专题2数列课件

HUN-理科数学数学数学数学决胜高考专案突破名师诊断对点集训题型2010年2011年2012年小题第12题:等差数列.大题第21题:函数与数列(等比数列).第22题:数列(用数学归纳法证明不等式).第19题:数列(求通项,证明充要条件).【考情报告】名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考【考向预测】数列一直是高考的重点与热点.由于它既具有函数特征,又能构成独特的递推关系,使得它既与中学数学其他部分知识,如:函数、方程、不等式、解析几何、二项式定理等有较紧密的联系,又有自己鲜明的特征,因此在高考中占有极其重要的地位.以考查数列的通项公式,前n项和及数列的基本性质为主要内容,在试卷中约占12分或17分,一个解答题和一个填空题,或单独一道解答题;小题一般为概念性问题,常用等差数列、等比数列的概念和性质来解决,属于中低档题;而大题的综合性较强,常从数列的递推关系入手,再转化为等差数列和等比数列中的求通项或求和.考查学生数学思维能力和分析、建模名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考、解决问题的能力以及函数与方程的思想、转化与化归的思想、分类讨论的思想.复习时仍应当以基础知识为主,不要片面追求难度.数列可视为一种特殊的函数,因此可以用函数的观点来解决数列问题.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考1.已知数列an中,a1=1,a2=2,2an+1=2an+3(n2,nN*),判断an是否为等差数列.【解析】a2-a1=1,a3-a2=,an不是等差数列.【知能诊断】名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考2.(黑龙江省哈六中2012届高三第三次模拟)已知数列an的前n项和为Sn,且an+1=5Sn-3,a1=1,则an的通项公式是.【解析】由an+1=5Sn-3,得an=5Sn-1-3(n2),两式相减得an+1-an=5an,即=6(n2),由a1=1,得a2=2,6,故an=【答案】an=名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考3.(2012年3月北京市丰台区高三一模)设Sn为等比数列an的前n项和,若a1=1,且2a2,S3,a4+2成等差数列,则数列的前5项和为()(A)341.(B).(C)1023.(D)1024.【解析】由2S3=2a2+a4+2,得q=2,则的公比为4,S5=341.【答案】A名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考4.在公差不为0的等差数列an中,a1,a3,a7成等比数列,S7=35,求数列通项an.【解析】由S7=35,得=35,即2a1+6d=10,a4=5;又=a1a7,即(a4-d)2=(a4-3d)(a4+3d),得d=1,故an=a4+(n-4)d=n+1.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考5.(陕西省西安市八校2012届高三年级数学试题)在公差不为0的等差数列an中,a1=-12,且a8,a9,a11成等比数列.(1)求数列an的公差;(2)设Sn为数列an的前n项和,求Sn的最小值,并求出此时n的值.【解析】(1)由a8,a9,a11成等比数列知(a1+8d)2=(a1+7d)(a1+10d),即16a1d+64d2=17a1d+70d2,整理得a1d+6d2=0.因为d0,所以a1=-6d.从而d=2,即数列an的公差为2.(2)(法一)由(1)可知Sn=-12n+n(n-1)=n2-13n.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考因为n2-13n=(n-)2-,且nN+,所以当n=6或7时,n2-13n有最小值-42,因此,Sn的最小值为-42,此时的n为6或7.(法二)由(1)可知数列an的通项公式为an=2n-14,令an0,得n7.据数列an单调递增可知,其前6项均为负项,第7项为0,从第8项开始均为正项,所以S6=S7,且均为Sn的最小值,最小值为-42,此时的n为6或7.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考6.已知数列an是首项a1=的等比数列,其前n项和Sn中S3=,求数列an的通项公式.【解析】若q=1,则S3=不符合题意,q1.当q1时,由得an=(-)n-1=(-)n+1.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考7.(东北四校2012届高三第一次高考模拟)已知an为等比数列,a1=1,a6=243,Sn为等差数列bn的前n项和,b1=3,S5=35.(1)求an和bn的通项公式;(2)设Tn=a1b1+a2b2+anbn,求Tn.【解析】(1)a6=a1q5=243,得q=3,an=3n-1;S5=35,b5=11,又b1=3,得bn=2n+1.(2)Tn=31+53+(2n-1)3n-2+(2n+1)3n-1,3Tn=33+532+(2n-1)3n-1+(2n+1)3n,-得:-2Tn=3+2(3+32+3n-1)-(2n+1)3n,整理得:Tn=n3n.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考1.应用an与Sn的关系解题时,一般要分n=1和n2来讨论,要注意验证能否统一到一个式子中,当a1不符合an=Sn-Sn-1(n2)的表达式时,通项公式必须分段表示.注意隐含条件n2,nN*,要验证是不是从第一项开始.2.等差数列求Sn最值的结论为:(1)当a10,d0时,若Sr最大,则应有(2)当a10时,若Sr最小,则应有仅解不等式an0,d0,则当且仅当时,Sn取最大值;(2)若a10,则当且仅当时,Sn取最小值;2.常用拆项公式(k,nN*)(1)=-;名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(2)=(-);(3)若an是等差数列,公差为d(d0),则=(-);(4)=(-);(5)nn!=(n+1)!-n!.【考点突破】热点一:数列的概念与性质数列的概念、性质及其基本量的关系是高考中经常考查的内容,一般出现在选择题、填空题或解答题的第一问,属于容易题或中档题,名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考主要考查数列性质的灵活应用及对概念的理解.(1)(广东省六校2012年2月高三第三次联考)等差数列an中,已知a3=5,a2+a5=12,an=29,则n为()(A)13.(B)14.(C)15.(D)16.(2)(2012年新课标全国)已知an为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=()(A)7.(B)5.(C)-5.(D)-7.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考【分析】(1)a2+a5不能用等差中项,故用基本量,又已知a3,所以a2+a5=(a3-d)+(a3+2d)=12,求得公差,结合an=29可解.(2)要看清an为等比数列,所以a5a6=a4a7,然后用基本量表示,根据韦达定理构造方程,解方程得出a4,a7的值,或是解方程组;然后求出q3即可,后面直接用q3,减少计算量.【解析】(1)a2+a5=(a3-d)+(a3+2d)=12,得d=2,an=a3+(n-3)d=29,得n=15.(2)由题意并根据等比数列的性质得a5a6=a4a7=-8,又a4+a7=2,设a4,a7是方程x2-2x-8=0的两根,则解得或故q3=-2或-.当q3=-2时,a1+a10=+a7q3=-7;同理可知当q3=-时,a1+a10=-7.故a1+a10=-7,故选D.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考【答案】(1)C(2)D【归纳拓展】关于等差、等比数列的问题,首先应抓住a1、d、q,通过列方程组来解.此方法具有极大的普遍性,需用心掌握,但有时运算量较大,熟练运用性质或公式特征量可大幅度简化运算.运用an=am+(n-m)d和an=amqn-m可减少运算量.方程思想、分类讨论思想是解决数列的常用思想方法.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考变式训练1(1)等差数列an中,a4=10且a3,a6,a10成等比数列,则数列an前20项的和S20=.(2)(山东省实验中学2012届高三第四次诊断考试)等差数列an中,a4+a10+a16=30,则a18-2a14的值为.【解析】(1)由a4=10和a3,a6,a10成等比数列得:即解得或故S20=200或330.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(2)由a4+a10+a16=30得a10=10,a18-2a14=(a10+8d)-2(a10+4d)=-a10=-10.【答案】(1)200或330(2)-10(1)(山东省济宁市重点中学2012届高三上学期期中)已知数列an的通项为an=()n-1()n-1-1,下列表述正确的是()(A)最大项为0,最小项为-.(B)最大项为0,最小项不存在.(C)最大项不存在,最小项为-.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(D)最大项为0,最小项为a4.(2)设等差数列an的前n项和为Sn,若S410,S515,则a4的最大值为.【分析】(1)先求出数列的前四项,然后计算an+1-an的符号,从而确定数列的单调性,即可求出数列的最大项和最小项.(2)根据S410,S515转化为基本量,减少参数,用一个参数的范围来求a4的范围.【解析】(1)a1=0,当n1时,0()n-11,()n-1-10;n3时,an+1-an0,最小项为a3=-.故选A.(2)等差数列an的前n项和为Sn,且S410,S515.即a13-2d,3-2d,d1.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考a4=(a1+2d)+d3+d3+1=4.故a4的最大值为4.【答案】(1)A(2)4【归纳拓展】(1)本题主要考查了数列的函数特性,同时考查了计算能力,属于中档题.求数列的最大、最小项,一般可以先研究数列的单调性,可以用或也可以转化为函数最值问题或利用数形结合.(2)由已知得出不等式,利用消元思想确定d或a1的范围是解题的关键;若题干中没有给出不等式,求d的范围,先要列出a1,d的等量关系,然后应用判别式法或配方法产生不等式.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考变式训练2(1)(山东省烟台市2012届高三期末检测)已知数列an满足a1=a,an=an+1+2,定义数列bn,使得bn=(nN*).若4a6,则数列bn的最大项为()(A)b2.(B)b3.(C)b4.(D)b5.(2)设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列an的前n项和为Sn,满足S5S6+15=0.若S5=5,求S6及a1;求d的取值范围.【解析】(1)an=a+(n-1)(-2)=-2n+a+2,bn=,解得a=+2n-2,4a6,解得6-2n8-2n,由此可知b3最大,当n4时,bn0.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(2)由题意知S6=-3,a6=-8,解得a1=7,S6=-3,a1=7.S5S6+15=0,2+9a1d+10d2+1=0,(4a1+9d)2=d2-8,d28,故d的取值范围为d-2或d2.【答案】(1)B(2)S6=-3,a1=7d-2或d2名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考热点二:数列的通项与求和数列的通项与求和是高考的热点,主要运用转化思想转化为等差、等比数列问题.其中求数列通项公式是核心,而求通项公式的常用方法有:定义法、公式法、累加法、累乘法、转化法等.主要考查性质的灵活运用及对概念的理解,考查基本技巧与基本思想方法.在求和问题中,既要善于从数列的通项入手观察数列的特点与变化规律,又要注意项数.(1)(湖北省荆门、天门等八市2012年3月高三联考)如果数列a1,是首项为1,公比为-的等比数列,则a5等于()名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(A)32.(B)64.(C)-32.(D)-64.(2)(2012年新课标全国)数列an满足an+1+(-1)nan=2n-1,则an的前60项和为.【分析】(1)先分析通项,=(-)n-1,用累乘法;(2)列出前几项,观察规律.【解析】(1)a5=a1=a1q1+2+3+4=(-)10=32.(2)由an+1+(-1)nan=2n-1得an+2=(-1)nan+1+2n+1=(-1)n(-1)n-1an+2n-1+2n+1=-an+(-1)n(2n-1)+2n+1,名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考即an+2+an=(-1)n(2n-1)+2n+1,也有an+3+an+1=-(-1)n(2n+1)+2n+3,两式相加得an+an+1+an+2+an+3=-2(-1)n+4n+4,设k为整数,则a4k+1+a4k+2+a4k+3+a4k+4=-2(-1)4k+1+4(4k+1)+4=16k+10,于是S60=(a4k+1+a4k+2+a4k+3+a4k+4)=(16k+10)=1830.【答案】(1)A(2)1830名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考【归纳拓展】形如an+1-an=f(n),=f(n),an+1=Aan+B(A0,A1)等,可通过累加法,累乘法,待定系数法转化为等差或等比数列求通项.由递推公式求通项公式,关键是数学式的变形,结合待定系数法进行适当的构造,或组合转化为等差数列或等比数列解决问题.通项公式是数列的灵魂,只有抓住它的特征,再去联想常用数列的求和方法,才能快速解题.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考变式训练3求满足下列条件的数列的通项公式:(1)a1=1,an=+an-1(n2,nN*);(2)a1=1,an+1=3an+2.【解析】(1)由已知得an-an-1=,用累加法得an-a1=+=1-()n-1,得an=2-()n-1.(2)an+1=3an+2,an+1+1=3(an+1),=3,an+1为等比数列,公比为3,an+1=(a1+1)3n-1,an=23n-1-1.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(2012烟台一模)已知数列an是公差为2的等差数列,且a1+1,a3+1,a7+1成等比数列.(1)求an的通项公式;(2)令bn=(nN*),记数列bn的前n项和为Tn,求证:Tn.【分析】(1)利用等比中项列式,转化为求基本量,可求通项;(2)由(1)求得an,看bn=的形式,可用裂项相消法求和.【解析】(1)数列an是公差为2的等差数列,a1+1,a3+1,a7+1成等比数列,a3=a1+4,a7=a1+12.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考所以由(a3+1)2=(a1+1)(a7+1)得(a1+5)2=(a1+1)(a1+13),解之得a1=3,所以an=3+2(n-1),即an=2n+1.(2)由(1)得an=2n+1,bn=(-).Tn=(1-+-+-)=(1-)=-0,Tn+1Tn.(法二)2n+1,名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考Tn+1-Tn+-=0,Tn+1Tn.【归纳拓展】在解数列问题时,除常用数学思想方法的运用外,还要特别注意,在解题中一定要有“目标意识”.此题为了出现目标,两边同时除以bnbn+1是常用的方法.求证等差数列,可从两个方面出发,一是等差数列的定义,即证an+1-an=d;二是等差中项2an=an-m+an+m;数列与不等式综合,主要应用不等式的证明方法:作差法,放缩法,或转化为函数的最值问题.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考变式训练6(2012届广东省中山市四校12月联考)设数列an的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1=2Sn+n+1(nN*).(1)求证:数列an+1为等比数列;(2)若bn=,数列bn的前n项和为Tn,nN*,证明:Tn2.【解析】(1)Sn+1=2Sn+n+1,当n2时,Sn=2Sn-1+n,两式相减得:an+1=2an+1,an+1+1=2(an+1),即=2.又S2=2S1+2,a1=S1=1,a2=3,=2;名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考所以+是公比为2的等比数列.(2)由(1)知an=2n-1,bn=.Tn=+,Tn=+.Tn=2(+-)=2-bn恒成立,求实数t的取值范围.【分析】(1)由递推关系式可知用累加法求通项;(2)对于bn的求法,由于是分式形式,可以考虑用裂项相消;对于恒成立问题,可以转化为函数的最值,先判断函数的单调性.【解析】(1)a1=2,an-an-1-2n=0(n2,nN*),a2=6,a3=12.当n2时,an-an-1=2n,an-1-an-2=2(n-1),a3-a2=23,a2-a1=22,an-a1=2n+(n-1)+3+2,an=2n+(n-1)+3+2+1=n(n+1).当n=1时,a1=1(1+1)=2也满足上式,数列an的通项公式为an=n(n+1).名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(2)bn=+=+=-+-+-=-=.令f(x)=2x+(x1),则f(x)=2-,当x1时,f(x)0恒成立,f(x)在x1,+)上是增函数,故当x=1时,f(x)min=f(1)=3,即当n=1时,(bn)max=.要使对任意的正整数n,当m-1,1时,不等式t2-2mt+bn恒成立,则须使t2-2mt+(bn)max=,即t2-2mt0,对m-1,1恒成立,名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考解得,t2或t-2,实数t的取值范围为(-,-2)(2,+).另解:bn+1-bn=-+=+-(+)=-bn恒成立,则须使t2-2mt+(bn)max=,即t2-2mt0,对m-1,1恒成立,名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考解得,t2或t0,所以有2an-an+1=0,所以2an=an+1.所以数列an是公比为2的等比数列.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考由a2+a4=2a3+4得2a1+8a1=8a1+4,解得a1=2,故数列an的通项公式为an=2n(nN*).(2)构造函数f(x)=ln(1+x)-x(x0),则f(x)=-1=-,当x0时,f(x)0,即f(x)在(0,+)上单调递减,所以f(x)f(0)=0,ln(1+x)-x0,所以lncn=ln(1+)=ln(1+),所以lnTn+,记An=+,则An=+,名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考所以有An-An=+-=1-1,即An2,所以lnTn2,所以Tne29.(2012北京房山区一模)在直角坐标平面上有一点列P1(x1,y1),P2(x2,y2),Pn(xn,yn),对一切正整数n,点Pn位于函数y=3x+的图象上,且Pn的横坐标构成以-为首项,-1为公差的等差数列.(1)求点Pn的坐标;(2)设抛物线列C1,C2,C3,Cn,中的每一条的对称轴都垂直于x轴,第名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考n条抛物线Cn的顶点为Pn,且过点Dn(0,n2+1),记与抛物线Cn相切于Dn的直线的斜率为kn,求+;(3)设S=,T=,等差数列an的任一项anST,其中a1是ST中的最大数,-265a10-125,求an的通项公式.【分析】(1)求点Pn的横坐标,即求等差数列的通项公式;(2)直线与圆锥曲线相切问题可以用导数的几何意义解决,对于分式求和,用裂项相消法;(3)数列与集合综合,先求ST是入手点.【解析】(1)xn=-+(n-1)(-1)=-n-,yn=3xn+=-3n-,名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考Pn=(-n-,-3n-).(2)Cn的对称轴垂直于x轴,且顶点为Pn,设Cn的方程为:y=a(x+)2-,把Dn(0,n2+1)代入上式,得a=1,Cn的方程为:y=x2+(2n+3)x+n2+1,y=2x+2n+3.当x=0时,kn=2n+3,=(-),+=(-)+(-)+(-)名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考=(-)=-.(3)S=,T=y|y=-2(6n+1)-3,nN,n1ST=T,T中最大数a1=-17.设an的公差为d,则a10=-17+9d(-265,-125),由此得-d-12,又anT,d=-12m(mN*),d=-24,an=7-24n(nN*).【归纳拓展】数列在日常经济生活中广为应用,如增长率问题、银名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考行存款利率问题、贷款问题等,都是与等比数列有关.另外,有些实际问题,可转化为数列问题,注意是求项还是求和,是解方程还是不等式问题.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考变式训练8已知数列an的前n项和为Sn,对一切正整数n,点Pn(n,Sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上,且过点Pn(n,Sn)的切线的斜率为kn.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=an,求数列bn的前n项和Tn;(3)设Q=x|x=kn,nN*,R=x|x=2an,nN*,等差数列cn的任一项cnQR,其中c1是QR中的最小数,110c10115,求cn的通项公式.【解析】(1)点Pn(n,Sn)都在函数f(x)=x2+2x的图象上,Sn=n2+2n(nN*),当n2时,an=Sn-Sn-1=2n+1.当n=1时,a1=S1=3满足上式,所以数列an的通项公式为an=2n+1.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(2)由f(x)=x2+2x求导可得f(x)=2x+2,过点Pn(n,Sn)的切线的斜率为kn,kn=2n+2.bn=an=4(2n+1)4n.Tn=4341+4542+4743+4(2n+1)4n,由4,得4Tn=4342+4543+4744+4(2n+1)4n+1.-得:-3Tn=434+2(42+43+4n)-(2n+1)4n+1=434+2-(2n+1)4n+1,名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考Tn=4n+2-.(3)Q=x|x=2n+2,nN*,R=x|x=4n+2,nN*,QR=R.又cnQR,其中c1是QR中的最小数,c1=的公差是4的倍数,c10=4m+6(mN*).又110c10115,解得m=27.所以c10=114,设等差数列的公差为d,则d=12,cn=6+(n-1)12=12n-6,所以cn的通项公式为cn=12n-6.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考限时训练卷(一)一、选择题1.在等比数列an中,如果a1+a2=40,a3+a4=60,那么a7+a8等于()(A)95.(B)100.(C)135.(D)80.【解析】a3+a4=(a1+a2)q2=40q2=60,q2=,a7+a8=(a3+a4)q4=135.【答案】C名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考2.等比数列an中,a3=6,前三项和S3=18,则公比q的值为()(A)1.(B)-.(C)1或-.(D)-1或-.【解析】S3=18,a1+a2=(1+q)=122q2-q-1=0q=1或q=-.【答案】C名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考3.(广东省惠州市2012届高三一模)公差不为零的等差数列an的前n项和为Sn,若a4是a3与a7的等比中项,S8=32,则S10等于()(A)18.(B)24.(C)60.(D)90.【解析】由=a3a7得(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+6d)得2a1+3d=0,再由S8=8a1+d=32得2a1+7d=8,则d=2,a1=-3,所以S10=10a1+d=60.故选C.【答案】C名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考4.(广东省执信中学2012届高三3月测试)设等差数列an的前n项和为Sn,若a1=-11,a3+a7=-6,则当Sn取最小值时,n等于()(A)9.(B)8.(C)7.(D)6.【解析】a3+a7=-6,a5=-3,d=2,Sn=n2-12n,当Sn取最小值时,n等于6.【答案】D名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考5.数列an的首项为3,为等差数列,且bn=an+1-an(nN*),若b3=-2,b2=12,则a8等于()(A)0.(B)-109.(C)-181.(D)121.【解析】d=-14,an+1-an=bn,a8-a1=b1+b2+b7=-112,则a8=-109.【答案】B名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考6.在等差数列an中,a3+a8+a13=m,其前n项和Sn=5m,则n等于()(A)7.(B)8.(C)15.(D)17.【解析】a3+a8+a13=m,得a8=,S15=15a8=5m.【答案】C名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考7.(2012北京西城区期末)设等比数列an的前n项和为Sn,若8a2+a5=0,则下列式子中数值不能确定的是()(A).(B).(C).(D).【解析】=q3=-8,q=-2,=;=,数值由n来决定.【答案】D名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考8.(北京市西城区2012年4月联考)设等比数列an的各项均为正数,公比为q,前n项和为Sn.若对nN*,有S2n3Sn,则q的取值范围是()(A)(0,1.(B)(0,2).(C)1,2).(D)(0,).【解析】当q1时,S2n3Sn,3,qn1时,nnmax不成立,舍去;当0qlogq2对nN*恒成立,logq2nmin,logq21,即0q2,又0q1,0q1.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考当q=1时,S2n=2Sn3Sn成立,综上可得:0q1.故选A.【答案】A名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考9.(山东省枣庄市2012届高三上学期期末)数列an中a1=a,a2=b,且满足an+1=an+an+2,则a2012的值为()(A)b.(B)ba.(C)b.(D)a.【解析】经验证得周期为6,a2012=a3356+2=a2=b.【答案】A名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考10.已知an为等比数列,且a3+a6=36,a4+a7=18,若an=,则n=.【解析】设an=a1qn-1,a3+a6=36,a4+a7=(a3+a6)q=18,解之得进而an=128()n-1,由an=128()n-1=,解得n=9.【答案】9二、填空题名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考11.已知Sn,Tn分别是等差数列an,bn的前n项和,且=(nN+),则+=.【解析】+=.【答案】名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考12.已知数列log2(an-1)(nN*)为等差数列,且a1=3,a3=9则数列an的通项公式为.【解析】设等差数列log2(an-1)的公差为d,由a1=3,a3=9,得log2(a3-1)=log2(a1-1)+2d,解得d=1,所以log2(an-1)=1+(n-1)1=n,即an=2n+1.【答案】an=2n+1名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考13.已知数列an是首项a1=的等比数列,其前n项和Sn中S3、S4、S2成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=lo,求和:Tn=+.【解析】(1)若q=1,则S3=,S4=1,S2=,显然S3、S4、S2不构成等差数列.q1,由S3、S4、S2成等差数列得2=+,2q4=q3+q22q2-q-1=0(2q+1)(q-1)=0,三、解答题名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考q1,q=-,an=(-)n-1=(-)n+1.(2)bn=lo=lo=n+1,=-.Tn=+=(-)+(-)+(-)=-.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考1.数列an的前n项和为Sn,且Sn=2Sn+1+,a2=-1,则数列an的首项为()(A)1或-2.(B)1.(C)2.(D)2或-1.【解析】由S1=2S2+,得a1=1或-2.【答案】A限时训练卷(二)一、选择题名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考2.在数列an中,an=,若它的前n项和Sn=,则n等于()(A)3.(B)4.(C)5.(D)6.【解析】an=1-,Sn=n-(1-),代人验证得n=6.【答案】D名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考3.在数列an中,a1=2,an+1=an+ln(1+),则an等于()(A)2+lnn.(B)3+lnn.(C)2-lnn.(D)3-lnn.【解析】a2=a1+ln(1+),a3=a2+ln(1+),an=an-1+ln(1+)an=a1+ln()=2+lnn.【答案】A名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考4.在数列an中,a1=1,an+1=(nN*),则是这个数列的()(A)第4项.(B)第5项.(C)第6项.(D)第7项.【解析】由已知得=+,是以=1为首项,公差d=的等差数列.=1+(n-1),an=,n=6.【答案】C名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考5.已知数列an满足a1=0,an+1=(nN*),则a20等于()(A)0.(B)-.(C).(D)2.【解析】由a1=0,an+1=(nN*),得a2=-,a3=,a4=0,由此可知:数列an是周期变化的,且周期为3,所以a20=a2=-.【答案】B名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考6.数列an的通项公式为an=2n+1,令bn=,则数列bn的前n项和为()(A).(B).(C)-.(D)-.【解析】bn=(-),故Tn=(1+-)名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考=-.【答案】D名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考7.设an是正项数列,其前n项和Sn满足:4Sn=(an-1)(an+3),则数列an的通项公式an等于()(A)2n+1.(B)2n-1.(C)2n-1.(D)2n+1.【解析】由4Sn=(an-1)(an+3)得4Sn-1=(an-1-1)(an-1+3),两式相减得(an+an-1)(an-an-1-2)=0,又an是正项数列,an-an-1-2=0(n2),则数列an为等差数列,a1=3,an=2n+1.【答案】D名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考8.(北京市东城区2010届高三联考)已知数列an的通项公式an=log3(nN*),设其前n项和为Sn,则使Sn-4成立的最小自然数n等于()(A)83.(B)82.(C)81.(D)80.【解析】Sn=log3()=log3,即log3-4,即80,n=81.【答案】C名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考9.(山东省实验中学2012届高三第三次诊断)数列an满足a1=1,a2=2,=(n2,nN),则a13等于()(A)26.(B)24.(C)21212!.(D)21213!.【解析】由=(n2,nN),整理得-=2,为等差数列,=2n-2,累乘得an=2n-1(n-1)!,a13=21212!.【答案】C名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考10.数列an中,a1=,an+1=(nN+),则数列an的前2012项的和为.【解析】-=1,是公差为1,首项为2的等差数列,=n+1,an=,S2012=1-=.【答案】二、填空题名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考11.已知数列an满足an+1=an+,且a1=,则an的通项公式为.【解析】an+1-=(an-),an-=(a1-)()n-1,an=+3()n-1.【答案】an=+3()n-1名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考12.对于正项数列an,定义Hn=,若Hn=,则数列an的通项公式为.【解析】=,a1+2a2+3a3+nan=,a1+2a2+3a3+(n-1)an-1=,由-得nan=,所以an=.【答案】an=名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考13.(2012淄博市高三一模)已知数列an中,a1=5且an=2an-1+2n-1(n2且nN*).(1)证明:数列为等差数列;(2)求数列an的前n项和Sn.【解析】(1)设bn=,b1=2,bn+1-bn=-=(an+1-2an)+1=1,数列为首项是2,公差是1的等差数列.三、解答题名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(2)由(1)知,=+(n-1)1=n+1,an=(n+1)2n+1.Sn=(221+1)+(322+1)+(n2n-1+1)+(n+1)2n+1,Sn=221+322+n2n-1+(n+1)2n+n.设Tn=221+322+n2n-1+(n+1)2n,2Tn=222+323+n2n+(n+1)2n+1.-,得Tn=-221-(22+23+2n)+(n+1)2n+1=n2n+1,Sn=n2n+1+n=n(2n+1+1).名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考1.(浙江省温州市2012年2月高三第一次适应性测试)已知数列an满足a1=5,anan+1=2n,则等于()(A)2.(B)4.(C)5.(D).【解析】a7=,=2.【答案】A限时训练卷(三)一、选择题名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考2.设数列an的前n项和为Sn,点(n,)(nN*)均在函数y=3x-2的图象上,则数列an的通项公式为()(A)3n-2.(B)6n-2.(C)n-2.(D)6n-5.【解析】(n,)在y=3x-2的图象上,故=3n-2,Sn=n(3n-2),从而求出an=6n-5.【答案】D名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考3.(山东省济宁一中2012届高三第三次定时检测)已知函数y=loga(x-1)+3(a0,a1)所过定点的横、纵坐标分别是等差数列an的第二项与第三项,若bn=,数列bn的前n项和为Tn,则T10等于()(A).(B).(C)1.(D).【解析】定点为(2,3),则a2=2,a3=3,d=1,an=n,bn=-,T10=1-=.【答案】B名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考4.(广东省深圳高级中学2010届高三一模)数列an前n项和为Sn,已知a1=,且对任意正整数m,n,都有am+n=aman,若Sn0且p1,数列bn满足bn=2logpan.(1)若p=,设数列的前n项和为Tn,求证:0M时,an1恒成立?若存在,求出相应的M;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由(p-1)Sn=p2-an(nN*),得(p-1)Sn-1=p2-an-1,三、解答题名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考-得=(n2).an0(nN*),又(p-1)S1=p2-a1,a1=p,an是以p为首项,为公比的等比数列,an=p()n-1=p2-n,bn=2logpan=2logpp2-n,bn=4-2n.由条件p=得an=2n-2,=.Tn=+,名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考Tn=+,-得Tn=4+-=4-2(1+)-=4-2-.Tn=0,Tn-Tn-1=-=,当n2时,Tn-Tn-12时,0TnT3=3.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考又T1=T2=4,01恒成立,则需分p1和0p1时,2-n0,n2;当0p1时,2-n2.当0pM时,an1恒成立.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考一、选择题1.(2012年4月北京市海淀区高三一模)在等比数列an中,a1=8,a4=a3a5,则a7等于()(A).(B).(C).(D).【解析】a4=a3a5=,得a4=1,q3=,a7=a4q3=.【答案】B名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考2.在等差数列an中,a9=a12+6,则数列an前11项的和S11等于()(A)24.(B)48.(C)66.(D)132.【解析】由a9=a12+6,得a6+3d=(a6+6d)+6,a6=12,则S11=132.【答案】D名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考3.(山东省济南外国语学校2012届高三9月质量检测)各项都为正项的等比数列an中,首项a1=3,前三项和为21,则a3+a4+a5等于()(A)33.(B)72.(C)84.(D)189.【解析】由已知得解得q=2,a3+a4+a5=(a1+a2+a3)q2=84.【答案】C名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考4.(黑龙江省哈尔滨市第六中学2012届高三第一次模拟)已知数列an,满足a1=b1=1,an+1-an=2,nN*,则数列的前10项和为()(A)(410-1).(B)(410-1).(C)(49-1).(D)(49-1).【解析】an=2n-1,bn=2n-1,S10=b1+b3+b5+b19=(410-1).【答案】A名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考5.(山东省济宁一中2012届高三第三次定时检测)各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn,若Sn=2,S3n=14,则S4n等于()(A)80.(B)30.(C)26.(D)16.【解析】Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n,仍成等比数列,(S2n-2)2=2(14-S2n),得S2n=6;(S3n-S2n)2=(S2n-Sn)(S4n-S3n),得S4n=30.【答案】B名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考6.已知an为等差数列,bn为等比数列,其公比q1,且bi0(i=1,2,n),若a1=b1,a11=b11,则()(A)a6b6.(B)a6=b6.(C)a6b6.【答案】A名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考7.(2012年四川)设函数f(x)=2x-cosx,an是公差为的等差数列,f(a1)+f(a2)+f(a5)=5,则f(a3)2-a1a5等于()(A)0.(B)2.(C)2.(D)2.【解析】(法一)依题意,f(x)=2+sinx0,f(x)是在R上的增函数,且f(-x)+f(x)=2,f(x)的图象关于点(,)对称;又an是公差为的等差数列,且f(a1)+f(a2)+f(a5)=5,于是有a1+a5=,2a1+4=,a1=,a3=,a5=,f(a3)=f()=-cos=,f(a3)2-a1a5=2,选D.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(法二)f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)+f(a5)=2(a1+a2+a3+a4+a5)-(cosa1+cosa2+cosa3+cosa4+cosa5)=5.猜想cosa1+cosa2+cosa3+cosa4+cosa5=0,则a1+a2+a3+a4+a5=5a3=5a1+10=,解得a1=.现验证式是否成立:cosa1+cosa2+cosa3+cosa4+cosa5=cos+cos+cos+cos+cos名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考=+cos+0-cos-=0,故猜想成立.故a3=+2=,f(a3)2-a1a5=f()2-=.【答案】D名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考8.(山东省淄博一中2012届高三上学期期末检测)数列an满足a1=1,a2=,并且an(an-1+an+1)=2an+1an-1(n2),则数列an的第2012项为()(A).(B).(C).(D).【解析】an(an-1+an+1)=2an+1an-1(n2),展开整理得+=,故为等差数列,公差为-=1,=+(n-1)1=n,a2012=.【答案】C名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考9.(山东省青岛市2012届高三期末检测)等差数列an中,已知a1=-6,an=0,公差dN*,则n(n3)的最大值为.【解析】an=a1+(n-1)d=0,n=1+,当d=1时,n取最大值7.【答案】7二、填空题名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考10.设等差数列an的前n项和为Sn,若S9=72,则a2+a4+a9=.【解析】S9=72,即a1+a9=16,a5=8,a2+a4+a9=(a5-3d)+(a5-d)+(a5+4d)=3a5=24.【答案】24名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考11.已知递增的等比数列an中,a2+a8=3,a3a7=2,则=.【解析】a3a7=a2a8=2,则a2,a8是方程x2-3x+2=0的两根,a2=1,a8=2,q3=,=q3=.【答案】名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考12.已知an=log(n+1)(n+2),(nN*),我们把使乘积a1a2a3an为整数的数n叫做“劣数”,则在区间(1,2004)内的所有劣数的和为.【解析】an=log(n+1)(n+2)=,则a1a2a3an=log2(n+2),若为整数,则n+2=2m,mZ,则n=2m-2,m=2,3,4,10,则所有n的和为:-18=2026.【答案】2026名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考13.设曲线y=xn+1(nN*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an=lgxn,则a1+a2+a99的值为.【解析】由导数的几何意义得切线的斜率为n+1,切线方程为:y=(n+1)x-n,xn=,an=lgxn=lg,a1+a2+a99=lg()=lg=-2.【答案】-2名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考14.三个数a,b,c成等比数列,且a+b+c=m(m0),则b的取值范围是.【解析】设a=,c=bq,则有+b+bq=m,b0,+q+1=.当q0时,=+q+13,而m0,0b;当q0,b0,则-mba1.综上,所求的a的取值范围是-9,+).名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考19.(广东省佛山一中2012届高三上学期期中)已知等差数列an满足a2=0,a6+a8=-10.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列的前n项和.【解析】(1)设等差数列an的公差为d,由已知条件可得解得故数列an的通项公式为an=2-n.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考(2)设数列的前n项和为Sn,即Sn=a1+,=+,当n2时,-得=a1+-=1-(+)-=1-(1-)-=.所以Sn=.由于S1=a1=1,满足上式.综上,数列的前n项和为Sn=.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考20.在数列an中,a1=2,an+1=2an-n+1,nN*.(1)证明数列是等比数列;(2)设Sn是数列an的前n项和,求使2SnSn+1的最小n值.【解析】(1)由已知得a1-1=10,由an+1=2an-n+1,得an+1-(n+1)=2(an-n),=2,an-n是等比数列.(2)由(1)知:an-n=2n-1,an=2n-1+n,Sn=2n-1+,2Sn-Sn+1=0,使2SnSn+1的最小n值为3.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考21.(2012届湖南省六校高考仿真模拟)某同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学.该商场向他提供了三种付酬方式:第一种,第一天付4元,第二天付8元,第三天付12元,依此类推;第二种,第一天付0.4元,以后每天比前一天翻一番(即增加一倍);第三种,第x天薪酬y元与工作时间x(xN*)天满足关系式y=0.4x()x-1;若该同学计划在该商场连续工作10天到15天,他应选择哪种方式领取报酬?并说明理由.(提示:210=1024,()1057.67,()913.32)【解析】由题意知,该商场第n天应付给该同学的薪酬为:第一种方案:an=4+(n-1)4=4n,名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考第二种方案:bn=0.42n-1,第三种方案:cn=0.4n()n-1,连续工作n天后,商场付给该同学的总薪酬为:第一种方案:Sn=a1+a2+an=2n2+2n.第二种方案:Tn=b1+b2+bn=2n-.第三种方案:Pn=c1+c2+cn-1+cn=(n-2)()n+.当n=10时,S10=2102+210=220,T10=210-=409.2,P10=(10-2)()10+370.7.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考又n10时,=1,得bncn;=0.1()n-10.1()10-1=0.157.673.8451,得cnan.故当n10时,ancnbn恒成立.当10n15时,SnPnTn,故他应选取方案二领取报酬.名师诊断名师诊断专案突破专案突破对点集训对点集训决胜高考决胜高考