法平面方程课件

18.3几何应用几何应用一一平面曲线的切线与法线平面曲线的切线与法线二二.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面三 曲面的切平面与法线四四小结小结18.3 几何应用一 平面曲线的切线与法线二1问题的提出问题的提出我们可以利用偏导数来确定空间曲线的切向量和空间曲面的法向量问题的提出 我们可以利用偏导数来确定空间曲2切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为的某邻域内满足隐函数定理条件，则一一.平面曲线的切线与法线平面曲线的切线与法线切线方程为 法线方程为 的某邻域内满足隐函数定理条件，则 一3求曲线上过点求曲线上过点的切线方程，这里的切线方程，这里设曲线用参数方程表示为设曲线用参数方程表示为二二.空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面求曲线上过点 4由于切线是割线的极限位置，从而考虑通过点由于切线是割线的极限位置，从而考虑通过点和点和点的割线方程的割线方程在上式各端的分母都除以在上式各端的分母都除以由于切线是割线的极限位置，从而考虑通过点在上式各端的分母都除5由于切线是割线的极限位置，在上式中令由于切线是割线的极限位置，在上式中令取极限，取极限，就得到曲线在点就得到曲线在点的切线方程：的切线方程：由此可见，曲线在点由此可见，曲线在点的切线的一组方向数是的切线的一组方向数是由于切线是割线的极限位置，在上式中令 6曲线在点曲线在点的法平面就是过的法平面就是过点且与该点的切线垂直的点且与该点的切线垂直的平面，于是切线的方向数就是法平面的法方向数，从而过平面，于是切线的方向数就是法平面的法方向数，从而过点的法平面方程是点的法平面方程是如果曲线的方程表示为如果曲线的方程表示为可以把它写成如下的以可以把它写成如下的以为参数的参数方程为参数的参数方程于是可得曲线在点于是可得曲线在点的切线方程和法平面方程如下：的切线方程和法平面方程如下：曲线在点 的法平面就是过 点且与该点7一般地，如果曲线表示为两个曲面的一般地，如果曲线表示为两个曲面的交线：交线：设设，设上述方程组在点，设上述方程组在点确定了一对函数确定了一对函数由这两个方程可解出由这两个方程可解出这时容易把它化成刚才讨论过的情形：这时容易把它化成刚才讨论过的情形：一般地，如果曲线表示为两个曲面的设 8从而可得曲线在点 的切线方程：和法平面方程从而可得曲线在点 的切线方程：和法平面方程9解：解：在（在（1，1，1）点对应参数为）点对应参数为t=1切线方程：切线方程：法平面方程：法平面方程：(x-1)+2(y-2)+3(z-1)=0即：即：x+2y+3z=8例例1求曲线求曲线在点在点处的处的切线及法平面方程。切线及法平面方程。解：在（1，1，1）点对应参数为 t=1切线方程10例例2、求曲线、求曲线在点在点（1，-2，1）处的切线及法平面方程。）处的切线及法平面方程。法平面方程：法平面方程：x-z=0切线方程：切线方程：例2、求曲线 11例 求曲线在点 的切线与法平面方程解解在曲线方程中分别对 求导，得对应于点 的参数 ，于是从而切线方程为法平面方程为例 求曲线在点 的切线与法平面方12例 求两柱面的交线在点：处的切线方程。例 求两柱面的交线在点：处的切线方程。13解解在方程组中分别对 求导数，得于是从而在点 有：解在方程组中分别对 求导数，得于是从而在点 14所以切线方程为：即此直线可看作是 平面与平面 的交线。所以切线方程为：即此直线可看作是 15三 曲面的切平面与法线 设曲面方程为过曲面上点 任作一条在曲面上的曲线 ，设其方程为显然有在上式两端对 求导，得三 曲面的切平面与法线 设曲面方程为过曲面上点 16曲线在M处的切向量曲线在M处的切向量17上式说明向量 与切线向量 正交。从而曲面在 点的切平面方程为由于 的任意性，可见曲面上过 的任一条曲线 在该点的切线都与 正交，因此这些切线应在同一平面上，这个平面称为曲面在 点的切平面，而 就是切平面的法向量。在 点（设 点对应于参数 ）有上式说明向量 18过 点与切平面垂直的直线，称为曲面在 点的法线，其方程为该法线的一组方向数为：过 点与切平面垂直的直线，称为曲面在 19综上所述若曲面方程为则该曲面在 点的切平面方程为过 点的法线方程为综上所述若曲面方程为则该曲面在 点的切平面方程为20设 分别为曲面在 点的法线与 轴正向之间的夹角，那末在 点的法线方向余弦为设 分别为曲面在 21 若曲面方程为容易把它化成刚才讨论过的情形：于是曲面在 （这里 ）点的切平面方程为法线方程为 若曲面方程为容易把它化成刚才讨论过的情形：于是曲面22 若曲面方程为参数形式：如果由方程组 可以确定两个函数：于是可以将 看成 的函数，从而可以将问题化为刚才已经讨论过的情形。代入方程 ，得因此需分别计算 对 的偏导数。若曲面方程为参数形式：如果由方程组 23将 分别对 求导，注意到 为 的函数按隐函数求导法则有解方程组，得将 24法线方程于是曲面在 点的切平面方程为法线方程于是曲面在 点的切平面方程为25例 1 求球面 在点 的切平面及法线方程解解设则所以在点 处 球面的切平面方程为法线方程例 1 求球面 26曲面的夹角曲面的夹角两个曲面在交线上某点处的两个法线的夹角称为这两个曲面在该点的夹角。如果两个曲面在该点的夹角等于 90 度，则称这两个曲面在该点正交。若两曲面在交线的每一点都正交，则称这两曲面为正交曲面。例 2 证明对任意常数 ，球面 与锥面 是正交的。曲面的夹角两个曲面在交线上某点处的两个法线的夹角称为这两个曲27即证明证明球面 的法线方向数为锥面 的法线方向数为在两曲面交线上的任一点 处，两法向量的内积因 在曲面上，上式右端等于 0，所以曲面与锥面正交。即证明球面 28解切平面方程为切平面方程为法线方程为法线方程为解切平面方程为法线方程为29解解 令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程解令切平面方程法线方程30解解设设为曲面上的切点为曲面上的切点,切平面方程为切平面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得解设 为曲面上的切点,31因为因为是曲面上的切点，是曲面上的切点，所求切点为所求切点为满足方程满足方程切平面方程切平面方程因为 是曲面上的切点，所322空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面3曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线四四 小结小结1平面曲线的切线与法线平面曲线的切线与法线2 空间曲线的切线与法平面3 曲面的切平面与法线四 小33