加速度；（2 2）ABAB杆的角速度和角杆的角速度和角杆的角速度和角杆的角速度和角加速度。加速度。加速度。加速度。aAvARB B4545A AvBC C ABAB解：由速度分布可知解：由速度分布可知解：由速度分布可知解：由速度分布可知AB AB 杆瞬心在杆瞬心在杆瞬心在杆瞬心在C C点，点，点，点，例11 半径为R的圆轮在直线轨道上作纯滚动，圆心A点的速度aAvARB B4545A A ABAB(2)(2)取取取取A A点为基点，进行加速度分析点为基点，进行加速度分析点为基点，进行加速度分析点为基点，进行加速度分析aBaA在在在在 BxBx、By By 轴投影得轴投影得轴投影得轴投影得xyABAB?大小大小大小大小方向方向方向方向 aAvARB45AAB(2)取A点为基点，进行加速度A 0 0O1OB0 0例例例例12 12 已知：已知：已知：已知：OA=rOA=r，AB=2rAB=2r，O O1 1B=2 rB=2 r，OAOA杆转动的角速杆转动的角速杆转动的角速杆转动的角速度及角加速度如图，度及角加速度如图，度及角加速度如图，度及角加速度如图，vAvB解解解解：对机构进行运动分析，对机构进行运动分析，对机构进行运动分析，对机构进行运动分析，AB AB 杆的瞬心为杆的瞬心为杆的瞬心为杆的瞬心为O O点点点点 ABAB求：求：求：求：B B点的速度和加速度。点的速度和加速度。点的速度和加速度。点的速度和加速度。A0O1OB0例12 已知：OA=r，AB=2A 0 0O1OB0 0(2)(2)加速度分析，加速度分析，加速度分析，加速度分析，取取取取A A点为基点点为基点点为基点点为基点在在在在 BA BA 轴投影得轴投影得轴投影得轴投影得?大小大小大小大小方向方向方向方向?A0O1OB0(2)加速度分析，取A点为基点在 BA刚体力学问题解析71 飞轮质量飞轮质量60 kg,直径直径d=0.50 m闸瓦闸瓦与轮间与轮间=0.4;飞轮质量分布在外层飞轮质量分布在外层圆周圆周,要求在要求在t=5 s内制动内制动,求求F力大小力大小.F 对飞轮对飞轮 其中其中fN 对制动杆对制动杆FNf 飞轮质量60 kg,直径d=0.50 m闸瓦与轮间=0.72AB质量质量为为m的均匀细杆由竖直受一微扰倒下的均匀细杆由竖直受一微扰倒下,求夹角为求夹角为时时,质心速度及杆的角速度质心速度及杆的角速度BC质心不受水平方向作用质心不受水平方向作用,做自由下落运动做自由下落运动!由机械能守恒由机械能守恒:vvBvn由相关速度由相关速度:杆对质心的转动惯量杆对质心的转动惯量:AB质量为m的均匀细杆由竖直受一微扰倒下,求夹角为时,质心73着地时着地时,两杆瞬时转轴为两杆瞬时转轴为A(B)BA由机械能守恒由机械能守恒:vch 如图，两根等重的细杆如图，两根等重的细杆AB及及AC，在，在C点用铰链点用铰链连接，放在光滑水平面上，设两杆连接，放在光滑水平面上，设两杆由图示位置由图示位置无初速地开始运动，无初速地开始运动，求铰链求铰链C着地时的速度着地时的速度 小试身手题1着地时,两杆瞬时转轴为A(B)BA由机械能守恒74轴心降低轴心降低h过程中机械能守恒过程中机械能守恒 Bhv其中圆柱体对轴其中圆柱体对轴P的转动惯量的转动惯量 PT由转动定律由转动定律:由质心运动定律由质心运动定律:如图，圆柱体如图，圆柱体A的质量为的质量为m，在其中部绕以细绳，在其中部绕以细绳，绳的一端绳的一端B固定不动，圆柱体初速为零地下落，当其轴心降低固定不动，圆柱体初速为零地下落，当其轴心降低h时时，求圆柱体轴心的速度及绳上的张力，求圆柱体轴心的速度及绳上的张力 小试身手题2轴心降低h过程中机械能守恒 Bhv其中圆柱体对轴75纯滚动时圆柱角速度由机械能守恒纯滚动时圆柱角速度由机械能守恒:vc0c0与墙弹性碰撞与墙弹性碰撞,质心速度反向质心速度反向,角速度不变角速度不变,此后受摩擦力作用此后受摩擦力作用经时间经时间t 达纯滚动达纯滚动:vc0c0vctct由动量定理由动量定理由角动量定理由角动量定理纯滚动后机械能守恒纯滚动后机械能守恒:如如图，实心圆柱体图，实心圆柱体从高度为从高度为h的斜坡上从静止纯滚动地到达的斜坡上从静止纯滚动地到达水平地面上，继续纯滚动，与光滑竖直墙水平地面上，继续纯滚动，与光滑竖直墙做完全弹性碰撞后返回，经足够长的水平做完全弹性碰撞后返回，经足够长的水平距离后重新做纯滚动，并纯滚动地爬上斜距离后重新做纯滚动，并纯滚动地爬上斜坡，设地面与圆柱体之间的摩擦系数为坡，设地面与圆柱体之间的摩擦系数为，试求圆柱体爬坡所能达到的高度，试求圆柱体爬坡所能达到的高度h.小试身手题3纯滚动时圆柱角速度由机械能守恒:vc0c0与墙7612 2112完成弹性碰撞后设两球各经完成弹性碰撞后设两球各经t1、t2达到纯滚动，质心速度为达到纯滚动，质心速度为v1、v2，对球对球1：，对球对球2：在水平地面上有两个完全相同的均匀实心球，其一做在水平地面上有两个完全相同的均匀实心球，其一做纯滚动，质心速度为纯滚动，质心速度为v，另一静止不动，两球做完全弹性碰撞，因碰，另一静止不动，两球做完全弹性碰撞，因碰撞时间很短，碰撞过程中摩擦力的影响可以不计试求撞时间很短，碰撞过程中摩擦力的影响可以不计试求碰后两球碰后两球达到纯滚动时的质心速度；达到纯滚动时的质心速度；全部过程中损失的机械能的百分数全部过程中损失的机械能的百分数 续解续解小试身手题4122112完成弹性碰撞后设两球各经t1、t277系统原机械能为系统原机械能为 达到纯滚动后的机械能达到纯滚动后的机械能读题读题系统原机械能为 达到纯滚动后的机械能读题78设以某棱为轴转动历时设以某棱为轴转动历时t，角速度，角速度if，vivf3030fNa对质心由动量定理：对质心由动量定理：对刚体由动量矩定理：对刚体由动量矩定理：时间短，忽略重力冲量及冲量矩时间短，忽略重力冲量及冲量矩 如图所示，一个直、刚性的固体正六角棱柱，形状就如图所示，一个直、刚性的固体正六角棱柱，形状就像通常的铅笔，棱柱的质量为像通常的铅笔，棱柱的质量为M，密度均匀横截面六边形每边长为，密度均匀横截面六边形每边长为a六角六角棱柱相对于它的中心轴的转动惯量棱柱相对于它的中心轴的转动惯量I为为 现令棱柱开始不均匀地滚下斜现令棱柱开始不均匀地滚下斜面假设摩擦力足以阻止任何滑动，并且一直接触斜面某一棱刚碰上斜面之面假设摩擦力足以阻止任何滑动，并且一直接触斜面某一棱刚碰上斜面之前的角速度为前的角速度为i，碰后瞬间角速度为，碰后瞬间角速度为f，在碰撞前后瞬间的动能记为，在碰撞前后瞬间的动能记为Eki和和 Ekf，试证明，试证明fsi，EkfrE，并求出系数，并求出系数s和和r的值的值 设以某棱为轴转动历时t，角速度if，vivf30379