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十字相乘法分解因式 在分组分解法中，我们学习在分组分解法中，我们学习了形如了形如 x(pq)xpq 的式子的式子的因式分解问题。的因式分解问题。2即：即：x(pq)xpq=(xp)(xq)2 在分组分解法中，我们学习了形如 x(p十字相乘法：十字相乘法：对于对于二次三项式二次三项式的分解因式，的分解因式，借用一个十字叉帮助我们分解因式，借用一个十字叉帮助我们分解因式，这种方法叫做十字相乘法。这种方法叫做十字相乘法。即：即：x(pq)xpq=(xp)(xq)2xxpqpxqx=(pq)xx2pq十字相乘法：即：x(pq)xpq=(xp)(xq例例1 分解因式分解因式 x 6x82解：解：x 6x82xx244x2x=6x=(x2)(x4)简记口诀：简记口诀：首尾分解，交叉相乘，首尾分解，交叉相乘，求和凑中，横写因式。求和凑中，横写因式。例1 分解因式 x 6x82解：x 6x82x练一练：练一练：小结：小结：将下列各式分解因式将下列各式分解因式 当常数项为正数时当常数项为正数时,拆分成的两个有理数一拆分成的两个有理数一定同号定同号,符号与一次项系数相同；符号与一次项系数相同；当常数项为当常数项为负数负数时时,拆分成的两个有理数拆分成的两个有理数异异号号，绝对值大的数与一次项系数同号，绝对值大的数与一次项系数同号练一练：小结：将下列各式分解因式 当常数项为正数时,拆练一练：练一练：将下列各式分解因式将下列各式分解因式练一练：将下列各式分解因式提示：当二次项系数为提示：当二次项系数为-1-1时时 ，先提，先提出出负号负号再因式分解再因式分解 。例例2 分解因式：分解因式：解：解：提示：当二次项系数为-1时 ，先提出负号再因式分解。例例3 分解因式分解因式 3x 10 x32解：解：3x 10 x32x3x319xx=10 x=(x3)(3x1)例3 分解因式 3x 10 x32解：3x 10 x3（1）2x2+13x+15（2）3x2 15x 18 (3)-6x2 +3x+18(4)2x2+5xy-12y2 (5)6x2-7xy 5y2 练一练（1）2x2+13x+15(4)2x2(6)（x+y）2+4(x+y)-5(7)2（a+b）2+3(a+b)2(8)2(6x2 x)211(6x2 x)5(6)（x+y）2+4(x+y)-5分组分解法分组分解法 要发现式中隐含的条件，通要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等过交换项的位置，添、去括号等一些一些变换变换达到因式分解的目的。达到因式分解的目的。例例1：因式分解：因式分解 abac+bdcd。解：原式解：原式=(ab ac)+(bd cd)=a(b c)+d(b c)=(a+d)(b c)还有别还有别的解法的解法吗？吗？分组分解法 要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添分组分解法分组分解法 要发现式中隐含的条件，通要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等过交换项的位置，添、去括号等一些一些变换变换达到因式分解的目的。达到因式分解的目的。例例1：因式分解：因式分解 abac+bdcd。解：原式解：原式=(ab+bd)(ac+cd)=b(a+d)c(a+d)=(a+d)(b c)分组分解法 要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添例例2：因式分解：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1。解：原式解：原式=(x5+x4+x3)+(x2+x+1)=(x3+1)(x2+x+1)=(x+1)(x2x+1)(x2+x+1)立方和公式立方和公式分组分解法分组分解法随堂练习：随堂练习：1 1）xyxy xzxz y y2 2+2+2yzyz z z2 22 2）a a2 2 b b2 2 c c2 222bcbc22a a+1+1例2：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1。解：原式 回顾例题：回顾例题：因式分解因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1。另解：原式另解：原式=(x5+x4)+(x3+x2)+(x+1)=(x+1)(x4+x2+1)=(x+1)(x4+2x2+1x2)=(x+1)(x2+1)2x2 =(x+1)(x2+x+1)(x2x+1)拆项添项法拆项添项法怎么结果怎么结果与刚才不与刚才不一样呢？一样呢？因为它还因为它还可以继续可以继续因式分解因式分解回顾例题：因式分解 x5+x4+x3+x2+x+1。另解：因式分解因式分解 x4+4解：原式解：原式=x4+4x2+4 4x2 =(x2+2)2 (2x)2 =(x2+2x+2)(x22x+2)都是平方项都是平方项猜测使用完全平方公式猜测使用完全平方公式完全平方公式完全平方公式平方差公式平方差公式拆项添项法拆项添项法随堂练习：随堂练习：1 1）x x4 42323x x2 2y y2 2+y y4 42 2）(mm2 21)(1)(n n2 21)+41)+4mnmn例因式分解 x4+4解：原式=x4+4x2+配方法配方法 配方法是一种特殊的拆项添项配方法是一种特殊的拆项添项法，将多项式法，将多项式配成完全平方式配成完全平方式，再，再用平方差公式进行分解。用平方差公式进行分解。因式分解因式分解 a2b2+4a+2b+3。解：原式解：原式=(a2+4a+4)(b22b+1)=(a+2)2 (b1)2 =(a+b+1)(ab+3)配方法 配方法是一种特殊的拆项添项法，将多项式配成完全=3=1410+42 x2+3 xy 9 y2+14 x 3 y+20双十字相乘法双十字相乘法 双十字相乘法适用于双十字相乘法适用于二次六项式二次六项式的因式分解，而待定系数法则没有这的因式分解，而待定系数法则没有这个限制。个限制。因式分解因式分解 2x2+3xy9y2+14x3y+20。21336 345=312 15原式原式原式原式 =(2x x3y y+4)()(x x+3y y+5)=3=1410+42 x2+3 xy 9 y21251110=11练习练习1 将将 2(6x x)11(6x x)5 分解因式分解因式222解：解：2(6x x)11(6x x)5222=(6x x)52(6x x)122=(6x x5)(12x 2x1)22=(6x 5)(x 1)(12x 2x1)2615156=11251110=11练习1 将 2(6x x练习练习2 将将 2x 3xy2y 3x4y2 分解因式分解因式22解：解：2x 3xy2y 3x4y222=(2x 3xy2y)3x4y222=(2x y)(x2y)3x4y2=(2x y1)(x2y2)211241=3(2xy)(x2y)122(2xy)(x 2 y)=3x4y练习2 将 2x 3xy2y 3x4y2 分待定系数法待定系数法试因式分解试因式分解 2x2+3xy9y2+14x3y+20。通过十字相乘法得到通过十字相乘法得到通过十字相乘法得到通过十字相乘法得到 (2(2x x33y y)()(x x+3+3y y)设原式等于设原式等于(2x3y+a)(x+3y+b)通过比较两式同类项的系数可得：通过比较两式同类项的系数可得：通过比较两式同类项的系数可得：通过比较两式同类项的系数可得：解得：解得：解得：解得：，原式原式原式原式 =(2=(2x x 3 3y y+4)(+4)(x x+3+3y y+5)+5)待定系数法试因式分解 2x2+3xy9y2+14x3y+
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