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高频考点4.2 数列大题 高频考点 4.2 数列大题 高频考点-2-数学思想方年份 卷别 设问特点 涉及知识点 函数模型 法 数列通项及全国 证明an+2-an=;存前 n 项和、anan+1=f(方程思想、在性问题 等差数列的 Sn)等价变换 通项 2014 证明数列为等比等比数列的全国等价变换、数列;证明数列不通项及前 n 递推数列 放缩法 等式 项和 已知 an与 Sn的关递推消元、全国 系求数列通项;已数列的通项Sn=f(an)型 方程思想、知数列bn的通项 及前 n项和 裂项求和 2015 求前 n 项和 全国没有考查 高频考点-2-数学思想方年份 卷别 设问特点 涉及知识点高频考点-3-年份 卷别 设问特点 全国没有考查 涉及知识点 数学思想方函数模型 法 等差数列的通求数列某三项;等差数全国项、分段数列、求数列前 1 000列、分段等价转换 2016 数列的前 n项项和 数列 和 证明数列是等递推数列、等全国递推方法、比数列,并求其比数列的定义等比数列 方程思想 通项;求参数 及通项 2017 没有考查 高频考点-3-年份 卷别 设问特点 全国没有考查 涉高频考点-4-年份 卷别 设问特点 全国没有考查 数学思想方涉及知识点 函数模型 法 已知等差数列的等差数列的全国 关系求通项,求前 n方程思想,通项、前 n 等差数列 项和及前 n项和的函数思想 2018 项和公式 最小值 已知等比数列的等比数列的方程思想,全国 关系式求其通项;通项、前 n 等比数列 分类讨论 已知前 n项和求项项和公式 思想 数 n 高频考点-4-年份 卷别 设问特点 全国没有考查 数高频考点-5-1.由递推关系式求数列的通项公式(1)形如an+1=an+f(n),利用累加法求通项.(2)形如an+1=anf(n),利用累乘法求通项.?(3)形如an+1=pan+q,等式两边同时加 转化为等比数列求通项.?1高频考点-5-1.由递推关系式求数列的通项公式(1)形高频考点-6-2.数列求和的常用方法(1)公式法:利用等差数列、等比数列的求和公式.(2)错位相减法:适合求数列anbn的前n项和Sn,其中anbn一个是等差数列,另一个是等比数列.(3)裂项相消法:即将数列的通项分成两个式子的代数和,通过累加抵消中间若干项的方法.(4)拆项分组法:先把数列的每一项拆成两项(或多项),再重新组合成两个(或多个)简单的数列,最后分别求和.(5)并项求和法:把数列的两项(或多项)组合在一起,重新构成一个数列再求和,适用于正负相间排列的数列求和.高频考点-6-2.数列求和的常用方法(1)公式法:利用高频考点4.2.1 等差、等比数列的综合问题 高频考点 4.2.1 等差、等比数列的综合问题 高频考点考向一 考向二 考向三 考向四 考向五-8-等差等差(比比)数列的判断与证明数列的判断与证明 327*例 1 已知数列a,其前 n 项和为 S=n+n(nN).nn 22(1)求a1,a2;(2)求数列an的通项公式,并证明数列an是等差数列;(3)如果数列bn满足an=log2bn,试证明数列bn是等比数列,并求其前n项和Tn.高频考点 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五-8-等高频考点考向一 考向二 考向三 考向四 考向五-9-解:(1)a1=S1=5,a1+a2=S2=(2)当 n2时,an=Sn-Sn-1=2=2(2n-1)+2=3n+2.37332722+22=13,解得 a2=8.2722n-(n-1)+n-(n-1)又 a1=5满足 an=3n+2,所以 an=3n+2.因为 an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3,所以数列an是以 5为首项,3为公差的等差数列.(3)由已知得 bn=2?,?+1?=2?+12?1=2?+1-?=23=8,=327又 b1=2=32,所以数列bn是以 32为首项,8为公比的等比数列.所以 Tn=32(1-8?)1-8(8n-1).高频考点 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五-9-解高频考点考向一 考向二 考向三 考向四 考向五-10-解题心得解题心得1.判断和证明数列是等差(比)数列的三种方法.?+1 或 为同一常(1)定义法:对于n1的任意自然数,验证an+1-an?数.(2)通项公式法:若an=kn+b(nN*),则an为等差数列;若an=pqkn+b(nN*),则an为等比数列.(3)中项公式法:若2an=an-1+an+1(nN*,n2),则an为等差数列;2?=an-1若 an+1(nN*,n2),则an为等比数列.2.对已知数列an与Sn的关系,证明an为等差或等比数列的问题,解题思路是:由an与Sn的关系递推出n+1时的关系式,两个关系式相减后,进行化简、整理,最终化归为用定义法证明.高频考点 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五-10-高频考点考向一 考向二 考向三 考向四 考向五-11-对点训练对点训练1设Sn为等比数列an的前n项和,已知S2=2,S3=-6.(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.?1(1+?)=2,解:(1)设an的公比为 q.由题设可得 解得2?1(1+?+?)=-6.q=-2,a1=-2.故an的通项公式为 an=(-2)n.(2)由(1)可得?+1?1(1-?)22nSn=-3+(-1)3.由于1-?+122-+(-1)n33?+3?+242-2nSn+2+Sn+1=-+(-1)=233=2Sn,故 Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.高频考点 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五-11-高频考点考向一 考向二 考向三 考向四 考向五-12-等差数列的通项及求和等差数列的通项及求和 例2(2018北京卷,文15)设an是等差数列,且a1=ln 2,a2+a3=5ln 2.(1)求an的通项公式;(2)求e?1+e?2+e?.高频考点 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五-12-高频考点考向一 考向二 考向三 考向四 考向五-13-解:(1)设等差数列an的公差为d,a2+a3=5ln 2.2a1+3d=5ln 2,又a1=ln 2,d=ln 2.an=a1+(n-1)d=nln 2.(2)由(1)知an=nln 2.e=e=e=2n,e?是以 2 为首项,2为公比的等比数列.e?1+e?2+e?=2+22+2n=2n+1-2.e?1+e?2+e?=2n+1-2.nln 2?ln 2?高频考点 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五-13-高频考点考向一 考向二 考向三 考向四 考向五-14-解题心得解题心得已知等差数列前几项或者前几项的关系,求其通项及前n项和时,只需利用等差数列的通项公式及求和公式得到几个方程求解即可.高频考点 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五-14-高频考点考向一 考向二 考向三 考向四 考向五-15-对点训练对点训练2(2018全国卷2,理17)记Sn为等差数列an的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.解:(1)设an的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以an的通项公式为an=2n-9.(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.高频考点 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五-15-高频考点考向一 考向二 考向三 考向四 考向五-16-等比数列的通项及求和等比数列的通项及求和 例3(2018全国卷3,理17)等比数列an中,a1=1,a5=4a3.(1)求an的通项公式;(2)记Sn为an的前n项和,若Sm=63,求m.解:(1)设an的公比为q,由题设得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.故an=(-2)n-1或an=2n-1.?1-(-2)(2)若an=(-2)n-1,则 .Sn=由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有3正整数解.若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.综上,m=6.高频考点 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五-16-高频考点考向一 考向二 考向三 考向四 考向五-17-解题心得解题心得已知等比数列前几项或者前几项的关系,求其通项及前n项和时,只需利用等比数列的通项公式及求和公式得到几个方程求解即可.高频考点 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五-17-高频考点考向一 考向二 考向三 考向四 考向五-18-对点训练对点训练3(2018北京朝阳期末,理15)已知由实数构成的等比数列an满足a1=2,a1+a3+a5=42.(1)求数列an的通项公式;(2)求a2+a4+a6+a2n.?1=2,解:(1)由 可得 2(1+q2+q4)=42.由数列an各项为?1+?3+?5=42,实数,解得 q2=4,q=2.所以数列an的通项公式为 an=2n或 an=(-1)n-12n.(2)当当?4(1-4)nan=2 时,a2+a4+a6+a2n=1-4=4n(4-1);3?(-4)(1-4)n-1nan=(-1)2 时,a2+a4+a6+a2n=1-4=4(1-4n).3高频考点 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五-18-高频考点考向一 考向二 考向三 考向四 考向五-19-等差、等比数列的综合问题等差、等比数列的综合问题 例4(2018北京海淀模拟,理15)已知等差数列an的前n项和Sn,且a2=5,S3=a7.(1)数列an的通项公式;(2)若bn=2?,求数列an+bn前n项和.高频考点 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五-19-高频考点考向一 考向二 考向三 考向四 考向五-20-解:(1)设等差数列an的首项为 a1,公差为 d.?1+?=5,?1=3,解得 3?1+3?=?1+6?,?=2.由 an=a1+(n-1)d,得 an=2n+1.因此,通项公式为 an=2n+1.(2)由(1)可知:an=2n+1,则n+1?+12bn=2,?=22(?+1)+122?+1=4,因为 b1=23=8,所以bn是首项为 8,公比为 q=4 的等比数列.记an+bn的前 n 项和为 Tn,则Tn=(a1+b1)+(a2+b2)+(an+bn)=(a1+a2+an)+(b1+b2+bn)=?(?1+?)?1(1-?)8(4-1)2+=n+2n+.231-?高频考点 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五-20-高频考点考向一 考向二 考向三 考向四 考向五-21-解题心得解题心得对于等差、等比数列的综合问题,解决的思路主要是方程的思想,即运用等差、等比数列的通项公式和前 n项和公式将已知条件转化成方程或方程组,求出首项、公差、公比等基本量,再由基本量求出题目要求的量.高频考点 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五-21-高频考点考向一 考向二 考向三 考向四 考向五-22-对点训练对点训练4已知等差数列an的公差不为零,a1=25,且a1,a11,a13成等比数列.(1)求an的通项公式;(2)求 a1+a4+a7+?3?-.2高频考点 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五-22-高频考点考向一 考向二 考向三 考向四 考向五-23-2 1a13,解:(1)设an的公差为d.由题意,得?11=a即(a1+10d)2=a1(a1+12d).于是d(2a1+25d)=0.又a1=25,所以d=0(舍去)或d=-2.故an=-2n+27.(2)令Sn=a1+a4+a7+a3n-2.由(1)知a3n-2=-6n+31,故a3n-2是首项为25,公差为-6的等差数列.从而?Sn=(a1+a3n-2)=(-6n+56)=-3n2+28n.22高频考点 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五-23-高频考点考向一 考向二 考向三 考向四 考向五-24-可转化为等差、等比数列的问题可转化为等差、等比数列的问题 例5(2018山东潍坊三模,理17)已知数列an的前n项和为Sn,且1,an,Sn成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足anbn=1+2nan,求数列bn的前n项和Tn.解:(1)由已知1,an,Sn成等差数列,得2an=1+Sn,当n=1时,2a1=1+S1=1+a1,a1=1.当n2时,2an-1=1+Sn-1,-,得2an-2an-1=an,?=2.数列an是以 1 为首项,2为公比的等比数列.an=a1qn-1=12n-1=2n-1.?-1高频考点 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五-24-高频考点考向一 考向二 考向三 考向四 考向五-25-(2)由 anbn=1+2nan,得1bn=?+2n,?11+?2?1111Tn=b1+b2+bn=?+2+?+4+?+2n=?12111-?+(2+4+2n)=211-2(2+2?)?12+2=n+n+2-?-1.2解题心得解题心得无论是求数列的通项还是求数列的前 n项和,通过变形、整理后,能够把数列转化为等差数列或等比数列,进而利用等差数列或等比数列的通项公式或求和公式解决问题.高频考点 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五-25-高频考点考向一 考向二 考向三 考向四 考向五-26-对点训练对点训练5(2018河北唐山三模,理17)已知数列an是等差数列,bn是等比数列,a1=1,b1=2,a2+b2=7,a3+b3=13.(1)求an和bn的通项公式;?,?为奇数,(2)若 cn=求数列cn的前 2n 项和 S2n.?,?为偶数,高频考点 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五-26-高频考点考向一 考向二 考向三 考向四 考向五-27-解:(1)设数列an的公差为 d,数列bn的公比为 q,1+?+2?=7,依题意有,21+2?+2?=13,?=2,解得 故 an=2n-1,bn=2n.?=2.(2)由已知 c2n-1=a2n-1=4n-3,c2n=b2n=4n,所以数列cn的前 2n 项和为?(1+4?-3)S2n=(a1+a3+a2n-1)+(b2+b4+b2n)=+24(1-4?)4n2=2n-n+(4-1).31-4高频考点 考向一 考向二 考向三 考向四 考向五-27-
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