利用空间向量证明平行课件

3.2.2 利用空间向量证明平行、利用空间向量证明平行、垂直关系 3.2.2 利用空间向量证明平行、垂直关系 自自 学学 导导 引引(学生用书P80)会用空间向量证明线与线、线与面、面与面之间的平行,垂垂直关系,掌握用向量解决立体几何问题的方法步骤.自 学 导 引(学生用书P80)会用空间向量证明课课 前前 热热 身身(学生用书学生用书P80)课 前 热 身(学生用书P80)1.空间中的平行关系主要有_、_、_,空间中的垂直关系主要有_、_、_.2.证明两条直线平行,只要证明这两条直线的方向向量是_即可.线线平行 线面平行 面面平行 线线垂直 线面垂直 面面垂直 共线向量 1.空间中的平行关系主要有_、_3.证明线面平行的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量_.(2)证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量_.(3)利用共面向量的定理,即证明直线的方向向量与平面内两个不共线的向量是_.垂直 共线 共面向量 3.证明线面平行的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向4.证明面面平行的方法(1)转化为_、_处理;(2)证明这两个平面的法向量是_.5.证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量_.6.证明线面垂直的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量是_;(2)证明直线与平面内的_.线线平行 线面平行 共线向量 互相垂直 共线向量 两条不共线向量互相垂直 4.证明面面平行的方法(1)转化为_、_7.证明面面垂直的方法(1)转化为_、_;(2)证明两个平面的法向量_.线线垂直 线面垂直 互相垂直 7.证明面面垂直的方法(1)转化为_、_名名 师师 讲讲 解解(学生用书学生用书P80)名 师 讲 解(学生用书P80)1.利用空间向量证明线与面平行:只要在平面内找到一条直线的方向向量为b,已知直线的方向向量为a,问题转化为证明a=b即可.2.利用空间向量证明两条异面直线垂直:在两条异面直线上各取一个向量a、b,只要证明ab,即ab=0即可.1.利用空间向量证明线与面平行:只要在平面内找到一条直线的3.证明线面垂直:直线l,平面,要让l,只要在l上取一个非零向量p,在内取两个不共线的向量a、b,问题转化为证明pa且pb,也就是ap=0且bp=0.4.证明面面平行、面面垂直,最终都要转化为证明线线平行、线线垂直.3.证明线面垂直:直线l,平面,要让l,只要在l上取一典 例 剖 析(学生用书P80)典 例 剖 析(学生用书P80)题型一 证明线面平行 例例1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中中,M、N分别是C1C、B1C1的的中点,求证:MN平面A1BD.分析:分析1,如下图,易知MNDA1 因此得方法1.题型一 证明线面平行 例1:在正方体ABCD-A1B1C1:证明:证明111111111111MNA112211(),2BD,MNA BD.2/.MNC NC MC BCCD AD DDAMNDA?平面平面111111111111MNA112211(),2BD,MN12:,A BD.MN分析建立直角坐标系 证明与平面的法向量垂直?1111:,Axyz.1,A0,0,1,B 1,0,0,D 0,1,011(1,1,),(1,1).22,A BDn x,y,zn?n1 1(0,)2 2000 x1,y1,z1n1,1,10.MNMNADAByzxz?证明 如上图 建立空间直角坐标系设棱长为 则可求得设平面的法向量为则且得取则12:,ABD.MN分析建立直角坐标系证明与平面的法向量垂直1111002n,MNA BD.MNA BD2.MN nMN?又平面平面1111002n,MNABD.MNABD2.MNnMN?变式训练1:ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱,侧棱长为3,底面边长为2,E是棱BC的中点,求证:BD1平面C1DE.变式训练1:ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱,侧棱长为3证明证明:以以D为坐标原点,以以DA,DC,DD1为坐标轴建系如右图,则则B(2,2,0),D1(0,0,3),E(1,2,0),C1(0,2,3),证明:以D为坐标原点,以DA,DC,DD1为坐标轴建系如右图?11111111112,2,31,2,01,0,3(2,2,1,1.,BDC DE,BDC3),(1,2,0),(1,0,3).,2,22,33,DE.,BDDEECBDDEECBDDE EC?设即得解得与共面又面面?11111111112,2,31,2,01,0,题型二 证明线面垂直 例2:如下图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、D1B1的中点.求证:EF平面B1AC.题型二 证明线面垂直 例2:如下图所示,在正方体ABCD-分析:转化为线线垂直或利用直线的方向向量与平面的法向量平行.分析:转化为线线垂直或利用直线的方向向量与平面的法向量平行.证明:方法1:设A1B1的中点为G,连结EG,FG,A1B.则FGA1D1,EGA1B.A1D1平面A1B.FG平面A1B.AB1?平面A1B,FGAB1,A1BAB1,EGAB1.EFAB1.同理EFB1C.又AB1B1C=B1,EF平面B1AC.证明:方法1:设A1B1的中点为G,连结EG,FG,A1B?2222111111111,1,1()22:bac ac b ba0011()(),22.10()()21212.ABa ADc AAbEFEBBFBBBDAABDabcABABAAabEF ABabcab?方法设则1111111EFAB,EFB C.ABB CB/,EFB AC,./EFAB?即同理又平面?2222111111111,1,1()22:ba方法3:设正方体的棱长为2,建立如下图所示的空间直角坐标系,方法3:设正方体的棱长为2,建立如下图所示的空间直角坐标系,?111(1,1,2)(2,2,1)(1,1,1).(2,2,2)(2,0,0)(0,2,2).(0,2,0)(2,0,0)(2,2,0).A 2,0,0,C 0,2,0,B2,2,2,E 2,2,1,F 1,1,(1,1,1)(0,2,22.102)1210.EFABACEF ABEF AC?则而?1111,1,12,2,02200,EFAB,EFAC.ABACA,EFB AC.?又平面?111(1,1,2)(2,2,1规律技巧规律技巧:(1)方法方法1是传统的几何法证明是传统的几何法证明,利用线面垂直的性质及判定质及判定,需添加辅助线需添加辅助线.方法2选基底,将相关向量用基底表示出来将相关向量用基底表示出来,然后利用向量的计算来证明.方法3建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系,利用向量,且将向量的运算转化为且将向量的运算转化为实数实数(坐标坐标)的运算的运算,以达到证明的目的以达到证明的目的.(2)几何的综合推理有时技巧性较强,而向量代数运算属程序而向量代数运算属程序化操作化操作,规律性较强规律性较强,但有时运算量大但有时运算量大,两种处理方法各有优两种处理方法各有优点,不能偏废.规律技巧:(1)方法1是传统的几何法证明,利用线面垂直的性质2:,PABCD,ABCD,CBABAD9120,BCBAAD1,PAABCD,PA1.:CDPAC.?变式训练如下图 四棱锥中 底面为直角梯形平面求证平面2:,PABCD,ABCD,CBABAD9120,BCBAA分析:由判定定理,只要证明CD垂直于面PAC中的两条相交直线即可,或者用向量法证明CD的方向向量与平面PAC的法向量平行.分析:由判定定理,只要证明CD垂直于面PAC中的两条相交直线证明:方法1:如下图,分别以AB、AD、AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1),证明:方法1:如下图,分别以AB、AD、AP所在直线为x,y?(1,1,0),(1,10,0,1,111 10,CDAC,CDAP,CDPAC.,0),0,ACCDAPCD ACCD AP?同理平面?(1,1,0),(1,10,0,1,11110,CD?2:1,PACnx,y,0,00000(1zyx,x1,PACn1,1,0,n,CDPA,1,0.).Cn APn ACxyzxyCDnCD?方法建系同方法设平面的法向量令平面的一个法向量平面?2:1,PACnx,y,0,00000(1zyx,题型三 证明面与面垂直 例3:三棱柱ABC-A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱,D是侧棱CC1的中点.求证:平面AB1D平面ABB1A1.分析:转化为线线垂直、线面垂直或者利用法向量垂直.题型三 证明面与面垂直 例3:三棱柱ABC-A1B1C1是证明:方法1:取AB的中点E.三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱,CEAB且AA1CE,得 CE面ABB1A1.证明:方法1:取AB的中点E.三棱柱ABC-A1B1C1另取AB1中点M,得MDCE.MD面ABB1A1.又MD?面AB1D,面AB1D面ABB1A1.另取AB1中点M,得MDCE.MD面ABB1A1.111111,1().212:,ABM,ABE,()211()0,(22AB AC AACEDMDMCECA CBDMAACA CBAACA AACB AADMABC?方法取为空间基底 另取中点中点则由题意可得111111111AB)1()0,2,AAADMABB A.DMAB D,AB DABB A.ACBABCA ABCB ABDMAB DMAADMABDMAA?即且平面又面面面111111,1().212:,ABM,ABE,()21方法方法3:建系如下图,正三棱柱底面边长为正三棱柱底面边长为a,高为高为a,取取AB1的中的中点点M,则相关点的坐标如下:方法3:建系如下图,正三棱柱底面边长为a,高为a,取AB1的1111111113(0,),(0,0,),(,0,0),2222(,0,0),(,0,)223(0,0),(0,0,),2(,0,0),0,DMABB A.DMAB D,AB DABB A0.,aaaDaMAaaBAaDMaAAaABaDM AADM AB?则得面又面面面1111111113(0,),(0,0,),(,0,0),规律技巧:证明面面垂直有传统方法和向量法两种途径,传统方法考查逻辑思维能力较多,常需作辅助线解决,思维量大,向量法思维量小,但有时运算量较大,特别是建系时一定要根据题目所给空间体建立合适的坐标系,建系不当,会人为增加计算的难度.规律技巧:证明面面垂直有传统方法和向量法两种途径,传统方法考变式训练变式训练3:如图所示,在六面体在六面体ABCD-A1B1C1D1中中,四边形ABCD是边长为是边长为2的正方形,四边形四边形A1B1C1D1是边长为1的的正方形正方形,DD1平面平面A1B1C1D1,DD1平面平面ABCD,DD1=2.(1)求证求证:A1C1与与AC共面,B1D1与与BD共面共面;(2)求证求证:平面平面A1ACC1平面平面B1BDD1.变式训练3:如图所示,在六面体ABCD-A1B1C1D1中,证明:以以D为原点,以以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz,如图所示,则有D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(1,0,2),B1(1,1,2),C1(0,1,2),D1(0,0,2).证明:以D为原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y?1111111111111111(1,1,0),(2,2,0),(1,1,0),(2,2,0)1A C,.A CAC,B D.BD.2,2ACACD BDBACAC BDD BACDBD B?与平行与平行于是与共面与共面?1111111111111111(1,1,0),(2,2?1111111111111(0,0,2)(2,2,0)0,(2,2,0)(2,2,0)0,2DDDBB BDD,ACB BDD.A ACCAC,A ACCB BD,.D.DDACDB ACDDAC DBAC?与是平面内的两条相交直线平面又平面过平面平面?1111111111111(0,0,2)(2,2,0)0技 能 演 练(学生用书P82)技 能 演 练(学生用书P82)基础强化 1.在空间直角坐标系中,平面xOz的一个法向量是()A.(1,0,0)B.(0,1,0)C.(0,0,1)D.(0,1,1)答案:B 基础强化 1.在空间直角坐标系中,平面xOz的一个法向量是(2.平面的一个法向量为(1,2,0),平面的一个法向量为(2,-1,0),则平面与平面的关系是()A.平行 B.相交但不垂直 C.相交且垂直 D.无法判定 答案:C 2.平面的一个法向量为(1,2,0),平面的一个法向量为3.在空间四边形ABCD中,E、F分别是AB、BC的中点,则AC与平面DEF的位置关系是()A.平行 B.相交 C.在平面内 D.不能确定 答案:A 解析:如图所示,易知EFAC,又AC?平面DEF,EF?平面DEF,AC平面DEF.3.在空间四边形ABCD中,E、F分别是AB、BC的中点,则4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于()A.AC B.BD C.A1D D.A1A 答案:B 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1的中解析:如图,B1D1CC1,B1D1A1C1,又CC1A1C1=C1,B1D1平面AA1C1C,而CEAA1C1C,B1D1CE,又B1D1BD,CEBD.解析:如图,B1D1CC1,B1D1A1C1,又CC5.平面ABC中,A(0,1,1),B(1,2,1),C(-1,0,-1),若a=(-1,y,z),且a为平面ABC的法向量,则y2等于()A.2 B.0 C.1 D.无意义 答案:C 5.平面ABC中,A(0,1,1),B(1,2,1),C(-?2a1,y,zABC:(1,2,1)(0,1,1)(1,1,0)(1,0,1)(0,1,1)(1,1,2),0,0,10,aay1,2y1.10,ABACAB aACABa ACyyz?解析又为平面的法向量?2a1,y,zABC:(1,2,1)(0,1,1)(1,6.若直线l的方向向量a=(-2,3,1),平面的一个法向量n=(4,0,8),则直线l与平面的位置关系是_.解析:a5n=(-2)4+30+81=0,an,l?或l.答案:l?或l 6.若直线l的方向向量a=(-2,3,1),平面的一个法向能力提升 7.在正方体AC1中中,O、M分别是DB1、D1C1的中点.证明:OMBC1.能力提升 7.在正方体AC1中,O、M分别是DB1、D1C1证明:如图,以以D为原点,分别以DA、DC、DD1为为x、y、z轴建立空间直角坐标系D-xyz.证明:如图,以D为原点,分别以DA、DC、DD1为x、y、z?1111111(1,0,1),(2,0,2),2,O 1,1,1M 0,1,2B 2,2,0C0,2,2,OB BCC,O1MBC.,.2OMBCOMBCOMBC?设正方体的棱长为则、又平面?1111111(1,0,1),(2,0,2)8.在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中,E、F分别是AB、BC上的动点,且AE=BF,求证:A1FC1E.8.在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中,E、F分证明:以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(a,0,a),C1(0,a,a).设AE=BF=x,E(a,x,0),F(a-x,a,0).?1111112211x,a,aa,xa,aaxaxaa0.(,),(,).,A FC E.AFx aa C Ea xaaAF C EAFC E?即证明:以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(a9.如右图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G分别是A1D1、D1D、D1C1的中点.求证:平面EFG平面AB1C.9.如右图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E111111111111,1111,22222,/.11:EGAC22.ABa ADb AAcEGEDDGADDCbaACABADabACEGACEGEFEDD FADD D?证明 设则而故即又11111111EFB C.EGEFE,ACB CC,EFGA11,222,B C.bcBCBCCCbcEFEFBC?而即又平面平面111111111111,1111,22222,/.1品味高考 10.(北京卷)如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点,求证:AC1平面CDB1.品味高考 10.(北京卷)如图在直三棱柱ABC-A1B1C1证明:因直三棱柱ABC-A1B1C1底面三边长AC=3,BC=4,AB=5,所以AC2+BC2=AB2.所以ACBC,证明:因直三棱柱ABC-A1B1C1底面三边长AC=3,BC?1111111113(,2,0)ACBCC C,C,CACBCCxyz,C 0,0,0,A 3,0,0,C0,0,4,B 0,4,0,B 0,4,4,.23(,0,2),(3,0,4).21,2CBC BE,DEE 0,2,2,DDEACDEACDEAC?所以、两两垂直 以 为坐标原点直线、分别为、轴 建立空间直角坐标系 则设与的交点为连结则因所以所以1111111DEAC,DEAC,DECDB,ACCDB.ACCDB.,?又与不共线 所以因平面平面所以平面?1111111113(,2,0)AC