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第四章第四章 非线性振动非线性振动第四章第四章 非线性振动非线性振动 质点运动微分方程可分为两类质点运动微分方程可分为两类:线性微分方程和线性微分方程和非线性微分方程非线性微分方程.自然界的现象自然界的现象本质上是非线性的本质上是非线性的,用线性微分方用线性微分方程描述自然界的现象是程描述自然界的现象是近似的近似的,有条件的有条件的.线性微分方程线性微分方程 存在存在一般的求解方法一般的求解方法.非非线线性性微微分分方方程程 只只有有少少部部分分是是可可积积的的,而而且且要要用用各各不不相相同同的的特特殊殊方方法法才才能能求求出出其其解解析析解解.大大部部分分是是不不可可积的积的,不可能求得他们的准确的解析解不可能求得他们的准确的解析解.计算机技术计算机技术 非线性微分方程的数值研究非线性微分方程的数值研究 混沌混沌(chaos)、耗散结构、耗散结构(dissipative structure)、孤立子孤立子(soliton)、分形、分形(fractal)第四章 非线性振动第四章 非线性振动 质点运动微分方第四章第四章 非线性振动非线性振动一维线性振动一维线性振动 一维非线性振动及其微分方程的近似解法一维非线性振动及其微分方程的近似解法 相平面法相平面法 用数值计算和相图研究大幅度单摆运动用数值计算和相图研究大幅度单摆运动 自激振动自激振动 非线性受迫振动中一些重要现象非线性受迫振动中一些重要现象 能导致混沌的倒摆的受迫振动能导致混沌的倒摆的受迫振动 周期倍化分叉周期倍化分叉 一种通向混沌的道路一种通向混沌的道路 第四章第四章 非线性振动非线性振动第四章 非线性振动一维线性振动 第四章 非线性振动4-1 4-1 一维线性振动一维线性振动1.1.运动微分方程的建立运动微分方程的建立 弹性恢复力（矩）弹性恢复力（矩）驱动力驱动力阻尼力阻尼力00振幅振幅固有频率固有频率4-1 一维线性振动1.运动微分方程的建立 弹性恢复力（当阻力满足线性条件时当阻力满足线性条件时4-1 4-1 一维线性振动一维线性振动x较小时可较小时可忽略忽略阻尼系数阻尼系数二阶线性非二阶线性非齐次方程齐次方程当阻力满足线性条件时4-1 一维线性振动x较小时可忽略阻4-1 4-1 一维线性振动一维线性振动2.2.运动微分方程的求解运动微分方程的求解4-1 一维线性振动2.运动微分方程的求解4-1 4-1 一维线性振动一维线性振动设非齐次方程的特解设非齐次方程的特解 4-1 一维线性振动设非齐次方程的特解 4-1 4-1 一维线性振动一维线性振动因为因为t为任意时刻都成立，等式两边为任意时刻都成立，等式两边cost的系数相的系数相等，等，sint的系数相等的系数相等由由（1）得得4-1 一维线性振动因为t为任意时刻都成立，等式两边co4-1 4-1 一维线性振动一维线性振动4-1 一维线性振动4-1 4-1 一维线性振动一维线性振动4-1 一维线性振动4-1 一维线性振动一维线性振动3.解的讨论解的讨论（1）质点自由质点自由(简谐简谐)振动振动 阻尼力为阻尼力为0驱动力为驱动力为04-1 一维线性振动3.解的讨论（1）质点自由(简谐)4-1 一维线性振动一维线性振动（2）质点阻尼振动质点阻尼振动 4-1 一维线性振动（2）质点阻尼振动 4-1 一维线性振动一维线性振动（3）质点受迫振动质点受迫振动 A）振动过程分为）振动过程分为暂态过程暂态过程和和稳态过程稳态过程.B）稳态过程的振幅与初始条件无关）稳态过程的振幅与初始条件无关,并将随驱动并将随驱动力频率的变化而改变力频率的变化而改变,会产生共振现象会产生共振现象.4-1 一维线性振动（3）质点受迫振动 A）振动过程分为4-1 4-1 一维线性振动一维线性振动4.4.叠加原理叠加原理线性算线性算子子 4-1 一维线性振动4.叠加原理线性算子 4-1 4-1 一维线性振动一维线性振动 线性微分方程的解是多个单独分力产生的解的相线性微分方程的解是多个单独分力产生的解的相加加,这就是这就是叠加原理叠加原理,它是线性微分方程或线性算子它是线性微分方程或线性算子的重要性质的重要性质.各种运动同时存在时各种运动同时存在时(一个解代表一种运动一个解代表一种运动),),它它们之间并不发生相互作用们之间并不发生相互作用,一种运动不受其他运动影一种运动不受其他运动影响响,就像它单独存在那样就像它单独存在那样,多种运动共同存在不会诱多种运动共同存在不会诱发出新的运动形态发出新的运动形态,总的结果只是原来那些运动的叠总的结果只是原来那些运动的叠加加.似乎各个运动之间存在着一种似乎各个运动之间存在着一种“壁垒壁垒”保护其独保护其独立性立性,这种这种“壁垒壁垒”通常称通常称“线性壁垒线性壁垒”.”.4-1 一维线性振动 线性微分方程的解是多个单独分
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