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近世代数近世代数 第四章第四章 整环里的因子分解整环里的因子分解 1 唯一分解环唯一分解环 5/6/2024近世代数 第四章 整环里的因子分解 8/1/2023一、几个概念一、几个概念设设K是整环是整环1.整除整除:性性质:称称b整除整除a，并称，并称b是是a的一个因子，的一个因子，a是是b的倍元的倍元.在在中中,3|18,3|18,而而 3|73|7中中,而而在在例例1 1：在在中中,2+i|5,2+i|5,而而 2+i|3+i.2+i|3+i.5/6/2024一、几个概念设K是整环整除:性质:称b整除a，并称b是a2.单位：可逆元单位：可逆元例例2 2：（1）Z中只有两个单位：中只有两个单位：（2）Zi的单位有：的单位有：的单位有：的单位有：1和和-1；1，-1，i，-i；1和和-1.性性质:（1）一个整环至少有两个单位：）一个整环至少有两个单位：1和和-1；（2）两个单位的乘积也是单位；）两个单位的乘积也是单位；（3）单位的逆元也是单位）单位的逆元也是单位.5/6/20242.单位：可逆元例2：（1）Z中只有两个单位：（2）Z3.3.公因子公因子公因子：公因子：.如果如果,则称称d为a与与b的一个公因子的一个公因子.(1)(1)d为a与与b的公因子；的公因子；最高公因子：最高公因子：(2)(2)如果如果c为a与与b的任一的任一公因子公因子,则有有c|d，如果如果d d满足：足：则称称d为a与与b的一个最高公因子的一个最高公因子(或最大公因子或最大公因子).).如果如果d为为a与与b的任一最高公因子的任一最高公因子,性质：性质：则任给单位则任给单位u,du还是还是a与与b的最高公因子的最高公因子.5/6/20243.公因子公因子：.如果,则称d为a与b的一个公因子.(1)4.相伴相伴 若存在单位若存在单位，使得，使得则称则称b与与a相伴，相伴，也称也称b是是a的的相伴元相伴元记作记作5.5.平凡因子平凡因子：称单位和相伴元为平凡因子；称单位和相伴元为平凡因子；称除了平凡因子的因子（若有的话）为真因子称除了平凡因子的因子（若有的话）为真因子.例例3 3 在在中中,其中其中1 1与与-1-1为单位位,6 6和和-6-6与与6 6相伴相伴,6 6有因子有因子:1,-1,2,-2,3,-3,6,-6.:1,-1,2,-2,3,-3,6,-6.2,-2,3,-32,-2,3,-3为6 6的真因子的真因子.5/6/20244.相伴 若存在单位，使得则称b与a相伴，也称b是a的相伴元例例45 5的平凡因子：的平凡因子：全部真因子全部真因子为：求求中中5 5的因子的因子.5/6/2024例45的平凡因子：全部真因子为：求中5的因子.8/1/206.不可约元不可约元不是不是单位，位，则称称为不可不可约元；元；若只有平凡若只有平凡因子，因子，若有真因子，称若有真因子，称为可可约元元.例例5:5:Z中全部不可中全部不可约元：素数及相反数元：素数及相反数.性性质：有真因子有真因子都不是都不是单位位（2 2）（1 1）不可）不可约元与元与单位乘位乘积是不可是不可约元；元；5/6/20246.不可约元不是单位，则称为不可约元；若只有平凡因子，若有真7.唯一分解元唯一分解元是是中一个非零、非中一个非零、非单位的元素位的元素.若若满足足:(1):(1)可分解可分解为中不可中不可约元的乘元的乘积,(2)(2)的上述分解式在相伴的意的上述分解式在相伴的意义下是下是有另一分解式有另一分解式:则有有,且适当交且适当交换因子的次序因子的次序,有有,则称称在在中能唯一分解中能唯一分解.唯一的唯一的,即如果即如果 5/6/20247.唯一分解元是中一个非零、非单位的元素.若满足:(1)可例例6(1)9在在Z中能唯一分解中能唯一分解.(2)9在在中不能唯一中不能唯一分解分解.证明：证明：的单位只有的单位只有1和和-1；（1）（2）的元都是不可约元：的元都是不可约元：则是单位；则是单位；则是相伴元则是相伴元.在在Z中无解；中无解；因此因此的元都是不可约元的元都是不可约元.5/6/2024例6(1)9在Z中能唯一分解.(2)9在中不能唯一分解.证明例例6(1)9在在Z中能唯一分解中能唯一分解.(2)9在在中不能唯一中不能唯一分解分解.证明：证明：的单位只有的单位只有1和和-1；（1）（2）的元都是不可约元：的元都是不可约元：（3）5/6/2024例6(1)9在Z中能唯一分解.(2)9在中不能唯一分解.证明8.素元素元性性质：素元一定是不可素元一定是不可约元；元；例例7 7 在在Z Z中全部素元：中全部素元：不是不是单位，位，则称称 p 为素元素元.不可不可约元未必是素元元未必是素元.素数及相反数素数及相反数 5/6/20248.素元性质：素元一定是不可约元；例7 在Z中全部素元：不二、唯一分解环二、唯一分解环问题：是否整是否整环中非零、非中非零、非单位的元素都能位的元素都能中任一非零非中任一非零非单位的元素都位的元素都是唯一分解是唯一分解环.（不一定）（不一定）唯一分解？唯一分解？定定义：如果如果能唯一分解能唯一分解,则称称定理定理1 1 唯一分解环的不可约元等同于素元唯一分解环的不可约元等同于素元.定理定理2 2 若若有以下性有以下性质：都可以分解成不可都可以分解成不可约元的乘元的乘积；是唯一分解是唯一分解环.（1 1）每一个非零、）每一个非零、（2 2）不可）不可约元都是素元元都是素元,则非非单位的元素位的元素例例8 8 为唯一分解唯一分解环.5/6/2024二、唯一分解环问题：是否整环中非零、非单位的元素都能中任一非定理定理3 3 唯一分解环中唯一分解环中,任何两个元都有任何两个元都有最高公因子；最高公因子；a,b的两个最高公因子只能差的两个最高公因子只能差一个单位因子一个单位因子.5/6/2024定理3 唯一分解环中,任何两个元都有最高公因子；a,b的两
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