条件概率全概率公式和贝叶斯公式课件

1.5 1.5 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式条件概率、全概率公式和贝叶斯公式一、条件概率的概念一、条件概率的概念1 1直观背景直观背景 例例1 1 已知一批产品有已知一批产品有100100个，其中个，其中1515个为一等品，在这个为一等品，在这批产品中一车间生产的有批产品中一车间生产的有7575个，而在第一车间生产的产个，而在第一车间生产的产品中有品中有1010个为一等品，今任取一个产品，问它是一等品个为一等品，今任取一个产品，问它是一等品（事件（事件A）的概率是多少？又若已知抽取的产品是第一车）的概率是多少？又若已知抽取的产品是第一车间生产的（事件间生产的（事件B），问它是一等品的概率是多少？），问它是一等品的概率是多少？上述两个问题虽然都是求一等品的概率，但前者是在上述两个问题虽然都是求一等品的概率，但前者是在这批产品这批产品100100个中考虑的，而后者却是在第一车间生产的个中考虑的，而后者却是在第一车间生产的产品产品7575个个中考虑的，因而所求的概率不同，前者为中考虑的，因而所求的概率不同，前者为后者为后者为为了区别这两种概率，我们分别记1.5 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式一、条件概率的概念例例2 袋中有7只白球,3只红球,白球中有4只木球,3只塑料球;红球中有2只木球,1只塑料球.现从袋中任取1球,假设每个球被取到的可能性相同.若已知取到的球是白球,问它是木球的概率是多少？设 A 表示任取一球，取得白球；B 表示任取一球，取得木球.古典概型古典概型 所求的概率称为所求的概率称为在事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率。记为记为例2 袋中有7只白球,3只红球,白球中有4只设 解解 列表列表白球红球小计木球426塑球314小计7310从而有从而有解 列表白球红球小计木球426塑球314小计7310从而有2条件概率的定义和性质定义：定义：若（，F，P）是一个概率空间，B F，且P（B）0，则对任意的 A F，称 为在事件B已发生的条件下，事件A发生的条件概条件概率率。（1）古 典 概 型 可用缩减样本空间法（2）其 他 概 型 用定义与有关公式条件概率的计算方法2条件概率的定义和性质定义：若（，F，P）是一条件概率全概率公式和贝叶斯公式课件不难验证，条件概率具有概率的三个基本性质：不难验证，条件概率具有概率的三个基本性质：（1 1）非负性：）非负性：（2 2）规范性：）规范性：（3 3）可列可加性：对任意的一列两两互不相）可列可加性：对任意的一列两两互不相有有 容的事件容的事件类似于概率，还可导出条件概率其它的一些性质类似于概率，还可导出条件概率其它的一些性质（4 4）（5 5）若若 两两互不相容，则两两互不相容，则 不难验证，条件概率具有概率的三个基本性质：（1）非负性：（若若 ，则，则 （7 7）（8 8）对任意事件对任意事件A A、C C，有，有 一般地：一般地：（6 6）对任意事件对任意事件A A，若 ，则（7）（8）对任意事件A、C，有 一般地解解 设设B B=“灯泡用到灯泡用到50005000小时小时”，A A=“灯泡用到灯泡用到1000010000小时小时”我们知道用到我们知道用到1000010000小时的灯泡一定用了小时的灯泡一定用了50005000小时，即小时，即 所以所以AB=A，这表明，用了这表明，用了50005000小时的灯泡再用到小时的灯泡再用到1000010000小时的可能性比小时的可能性比没有用过的新灯泡用到没有用过的新灯泡用到1000010000小时的可能性大，这是很自然的，小时的可能性大，这是很自然的，因为前者已经剔除了那些没有用到因为前者已经剔除了那些没有用到50005000小时的质量较次的灯泡。小时的质量较次的灯泡。于是，于是，例例4 4 某种灯泡使用某种灯泡使用50005000小时未坏的概率为小时未坏的概率为 ，使用，使用1000010000小时未坏的概率为小时未坏的概率为 ，现有一只这种灯泡已经使，现有一只这种灯泡已经使用了用了50005000小时未坏，问它能用到小时未坏，问它能用到1000010000小时的概率是多少小时的概率是多少？解 设B=“灯泡用到5000小时”，A=“灯泡用到10000二、乘法公式二、乘法公式 （）.上式称为随机事件概率的上式称为随机事件概率的乘法公式乘法公式.若若 ，由条件概率定义，可得，由条件概率定义，可得 )0)(AP定理：两个事件积的概率等于其中一个事件的概率与定理：两个事件积的概率等于其中一个事件的概率与另一事件在前一事件发生的条件下的条件概率之积另一事件在前一事件发生的条件下的条件概率之积。即：即：下面我们利用概率的统计定义证明一下这个结论。下面我们利用概率的统计定义证明一下这个结论。二、乘法公式（）证明：假设试验重复了证明：假设试验重复了n次，事件次，事件A发生了发生了m次，事件次，事件B 发生了发生了k次，事件次，事件AB发生了发生了r次，则次，则事件事件A发生的频率为：发生的频率为：m/n 事件事件B发生的频率为：发生的频率为：k/n 事件事件AB发生的频率为：发生的频率为：r/n 在事件在事件A发生的条件下事件发生的条件下事件B发生发生 的频率为：的频率为：r/m 由于由于由概率的统计定义由概率的统计定义,概率是频率的稳定性数值概率是频率的稳定性数值,故故证明：假设试验重复了n次，事件A发生了m次，事件B 发生了乘法公式它可推广到任意有限个事件乘法公式它可推广到任意有限个事件.设设 为任意为任意n个事件，满足个事件，满足 乘法公式它可推广到任意有限个事件.设 为 儒林外史儒林外史中有一章讲的是范进中举的故事，这其实中有一章讲的是范进中举的故事，这其实也是一个概率问题。现在我们来算一下，范进晚年中举也是一个概率问题。现在我们来算一下，范进晚年中举的概率究竟有多大？的概率究竟有多大？通过计算我们发现，范进晚年中举的概率竟高达通过计算我们发现，范进晚年中举的概率竟高达97.18%97.18%，这也从另一个方面启示我们，学习重要的，这也从另一个方面启示我们，学习重要的是持之以恒是持之以恒。儒林外史中有一章讲的是范进中举的故事，这其实 通 例例5 5 设在一盒子中装有设在一盒子中装有1010只球，只球，4 4只黑球，只黑球，6 6只白球，只白球，在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样，问两次在其中取两次，每次任取一只，作不放回抽样，问两次都拿到白球的概率是多少？都拿到白球的概率是多少？解法一：解法一：用古典概型来做用古典概型来做 设设A A=“两次都拿到白球两次都拿到白球”，解法二：解法二：用乘法公式来做用乘法公式来做 设设B B=“第一次拿到白球第一次拿到白球”，A A=“第二次拿到白球第二次拿到白球”，ABAB=“两次都拿到白球两次都拿到白球”，例5 设在一盒子中装有10只球，4只黑球，6只白球，在例例6 6 一场精彩的足球赛将要举行一场精彩的足球赛将要举行,5,5个个球迷好不容易才搞到一张入场券球迷好不容易才搞到一张入场券.大家大家都想去都想去,只好用抽签的方法来解决只好用抽签的方法来解决.入场入场券券5 5张同样的卡片张同样的卡片,只有一张上写有只有一张上写有“入场券入场券”,其余的其余的什么也没写什么也没写.将它们放在一起将它们放在一起,洗匀洗匀,让让5 5个人依次个人依次抽取抽取.后抽比先抽的确实吃亏吗？后抽比先抽的确实吃亏吗？“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大.”例6 一场精彩的足球赛将要举行,5个入场5张同样的卡片,只 到到底底谁谁说说的的对对呢呢？让让我我们们用用概概率率论论的的知知识识来来计计算算一一下下,每每个个人人抽抽到到“入入场场券券”的的概概率率到到底底有有多多大大?“大家不必争先恐后，你们一个大家不必争先恐后，你们一个一个按次序来，谁抽到一个按次序来，谁抽到入场券入场券的机会都一样大的机会都一样大.”“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”到底谁说的对呢？让我们用概率论的知识来计算一下,每因为若第因为若第2 2个人抽到个人抽到了入场券，第了入场券，第1 1个人个人肯定没抽到肯定没抽到.也就是要想第也就是要想第2 2个人抽到入场券，必须第个人抽到入场券，必须第1 1个人未抽到个人未抽到,由于由于由乘法公式由乘法公式 P(A2)=(4/5)(1/4)=1/5计算得计算得：我们用我们用Ai表示表示“第第i个人抽到入场券个人抽到入场券”i1,2,3,4,5.显然显然，P(A1)=1/5，P()4/5第第1 1个人抽到入场券的概率是个人抽到入场券的概率是1/51/5.也就是说，也就是说，则则 表示表示“第第i个人未抽到入场券个人未抽到入场券”因为若第2个人抽到也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人 这就是有关抽签顺序问题的正确解答这就是有关抽签顺序问题的正确解答.同理，第同理，第3 3个人要抽到个人要抽到“入场券入场券”，必须第，必须第1 1、第、第2 2个人都没有抽到个人都没有抽到.因此因此 继续做下去就会发现继续做下去就会发现,每个人抽到每个人抽到“入场券入场券”的概率都是的概率都是1/5.1/5.抽签不必争先恐后抽签不必争先恐后也就是说，也就是说，(4/5)(3/4)(1/3)=1/5 这就是有关抽签顺序问题的正确解答.同理，第三、全概率公式三、全概率公式例例7 7从从5 5个乒乓球（个乒乓球（3 3个新的，个新的，2 2个旧的）中每次取一个旧的）中每次取一个，无放回地取两次，试求第二次取到新球的概率。个，无放回地取两次，试求第二次取到新球的概率。解：解：设B=“第一次取到新球”，A=“第二次取到新球”注意，这不是求条件概率 三、全概率公式例7从5个乒乓球（3个新的，2个旧的）中每次全概率公式全概率公式全概率公式例例8 8在在A、B、C三个盒子中共装有三个盒子中共装有1010个外形不可分辨的个外形不可分辨的球，在球，在A盒中有两个新球，一个旧球；在盒中有两个新球，一个旧球；在B盒中有两个新盒中有两个新球，两个旧球；在球，两个旧球；在C盒中有一个新球，两个旧球。设取到盒中有一个新球，两个旧球。设取到每一个盒子的机会是均等的，现从三个盒子中任取一个每一个盒子的机会是均等的，现从三个盒子中任取一个球，问取到新球的概率是多少？球，问取到新球的概率是多少？解：设A=“取到新球”=“取到A盒，=“取到B盒”，=“取到C盒”。例8在A、B、C三个盒子中共装有10个外形不可分辨的球，在图示图示图示 由以上两例看出，当求某一事件由以上两例看出，当求某一事件A的概率比较困难，的概率比较困难，而求条件概率比较容易时，可先设法将这个事件而求条件概率比较容易时，可先设法将这个事件A分成分成几个互不相容事件的和，再利用加法公式和乘法公式解几个互不相容事件的和，再利用加法公式和乘法公式解之。把这个方法一般化，便得到下面的定理。之。把这个方法一般化，便得到下面的定理。这个公式通常称为这个公式通常称为全概率公式全概率公式，它是概率论中，它是概率论中最基本的公式之一。最基本的公式之一。由以上两例看出，当求某一事件A的概率比较困难，而求图示图示证明证明化整为零化整为零各个击破各个击破由此有由此有图示证明化整为零由此有 说明说明 全概率公式的主要用途全概率公式的主要用途在于它可以将一个复杂事件的概在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题率计算问题,分解为若干个简单分解为若干个简单事件的概率计算问题事件的概率计算问题,最后应用最后应用概率的可加性求出最终结果概率的可加性求出最终结果.而而这需要对样本空间进行划分这需要对样本空间进行划分.说明 全概率公式的主要用途在于它可以将一个复杂事件的概率 例例9 9 某外形相同的球分别装入三个盒子，每盒某外形相同的球分别装入三个盒子，每盒1010个，个，其中第一个盒子中其中第一个盒子中7 7个球标有字母个球标有字母A,A,三个标有字母三个标有字母B;B;第第二个盒子有红球和白球各二个盒子有红球和白球各5 5个，第三个盒子中个，第三个盒子中8 8个红球，个红球，2 2个白球。试验按如下规则进行，先在第一盒子任取一个白球。试验按如下规则进行，先在第一盒子任取一球，若取得球标有字母球，若取得球标有字母A A，则在第二盒子任取一球；若，则在第二盒子任取一球；若取得球标有字母取得球标有字母B B，则在第三个盒子任取一球；若第二，则在第三个盒子任取一球；若第二次取出的球标是红球，则称试验为成功，求试验成功的次取出的球标是红球，则称试验为成功，求试验成功的概率。概率。解解 例9 某外形相同的球分别装入三个盒子，每盒10个，其中第A=从第一个盒子中取得标有字母 A的球B=从第一个盒子中取得标有字母B的球R=第二次取出的球是红球W=第二次取出的球是白球解令A=从第一个盒子中取得标有字母 A解解 令令A=任取一件，恰好抽到不合格品任取一件，恰好抽到不合格品,Bi=任取一件任取一件,恰好抽到第恰好抽到第i条流水线的产品条流水线的产品,i=1,2,3,4=1,2,3,4解 令A=任取一件，恰好抽到不合格品,例例11(11(续例续例10)10)在上例中在上例中,若该厂规定若该厂规定,出了不合格品要追出了不合格品要追究有关流水线的经济责任，现在在出厂产品中任取一件究有关流水线的经济责任，现在在出厂产品中任取一件,结果为不合格品结果为不合格品,但该产品是哪一条流水线生产的标志已但该产品是哪一条流水线生产的标志已经脱落经脱落,问厂方如何处理这件不合格品比较合理？比方说，问厂方如何处理这件不合格品比较合理？比方说，第第4 4条条(或第或第1 1、2 2、3 3条条)流水线应承担多大的责任？流水线应承担多大的责任？解解 从概率论的角度考虑可以按从概率论的角度考虑可以按P(Bi|A)的大小来追究第的大小来追究第i条条(i=1,2,3,4)=1,2,3,4)流水线的经济责任流水线的经济责任.由上例知由上例知P(A)=0.0315,)=0.0315,应用条件概率的定义，得应用条件概率的定义，得 例11(续例10)在上例中,若该厂规定,出了不合格品要追 四、四、贝叶斯公式贝叶斯公式 定理定理 设设 为一列互不相容的事件，且有为一列互不相容的事件，且有这个公式称为这个公式称为贝叶斯公式贝叶斯公式（逆概公式）（逆概公式）.则对任意的事件则对任意的事件A，有，有 四、贝叶斯公式 定理 设 为一列互例12 盒中有12只乒乓球，其中9只是没有用过的新球，第一次比赛时任取3只使用，用毕返回，第二次比赛时任取3只球。（1）求第二次取出的全是新球的概率（2）若已知第二次取出的都是新球，求第一次取出的都是新球的概率。解 设 =“第一次取出的3只球都是旧球”，=“第一次取出的3只球中有1只新球”，例12 盒中有12只乒乓球，其中9只是没有用过的新球，=“第一次取出的3只球中有2只新球”，=“第一次取出的3只球都是新球”，B=“第二次取出的都是新球”。=“第一次取出的3只球中有2只新球”，=“第一次取出的3只贝叶斯公式在实际中有很多应用贝叶斯公式在实际中有很多应用.它可以帮助人们确定某结果（事件它可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生的）发生的最可能原因最可能原因.贝叶斯公式在实际中有很多应用.它可以帮助人们确定某结果（事例例1313某一地区患有癌症的人占某一地区患有癌症的人占0.0050.005，患者对一种试，患者对一种试验反应是阳性的概率为验反应是阳性的概率为0.950.95，正常人对这种试验反，正常人对这种试验反应是阳性的概率为应是阳性的概率为0.040.04，现抽查了一个人，试验反，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?则则 表示表示“抽查的人不患癌症抽查的人不患癌症”.已知已知 P(C)=0.005,P()=0.995,P(A|C)=0.95,P(A|)=0.04求解如下求解如下:设设 C=抽查的人患有癌症抽查的人患有癌症，A=试验结果是阳性试验结果是阳性，求求 P(C|A).例13某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是现在来分析一下结果的意义现在来分析一下结果的意义.由由贝叶斯公式贝叶斯公式，可得，可得 代入数据计算得代入数据计算得 P(CA)=0.1066 2.2.检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症?1.1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？现在来分析一下结果的意义.由贝叶斯公式，可得 代入数据计算得 如果不做试验如果不做试验,抽查一人抽查一人,他是患者的概率他是患者的概率患者阳性反应的概率是患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应，若试验后得阳性反应则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为从从0.0050.005增加到增加到0.1066,0.1066,将近增加约将近增加约2121倍倍.1.1.这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.P(CA)=0.1066)=0.1066 P(C)=0.005)=0.005 如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率患者阳性反应的概率 试验结果为阳性试验结果为阳性 ,此人确患癌症的概率为此人确患癌症的概率为 P(CA)=0.1066 2.2.即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有癌症，这种可能性只有10.66%(10.66%(平均来说，平均来说，10001000个人中大约只有个人中大约只有107107人确患癌症人确患癌症)，此时医生常要，此时医生常要通过再试验来确认通过再试验来确认.试验结果为阳性,此人确 P(Ai)(i=1,2,n)是在没有进一步信息（不知道事是在没有进一步信息（不知道事件件B是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识性大小的认识.当有了新的信息（知道当有了新的信息（知道B发生），人们对诸事件发发生），人们对诸事件发生可能性大小生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计有了新的估计.贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化 在贝叶斯公式中，在贝叶斯公式中，和和 分别称为原分别称为原因因的的验前概率验前概率和和验后概率验后概率.P(Ai)(i=1,2,n)是在没有进一步信息1.条件概率条件概率全概率公式全概率公式贝叶斯公式贝叶斯公式小结小结乘法定理乘法定理(乘法公式）乘法公式）1.条件概率全概率公式贝叶斯公式小结乘法定理(乘法公式）条件概率全概率公式和贝叶斯公式课件 贝叶斯贝叶斯(1702-1763)Thomas Bayes，英国数学家数学家.1702年出生于伦敦，做过神甫。1742年成为英国皇家学会会员。1763年4月7日逝世。贝叶斯在数学方面主要研究概率论。他首先将归纳推理法用于概率论基础理论，并创立了贝叶斯统计贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断、统计的估算等做出了贡献.1763年发表了这方面的论著，对于现代概率论和数理统计都有很重要的作用。贝叶斯的另一著作机会的学说概论发表于1758年。贝叶斯所采用的许多术语被沿用至今。贝叶斯(1702-1763)Thomas B