随机变量的数字特征课件

第七章第七章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征数学期望数学期望方差和标准差方差和标准差中心极限定理中心极限定理第七章 随机变量的数字特征数学期望方差和标准差中心极限定理1上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第七章随机变量的数字特征第七章随机变量的数字特征数学期望数学期望方差及标准方差及标准差差数学期望数学期望 中心极限定中心极限定理理一、数学期望的引例一、数学期望的引例Mathematical ExpectationMathematical Expectation例如例如：某：某7人的高数成绩为人的高数成绩为90，85，85，80，80，75，60，则他们的平均成绩为，则他们的平均成绩为7.1 7.1 数学期望数学期望一、数学期望的引例Mathematical Expectat2上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第七章随机变量的数字特征第七章随机变量的数字特征数学期望数学期望方差及标准方差及标准差差数学期望数学期望 中心极限定中心极限定理理设离散型随机变量的概率分布为设离散型随机变量的概率分布为 则称此级数为则称此级数为随机变量随机变量X X的数学期望，的数学期望，简称简称期望期望或或均值均值。1、定义、定义二、离散型随机变量的数学期望二、离散型随机变量的数学期望若级数若级数绝对收敛绝对收敛，记作记作E（X），即），即设离散型随机变量的概率分布为 则称此级数为随机变量X的数学3上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第七章随机变量的数字特征第七章随机变量的数字特征数学期望数学期望方差及标准方差及标准差差数学期望数学期望 中心极限定中心极限定理理2 2、数学期望的计算、数学期望的计算例例1 1 设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为-2 -1 0 1 2 30.10 0.20 0.25 0.20 0.15 0.10求随机变量函数求随机变量函数X的数学期望的数学期望E(X).解解：E(X)=0.42、数学期望的计算例1 设随机变量X的分布律为-2 4上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第七章随机变量的数字特征第七章随机变量的数字特征数学期望数学期望方差及标准方差及标准差差数学期望数学期望 中心极限定中心极限定理理 例例2 2 设设XB(1,p)求求E(X)X的分布律为的分布律为 解：解：X01pk1-pp所以所以,X的数学期望为的数学期望为E(X)=0(1-p)+1p=p 例2 设XB(1,p)求E(X)X的分布律为 5上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第七章随机变量的数字特征第七章随机变量的数字特征数学期望数学期望方差及标准方差及标准差差数学期望数学期望 中心极限定中心极限定理理 例例3 3 设设XP()求求E(X)X的分布律为的分布律为 解：解：X的数学期望为的数学期望为 即即 E(X)E(X)例3 设XP()求E(X)X的分布律为 解：6上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第七章随机变量的数字特征第七章随机变量的数字特征数学期望数学期望方差及标准方差及标准差差数学期望数学期望 中心极限定中心极限定理理三、连续型随机变量的数学期望三、连续型随机变量的数学期望设连续型随机变量设连续型随机变量X X的概率密度为的概率密度为f(x),f(x),即即 1、定义、定义 若广义积分若广义积分简称简称期望期望或或均值均值。则称此积分为则称此积分为X的数学期望，的数学期望，绝对收敛绝对收敛，三、连续型随机变量的数学期望设连续型随机变量X的概率密度为f7上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第七章随机变量的数字特征第七章随机变量的数字特征数学期望数学期望方差及标准方差及标准差差数学期望数学期望 中心极限定中心极限定理理例例4 4 设设XU(a b)求求E(X)X的概率密度为的概率密度为 解解 即数学期望位于区间即数学期望位于区间(a b)的中点的中点 则则2.计算计算例4 设XU(a b)求E(X)X的概率密度为8上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第七章随机变量的数字特征第七章随机变量的数字特征数学期望数学期望方差及标准方差及标准差差数学期望数学期望 中心极限定中心极限定理理四、随机变量的函数的数学期望四、随机变量的函数的数学期望设设设设是随机变量是随机变量 X的函数的函数,离散型离散型离散型离散型连续型连续型连续型连续型X X的概率密度为的概率密度为绝对收敛绝对收敛绝对收敛绝对收敛四、随机变量的函数的数学期望设是随机变量 X的函数,离散型连9上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第七章随机变量的数字特征第七章随机变量的数字特征数学期望数学期望方差及标准方差及标准差差数学期望数学期望 中心极限定中心极限定理理例例5 5 设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为-2 -1 0 1 2 30.10 0.20 0.25 0.20 0.15 0.10求随机变量函数求随机变量函数Y=X2数学期望数学期望.解解:方法一方法一:Y的分布律为的分布律为0 1 4 90.250.400.250.10则则Y的数学期望为的数学期望为E(Y)=00.25+10.40+40.25+90.10=2.30例5 设随机变量X的分布律为-2 -1 10上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第七章随机变量的数字特征第七章随机变量的数字特征数学期望数学期望方差及标准方差及标准差差数学期望数学期望 中心极限定中心极限定理理例例5 5 设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为-2 -1 0 1 2 30.10 0.20 0.25 0.20 0.15 0.10求随机变量函数求随机变量函数Y=X2数学期望数学期望.解解:方法二方法二(公式法公式法)E(Y)=E(X2)=(-2)20.1+(-1)20.2+020.25+120.2+220.15+320.1=2.30例5 设随机变量X的分布律为-2 -1 11上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第七章随机变量的数字特征第七章随机变量的数字特征数学期望数学期望方差及标准方差及标准差差数学期望数学期望 中心极限定中心极限定理理 例例6 （分赌本问题）设甲乙两人各有赌本（分赌本问题）设甲乙两人各有赌本a元，约定谁先胜元，约定谁先胜三局便赢得全部赌本。假如两人每局的胜率相同，现已赌三局，三局便赢得全部赌本。假如两人每局的胜率相同，现已赌三局，甲二胜一负，因某种原因赌博中止，问全部赌本甲二胜一负，因某种原因赌博中止，问全部赌本2a元应如何元应如何分配。分配。分别用分别用X、Y表示甲、乙两人的所得表示甲、乙两人的所得，则它们的分布律为，则它们的分布律为X02aY02ap1/43/4p3/41/4 E(X)=E(Y)=即甲应分到赌本即甲应分到赌本3a/2元，乙应分到赌本元，乙应分到赌本a/2元。元。解解:例6 （分赌本问题）设甲乙两人各有赌本a元，约定谁先胜三12上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第七章随机变量的数字特征第七章随机变量的数字特征数学期望数学期望方差及标准方差及标准差差数学期望数学期望 中心极限定中心极限定理理例例7 7 设随机变量设随机变量XU(0,),求求Y=sinX的数学期望的数学期望.解解:X的密度函数为的密度函数为则则例7 设随机变量XU(0,),求Y=sinX的数学期13上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第七章随机变量的数字特征第七章随机变量的数字特征数学期望数学期望方差及标准方差及标准差差数学期望数学期望 中心极限定中心极限定理理例例8 某种机器的无故障工作某种机器的无故障工作时间X有密度有密度 公司每公司每卖出一台机器可出一台机器可获利利1600元，若机器在售后元，若机器在售后1.2万小万小时内内出故障出故障则应予更予更换，此，此时每台每台亏亏损1200元，若在元，若在1.22万小万小时内出故障，内出故障，则由公司由公司负责维修，修理修，修理费400元，使用元，使用2万小万小时后后出故障，由用出故障，由用户自己自己负责。求公司出售每台机器的平均。求公司出售每台机器的平均获利。利。（单位：万小时）（单位：万小时）解：解：用用Y表示每台机器的获利，则表示每台机器的获利，则 Y=g(X)=例8 某种机器的无故障工作时间X有密度 14上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第七章随机变量的数字特征第七章随机变量的数字特征数学期望数学期望方差及标准方差及标准差差数学期望数学期望 中心极限定中心极限定理理即该公司售出每台机器平均获利即该公司售出每台机器平均获利1000元。元。即该公司售出每台机器平均获利1000元。15上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第七章随机变量的数字特征第七章随机变量的数字特征数学期望数学期望方差及标准方差及标准差差数学期望数学期望 中心极限定中心极限定理理五、数学期望的性质五、数学期望的性质(1)E(C)=C，C为常数。为常数。(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y)。(2)E(CX)=CE(X)，C为常数。为常数。(4)X与与Y相互独立相互独立，则，则E(XY)=E(X)E(Y)。已知已知X，Y是任意两个随机变量，则是任意两个随机变量，则u.相互独立时相互独立时当随机变量当随机变量 u.五、数学期望的性质(1)E(C)=C，C为常数。(3)16上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第七章随机变量的数字特征第七章随机变量的数字特征数学期望数学期望方差及标准方差及标准差差数学期望数学期望 中心极限定中心极限定理理例例9 已知随机变量已知随机变量X，Y相互独立，它们的密度函数分别为相互独立，它们的密度函数分别为求求E(2X-Y)，E(XY).解解：由题意可知：由题意可知XE(2)，YE(4)，故，故E(2X-Y)=2E(X)-E(Y)=21/2 1/4=3/4,因为因为X,Y相互独立，则相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y)=1/21/4=1/8.例9 已知随机变量X，Y相互独立，它们的密度函数分别为求E(17上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第七章随机变量的数字特征第七章随机变量的数字特征数学期望数学期望方差及标准方差及标准差差数学期望数学期望 中心极限定中心极限定理理E(X1)=5 X2P 2 3 5 7 81/8 1/8 1/2 1/8 1/8E(X2)=5 X1P 4 5 61/4 1/2 1/4设有两种球形产品，其直径的取值规律如下：设有两种球形产品，其直径的取值规律如下：两种产品的直径均值是相同的，但产品两种产品的直径均值是相同的，但产品2的偏差大，的偏差大，如果需要使用直径为如果需要使用直径为5的产品，则产品的产品，则产品1较产品较产品2理想。理想。7.2 方差与标准差方差与标准差一、引例一、引例E(X1)=5 X2P 2 3 18上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第七章随机变量的数字特征第七章随机变量的数字特征数学期望数学期望方差及标准方差及标准差差数学期望数学期望 中心极限定中心极限定理理二、方差（二、方差（VarianceVariance）的定义）的定义u 定义定义 u均方差（标准差）均方差（标准差）与与 有相同的量纲有相同的量纲 设设X是一随机变量，如果是一随机变量，如果 存在，则称存在，则称其为其为X的方差，记作的方差，记作 或或 即即 X的方差表达了的方差表达了X的取值与其数学期望的偏离程度。是刻划的取值与其数学期望的偏离程度。是刻划X取值分散程度的一个量。取值分散程度的一个量。二、方差（Variance）的定义 定义 19上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第七章随机变量的数字特征第七章随机变量的数字特征数学期望数学期望方差及标准方差及标准差差数学期望数学期望 中心极限定中心极限定理理证明：证明：三、方差的计算三、方差的计算证明：三、方差的计算20上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第七章随机变量的数字特征第七章随机变量的数字特征数学期望数学期望方差及标准方差及标准差差数学期望数学期望 中心极限定中心极限定理理一维随机变量的方差一维随机变量的方差设设离散型离散型随机变量随机变量X的概率分布为的概率分布为u离散型离散型u连续型连续型设设连续型连续型随机变量随机变量X的分布密度为的分布密度为 f(x)其中其中 一维随机变量的方差设离散型随机变量X的概率分布为离散型连续型21上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第七章随机变量的数字特征第七章随机变量的数字特征数学期望数学期望方差及标准方差及标准差差数学期望数学期望 中心极限定中心极限定理理例例1 1 设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为-2 -1 0 1 2 30.10 0.20 0.25 0.20 0.15 0.10求求D(X)。解解：因为：因为E(X2)=(-2)20.1+(-1)20.2+020.25+120.2+220.15+320.1=2.30，所以，所以，=2.30.16=2.14.例1 设随机变量X的分布律为-2 -1 22上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第七章随机变量的数字特征第七章随机变量的数字特征数学期望数学期望方差及标准方差及标准差差数学期望数学期望 中心极限定中心极限定理理例例2 设设X的密度函数为的密度函数为求求D(X)。解解：因为：因为所以，所以，=2.例2 设X的密度函数为求D(X)。解：因为所以，=2.23上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第七章随机变量的数字特征第七章随机变量的数字特征数学期望数学期望方差及标准方差及标准差差数学期望数学期望 中心极限定中心极限定理理例例3 3 0-1分布的方差分布的方差XP0 11-p p分布律为分布律为其中其中 例3 0-1分布的方差XP0 11-p 24上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第七章随机变量的数字特征第七章随机变量的数字特征数学期望数学期望方差及标准方差及标准差差数学期望数学期望 中心极限定中心极限定理理 解解 设设XP()求求D(X)X的分布律为的分布律为 已知已知E(X)而而 E(X2)EX(X1)X EX(X1)E(X)2ee 所以方差所以方差 D(X)E(X 2)E(X)2 22 2 例例4 4 泊松分布的方差泊松分布的方差E(X)D(X)解 设XP()求D(X)X的分布律为 25上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第七章随机变量的数字特征第七章随机变量的数字特征数学期望数学期望方差及标准方差及标准差差数学期望数学期望 中心极限定中心极限定理理 解解 设设XU(a b)求求D(X)X的概率密度为的概率密度为 D(X)E(X2)E(X)2 例例5 5 均匀分布的方差均匀分布的方差已知已知2)(baXE+=.方差为方差为 解 设XU(a b)求D(X)X的概率密度26上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第七章随机变量的数字特征第七章随机变量的数字特征数学期望数学期望方差及标准方差及标准差差数学期望数学期望 中心极限定中心极限定理理解解 设随机变量设随机变量X X服从指数分布服从指数分布 其概率密度为其概率密度为 求求E(X)D(X)于是于是 D(X)E(X2)E(X)2 例例6 6 指数分布的期望与方差指数分布的期望与方差解 设随机变量X服从指数分布 其概率密度为 求E(X)27上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第七章随机变量的数字特征第七章随机变量的数字特征数学期望数学期望方差及标准方差及标准差差数学期望数学期望 中心极限定中心极限定理理4、方差的性质、方差的性质u D(C)=0u D(CX)=C2D(X)X与与Y是独立的，则是独立的，则D(X+Y)=D(X)+D(Y)Xi(i=1,2,n)是独立的，则是独立的，则u D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E(X-E(X)(Y-E(Y)4、方差的性质 D(C)=0 D(CX)=C28上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第七章随机变量的数字特征第七章随机变量的数字特征数学期望数学期望方差及标准方差及标准差差数学期望数学期望 中心极限定中心极限定理理解解 设设XB(n p)求求E(X)D(X)考虑考虑n重贝努里试验重贝努里试验 在每次试验中在每次试验中A发生的概率为发生的概率为p X为为n次次试验中试验中A发生的次数发生的次数 则则XB(n p)记记 则则 XX1X2 Xn 显然显然 X1 X2 Xn相互独立且同服从参数为相互独立且同服从参数为p的的0 1分布分布 于是于是 E(Xk)pD(Xk)p(1p)(k1 2 3 n)即得即得 E(X)E(X1X2 Xn)E(X1)E(X2)E(Xn)np D(X)D(X1X2 Xn)D(X1)D(X2)D(Xn)np(1p)次试验时不发生次试验时不发生在第在第次试验时发生次试验时发生在第在第kAkAXk01(k1 2 3 n)例例7 7 二项分布的期望与方差二项分布的期望与方差E(X)=np,D(X)=np(1-p)解 设XB(n p)求E(X)D(X)考虑n29上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第七章随机变量的数字特征第七章随机变量的数字特征数学期望数学期望方差及标准方差及标准差差数学期望数学期望 中心极限定中心极限定理理解解 设设XN(2)求求E(X)D(X)Z的概率密度为的概率密度为 因为因为X Z 故故 E(X)E(Z)D(X)D(Z)D()2D(Z)2 先求标准正态变量先求标准正态变量XZ的数学期望和方差的数学期望和方差 于是于是21)(2/2tdtteZEp例例8 8 正态分布的期望与方差正态分布的期望与方差E(X)D(X)2 解 设XN(2)求E(X)D(X)30上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第七章随机变量的数字特征第七章随机变量的数字特征数学期望数学期望方差及标准方差及标准差差数学期望数学期望 中心极限定中心极限定理理常见分布及其期望和方差列表常见分布及其期望和方差列表分布名称分布名称 数学期望数学期望E（X）方差方差D（X）0-10-1分布分布 二项分布二项分布B(n,p)泊松分布泊松分布 P()均匀分布均匀分布U(a,b)指数分布指数分布 E()正态分布正态分布 常见分布及其期望和方差列表分布名称 31上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第七章随机变量的数字特征第七章随机变量的数字特征数学期望数学期望方差及标准方差及标准差差数学期望数学期望 中心极限定中心极限定理理例例9设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为求求E(X)，E(2X)，E(X+e-2X),D(X).解：解：由题意可知，由题意可知，X服从参数为服从参数为1的指数分布，故的指数分布，故例9设随机变量X的概率密度为求E(X)，E(2X)，E(X+32上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第七章随机变量的数字特征第七章随机变量的数字特征数学期望数学期望方差及标准方差及标准差差数学期望数学期望 中心极限定中心极限定理理若若相互独立，并且都服从正态分布：相互独立，并且都服从正态分布：则它们的线性组合则它们的线性组合也服从正态分布，且有也服从正态分布，且有其中其中为常数。为常数。一般的，一般的，若相互独立，并且都服从正态分布：则它们的线性组合也服从正态分33上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第七章随机变量的数字特征第七章随机变量的数字特征数学期望数学期望方差及标准方差及标准差差数学期望数学期望 中心极限定中心极限定理理解解 例例1010 设设活活塞塞的的直直径径(以以cmcm计计)XN(22 40 0 032)气气缸缸的的直直径径YN(22 50 0 042)X Y相相互互独独立立 任任取一只活塞取一只活塞 任取一只气缸任取一只气缸 求活塞能装入气缸的概率求活塞能装入气缸的概率 按题意需求按题意需求PX Y PX Y 0 由于由于 XYN(010 00025)故有故有 PXYPXY0 解 例10 设活塞的直径(以cm计)XN(2240 034上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第七章随机变量的数字特征第七章随机变量的数字特征数学期望数学期望方差及标准方差及标准差差数学期望数学期望 中心极限定中心极限定理理矩的定义：矩的定义：uk阶原点矩阶原点矩离散型离散型连续型连续型uk阶中心矩阶中心矩离散型离散型连续型连续型u K+l阶混合原点矩阶混合原点矩 E(Xk Yl),k,l=0,1,2,；u K+l阶混合中心矩阶混合中心矩 EX E(X)kY E(Y)l,k,l=0,1,2,；矩的定义：k阶原点矩离散型连续型k阶中心矩离散型连续型 K+35上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第七章随机变量的数字特征第七章随机变量的数字特征数学期望数学期望方差及标准方差及标准差差数学期望数学期望 中心极限定中心极限定理理客观背景：客观背景：客观实际中，许多随机变量是由大量相互客观实际中，许多随机变量是由大量相互独立的偶然因素的综合影响所形成，每一个微小因独立的偶然因素的综合影响所形成，每一个微小因素，在总的影响中所起的作用是很小的，但总起来，素，在总的影响中所起的作用是很小的，但总起来，却对总和有显著影响，这种随机变量往往近似地服从却对总和有显著影响，这种随机变量往往近似地服从正态分布。正态分布。概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布概率论中有关论证独立随机变量的和的极限分布是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。7.3 7.3 中心极限定理中心极限定理客观背景：客观实际中，许多随机变量是由大量相互 概率论36上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第七章随机变量的数字特征第七章随机变量的数字特征数学期望数学期望方差及标准方差及标准差差数学期望数学期望 中心极限定中心极限定理理1.独立同分布独立同分布中心极限定理中心极限定理 设设Xn为独立为独立同分布同分布随机变量序列，若随机变量序列，若 E(Xi)=，D(Xi)=2 ，i=1,2,则则的的分分布布函函数数 对对任任意意x满满足足即即n充分大时，有充分大时，有的分布函数的分布函数 对任意对任意x满足满足1.独立同分布中心极限定理的分布函数 37上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第七章随机变量的数字特征第七章随机变量的数字特征数学期望数学期望方差及标准方差及标准差差数学期望数学期望 中心极限定中心极限定理理定理的应用定理的应用：对于：对于独立独立的随机变量序列的随机变量序列 ，不管，不管 服从什么分布，只要它们是服从什么分布，只要它们是同分布同分布，且有且有有限的数学期望和方差有限的数学期望和方差，那么，当，那么，当n n充分大充分大时，这时，这些随机变量之和些随机变量之和 近似地服从正态分布：近似地服从正态分布：定理的应用：对于独立的随机变量序列 ，不管38上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第七章随机变量的数字特征第七章随机变量的数字特征数学期望数学期望方差及标准方差及标准差差数学期望数学期望 中心极限定中心极限定理理例例1 为测定一台机床的质量，将其分成为测定一台机床的质量，将其分成75个部件，假定每个个部件，假定每个部件重量的误差都服从部件重量的误差都服从U(1，1)，求机床总重量绝对误差，求机床总重量绝对误差10kg的概率。的概率。解解:设第设第i个部件的误差为个部件的误差为Xi，则，则 XiU(1，1)，i=1,75.故故 E(Xi)=D(Xi)=故由独立同分布中心极限定理，可认为故由独立同分布中心极限定理，可认为于是于是=20.97721=0.9544 .例1 为测定一台机床的质量，将其分成75个部件，假定每个部39上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第七章随机变量的数字特征第七章随机变量的数字特征数学期望数学期望方差及标准方差及标准差差数学期望数学期望 中心极限定中心极限定理理例例2 2 一加法器同时收到一加法器同时收到2020个噪声电压个噪声电压Vk(k 1 2 20)设它们是相互独立的随机变量设它们是相互独立的随机变量 且都在区间且都在区间(0(0 10)10)上服从均匀分布上服从均匀分布 记记V V1 V2 V20 求求P(V 105)的的近似值近似值 易知易知E(Vk)5 D(Vk)100/12(k 1 2 20)由由独立分布的中心极限定理独立分布的中心极限定理 随机变量随机变量 解解 近似地服从正态分布近似地服从正态分布N(100 2000/12)故故例2 一加法器同时收到20个噪声电压Vk(k1 2 40上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第七章随机变量的数字特征第七章随机变量的数字特征数学期望数学期望方差及标准方差及标准差差数学期望数学期望 中心极限定中心极限定理理设随机变量设随机变量Xn(n=1,2,.)服从参数为服从参数为n,p(0p1)的二项分布，则对任意的实数的二项分布，则对任意的实数x,2.2.德莫佛德莫佛-拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理二项分布的极限分布是正态分布二项分布的极限分布是正态分布 即如果即如果，则，则 故故设随机变量Xn(n=1,2,.)服从参数为n,p(41上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第七章随机变量的数字特征第七章随机变量的数字特征数学期望数学期望方差及标准方差及标准差差数学期望数学期望 中心极限定中心极限定理理随机变量的数字特征课件42上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第七章随机变量的数字特征第七章随机变量的数字特征数学期望数学期望方差及标准方差及标准差差数学期望数学期望 中心极限定中心极限定理理例例3 3 设车间里有里有400400台同型机器，每台需用台同型机器，每台需用电Q Q瓦，每台机器开瓦，每台机器开动的机率的机率为0.750.75，问应供电多少瓦，才能保证机器以，问应供电多少瓦，才能保证机器以99%99%的概的概率正常工作。这里，假设各台机器的开动是相互独立的。率正常工作。这里，假设各台机器的开动是相互独立的。解：解：用用X表示机器开动的台数，则表示机器开动的台数，则XB(400，3/4),故由故由 查表得查表得 x=2.326，于是于是 X 300+20=320,即只需供电即只需供电320Q瓦，便可保证瓦，便可保证99%的机器正常工作。的机器正常工作。例3 设车间里有400台同型机器，每台需用电Q瓦，每台机器43上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第七章随机变量的数字特征第七章随机变量的数字特征数学期望数学期望方差及标准方差及标准差差数学期望数学期望 中心极限定中心极限定理理解解 例例4 4 在一家保险公司有在一家保险公司有30003000人参加保险，每年每人付人参加保险，每年每人付1010元保元保险费，在一年内这些人死亡的概率都为险费，在一年内这些人死亡的概率都为0.0010.001，死亡后家属可，死亡后家属可向保险公司领取向保险公司领取20002000元，试求：元，试求：(1)(1)保险公司一年的利润不少于保险公司一年的利润不少于2.42.4万元的概率；万元的概率；(2)(2)保险公司亏本的概率。保险公司亏本的概率。设一年内的死亡人数为设一年内的死亡人数为X，保险公司一年的利润为，保险公司一年的利润为Z，则则故（故（1）所以由中心极限定理，所以由中心极限定理，解 例4 在一家保险公司有3000人参加保险，每年每人付1044上一页上一页下一页下一页最近页最近页首页首页第七章随机变量的数字特征第七章随机变量的数字特征数学期望数学期望方差及标准方差及标准差差数学期望数学期望 中心极限定中心极限定理理解解（2）保险公司亏本的概率为，）保险公司亏本的概率为，例例4 4 在一家保险公司有在一家保险公司有30003000人参加保险，每年每人付人参加保险，每年每人付1010元保元保险费，在一年内这些人死亡的概率都为险费，在一年内这些人死亡的概率都为0.0010.001，死亡后家属可，死亡后家属可向保险公司领取向保险公司领取20002000元，试求：元，试求：(1)(1)保险公司一年的利润不少于保险公司一年的利润不少于2.42.4万元的概率；万元的概率；(2)(2)保险公司亏本的概率。保险公司亏本的概率。解（2）保险公司亏本的概率为，例4 在一家保险公司有30045