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“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。连接圆上任意两点的连接圆上任意两点的线段线段叫做叫做弦弦，经过圆心的经过圆心的弦弦叫做叫做直径直径圆上任意两点间的圆上任意两点间的部分部分叫做叫做圆弧圆弧弧弧(半圆半圆)劣弧与优弧劣弧与优弧等圆等圆(同心圆同心圆)与等弧与等弧弦弦(直径直径)圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做每一条弧都叫做半圆半圆圆圆圆心为圆心为O O，半径为，半径为r r 的圆可以看成是的圆可以看成是:所有到定点的距离等于定长所有到定点的距离等于定长r r 的的点点的集合。的集合。能够重合的两个圆叫做能够重合的两个圆叫做等圆等圆圆心相同的圆叫做同心圆圆心相同的圆叫做同心圆在同圆或等圆中在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做能够互相重合的弧叫做等弧等弧连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径圆上任1“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。24.1.2 垂直于弦的直径(1)2“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。2.2.你能找出多少条对称轴？你能用什么方你能找出多少条对称轴？你能用什么方法解决上述问题？法解决上述问题？可以发现：可以发现：1、圆是轴对称图形。圆是轴对称图形。任何一条任何一条直径直径所在直线都是它的对称轴所在直线都是它的对称轴1.1.圆是轴对称图形吗圆是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么？如果是，它的对称轴是什么？?2.2.它有无数条对称轴，可用它有无数条对称轴，可用对折对折方法解决上述问题方法解决上述问题AB 2.你能找出多少条对称轴？你能用什么方法解决上述问题？3“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。ABCD思考：思考：问题问题1.1.图中有相等的线段吗？有相等的劣弧吗？如果图中有相等的线段吗？有相等的劣弧吗？如果 有，你能找到多少对？有，你能找到多少对？O问题问题2.2.ABAB作怎样的变换时，作怎样的变换时，相等的线段有：相等的线段有：OA=OC=OB=OD，AB=CD相等的弧有：相等的弧有：结论：结论：当当CDCDAB时时，AC=BC,AD=BDAC=BC,AD=BD,AC=BD,BC=AD,ABCD思考：4“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。CDO问题问题3.3.将弦将弦ABAB进行平移时，如图进行平移时，如图ABAB演演 示示EAC=BC,(1)(1)右图是轴对称图形吗右图是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么？如果是，它的对称轴是什么？(2)(2)你能发现图中有哪些相等的线段和弧你能发现图中有哪些相等的线段和弧?(1)(1)是轴对称图形是轴对称图形,其对称轴是直线其对称轴是直线CDCD(2)AE=BE,垂直于弦的直径平分弦，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。垂直于弦垂直于弦的直径的直径AD=BD,已知已知:在在OO中中,CD,CD是直径是直径,ABAB是弦是弦，CDABCDAB于于E E。即直径即直径CD平分弦平分弦AB，并且，并且平分平分AB及及ACBCDO问题3.将弦AB进行平移时，如图ABAB演 示EAC5“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。验证验证 当圆沿着直径当圆沿着直径CD折叠时折叠时,A点和点和B点重合，点重合，AC、AD分别与分别与BC、BD重合。重合。已知：在已知：在OO中中,CD,CD是直径是直径,AB,AB是弦是弦,CDAB,CDAB。求证：求证：AEAEBEBE，ACACBCBC，ADADBDBD。叠合法叠合法OABCDE垂直于弦垂直于弦AB的直径的直径CD所在的直线所在的直线是是 O的对称轴。的对称轴。证明：证明：连结连结OA,OB CDAB,OA=OBAE=BEO关于直径关于直径CD对称对称AC=BC,AD=BD,点点A和点和点B关于关于CD对称对称.垂直于弦的直径平分弦，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。垂径定理垂径定理:验证 当圆沿着直径CD折叠时,A点和B点重合，6“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。垂径定理垂径定理:垂直于弦的直径平分弦，并垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。且平分弦所对的两条弧。OEDCBA结论：结论：注意注意:过过圆心圆心和和垂直于弦垂直于弦两个条件缺一不可两个条件缺一不可AC=BC,AD=BD进一步，我们还可以得到结论：进一步，我们还可以得到结论：平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂直于弦，并且平的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。分弦所对的两条弧。即：即：如果如果CD过圆心，且过圆心，且AE=BE则则CDAB，AC=BC,AD=BDCD过圆心过圆心(CD为直径为直径)，CD AB，AE=BE，垂径定理:垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。OE7“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。AM=BM,n由由 CD是直是直径径 CDAB可推得可推得AD=BD.AC=BC,CDAB,n由由 CD是直是直径径 AM=BM AC=BC,AD=BD.可推得可推得垂径定理：垂径定理：推论：推论：OMDBACOMDBA如何应用如何应用垂径定理：垂径定理：AM=BM,由 CD是直径 CDAB可推得8“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。例例1 1如图，在如图，在O O中，弦中，弦ABAB的长为的长为8cm8cm，圆心圆心O O到到ABAB的距离为的距离为3cm3cm，求，求OO的半径的半径练习练习OABEA解：解：答：答：O的半径为的半径为5cm.在在Rt AOE 中中 如上图如上图.若若OO的半径为的半径为10cm,10cm,OE=6cm,OE=6cm,则则AB=AB=cmcm。例1如图，在O中，弦AB的长为8cm，练习OABE9“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。1.下列图形是否具备垂径定理的条件？下列图形是否具备垂径定理的条件？是是不是不是是是不是不是OEDCAB注意：定理中的两个条件注意：定理中的两个条件（直（直径，垂直于弦）径，垂直于弦）缺一不可！缺一不可！1.下列图形是否具备垂径定理的条件？是不是是火眼金睛不是OE10“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。证明：过证明：过O作作OEAB，垂足为，垂足为E，则则AEBE，CEDE。AECEBEDE。所以，所以，ACBDE.ACDBO例例2.2.如图，在以如图，在以O O为圆心的两个同心圆中，大圆的为圆心的两个同心圆中，大圆的 弦弦ABAB交小圆于交小圆于C C、D D两点。求证：两点。求证：AC=BDAC=BDOEOE就是就是弦心距弦心距2.O的半径是的半径是10cm,弦弦AB的长是的长是12cm，则，则AB的弦心的弦心 距是距是_3.过过 O内一点内一点M的最长弦为的最长弦为10cm，最短弦长，最短弦长8cm，那么，那么 O的半径等于的半径等于_，OM的长为的长为_证明：过O作OEAB，垂足为E，则AEBE，CEDE。11“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。4.如图：如图：AB是是 O的直径，弦的直径，弦CDAB于于E，若若AE=9，BE=1，求求CD的长。的长。OCDABE5.已知已知 O的直径是的直径是20cm,O的两的两 条平行弦条平行弦AB=12cm.CD=16cm,则它们之间的距离则它们之间的距离_.4.CDABO.CDABO4.如图：AB是O的直径，弦CDAB于E，OCDABE12“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。平分弦的直线必垂直弦平分弦的直线必垂直弦 垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦 平分弦的直径垂直于这条弦平分弦的直径垂直于这条弦 判断下列说法的正误判断下列说法的正误 垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧 平分弦的直线必垂直弦 垂直于弦的直径平分这条弦 平分13“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。问题问题 ：你知道赵州桥吗：你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形它的主桥是圆弧形,它的它的跨度跨度(弧所对的弦的长弧所对的弦的长)为为37.4m,37.4m,拱高拱高(弧的中点到弧的中点到弦的距离弦的距离)为为7.2m7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？赵州桥主桥拱的半径是多少赵州桥主桥拱的半径是多少？问题：你知道赵州桥吗?它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对14“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。你能利用垂径定理你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗解决求赵州桥拱半径的问题吗?你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗15“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。37.4m7.2mABOCD经过圆心经过圆心O 作作OCAB 于于D，OC交交AB 于点于点D，连接，连接AOR用用 弧弧AB表示主桥拱，设弧表示主桥拱，设弧AB所在圆的圆心为所在圆的圆心为O，半径为，半径为RAB=37.4，CD=7.2，OD=OCCD=R7.218.7R-7.2ADO=90即即 R2=18.72+（R7.2）2OA2=AD2+OD2解得：解得：R279（m）37.4m7.2mABOCD经过圆心O 作OCAB 于D，16“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。例例3如图，在如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的为互相垂直且相等的两条弦，两条弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证四边形，求证四边形ADOE是正方形是正方形DOABCE证明：证明：四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又又AC=AB AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形.例3如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，O17“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。4.已知：已知：O中弦中弦ABCD。求证：求证：ACBD证明：作直径证明：作直径MNAB。ABCD，MNCD。则则AMBM，CMDM（垂直平分（垂直平分弦的直径平分弦所对的弦）弦的直径平分弦所对的弦）AMCMBMDMACBD.MCDABON讲解讲解圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等4.已知：O中弦ABCD。证明：作直径MN18“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。小结小结:解决有关弦的问题，经常是解决有关弦的问题，经常是过圆心过圆心作弦的垂线作弦的垂线，或或作垂直于弦的直径作垂直于弦的直径，连结连结半径半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。等辅助线，为应用垂径定理创造条件。.CDABOMNE.ACDBO.ABO小结:解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或19“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。2.垂径定理垂径定理:AC=BC,AD=BDCD过圆心，过圆心，CD AB，AE=BE，(2).几何语言几何语言(1)垂直于弦的直径平分弦，垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。并且平分弦所对的两条弧。1.圆是圆是_,_是它的对称轴是它的对称轴轴对称图形轴对称图形任何一条直径在的直线任何一条直径在的直线3.利用垂径定理时，常用辅助线是：利用垂径定理时，常用辅助线是：(1)连半径或作弦心距构造直角三角形连半径或作弦心距构造直角三角形(2)(2)作垂直于弦的直径作垂直于弦的直径2.垂径定理:AC=BC,AD=BDCD过圆心，CD 20“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。通过这节课的学习，通过这节课的学习，你有哪些收获？你有哪些收获？能与大家一起分享吗？能与大家一起分享吗？丰丰 收收 园园丰 收 园22“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。作业：习题24.123“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。判断下列说法的正误判断下列说法的正误 平分弧的直径必平分弧所对的平分弧的直径必平分弧所对的()平分弦的直线必垂直弦平分弦的直线必垂直弦()()垂直于弦的直径平分这条弦垂直于弦的直径平分这条弦()()平分弦的直径垂直于这条弦平分弦的直径垂直于这条弦()()弦的垂直平分线是圆的直径弦的垂直平分线是圆的直径()()平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦()()在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧必平分此弦所对的弧()()判断下列说法的正误 平分弧的直径必平分弧所对的()24“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。Upper formation building 更上层楼Upper formation building 25“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。OEDCBA进一步，我们还可以得到结论：进一步，我们还可以得到结论：平分弦平分弦（不是直径）（不是直径）的直径垂直于弦，并的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧且平分弦所对的两条弧。即：即：如果如果CD过圆心，且过圆心，且AE=BE则则CDAB，AC=BC,AD=BD想一想：为什么规定弦想一想：为什么规定弦AB不是直径？不是直径？OEDCBA进一步，我们还可以得到结论：平分弦（不是直径）的26“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。1 1如图，在如图，在O O中，弦中，弦ABAB的长为的长为8cm8cm，圆心，圆心O O到到ABAB的距离为的距离为3cm3cm，求，求O O的半径的半径OABE练习练习解：解：答：答：O的半径为的半径为5cm.在在Rt AOE 中中 1如图，在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为27“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。2 2如图，在如图，在O O中，弦中，弦ABAB的长为的长为8cm8cm，圆心，圆心O O到到ABAB的距离为的距离为3cm3cm，求，求O O的半径。的半径。OABE3.3.若若OO的半径为的半径为10cm,10cm,OE=6cm,OE=6cm,则则AB=AB=cmcm。2如图，在O中，弦OABE3.若O的半径为10cm,28“雪亮工程是以区（县）、乡（镇）、村（社区）三级综治中心为指挥平台、以综治信息化为支撑、以网格化管理为基础、以公共安全视频监控联网应用为重点的“群众性治安防控工程”。例例2.如图，在以如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的为圆心的两个同心圆中，大圆的 弦弦AB交小圆于交小圆于C、D两点。求证：两点。求证：AC=BDACBDO2.O的半径是的半径是10cm,弦弦AB的长是的长是12cm，则，则AB的弦心的弦心 距是距是_3.过过 O内一点内一点M的最长弦为的最长弦为10cm，最短弦长，最短弦长8cm，那么，那么 O的半径等于的半径等于_，OM的长为的长为_EOE就是弦心距就是弦心距例2.如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的ACBDO30
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