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应用题的解法很多，常用几种：应用题的解法很多，常用几种：1 1）列表法）列表法2 2）图示法）图示法3 3）公式法）公式法设未知数的技巧：设未知数的技巧：1 1、直接直接设未知数，即求什么设设未知数，即求什么设什么。什么。2 2、间接间接设未知数。设未知数。3 3、辅助辅助设未知数，即设未知数，即“设而不设而不求求”题型一：和差倍分题型一：和差倍分题型二：题型二：利润率利润率题型三：题型三：储蓄储蓄题型四：题型四：工程工程题型五：题型五：行程行程题型六：题型六：规律规律题型七：等积题型七：等积变形变形，比例，比例题型八：题型八：浓度浓度题型九：鸡兔同题型九：鸡兔同笼笼题型十：年龄题型十：年龄题型十一：数字题型十一：数字专题一、和差倍分问题：专题一、和差倍分问题：此此问问题题中中常常用用“多多、少少、大大、小小、几几分分之之几几”或或“增增加加、减减少少、缩缩小小”等等等等词词语语体体现现等等量量关关系系。审审题题时时要要抓抓住住关关键键词词，确确定定标标准准量量与与比比校校量量，并并注注意意每每个个词词的的细细微微差差别别。类类似似于于：甲甲乙乙两两数数之之和和5656，甲甲比比乙乙多多3 3（乙乙是是甲甲的的1/31/3），求求甲甲乙乙各各多多少少？这这样样的的问问题题就就是是和和倍倍问问题题。问问题题的的特特点点是是，已已知知两两个个量量之之间间存存在在合合倍倍差差关关系系，可可以以求求这这两两个个量量的的多多少少。基基本本方方法法是是：以以和和倍倍差差中中的的一一种种关关系系设设未未知知数数并并表表示示其其他量，选用余下的关系列出方程。他量，选用余下的关系列出方程。例例1 1、甲甲班班有有4545人人，乙乙班班有有3939人人，现现在在需需要要从从甲甲、乙乙两两班班各各抽抽调调一一些些同同学学去去参参加加歌歌咏咏比比赛赛。如如果果甲甲班班抽抽调调的的人人数数比比乙乙班班多多1 1人人，那那么么甲甲班班剩剩余余的的人人数数恰恰好好是是乙乙班班剩剩余余人人数数的的2 2倍倍，问问从从甲甲、乙乙两两班班各各抽抽调调了了多多少少人人参参加歌咏比赛？加歌咏比赛？例例2 2、（、（1 1）三个连续偶数的和是）三个连续偶数的和是3030，求他们的积。求他们的积。（2 2）一个两位数，个位）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大上的数字比十位上的数字大5 5，且个，且个位上的数字与十位上的数字的和比位上的数字与十位上的数字的和比这个两位数的这个两位数的1/71/7大大6 6，求这个两位，求这个两位数。数。例例3 3、实实验验中中学学和和潞潞河河中中学学的的同同学学积积极极参参加加绿绿化化工工程程的的劳劳动动。两两校校共共绿绿化化了了44154415平平方方米米的的土土地地，潞潞河河中中学学绿绿化化的的面面积积比比实实验验中中学学绿绿化化面面积积的的2 2倍倍少少1313平平方方米米，这这两两所所中中学学分分别别绿绿化化了了多多少少面积？面积？例例4 4、出出租租汽汽车车4 4千千米米起起价价1010元元，行行驶驶4 4千千米米以以后后，每每千千米米收收费费1.21.2元元（不不足足1 1千千米米按按1 1千千米米计计算算）。灏灏喆喆和和嘉嘉豪豪要要到到离离学学校校1515千千米米的的博博物物馆馆为为同同学学们们联联系系参参观观事事宜宜。为为了了尽尽快快到到达达博博物物馆馆，他他们们想想坐坐出出租租车车，如如果果他他们们只只有有2222元元，那那么么，他他们们乘乘出出租租车车能能直直接接到到达达博博物物馆吗？馆吗？例例5 5、本市中学生足球赛中，某队共参、本市中学生足球赛中，某队共参加了加了8 8场比赛，保持不败的记录，积场比赛，保持不败的记录，积1818分分.记分规则是：胜一场得记分规则是：胜一场得3 3分，平一场分，平一场得得1 1分，负一场得分，负一场得0 0分。你知道这个胜了分。你知道这个胜了几场？又平了几场吗？几场？又平了几场吗？用用白白铁铁皮皮做做罐罐头头盒盒，每每张张铁铁皮皮可可制制造造盒盒身身1818个个，或或制制造造盒盒底底4545个个，一一个个盒盒身身与与两两个个盒盒底底配配成成一一套套罐罐头头盒盒。现现有有180180张张白白铁铁皮皮，用用多多少少张张制制造造盒盒身身，多多少少张张制制造造盒盒底底，可可以以制制成整套罐头盒？成整套罐头盒？练习练习1 1练习练习2 2 某某城城市市按按以以下下规规定定收收取取每每月月的的煤煤气气费费：用用煤煤气气如如果果不不超超过过6060立立方方米米，按按每每立立方方米米0.80.8元元收收费费，如如果果超超过过6060立立方方米米，超超出出部部分分按按每每立立方方米米1.21.2元元收收费费，已已知知，某某用用户户4 4月月份份的的煤煤气气费费平平均均每每立立方方米米0.880.88元元，求求该该用用户户4 4月月份应交的煤气费。份应交的煤气费。练习练习3 3我我国国很很多多城城市市水水资资源源缺缺乏乏，为为了了加加强强居居民民的的节节水水意意识识，合合理理利利用用水水资资源源，很很多多城城市市制制定定了了用用水水标标准准，A A城城市市规规定定每每户户每每月月的的标标准准用用水水量量，不不超超过过标标准准用用水水量量的的部部分分按按每每立立方方米米1.21.2元元收收费费，超超过过标标准准用用水水量量的的部部分分按按每每立立方方米米3 3元元收收费费。该该市市张张大大爷爷家家5 5月月份份用用水水9 9立立方方米米，需需交交费费16.216.2元元，A A城城市市规规定定的的每每户户每每月月标标准准用用水水量量是是多少立方米？多少立方米？二、利润率应用题二、利润率应用题其数量关系是：商品的利润率=，商品利润商品售价商品进价。注意打几折销售就是按原价的十分之几出售。列方程的公式：例题例题1 1：一商店把货品按标价的九折：一商店把货品按标价的九折出售，仍可获利出售，仍可获利12.5 12.5，若货品近，若货品近价为价为380380元，则标价为多少元？元，则标价为多少元？例题例题2 2：一商店经销一种商品，由于进：一商店经销一种商品，由于进货价格降低了货价格降低了6.4 6.4，使得利润率提，使得利润率提高了高了8 8个百分点，求原来经销这种商品个百分点，求原来经销这种商品的利润率的利润率.例题例题3 3：编一道：编一道“打折销售打折销售”的应用题，的应用题，并能列方程并能列方程（1+40%）80%x-x=270来解答。来解答。例例4 4 小颖的服装店同时卖出两套小颖的服装店同时卖出两套服装，每套均为服装，每套均为168168元，按成本元，按成本计算，其中一套盈利计算，其中一套盈利20%20%，另一，另一套亏本套亏本20%20%，请你帮小颖算算，请你帮小颖算算，在这次买卖中是亏了还是赚了，在这次买卖中是亏了还是赚了，还是不亏不赚？还是不亏不赚？例例5 5、某某商商品品按按定定价价销销售售，每每个个可可获获利利4545元元，现现在在按按定定价价的的8.58.5折折出出售售8 8个个所所能能获获得得的的利利润润与与按按定定价价每每个个减减价价3535元元出出售售1212个个所所获获得得利利润润一一样样。问问这这种种商商品品每每个个的的进进价价、定定价各是多少元？价各是多少元？例例6 6、商商店店对对某某种种商商品品进进行行调调价价，按按标标价价的的8 8折折出出售售，此此时时商商品品的的利利润润率率是是1010，此此商商品品进进价价是是16001600元元，求商品的标价是多少元？求商品的标价是多少元？2）增长率应用题）增长率应用题例例1 1 某工厂食堂第三季度一共节煤某工厂食堂第三季度一共节煤74007400斤，其中八月份比七月份多节斤，其中八月份比七月份多节约约20%20%，九月份比八月份多节约，九月份比八月份多节约25%25%，问该厂食堂九月份节约煤多少公，问该厂食堂九月份节约煤多少公斤？斤？例例2 2、春春节节前前某某商商场场搞搞促促销销活活动动，降降价价销销售售，把把原原定定价价为为38603860的的彩彩电电以以9 9折折优优惠惠出出售售，但但仍仍可可获获利利25%25%的的利利润润，那么这种彩电的进价是多少元？那么这种彩电的进价是多少元？例例3 3、某某商商店店在在销销售售商商品品时时，先先按按进进价价的的150%150%标标价价后后，为为了了吸吸引引消消费费者者，再再按按8 8折折销销售售，此此时时每每件件仍仍可可获获利利120120元，那么商品的进价为多少元？元，那么商品的进价为多少元？例例4 4、某某商商品品把把一一个个书书包包按按进进价价提提高高50%50%标标价价，然然后后再再按按8 8折折出出售售，这这样样商商场场每每卖卖出出一一个个书书包包就就可可盈盈利利8 8元元，这这种种书书包包的的进进价价是是多多少少元元？若若按按6 6折折出出售售，商商场场还还盈利吗？为什么？盈利吗？为什么？例例5 5、某某商商店店里里某某种种商商品品的的进进价价是是10001000元元，标标价价是是20002000元元，商商店店要要求求以以利利润润率率不不低低于于20%20%的的价价格格出出售售，则则售售货货员员最最低低可可以以打打几几折折出出售售此此商商品品？练习练习1 1、某商场对顾客实行优惠，规定：、某商场对顾客实行优惠，规定：一次购物低于一次购物低于200200元，不予折扣；元，不予折扣；一一次次购购物物超超过过200200元元，但但不不超超过过500500元元的的，按标价给予按标价给予9 9折优惠；折优惠；如如果果一一次次购购物物超超过过500500元元，按按标标价价给给予予8.58.5折优惠；折优惠；某某人人去去商商场场购购物物两两次次，分分别别付付款款168168元元和和430430元元，如如果果他他合合起起来来一一次次购购买买同同样样的的商品，他可以节约多少钱？商品，他可以节约多少钱？练习练习2 2 学校准备添置一批课桌椅，学校准备添置一批课桌椅，原订购原订购6060套，每套套，每套100100元。店方表示：元。店方表示：如果多购可以优惠，结果校方购了如果多购可以优惠，结果校方购了7272套，每套减价套，每套减价3 3元，但商店获得同元，但商店获得同样样 多的利润，求每套课桌椅的成本多的利润，求每套课桌椅的成本是多少？是多少？练习练习3 3、某商店经销一种商品，由、某商店经销一种商品，由于进货价降低了于进货价降低了5%5%，售出价不变，售出价不变，使得利润率有原来的使得利润率有原来的m%m%提高到（提高到（m m+6+6）%，求，求m m的值。的值。练练习习4 4 某某套套女女装装进进价价为为300300元元，标标价价为为600600元元，现现要要打打8 8折折出出售售，求求此此时时利润为多少钱，利润率为多少？利润为多少钱，利润率为多少？练练习习5 5 某某人人以以9 9折折优优惠惠价价买买了了一一台台电电脑脑，省省10001000元元钱钱，那那么么买买这这台台电电脑脑实际花了实际花了_元钱？元钱？练练习习6 6 某某种种MP3MP3原原来来每每个个480480元元，降降价价后后每每个个售售价价420420元元，则则降降价价的的百百分数是分数是_。练练习习7 7 某某商商品品标标价价13751375元元，打打8 8折折售售出出，仍仍可可获获利利10%10%，则则该该商商品品的的进进价是价是_元。元。练练习习8 8、已已知知：商商店店中中某某个个玩玩具具的的进进价价为为4040元元，标标价为价为6060元；元；1.1.若若按按标标价价出出售售该该玩玩具具，则则所所得得的的利利润润及及利利润润率分别是多少？率分别是多少？2.2.若若顾顾客客在在与与店店主主还还价价时时，店店主主要要保保住住15%15%的的利利润润率率，则则店店主主出出售售这这个个玩玩具具的的售售价价底底线线是是多多少元？少元？3.3.若若店店主主为为吸吸引引顾顾客客，把把这这个个玩玩具具的的标标价价提提高高10%10%后后，再再贴贴出出打打8.88.8折折的的告告示示，则则这这个个玩玩具具的实际售价是多少元？的实际售价是多少元？4.4.若若店店主主设设法法将将进进价价降降低低10%10%，标标价价不不变变，而而贴贴出出打打8.88.8折折的的告告示示，则则出出售售这这个个玩玩具具的的利利润润及及利润率分别是多少？利润率分别是多少？银行储蓄问题银行储蓄问题其数量关系是：其数量关系是：利息本金利息本金利率利率存期；存期；本息本金利息，本息本金利息，利息税利息利息税利息利息税率。利息税率。注注意意利利率率有有日日利利率率、月月利利率率和和年年利利率率，年年利利率率月月利利率率1212日日利利率率365365。例例1 1：小颖的父母存三年期教育储蓄，：小颖的父母存三年期教育储蓄，三年后取出了三年后取出了50005000元钱，你能求出本元钱，你能求出本金是多少吗？金是多少吗？2.882.88六年六年2.702.70 三年三年2.252.25 一年一年教育储蓄利率教育储蓄利率例例2 2：小小丽丽的的爸爸爸爸前前年年存存了了年年利利率率为为2.25%2.25%的的二二年年期期定定储储蓄蓄，今今年年到到期期后后，扣扣除除利利息息的的20%20%作作为为利利息息税税，所所得得利利息息正正好好为为小小丽丽买买了了一一只只价价值值3636元元的的计计算算器器，问问小小丽丽爸爸爸爸前前年存了多少元钱？年存了多少元钱？例例3 3：5 5年年定定期期储储蓄蓄的的年年利利率率为为2.88%2.88%，若若存存入入5 5年年定定期期的的本本金金是是10001000元元，请请计计算算存存款款到到期期时时，应应得得的的本本利利和和是多少？是多少？例例4 4、王王利利到到银银行行存存入入5 5年年定定期期的的储储蓄蓄若若干干元元，到到期期后后一一共共缴缴了了7272元元的的利利息息税税，若若这这种种储储蓄蓄的的年年利利率率为为2.4%2.4%，求王利当初存入银行多少元？，求王利当初存入银行多少元？例例5 5、小小明明的的父父亲亲到到银银行行存存入入一一笔笔钱钱，3 3年年期期满满后后共共从从银银行行取取出出26322632元元，若若这这种种储储蓄蓄的的年年利利率率为为2.2%2.2%，求求他他当当初存入了多少元？初存入了多少元？例例6 6、李李阿阿姨姨买买了了2000020000元元某某公公司司1 1年年的的债债务务，1 1年年后后除除了了20%20%的的利利息息税税之之后后得得到到本本利利和和为为2080020800元元，请请问问这这种种债券的年利率是多少？债券的年利率是多少？例例7 7、某某人人到到银银行行按按两两种种不不同同的的储储蓄蓄方方式式存存入入了了人人名名币币各各50005000元元，一一种种为为3 3年年期期的的定定期期存存储储，另另一一种种为为5 5年年期期的的定定期期存存储储，他他计计算算了了一一下下，到到期时，他可得税后利息期时，他可得税后利息700700元；元；已已知知：这这两两种种储储蓄蓄的的年年利利率率之之和和为为4.3%4.3%，求求这这两两种种储储蓄蓄的的年年利利率率各各是是多少？多少？例例8 8、20201010年年，为为了了准准备备小小明明6 6年年后后上上大大学学的的学学费费5000050000元元，他他的的父父母母现现在在就就参参加加了教育储蓄，下面是两种储蓄的方式：了教育储蓄，下面是两种储蓄的方式：(1)(1)直接存一个直接存一个6 6年期；年期；(2)(2)先先存存一一个个3 3年年期期，3 3年年后后将将本本利利和和自自动动转存；转存；已已知知：三三年年定定期期储储蓄蓄的的年年利利率率为为3.24%3.24%，六年定期储蓄的年利率为六年定期储蓄的年利率为3.60%3.60%；你你认认为为哪哪种种储储蓄蓄方方式式开开始始存存入入的的本本金金较较少少？（注：教育储蓄不扣利息税）（注：教育储蓄不扣利息税）专题四：工程问题专题四：工程问题其基本数量关系：其基本数量关系：工作总量工作效率工作总量工作效率工作时间；工作时间；合做的效率各单独做的效率的和。合做的效率各单独做的效率的和。当当工工作作总总量量未未给给出出具具体体数数量量时时，常常设设总总工工作作量量为为“1 1”，分分析析时时可可采采用用列列表或画图来帮助理解题意。表或画图来帮助理解题意。四、工程问题中的数量关系：四、工程问题中的数量关系：1）工作效率工作效率=工作总量工作总量完成工作总量的时间完成工作总量的时间2）工作总量）工作总量=工作效率工作效率工作时间工作时间3）工作时间）工作时间=工作总量工作总量工作效率工作效率4）各队合作工作效率）各队合作工作效率=各队工作效率之和各队工作效率之和5）全部工作量之和）全部工作量之和=各队工作量之和各队工作量之和例例1 修筑一条公路，甲工程队单独修筑一条公路，甲工程队单独承包要承包要80天完成，乙工程队单独天完成，乙工程队单独承包要承包要120天完成天完成 1）现在由两个工程队合作承包，）现在由两个工程队合作承包，几天可以完成？几天可以完成？2）如果甲、乙两工程队合作了）如果甲、乙两工程队合作了30天后，因甲工作队另有任务，剩下天后，因甲工作队另有任务，剩下工作由乙工作队完成，则修好这条工作由乙工作队完成，则修好这条公路共需要几天？公路共需要几天？例例2 2 已知开管注水缸，已知开管注水缸，1010分钟可满，分钟可满，拨开底塞，满缸水拨开底塞，满缸水2020分钟流完，现若分钟流完，现若管、塞同开，若干时间后，将底塞塞管、塞同开，若干时间后，将底塞塞住，又过了住，又过了2 2倍的时间才注满水缸，倍的时间才注满水缸，求管塞同开的时间是几分钟？求管塞同开的时间是几分钟？例例4 4 一个水池装甲、乙、丙三根一个水池装甲、乙、丙三根水管，单开甲管水管，单开甲管1010小时可注满水池，小时可注满水池，单开乙管单开乙管1515小时可注满，单开丙管小时可注满，单开丙管2020小时可注满。现在三管齐开，中小时可注满。现在三管齐开，中途甲管关闭，结果途甲管关闭，结果6 6小时把水池注小时把水池注满，问甲管实际开了几个小时？满，问甲管实际开了几个小时？例例5例例6 6、一一项项工工程程，甲甲队队单单独独施施工工2020天天完完成成，乙乙队队单单独独施施工工3030天天完完成成，若若甲乙两队合干，需要几天完成？甲乙两队合干，需要几天完成？例例7 7、一一项项工工程程，甲甲队队单单独独施施工工1515天天完完成成，乙乙队队单单独独施施工工9 9天天完完成成，现现在在由由甲甲队队先先工工作作3 3天天，剩剩下下的的由由甲甲乙乙两两队合作，还需几天完成？队合作，还需几天完成？例例8 8 一一项项工工程程，甲甲队队单单独独施施工工1515天天完完成成，乙乙队队单单独独施施工工1010天天完完成成，现现在在两两队队合合干干，4 4天天后后乙乙队队接接到到命命令令到到另另外外一一个个地地方方工工作作去去了了，问问甲甲队队还还需需几天完成？几天完成？例例9 9、某某项项工工程程，甲甲队队单单独独施施工工1010天天完完成成，乙乙队队单单独独施施工工1515天天完完成成，若若甲甲先先干干2 2天天半半，然然后后甲甲乙乙合合作作完完成成此此项项剩剩余余的的工工作作，求求甲甲一一共共做做了了几几天天？例例1010、小小王王原原计计划划1313小小时时生生产产一一批批零零件件，后后因因每每小小时时多多生生产产1010件件，用用1212小小时时不不但但完完成成了了任任务务，而而且且还还比比原原计计划划多多生生产产了了6060件件，问问原原计计划划生生产产多少个零件？多少个零件？练练习习1 1、刘刘师师傅傅要要加加工工一一批批零零件件，计计划划5 5小小时时完完成成，若若每每小小时时多多加加工工3 3个个，就就可可以以提提前前1 1小小时时完完成成，求求这这批批零零件件一共多少个？一共多少个？练练习习2 2、一一个个水水池池，有有甲甲、乙乙、丙丙三三个个水水管管，甲甲、乙乙两两个个水水管管是是进进水水管管，丙丙是是排排水水管管，单单开开甲甲管管1212分分钟钟就就可可以以将将水水池池注注满满，单单开开乙乙管管1515分分钟钟就就可可以以将将水水池池注注满满，单单开开丙丙管管2020分分钟钟就就可可以以将将一一池池的的水水放放光光。现现在在，先先将将甲甲管管打打开开，6 6分分钟钟后后三三管管齐齐开开，问问过几分钟可以注满水池的过几分钟可以注满水池的9/10.9/10.练练习习3 3、有有一一件件工工程程，由由甲甲、乙乙两两个个工工程程队队共共同同合合作作完完成成，工工期期不不得得超超过过8 8天天，甲甲队队单单独独做做需需要要1010天天才才能能完完成成，乙乙队队单单独独做做需需要要1212天天。现现在在甲甲、乙乙两两队队合合作作3 3天天后后，乙乙队队接接到到新新任任务务要要去去另另一一个个工工地地，由由甲甲队队单单独独工工作作，问此工程能否按期完成？问此工程能否按期完成？练练习习4 4、有有两两只只蜡蜡烛烛，长长短短粗粗细细各各不不相相同同，长长的的能能点点7 7小小时时，短短的的能能点点1010小小时时，同同时时点点燃燃4 4小小时时后后，两两支支蜡蜡烛烛长长度度正正好好相相等等，问问长长蜡蜡烛烛长长度度是是短短蜡烛长度的多少倍？蜡烛长度的多少倍？专题五：专题五：行程问题行程问题 行程基本关系：路程速度行程基本关系：路程速度时间。时间。环形跑道环形跑道上的相遇和追及问题：上的相遇和追及问题：同地同地反向反向而行的等量关系是两人走的而行的等量关系是两人走的路程和等于一圈的路程；路程和等于一圈的路程；同地同地同向同向而行的等量关系是两人所走而行的等量关系是两人所走的路程差等于一圈的路程。的路程差等于一圈的路程。航行问题航行问题：速度关系是：速度关系是：顺水速度静水速度水流速度；顺水速度静水速度水流速度；逆水速度静水速度水流速度。逆水速度静水速度水流速度。一、明确行程问题中三个量的关系一、明确行程问题中三个量的关系三个基本量关系是：速度三个基本量关系是：速度时间时间=路程路程分析方法辅助手段：线型图示法分析方法辅助手段：线型图示法相遇问题：相遇问题：甲的路程甲的路程+乙的路程全程乙的路程全程追及问题追及问题：（：（1 1）同地不同时：）同地不同时：慢者行程先行路程快者路程慢者行程先行路程快者路程（2 2）同时不同地：同时不同地：快者路程快者路程 慢者行程间隔距离慢者行程间隔距离例例1 1：甲、乙两车从：甲、乙两车从A A、B B两地于上午两地于上午8 8点点钟同时出发，相向而行，已知甲的速度钟同时出发，相向而行，已知甲的速度比乙快比乙快2 2千米千米/时，到上午时，到上午1010时两车还相时两车还相距距3636千米，又过了两小时后，两车又相千米，又过了两小时后，两车又相距距3636千米。千米。1 1、求甲乙两地间的距离与两车的速度；、求甲乙两地间的距离与两车的速度；2 2、若甲乙两车分别从、若甲乙两车分别从A A、B B两地同时相向两地同时相向而行，到而行，到B B、A A两地后立即返回，求两车两地后立即返回，求两车第一次相遇和第二次相遇所走的时间是第一次相遇和第二次相遇所走的时间是多少？多少？1 1、若两车相向而行，问何时两车相、若两车相向而行，问何时两车相距距3636千米？（有两解）千米？（有两解）2 2、若两车在、若两车在7272千米的环形公路上，千米的环形公路上，同时、同地、反向而行，甲车速同时、同地、反向而行，甲车速1919千米千米/时，乙车速时，乙车速1717千米千米/时，时，问两车经过多少时间相遇？问两车经过多少时间相遇？3 3、若两车在、若两车在7272千米的环形公路上，千米的环形公路上，同时、同地、同向而行，甲车速同时、同地、同向而行，甲车速1919千米千米/时，乙车速时，乙车速1717千米千米/时，当它时，当它们第一次相遇时需要多少时间？们第一次相遇时需要多少时间？练习练习1 1、某学生总是以每小时、某学生总是以每小时5 5千米的速千米的速度行走，可以及时从家里走到学校，度行走，可以及时从家里走到学校，有一次他走了全程的三分之一后，有一次他走了全程的三分之一后，搭上速度是每小时搭上速度是每小时2020千米的汽车，千米的汽车，因此比原来提前因此比原来提前2 2小时到校，他家小时到校，他家离学校多远？离学校多远？例例2 2、甲、乙两地相距甲、乙两地相距162162公里，一列慢车从甲站开出，每小公里，一列慢车从甲站开出，每小时走时走4848公里，一列快车从乙站开出，每小时走公里，一列快车从乙站开出，每小时走6060公里公里试问：试问：1 1）两列火车同时相向而行，多少时间可以相遇？）两列火车同时相向而行，多少时间可以相遇？2 2）两车同时反向而行，几小时后两车相距）两车同时反向而行，几小时后两车相距270270公里？公里？3）若两车相向而行，慢车先开出）若两车相向而行，慢车先开出1小时，再用多少时间小时，再用多少时间 两车才能相遇？两车才能相遇？4 4）若两车相向而行，快车先开）若两车相向而行，快车先开2525分钟，快车开了几小时分钟，快车开了几小时 与慢车相遇与慢车相遇?5 5）两车同时同向而行（快车在后面），几小时后快车）两车同时同向而行（快车在后面），几小时后快车 可以追上慢车？可以追上慢车？6 6）两车同时同向而行（慢车在后面），几小时后两车相）两车同时同向而行（慢车在后面），几小时后两车相 距距200200公里？公里？例例3 3：从甲地到乙地，水路比公路：从甲地到乙地，水路比公路近近4040千米，上午十时，一艘轮船从甲千米，上午十时，一艘轮船从甲地驶往乙地，下午地驶往乙地，下午1 1时一辆汽车从甲地时一辆汽车从甲地驶往乙地，结果同时到达终点。已知驶往乙地，结果同时到达终点。已知轮船的速度是每小时轮船的速度是每小时2424千米，汽车的千米，汽车的速度是每小时速度是每小时4040千米，求甲、乙两地千米，求甲、乙两地水路、公路的长，以及汽车和轮船行水路、公路的长，以及汽车和轮船行驶的时间？驶的时间？例例4 4 某连队从驻地出发前往某地执行任某连队从驻地出发前往某地执行任务，行军速度是务，行军速度是6 6千米千米/小时，小时，1818分钟后，分钟后，驻地接到紧急命令，派遣通讯员小王必驻地接到紧急命令，派遣通讯员小王必须在一刻钟内把命令传达到该连队，须在一刻钟内把命令传达到该连队，小王骑自行车以小王骑自行车以1414千米千米/小时的速度沿小时的速度沿同一路线追赶连队，问是否能在规定时同一路线追赶连队，问是否能在规定时间内完成任务？间内完成任务？例例5 5 一列客车和一列货车在平行的轨道一列客车和一列货车在平行的轨道上同向行驶，客车的长是上同向行驶，客车的长是200200米，货车米，货车的长是的长是280280米，客车的速度与货车的速米，客车的速度与货车的速度比是度比是5 5：3 3，客车赶上货车的交叉时，客车赶上货车的交叉时间是间是1 1分钟，求各车的速度；若两车相分钟，求各车的速度；若两车相向行驶，它们的交叉时间是多少分钟？向行驶，它们的交叉时间是多少分钟？例例6 6：一架飞机飞行两城之间，顺风：一架飞机飞行两城之间，顺风时需要时需要5 5小时小时3030分钟，逆风时需要分钟，逆风时需要6 6小小时，已知风速为每小时时，已知风速为每小时2424公里，求两公里，求两城之间的距离？城之间的距离？练习练习1 1、甲、乙两人环绕周长是、甲、乙两人环绕周长是400400米米的跑道散步，如果两人从同一地点背的跑道散步，如果两人从同一地点背道而行，那么经过道而行，那么经过2 2分钟他们两人就要分钟他们两人就要相遇。如果相遇。如果2 2人从同一地点同向而行，人从同一地点同向而行，那么经过那么经过2020分钟两人相分钟两人相 遇。如果甲的遇。如果甲的速度比乙的速度快，求两人散步的速速度比乙的速度快，求两人散步的速度？度？练习练习3 3、甲乙两人从同一村庄步行去县、甲乙两人从同一村庄步行去县城，甲比乙早城，甲比乙早1 1小时出发，而晚小时出发，而晚1 1小时小时到达，甲每小时走到达，甲每小时走4 4千米，乙每小时走千米，乙每小时走6 6千米，求村庄到县城的距离？千米，求村庄到县城的距离？练习练习4 4、两地相距、两地相距2828公里，小明以公里，小明以1515公里公里/小时的速度。小亮以小时的速度。小亮以3030公里公里/小小时的速度，分别骑自行车和开汽车从时的速度，分别骑自行车和开汽车从同一地前往另一地，小明先出发同一地前往另一地，小明先出发1 1小小时，小亮几小时后才能追上小明？时，小亮几小时后才能追上小明？练练习习5 5、张张宏宏从从家家去去上上学学，若若每每小小时时行行5 5千千米米，恰恰好好按按时时到到校校，当当她她行行到到与与学学校校还还有有1/31/3千千米米的的路路程程时时，发发现现有有件件东东西西忘忘了了，立立即即沿沿原原路路原原速速回回家家，到到家家后后立立即即骑骑车车以以1515千千米米/时时的的速速度度去去学学校校，结结果果还还是是迟迟到到了了2020分分钟，问张宏家距学校有多远？钟，问张宏家距学校有多远？六、探寻规律类六、探寻规律类 这这类类方方程程的的特特点点是是，从从给给出出的的材材料料中中找找出出规规律律，并并利利用用这这一一规规律律找找出出解解决决问问题题的的相相等等关关系系，列列出出方方程程。例例如如：数数字字排排列列规规律律。2 2、4 4、6 6、8 8。-1-1、2 2、-3-3、4 4、-5-5。还还有有日日历历中中的的规规律律、年年龄龄的的规规律律、数字表示规律等。数字表示规律等。一、日历中的方程一、日历中的方程(找规律解方程找规律解方程)例例1 1 如图某月日历，如果用正方形如图某月日历，如果用正方形所圈出所圈出4 4个数的和是个数的和是76 76，这，这4 4天分别天分别是几号？是几号？日日 一一 二二 三三 四四 五五六六1 12 23 34 45 56 67 78 89 91010 1111 121213131414 1515 1616 1717 1818 191920202121 2222 2323 2424 2525 262627272828 2929 3030问题：日历中阴影问题：日历中阴影中的中的9 9个数的和能等个数的和能等于于136136吗？吗？例例2 2 如下图，将一张正方形纸片，如下图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，然剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个小正方形再按同样的方后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去；进行下去；（1 1）如果剪）如果剪n n次，共剪出次，共剪出多少个小正方形？多少个小正方形？（2 2）如果共剪出）如果共剪出301301个小个小正方形，则剪了几正方形，则剪了几 次？次？例例 3 3 有有 一一 些些 分分 别别 标标 有有6,12,18,24,30,36,6,12,18,24,30,36,.的的卡卡片片，小小明明从从中中任任意意拿拿到到了了相相邻邻的的3 3张张卡卡片片，发发现现这这些些卡卡片片上上的的数数字字的的和和为为3423421.1.猜猜小明拿到了哪猜猜小明拿到了哪3 3张卡片？张卡片？2.2.小小明明能能否否拿拿到到相相邻邻的的3 3张张卡卡片片，使使得它们的和为得它们的和为8686？说明理由？说明理由？例例4 4 6 6个个人人围围成成一一圈圈，每每人人心心里里想想一一个个数数，并并把把这这个个数数告告诉诉左左、右右两两个个人人，然然后后每每一一个个人人把把左左、右右两两个个相相邻邻人人告告诉诉自自己己的的数数的的平平均均数数亮亮出出来来，如如图图，问问亮亮出出1111的的人人原原来来心心中中想想的的那那个个数数是是多多少少？练练习习1 1 有有一一列列数数字字按按照照一一定定规规律律排排列列，3 3、-9-9、2727、-81-81。在在这这列列数数字字中中相相邻邻三三个个的的和和140140，求求这这三三个个数数。问问题题中中的的规规律律在在于于前前一一个个数数乘乘以以-3-3等等于于后后一一个个数数。根根据据这这一一规规律律，及及和和为为140140这这个个等等量量关关系可以设第一个数为系可以设第一个数为X X，列方程为，列方程为 练练习习2 2 在在日日历历上上任任意意圈圈出出一一竖竖列列上上的的4 4个个数数，如如果果这这4 4个个数数的的和和是是5454，那那么么这这4 4个个数数是是多多少少呢呢？如如果果这这4 4数数的的和和是是7070，那那么么这这4 4个个数数是是多多少少呢呢？你你能能否否找找到到一一种种最最快快的的方方法法，马马上上说说出出这这4 4个个数数是是多多少？少？七、等积变形及比例、调配七、等积变形及比例、调配（1）等积问题：等积问题：此类问题的关键在此类问题的关键在“等积等积”，是等量关系，是等量关系的所在，必须掌握常见几何图形的面积、的所在，必须掌握常见几何图形的面积、体积公式。变形前的体积变形后的体积。体积公式。变形前的体积变形后的体积。例题例题1：要锻造一个半径为：要锻造一个半径为5cm，高为，高为8cm的的圆柱形毛坯，应截取截面半径为圆柱形毛坯，应截取截面半径为4cm的圆钢的圆钢多长？多长？例题例题2：直径为：直径为30 cm,高为高为50cm的圆柱形瓶的圆柱形瓶里放满了饮料，现把饮料倒入底面直径为里放满了饮料，现把饮料倒入底面直径为10cm 的圆柱形小杯，刚好倒满的圆柱形小杯，刚好倒满30杯，求小杯，求小杯的高杯的高（2）周长为一定时，当长和宽相等时）周长为一定时，当长和宽相等时面积最大。面积最大。例例3 3：用用一一根根长长为为1010米米的的铁铁丝丝围围成成一一个个长长方方形形，（1 1）使使得得长长方方形形的的长长比比宽宽多多1.41.4米米，此此时时长长方方形形的的长长、宽宽各各为为多多少少米米？（2 2）使使得得长长方方形形的的长长比比宽宽多多0.80.8米米，此此时时长长方方形形的的长长、宽宽各各为为多多少少米米？它它所所围围成成的的长长方方形形与与（1 1）中中所所围围长长方方形形相比，面积有什么变化？相比，面积有什么变化？例例4 4：甲仓库有存粮：甲仓库有存粮120120吨，乙仓库有吨，乙仓库有存粮食存粮食8080吨，现从甲库调部分到乙库，吨，现从甲库调部分到乙库，若要求调运后甲库的存粮是乙库的若要求调运后甲库的存粮是乙库的 ,问应从甲库调多少吨粮食到乙库？问应从甲库调多少吨粮食到乙库？例例5 5：某公司原有职员：某公司原有职员6060名，其中女职名，其中女职员占员占20%20%，今年又有几位男职员辞职，今年又有几位男职员辞职，公司又补招了公司又补招了3 3名女职员，女职员的比名女职员，女职员的比例提高到例提高到25%25%，问公司离开公司的男职，问公司离开公司的男职员一共有几人？员一共有几人？例例6 6 甲、乙两个仓库要向甲、乙两个仓库要向A A、B B两地运送水泥，已知两地运送水泥，已知甲仓库可调甲仓库可调100100吨水泥乙仓库可调水泥吨水泥乙仓库可调水泥8080吨，吨，A A地需地需7070吨水泥，吨水泥，B B地需地需 110 110吨水泥，两仓库到吨水泥，两仓库到A A，B B两地两地的路程和运费如下表的路程和运费如下表路程（千米）路程（千米）运费（元运费（元/千米千米.吨）吨）甲仓库甲仓库乙仓库乙仓库甲仓库甲仓库 乙仓库乙仓库A地地B地地202525201210128（1 1）设甲仓库运往）设甲仓库运往A A地水泥地水泥x x 吨，试用吨，试用x x的一的一次式表示总运费次式表示总运费W?W?(2)(2)你能确定当甲、乙两仓库各运往你能确定当甲、乙两仓库各运往A A，B B多少多少吨水泥时，总运费吨水泥时，总运费461000461000元？最省的总运费元？最省的总运费是多少？是多少？从调配后的数量关系中找等量关系，常见是“和、差、倍、分”关系，要注意调配对象流动的方向和数量。2、比例分配应用题、比例分配应用题例例1 1、我国四大发明之一的黑火药是用我国四大发明之一的黑火药是用硝酸钠、硫磺、木炭三种，原料按硝酸钠、硫磺、木炭三种，原料按1515：2 2：3 3的比例配制而成，现要配制这种火的比例配制而成，现要配制这种火药药150150公斤，则这三种原料各需要多少公斤，则这三种原料各需要多少 公斤？公斤？设元是间接设元，一般设其中的一份设元是间接设元，一般设其中的一份为为x x，必要时要求连比，必要时要求连比相等关系一般是总量等于部分量的和相等关系一般是总量等于部分量的和或或找题中的话，也可以是整个题中始终找题中的话，也可以是整个题中始终不变的量不变的量 按比例分配的应用题的设元和找相按比例分配的应用题的设元和找相等关系各有什么特点？等关系各有什么特点？例例2 2一一足足球球由由黑黑白白两两种种皮皮子子缝缝制制而而成成共共3232块块，已已知知黑黑白白皮皮子子数数的的比比为为3 3：5 5，求各多少块？，求各多少块？例例3 3甲甲、乙乙两两人人合合资资办办一一个个企企业业，并并协协议议按按照照投投资资额额的的比比例例多多少少分分配配所所得得利利润润，已已知知甲甲与与乙乙投投资资额额的的比比例例为为3 3：4 4，首首年年利利润润为为3850038500元元，问问甲甲、乙乙两两人人可可获获得得利利润润分分别别为为多少元？多少元？例例4 4 A A、B B两两个个超超市市去去年年销销售售额额共共150150万万元元，今今年年共共170170万万元元。A A超超市市销销售售额额今今年年比比去去年年增增加加15%15%；B B超超市市今今年年比比去去年年增增加加10%10%，求求A A、B B两两个个超超市市今今年年销销售售额额各各多多少？少？例例5 5 一一份份试试卷卷共共有有2525道道题题，每每道道题题都都给给出出了了4 4个个答答案案，其其中中只只有有一一个个正正确确答答案案，每每道道题题选选对对得得4 4分分，不不选选或或错错选选倒倒扣扣1 1分分，如如果果一一个个学学生生得得9090分分，那那么么他他做做对了多少道题。对了多少道题。八、浓度配置问题八、浓度配置问题其基本数量关系是：其基本数量关系是：溶溶质质溶溶液液浓浓度度，溶溶液液溶溶质质溶剂。溶剂。这这类类问问题题常常根根据据配配制制前前后后的的溶溶质质质质量量或或溶溶剂剂质质量量找找等等量量关关系系，分分析析时时可可采采用用列列表表的的方方法法来来帮帮助助理理解解题意。题意。例例1.1.有浓度为有浓度为98%98%的硫酸溶液的硫酸溶液8 8千克，千克，加入浓度为加入浓度为20%20%的硫酸溶液多少千克，的硫酸溶液多少千克，可配制成浓度为可配制成浓度为60%60%的硫酸溶液。的硫酸溶液。例例2 2 把含酒精把含酒精60%60%的溶液的溶液90009000克，变为克，变为含酒精含酒精40%40%的溶液则需加水量是多少？的溶液则需加水量是多少？例例3.3.某中学的实验室需含碘某中学的实验室需含碘20%20%的碘的碘酒，现有含碘酒，现有含碘25%25%的碘酒的碘酒350350克，应加纯克，应加纯酒精多少克？酒精多少克？例例4 4、在在一一个个日日历历上上，如如果果用用正正方方形形圈圈出出的的4 4个个数数的的和和是是6060，那那么么这这四四天天分别是几号？分别是几号？例例5 5、将将一一个个底底面面直直径径是是10cm10cm，高高为为3636厘厘米米的的“瘦瘦长长”形形圆圆柱柱锻锻压压成成底底面面直直径径是是20cm20cm的的“矮矮胖胖”形形圆圆柱柱，高变成了多少？高变成了多少？例例6 6、（1 1）用用一一根根长长为为8 8米米的的铁铁丝丝围围成成一一个个长长方方形形，使使得得长长比比宽宽多多1 1米米，求求这这个个长长方形的面积；方形的面积；（2 2）用用一一根根长长为为8 8米米的的铁铁丝丝围围成成一一个个正正方形，求这个正方形的面积；方形，求这个正方形的面积；（3 3）用用一一根根长长为为8 8米米的的铁铁丝丝围围成成一一个个圆圆，求这个圆的面积；求这个圆的面积；（4 4）周周长长相相等等的的长长方方形形、正正方方形形、圆圆，谁的面积最大？谁的面积最小？谁的面积最大？谁的面积最小？这类问题特点是：两处总量都和包含这类问题特点是：两处总量都和包含的个体有关系。因此两处总量就是两的个体有关系。因此两处总量就是两个等量关系，可以设其中一个个体为个等量关系，可以设其中一个个体为X X，利用等量关系列方程。，利用等量关系列方程。例例1 1、鸡鸡兔兔同同笼笼，共共有有头头2626，足足7272，问问鸡兔各几何？鸡兔各几何？九、鸡兔同笼类问题：九、鸡兔同笼类问题：例例2 2 3 3月月1212日日是是植植树树节节，某某校校在在植植树树活活动动中中种种了了杨杨树树和和杉杉树树两两类类树树种种，已已知知种种植植杨杨树树的的棵棵数数比比总总数数的的一一半半多多5656棵棵，杉杉树树的的棵棵数数比比总总数数的的三三分分之之一一少少1414棵棵。两类树种各种了多少棵？两类树种各种了多少棵？例例3 3 某某班班有有男男、女女学学生生共共5656人人，女女生生人人数数的的一一半半比比男男生生总总数数少少2020人人，求求该班男女生共多少人？该班男女生共多少人？例例4 4、某某地地电电话话拨拨号号入入网网有有两两种种收收费费方方式式，用用户户可可任任选选其其一一：A A计计时时制制：3 3元元/小小时时；B B包包月月制制：5050元元/月月（限限一一部部个个人人电电话话入入网网）。此此外外，每每一一种种上上网网方方式式都都得得加加通通信信费费每每小小时时1.21.2元元。（1 1）某某用用户户每每月月的的上上网网时时间间为为x x小小时时，请请写写出出两两种种收收费费方方式式下下该该用用户户应应该该支支付付的的费费用用；（2 2）若若某某用用户户估估计计一一个个月月的的上上网网时时间间为为2525小小时时，认为选择哪种上网方式较合理？认为选择哪种上网方式较合理？十、年龄问题其基本数量关系：十、年龄问题其基本数量关系：大大小小两两个个年年龄龄差差不不会会变变。这这类类问问题题主主要要寻寻找找的的等等量量关关系系是是：抓抓住住年年龄增长，一年一岁，人人平等。龄增长，一年一岁，人人平等。1.1.现现在在儿儿子子的的年年龄龄是是8 8岁岁，父父亲亲的的年年龄龄是是儿儿子子年年龄龄的的4 4倍倍，多多少少年年后后父父亲亲的的年年龄龄是是儿儿子子年年龄龄的的3 3倍？。倍？。2.2.小小明明今今年年1313岁岁，他他爸爸爸爸今今年年3939岁岁，几几年年后后小小明明的年龄将是爸爸年龄的一半？的年龄将是爸爸年龄的一半？3 3、现现在在甲甲的的年年龄龄是是乙乙的的2 2倍倍，8 8年年以以后后，两两人人年年龄之和龄之和7474，现在甲比乙大几岁？，现在甲比乙大几岁？4.4.两两根根同同样样长长的的蜡蜡烛烛，点点完完一一根根粗粗蜡蜡烛烛要要2 2小小时时，而而点点完完一一根根细细蜡蜡烛烛要要1 1小小时时.一一天天晚晚上上停停电电，小小芳芳同同时时点点燃燃了了这这两两支支蜡蜡烛烛看看书书，若若干干分分钟钟后后来来电电了了，小小芳芳将将两两支支蜡蜡烛烛同同时时熄熄灭灭，发发现现粗粗蜡蜡烛烛的长是细蜡烛的的长是细蜡烛的2 2倍，问停电多少分钟？倍，问停电多少分钟？数字问题：数字问题：要要正正确确区区分分“数数”与与“数数字字”两两个个概概念念，这这类类问问题题通通常常采采用用间间接接设设法法，常常见见的的解解题题思思路路分分析析是是抓抓住住数数字字间间或或新新数数、原原数数之之间间的的关关系系寻寻找找等等量量关关系系。列列方方程程的的前前提提还还必必须须正正确确地地表表示示多多位位数数的的代代数数式式，一一个个多多位位数数是是各各位位上上数数字字与与该该位位计计数数单单位位的的积积之之和和。若若一一个个三三位位数数，百百位位数数字字为为a，十十位位数数字字为为b，个位数字为，个位数字为c，则这三位数为，则这三位数为例例1 1 有有两两个个两两位位数数，其其十十位位数数字字均均是是个个位位数数字字的的一一半半，第第二二个个数数的的十十位位数数字字比比第第一一个个数数的的十十位位数数字字小小1 1，第第一一个个数数加加上上第第二二个个数数后后仍仍为为两两位位数数，且且和和恰恰为为原原来来第第一一数数十十位位与与个个位位上上数数字字交交换换后后所所得得数数，求求第第一一个个两位数。两位数。例例2 2 一一个个三三位位数数三三个个数数字字之之和和是是2424，十十位位数数字字比比百百位位数数字字少少2 2，如如果果这这个个三三位位数数减减去去两两个个数数字字都都与与百百位位数数字字相相同同的的一一个个两两位位数数所所得得的的数数也也是是三三位位数数，而而这这三三位位数数三三个个数数字字的的顺顺序序和和原原来来三三位位数数的的数数字字的的顺顺序序恰恰好颠倒，求原来的三位数。好颠倒，求原来的三位数。例例3 3 有有两两个个两两位位数数，其其十十位位数数字字均均是是个个位位数数字字的的一一半半，第第二二个个数数的的十十位位数数字字比比第第一一个个数数的的十十位位数数字字小小1 1，第第一一个个数数加加上上第第二二个个数数后后仍仍为为两两位位数数，且且和和恰恰为为原原来来第第一一数数十十位位与与个个位位上上数数字字交交换换后后所所得得数数，求求第第一一个个两位数。两位数。例例4 4、有有一一个个三三位位数数，十十位位数数字字是是个个位位数数字字2 2倍倍，百百位位数数字字比比个个位位数数字字大大3 3，如如果果把把十十位位上上的的数数字字与与百百位位上上的的数数字字对对调调，新新的的三三位位数数与与原原来来三三位位数数和和为为12461246，求原来的三位数。求原来的三位数。
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