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科目：四年级奥数 教师：张宗诚大家，晚上好！科目：四年级奥数 教师：张宗诚大等差数列等差数列什么是等差数列？定义：一列数中，每相邻两个数之间的差是定值的数列是等差数列.等差数列什么是等差数列？定义：一列数中，每相邻两个数之等差数列的认识 1.1.数列中的第一项称为首项，最后一项称为末项。数列中的第一项称为首项，最后一项称为末项。2.2.数列中数的个数称为项数。数列中数的个数称为项数。3.3.从第二项开始，后项与前项之差都相等的数列从第二项开始，后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。称为等差数列，后项与前项的差称为公差。4.4.例如：例如：1 1、3 3、5 5、7 7、9 9、9797、9999，这是一个，这是一个首项为首项为1 1、末项为、末项为9999、项数为、项数为5050、公差为、公差为2 2的等差的等差数列。数列。练习练习1 1：2,5,8,11,14.32,35 2,5,8,11,14.32,35.练习练习2 2：10,20,30,40.110010,20,30,40.1100练习练习3:99,97,96,95.2,13:99,97,96,95.2,1等差数列的认识 1.数列中的第一项称为首项，最后一项称为等差数列我们要学些啥？分为四种类型：（1）先来后到 （2）点兵点将 （3）对号入座 （4）求和速算 又一波精彩内容马上呈现。各位看官，且听我一一讲来！等差数列我们要学些啥？分为四种类型：（1）先来后到 先来后到题型1：找规律(1)1,3,5,7,9,(),()(2)0,5 ,10,15,20,(),().(3)100,96,92,88,84,(),().题型2：已知首项是2，末项是35，公差是3的等差数列（1）写出该数列的前5项。（2）写出该数列的后5项。【技巧总结】:利用等差数列的定义：每相邻两个数之间差是定值。先来后到题型1：找规律题型2：已知首项是2，末项是35，公差【例题例题1 1】在数列在数列5,9,13,171455,9,13,17145中，问中，问（1 1）这个数列中第）这个数列中第2020个数是多少？个数是多少？（2 2）8585是这个数列的第几个数？是这个数列的第几个数？（3 3）这个数列一共有几项？）这个数列一共有几项？（4 4）将数列中所的数加起来，和是多少？）将数列中所的数加起来，和是多少？解解1 1）根据通项公式知：）根据通项公式知：a20=5+=5+（20-120-1）4=81（2 2）根据项数公式可知）根据项数公式可知n=(85-5)n=(85-5)4+1=214+1=21(3)(3)根据项数公式可知根据项数公式可知n=(145-5)n=(145-5)4+1=364+1=36(4)(4)根据求和公式知：和根据求和公式知：和=(5+145)=(5+145)36 2=2700点兵点将，对号入座【例题1】在数列5,9,13,17145中，问点兵点将，对【技巧总结】求公差，计算两项之间有几个公差！公式应用：通项公式：第n项=首项+（项数n-1）公差 项数公式：项数=（末项-首项）公差+1【技巧总结】练习练习1 1：一个等差数列是一个等差数列是6 6、1313、2020、2727、678678(1)(1)它的第它的第3030项是多少？项是多少？(2)622(2)622是它的第几项？（是它的第几项？（3 3）这个数列共有几）这个数列共有几项项解：解：(1)第n项=首项+（项数n-1）公差 第30项=6+（30-1）（13-6）=6+297=6+203=209 (2)项数=（末项-首项）公差+1 =（622-6）7+1=6167+1=88+1=89（3）项数=（末项-首项）公差+1 =（678-6）7+1=6727+1=96+1=97练习1：一个等差数列是6、13、20、27、678解：(1【例例题题2 2】一一个个等等差差数数列列的的第第4 4项项为为2121，第第6 6项项为为3333。求它的第。求它的第8 8项。项。【思路导航】步骤一：第4项21比首项多3个公差，第6项33比首项多5个公差。步骤二：公差=（33-21）2=6，首项=21-36=45步骤三：第8项=3+（8-1）6=45。【技巧总结】确定项与项之间相差几个公差，是解此类等差数列问题的一种方法。【例题2】一个等差数列的第4项为21，第6项为33。求它的第练习练习2 2：一个等差数列的首项是一个等差数列的首项是1212，第，第6 6项是项是2727。求公差。求公差。解：第6项比首项多5个公差。公差=（27-12）5=155=3练习2：解：第6项比首项多5个公差。例例3.73.7个连续奇数的和是个连续奇数的和是147147，其中最大，其中最大 的奇的奇数是几呢数是几呢解解：中项定理：和=中间数项数中间数=和项数计算中间数第4个数，计算第7个数所以147 7=21是第4项，因为是连续的奇数，所以后面三项是23，25，27练习：9个连续偶数的和是180，求最小的数是多少？例3.7个连续奇数的和是147，其中最大 的奇数是几呢解：中例例4 4，某某学学校校有有304304个个小小朋朋友友围围成成若若干干个个圆圆（一一圈圈套套一一圈圈）做做，已已知知最最内内圈圈2424人人，最最外外圈圈5252人人，如如果果相相邻邻两两圈圈相相差差的的人人数数相相等等，那那么么相相邻邻的的两两圈圈的的相差多少人？相差多少人？分析：本题实际上是求公差分析：本题实际上是求公差解解：这这一一等等差差数数列列的的和和是是304304，首首项项2424，末末项项5252，先先根根据据公公式式：和和=（首首项项+末末项项）项项数数22，求求出出项项数数：304304 2 76=8，再根据 公式末项=首项+(n-1)公差，求出公差52-24）7=4练练习习：牛牛牛牛读读一一本本550550页页的的故故事事书书，第第一一天天读读了了3030页页，最最后后一一天天读读 7070页页，每每天天读读的的页页数数刚刚好好构构成成等等差数列。那么每一天比前一天多读几页？差数列。那么每一天比前一天多读几页？例4，某学校有304个小朋友围成若干个圆（一圈套一圈）做，已例4建筑工地有一批砖，最上层2块砖，第2层6块砖，第3层10块砖，每层都比上一层多，每层都比上一层多4 4块砖，已块砖，已知最下层有知最下层有402402块砖，问中间一层有多少块砖？这块砖，问中间一层有多少块砖？这堆砖共有多少块？堆砖共有多少块？解：方法解：方法1 1，如果我们把每层砖的块数依次记下来，如果我们把每层砖的块数依次记下来，2 2，6 6，1010，14 14，容易知道这是一个等差数列。，容易知道这是一个等差数列。402402是第是第(402-2)(402-2)4+1=101层，中间一层是第（101+1）2=51层，那么中间一层有2+（51-1）4=202块。这堆砖共有202 101=20402方法方法2 2：因为等差数列的中间项是首尾两项的平均：因为等差数列的中间项是首尾两项的平均数，所以中间层有（数，所以中间层有（402+2402+2）2=202块，层数(402-2)(402-2)4+1=101层，。这堆砖共有202 101=20402例4建筑工地有一批砖，最上层2块砖，第2层6块砖，第3层10练习：8个连续自然数的和是164，其中最小的数是多少？练习：8个连续自然数的和是164，其中最小的数是多少？例1.计算：1+3+5+7+9=1+3+5+7+9+11=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+.+99+100=练习1：2+4+6+8+10+12+.+98+100=练习2：99+97+95+93+91+.+3+1=拓展练习1：5+10+15+20+.95+100=求和速算求和速算技巧总结：先求数列项数=（末项-首项）公差+1再代入求和公式：（首项+末项）项数2例1.计算：1+3+5+7+9=1+3例例5 5计算计算1+3+4+6+7+9+10+12+13+36+37+39+401+3+4+6+7+9+10+12+13+36+37+39+40的的和是多少？和是多少？分析：双重等差数列分析：双重等差数列-跳着看跳着看-分离出两个等差分离出两个等差数列数列-分别计算求和分别计算求和-计算总和计算总和方法方法1 1：拆项，把原数拆成：拆项，把原数拆成1+4+7+401+4+7+40和和3+6+9+393+6+9+39两个等差数列，分别求和得两个等差数列，分别求和得287287，273273，所以原式，所以原式=287+273=560=287+273=560方法方法2 2：补项：补上：补项：补上2+5+8+382+5+8+38使原式成为一个连使原式成为一个连续的自然数列，分别求和得续的自然数列，分别求和得260260，820820，所以原式，所以原式=820-260=560=820-260=560方法方法3 3：合并，将原数列中从：合并，将原数列中从3 3，4 4开始，每两个连开始，每两个连续的自然数合并成为一项，那么原数列成为一个新续的自然数合并成为一项，那么原数列成为一个新的数列的数列1+7+13+79,1+7+13+79,求和得求和得560560例5计算1+3+4+6+7+9+10+12+13+36+练习练习5计算计算2+3+7+8+12+13+17+18+32+33+37+38方法1：拆项，把原数列拆成2+7+12+37和 3+8+13+38两个等差数列，求和得320方法2：合并，将原数列中从2，3开始，每两个连续的自然数合并成为一项，那么原数列成为一个新的数列5+15+25+75，求和得320练习5计算2+3+7+8+12+13+17+18+32+例题例题6：1，2，4，7，11，16，22，29，37，,问这列数的第问这列数的第101个是多少？个是多少？分析：二级等差数列找规律-相邻两数找差-差是连续自然数-用连续自然数表示数解：从题目中可以看出第二个数与第一个数差1，第三个数与第二个数差是2，第四个数与第三个数相差3以此类推，以后每一项与前一项的差都会依次增加1，因此 有以下规律：第1个数：1=1 第2个数：2=1+1第3个数4=2+2=1+1+2 第4个数7=3+4=1+1+2+3第5个数11=4+7=4+1+1+2+3=1+1+2+3+4 第6个数16=5+11=5+1+1+2+3+4=1+1+2+3+4+5。第n个数：1+1+2+3+4+5+(n-1)第101个数为：1+1+2+3+4+5+。+（101-1）=1+1+1+2+3+4+5+6+。+100=5051例题6：1，2，4，7，11，16，22，29，37，,问有一列数：有一列数：1，3，6，10，15，21，28，36，45，问这列数中的第，问这列数中的第100个数是多少？个数是多少？有一列数：1，3，6，10，15，21，28，36，45，小结等差数列的认识：等差数列的认识：1.1.数列中的第一项称为首项，最后一项称为末项。数列中的第一项称为首项，最后一项称为末项。2.2.数列中数的个数称为项数。数列中数的个数称为项数。3.3.从第二项开始，后项与前项之差都相等的数列称为从第二项开始，后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。等差数列，后项与前项的差称为公差。等差数列的题型解题技巧：等差数列的题型解题技巧：1.1.通项：通项：第第n n项项=首项首项+（项数（项数n-1n-1）公差公差 2.2.求公差求公差=(M=(M项项-N-N项项)(M-N)(M-N)3.3.求两项之间相差几个公差求两项之间相差几个公差 4.4.求项数求项数=（末项（末项-首项）首项）公差公差+1+1 5.5.求和求和:首项首项+末项）末项）项数项数22作业为课后练习1,2,3,4 5，6 加油！小结等差数列的认识：等差数列的题型解题技巧：作业为课后练习1再见谢谢再见谢谢
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