曲线积分与曲面积分课件

曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分1一、对弧长的曲线积分的概念一、对弧长的曲线积分的概念1.定义函数定义函数 f(x,y)在曲线弧上对弧长的曲线积分在曲线弧上对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念1.定义函数 f(x,y)在曲22.存在条件：存在条件：3.推广推广2.存在条件：3.推广34.性质性质 4.性质 45、对弧长曲线积分的计算、对弧长曲线积分的计算定理定理5、对弧长曲线积分的计算定理5注意注意:注意:6例例1解解例1解7例例2解解例例3解解例2解例3解8例例3解解 由对称性由对称性,知知例3解由对称性,知9练习题练习题练习题10练习题答案练习题答案练习题答案11二、对坐标的曲线积分的概念二、对坐标的曲线积分的概念1.定义定义:2.函数函数 P(x,y)在有向曲线弧在有向曲线弧L上对坐标上对坐标 x 的曲线积的曲线积分分类似地定义类似地定义二、对坐标的曲线积分的概念定义:类似地定义122.存在条件：存在条件：3.组合形式组合形式2.存在条件：3.组合形式134.4.推广推广4.推广145.5.性质性质即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.5.性质即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.156、对坐标的曲线积分的计算、对坐标的曲线积分的计算定理定理6、对坐标的曲线积分的计算定理16曲线积分与曲面积分课件17曲线积分与曲面积分课件18例例1解解例1解19曲线积分与曲面积分课件20例例2解解例2解21问题问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同路径不同积分结果不同.问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同22例例3解解例3解23曲线积分与曲面积分课件24问题问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同路径不同而积分结果相同.问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相25(4)两类曲线积分之间的联系：两类曲线积分之间的联系：其中其中（可以推广到空间曲线上（可以推广到空间曲线上 ）(4)两类曲线积分之间的联系：其中（可以推广到空间曲线上 26思考题思考题思考题27思考题解答思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定曲线方向由参数的变化方向而定.思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定.28曲线积分与曲面积分课件29练习题答案练习题答案练习题答案301 1、区域连通性的分类、区域连通性的分类 设设D为平面区域为平面区域,如果如果D内任一闭曲线所内任一闭曲线所围成的部分都属于围成的部分都属于D,则称则称D为平面单连通区域为平面单连通区域,否则称为复连通区域否则称为复连通区域.复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域DD三三、格林公式、格林公式1、区域连通性的分类 设D为平面区域,如果D内任一闭312.2.格林公式格林公式定理定理1 12.格林公式定理132边界曲线边界曲线L L的正向的正向:当观察者沿边界行走时当观察者沿边界行走时,区区域域D总在他的左边总在他的左边.边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边33曲线积分与曲面积分课件34xyoLAB xyoLAB35曲线积分与曲面积分课件36解解解37xyoLyxoxyoLyxo38xyo(注意格林公式的条件注意格林公式的条件)xyo(注意格林公式的条件)39 若区域若区域 如图为如图为复连通域，试描述格复连通域，试描述格林公式中曲线积分中林公式中曲线积分中L的方向。的方向。思考题思考题 若区域 如图为复连通域，试描述格林公40思考题解答思考题解答由两部分组成由两部分组成外外边界：边界：内内边界：边界：思考题解答由两部分组成外边界：内边界：41Gyxo四、第二类曲线积分与路径无关的条件四、第二类曲线积分与路径无关的条件BA1.1.定义：如果在区域定义：如果在区域G内有内有Gyxo四、第二类曲线积分与路径无关的条件BA1.定义：如果422.2.曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关的条件定理定理2 22.曲线积分与路径无关的条件定理243两条件缺一不可两条件缺一不可有关定理的说明：有关定理的说明：两条件缺一不可有关定理的说明：44定理定理3 3定理345曲线积分与曲面积分课件46解解解47解解解48曲线积分与曲面积分课件49四、小结四、小结与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件等等价价命命题题四、小结与路径无关的四个等价命题条件等50曲线积分与曲面积分课件51曲线积分与曲面积分课件52练习题答案练习题答案练习题答案53五、对面积的曲面积分五、对面积的曲面积分1.1.定义定义五、对面积的曲面积分1.定义542.2.对面积的曲面积分的性质对面积的曲面积分的性质2.对面积的曲面积分的性质553、计算法、计算法则则3、计算法则56则则则57例例1 1解解例1解58曲线积分与曲面积分课件59解解依对称性知：依对称性知：解依对称性知：60曲线积分与曲面积分课件61曲线积分与曲面积分课件62练练 习习 题题练 习 题63曲线积分与曲面积分课件64练习题答案练习题答案练习题答案65六、对坐标的曲面积分六、对坐标的曲面积分1.曲面的侧曲面的侧(假设曲面是光滑的假设曲面是光滑的)曲面分曲面分上上侧和侧和下下侧侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧六、对坐标的曲面积分1.曲面的侧(假设曲面是光滑的)曲66曲面法曲面法向量的指向向量的指向决定曲面的决定曲面的侧侧.决定了侧的曲面称为决定了侧的曲面称为有向曲面有向曲面.曲面的投影问题曲面的投影问题:曲面法向量的指向决定曲面的侧.决定了侧的曲面称为有向曲面.曲672 2、概念及性质、概念及性质2、概念及性质68类似可定义类似可定义类似可定义69存在条件存在条件:组合形式组合形式:存在条件:组合形式:70性质性质:性质:713 3、计算法、计算法3、计算法72曲线积分与曲面积分课件73注意注意:对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧必须注意曲面所取的侧.注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.74解解解75曲线积分与曲面积分课件76练练 习习 题题练 习 题77练习题答案练习题答案练习题答案78七、高七、高 斯斯 公公 式式七、高 斯 公 式79GaussGauss公式的实质公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系曲面上的曲面积分之间的关系.由两类曲面积分之间的关系知由两类曲面积分之间的关系知Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重80解解解81(利用柱面坐标得利用柱面坐标得)(利用柱面坐标得)82使用使用Guass公式时应注意公式时应注意:使用Guass公式时应注意:83曲线积分与曲面积分课件84解解空间曲面在空间曲面在 面上的投影域为面上的投影域为曲面曲面 不是封闭曲面不是封闭曲面,为利用为利用高斯公式高斯公式解空间曲面在 面上的投影域为曲面不是封闭曲面85曲线积分与曲面积分课件86故所求积分为故所求积分为故所求积分为87练习题练习题练习题88